2024年高考数学 导数及其应用（解析版）

导数及其应用

目录一览

2023董题展现

考向一导数与单调性

考向二利用导数研究函数的极值、最值

真题考查解读

近年真题对比

考向一导数的运算

考向二利用导数研究函数的极值、最值

考向三利用导数研究曲线上某点切线方程

命题规律解密

名校模拟探源

易错易混速记/二级结论速记

：2023年真题展现

考向一导数与单调性

1.（2023•新高考n•第6题）已知函数/（x）-加;在区间（1,2）上单调递增，则a的

最小值为（）

A.e2B.eC.e_1D.e-2

【答案】C

1

解：对函数y（x）求导可得，fA（%）=

依题意，ae——20在（1,2）上恒成立，

X

1

—^在（1,2）上恒成立，

xex

1—（ex+xex）ex（x+1）

设g（x）=X6（l-2）,则g'（%）=（xe、）2=一（2X）2，

易知当旺（1,2）时，g'（x）<0,

则函数g（x）在（1,2）上单调递减，

1

1

则a2g(x)max=£f(l)=-=e-.

故选：C.

考向二导数与极值、最值

bC

2.(2023・新高考H•第11题)(多选)若函数/(x)=alnx+-X+—X(aWO)既有极大值也有

极小值，则()

A.6c>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0

【答案】BCD

解：函数定义域为(0,+°°)

由题意，方程(X)=0即分2--2c=0有两个正根，设为'1，X2,

..b—2cr

则有修+%2=益>0，XiX2=~^~>()9A=b2+8ac>0,

/.ab>0,ac<0,

ab9ac=a2bc<0,即bc<0.

故选：BCD.

d一

真题考查解读

力——

【命题意图】

考查原函数和导函数的关系，考查求导公式，导数几何意义及导数的应用，利用导数研究函数的单调

性、极值最值、函数零点问题.体会数形结合思想，分类讨论思想，化归和转化思想.

【考查要点】

函数与导数是高考必考知识点，考查运用函数的导数解决问题：求切线方程、单调区间、极值最值、

零点等.

【得分要点】

1.利用导数判断函数单调性：设函数.v=/(x)在某个区间内可导，

①/，(x)〉o=>/(X)该区间内为增函数；

②/，(x)<0n/(x)该区间内为减函数；

注意当/'(X)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正(或负)时，/(x)在这个区间上仍是递增(或

递减)的。

③/(x)在该区间内单调递增n/，(x)20在该区间内恒成立；

④/(x)在该区间内单调递减n/'(x)<0在该区间内恒成立；

2.利用导数求极值：

(1)定义：设函数/(X)在点X。附近有定义，如果对X。附近所有的点，都有/(x)</(x0)，就说是/(%)

函数/(X)的一个极大值。记作y极大值=/(%0)，如果对不附近所有的点，都有/(X)>y(x0),就说是/(%)

函数/(x)的一个极小值。记作V极小值=/(x。)。极大值和极小值统称为极值。

(2)求函数y=/(x)在某个区间上的极值的步骤：(i)求导数/'(x)；(ii)求方程/'(x)=0的

根/；(iii)检查/'(x)在方程/'(x)=0的根%的左右的符号：“左正右负"O/(x)在/处取极

大值；“左负右正”O“X)在/处取极小值。

特别提醒：

①/是极值点的充要条件是七点两侧导数异号，而不仅是/'(%)=0,/'(%)=0是升为极值点的

必要而不充分条件。

②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑/'(%)=0,又要考虑检验“左正右负”(“左负右

正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！

3.利用导数求最值：比较端点值和极值

(1)定义：函数/(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；

函数/(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。

(2)求函数y=/(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：

①求函数>=/(x)在(a,b)内的极值(极大值或极小值)；

②将y=/(x)的各极值与/(a),/(6)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

『近年真题对比£

考向一.导数的运算

(多选)1.(2022•新高考I)已知函数/(x)及其导函数(%)的定义域均为几记g(x)=f

(x).若/(_1-2x),g(2+x)均为偶函数，贝I()

…=。B.g')5—⑷D.g(7)=g⑵

解：为偶函数，.•.可得/(3-2x)=/(3+2x),：.f(x)关于x=3对称，

2222

令x=2可得y(3-2x2)=/(3+2x5),即y(-i)=/(4),故c正确；

42424

Vg(2+x)为偶函数，•'•g(2+x)=g(2-x),g(x)关于x=2对称，故。不正确；

V/(x)关于1=微■对称，「♦x=微■是函数/(x)的一个极值点，

函数/(x)在(>|■，力处的导数为0,即g*)=f=0,

又...g(x)的图象关于x=2对称，；.g(5)=g(3)=0,.•.函数/(无)在(立，力的导数为0,

222

...x=5是函数/(X)的极值点，又y(x)的图象关于x=3对称，；.(互，/)关于尤=3的对称点为

2222

(工，t),

2

由x=^|■是函数/(x)的极值点可得x=4是函数/(x)的一个极值点，；.g弓)=f弓)=0,

进而可得g弓)=g弓)=0,故x=1■是函数/⑴的极值点，又/(X)的图象关于x=>|■对称，

.•.(工，力关于工=3的对称点为(-工，力，，g(-1)=f(-工)=0,故8正确；

22222

/(X)图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故/错误.

解法二：构造函数法，

令/(x)=1-sinux,则=1+COS2TIX,则g(X)=f(x)=-ncosiix,

g(x+2)=-ircos(2TT+TOC)=-ncositr,

满足题设条件，可得只有选项BC正确，

故选：BC.

考向二利用导数研究函数的极值

(多选)2.(2022•新高考I)已知函数/G)=x3-x+l,贝I」()

A.f(x)有两个极值点

B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=/(x)的切线

解：/(x)=3/-1,令/(x)>0,解得x<八印或x>喙，令/'(x)<0,解得

正<x<®

33

：.f(X)在(-8,-亨)，噜，XX>)上单调递增，在(岑亨)上单调递减，且

f(野)H〉。，谆邛>0,

6y6y

(X)有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项N正确，选项8错误；

又/(x)+fC-x)=--x+1--+x+i=2,则/(x)关于点(0,1)对称，故选项C正确；

假设y=2x是曲线y=/（x）的切线，设切点为（a,b）,则13&2-1=2,解得（a=l或（a=-l

.2a=blb=2lb=-2

显然（1,2）和（-1,-2）均不在曲线y=/（x）上，故选项。错误.

故选：AC.

考向三.利用导数研究曲线上某点切线方程

3.（2022•新高考I）若曲线y=（x+a）"有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是

x

解：j/="+（x+a）",设切点坐标为（%0，（沏+a）eo）,

・・・切线的斜率左=1+（打,）产，

XXo）

・•・切线方程为厂（和+a）/。=（e°+（x0+a）e（L劭），

x

又，・,切线过原点，，-（x（）+a）eo=（e'°+（x0+a）日'°）（-租），

整理得：x02+axQ-a=0，

・・•切线存在两条，，方程有两个不等实根，

・•・△=/+4〃>0,解得〃<一4或a>0,

即a的取值范围是（-8,-4）U（0,+°°）,

故答案为：（-8,-4）U（0,+°°）.

4.（2022•新高考H）曲线歹=>恸过坐标原点的两条切线的方程为,

解：当n>0时，y=lnx,设切点坐标为Go，lnxo）,

vy=l,切线的斜率左=工，

x»o

切线方程为厂历无0=」—（X-X0）,

x0

又：切线过原点，.•.-历尤0=-1,

**XQ=€J

切线方程为y-l=L（x-e），即x-即=0,

e

当x<0时，y—ln（-x）,与的图像关于y轴对称，

...切线方程也关于y轴对称，

,切线方程为x+纱=0,

综上所述，曲线y=/"|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x-他=0,x+ey=O,

故答案为：x-ey—O,x+ey—Q.

5.（2021•新高考I）若过点（a,b）可以作曲线y="的两条切线，贝U（）

A.eb<aB.ea<bC.0ca"D.0<Z?<ea

解：法一：函数了=^是增函数，y'=d>0恒成立，

函数的图象如图，y>0,即切点坐标在x轴上方，

如果(a,b)在x轴下方，连线的斜率小于0,不成立.

点(a,b)在x轴或下方时，只有一条切线.

如果Q,6)在曲线上，只有一条切线；

(a,6)在曲线上侧，没有切线；

由图象可知(a,6)在图象的下方，并且在x轴上方时，有两条切线，可知0<6<呼.

故选：D.

法二：设过点(a,6)的切线横坐标为K

则切线方程为y=£(x-/)+/,可得b=d(a+1-f),

?

设/(?)=e(a+1-t),可得/⑺=d(a-/),左(-8,°),/⑺>0,f⑺是增函数,

士(a,+8),f(?)<0,f(?)是减函数，

因此当且仅当0V6Ve。时，上述关于/的方程有两个实数解，对应两条切线.

6.(2021•新高考II)已知函数/(x)=匿-1],xi<0,X2>0,函数/(x)的图象在点/(孙，/(皿))

和点8(X2,f(%2))的两条切线互相垂直，且分别交了轴于“，N两点，则捣土的取值范围

是.

【解答】解:当XV0时，/(x)=1导数为/(x)=-d,

可得在点/⑶，I--)处的斜率为左

切线/Af的方程为y-(1-*)=-川(x-xi),

令x=0,可得y=1-户+/㈤，即Af(0,1-exl+xiex:1),

当x>0时，/(x)="-1,导数为/(x)=",

可得在点2(无2,"2-1)处的斜率为左2="2,

令x=0,可得y=/2-1-切/2,即N(0,4-1-X2，)，

由「(X)的图象在4,5处的切线相互垂直，可得后左2=-d1・£^2=-1,

即为X1+X2=O,X1<O,X2>0,

IAitIVl+e2X1(-x1)J1+e-2x21

所以-------!—=岑七_L='e(0,1).

|BN|

后不・X2石尸言

故答案为：(0,1).

命题规律解密

从近三年的新高考试题来看，多集中于考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式证明等问题,

常结合函数的零点、最值等问题综合考查，比如含函数单调性问题、恒成立问题等。复习时，重点把握导

数的应用，加强导数与函数的单调性、导数与函数的极值，导数与函数的最值的认知，理解划归与转化思

想、分类讨论思想、函数与方程思想的应用。

1名校模拟探源］

一.变化的快慢与变化率（共2小题）

1.（2023•河南模拟）某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15米.假设在该海湾某一固

之间的关系为dG）=10+4cos三，则下

定点，大海水深d（单位：加）与午夜后的时间f（单位：/7）

3

午5：00时刻该固定点的水位变化的速度为（)

A蚯4B.旦C.6D

371元-<

【解答】解：由dG）=10+4cos三，知，⑺”inj71

333

所以下午5：00时刻该固定点的水位变化的速度为“（17）IZLsin(—-17)IZLsin

333

(5呜b4兀X(-=2'R兀.

r23

故选：A.

2.（2023•奉贤区校级三模）函数y=x3在区间［0,2］的平均变化率与在x=xo（0Wx（）W2）处的瞬时变化率

相同，则正数3=

3

【解答】解：函数》=/在区间［0,2］的平均变化率为2=。=4,

2-0

则_/=3/,

故函数y=x3在x=xo（0Wx（）W2）处的瞬时变化率为3x

由题意可知，3XA=4-解得火。口(负值舍去).

°Ao士xo3

故答案为：必应.

3

二.导数及其几何意义(共2小题)

3.(2023•平顶山模拟)曲f(x)=/sinx拉点(工，f(―))处的切线的斜率为0,则实数“

sinx+cosx44

=()

」

A.B—C.-1D.1

22

，、2cosx(sinx+cosx)-2sinx(cosx-sinx)2

【解答】解由题可得V、x)=-------------；---------5------------a=—;---------T-a，

(sinx+cosx)(sinx+cosx)

贝!1f，=l-a=0,所以a=L

故选：D.

4.(2023•定西模拟)已知函数/(x)=x2历x的图象在(1,/(I))处的切线与直线x+即-1=0垂直，

则实数。=.

【解答】解：由/(x)=/加x得/(x)—2xlnx+x,

所以，(1)=1,

由于/(x)在(1,7(I))处的切线与直线x+ay-1=0垂直，

所以二=-l=a=L

a

故答案为：1.

三.导数的运算(共3小题)

5.(2023•大埔县三模)设函数/G)在R上可导，且"x)=x+lnx,则/(0)=()

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：令t=lnx,则正R,

x=et,所以/(力=el+t,

所以F⑺=d+l,所以/(0)=e°+l=2.

故选：C.

6.(2023•湖北模拟)函数f(x)=log°L的导函数为()

2v

B

A.I(X)-*⑴,

cc?/\ln2

c¥(x)=-----D.针

xxln2

J

【解答】解：f(x)=iogj，则f'(x)=T—X

2x与n2*

X

故选：D.

2

7.(2023•南关区校级模拟)已知函数f(x”(x+l1+31一，其导函数记为/(x),则/(389)+f

x2+l

(389)+f(-389)-f(-389)=()

A.2B.-2C.3D.-3

,、[2(x+l)+cosx](x2+l)-2x[(x+1)2+sinx]_

【解答】解：(x)=---------------------------~--------------------------------

(x2+l)2

o

_2”-2-cosx(x2+lHZxsinxx+l+2x+sinx

(x2+l)2x2+l

,：f(-X)=f(x),

：.f(389)-/(-389)=0,

又f(x)+s)金11%

：.f(389)+f(-389)=2,

：.f(389)+f(389)+f(-389)-f(-389)=2.

故选：A.

四.利用导数研究函数的单调性(共14小题)

8.(2023•东莞市校级三模)已知a=e0.9+l,b=等，c=ln(0.9/),贝i]。，4。的大小关系为()

A.a>c>bB.c>b>aC.b>a>cD.a>b'>c

【解答】解:a=e09+i,6=0_=2+0.9,c=ln(0.9e3)=历0.9+3,

10

b“=2+0.9-(39+1)=1+0.9-e09,

设/(x)=l+x-e\x>0

f(x)=1-^<0,

所以/(x)在(0,+8)上单调递减，

因为0.9>0,

所以/(0.9)</(0)=0,

所以b<a,

c-b=3+ln0.9~(2+0.9)=1+历0.9-0.9,

令g(x)=i+lnx-x,xE(0,1),

g'(x)=工-1=上1>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，

又0<0.9<1,

所以g(0.9)<g(1)=0,

所以c<b,

所以a>b>c,

故选：D.

9.(2023•湖南模拟)函数/G)的定义域为D,导函数为/(x),若对任意xeD,/(x)</(x)成

立，则称/G)为“导减函数”.下列函数中，是“导减函数”的为()

A.y=/B.jv=cosxC.y=:D.

【解答】解：若函数的定义域为D,若对任意x€£),夕=%2,y'=2x,当x=l时，y'=2>y=\,贝!|了=》2

不符合导减函数的定义；

y=cosx,y1--sinx,当X=TT时，y'—0>y—-L则y=cosx不符合导减函数的定义；

y=\og^X,y'=]1兀,当■时，V'=]\>0>y=_l，则y=10gaX不符合导减函数的定义;

y=23y'=2xln2<2x,则^=2工符合导减函数的定义.

故选：D.

10.(2023•辽阳二模)现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,

曲线的曲率定义如下：若/(X)是/(X)的导函数，f(x)是/(X)的导函数，则曲线y=/(x)在点

(x,f(X))处的曲率K=函数/(x)=3历x的图象在(1,/(I))处的曲率为

鼠)尸)2

C返D.近

,loo100

【解答】解：因为/(x)=3lnx,所以钎(X)誓，f"(x)=

X

所以/(1)=3,f(1)=-3,

(1+(1(1))2)2(1+9)2

故选：D.

11.(2023•射洪市校级模拟)设函数/G),g(x)在氏的导函数存在，且，(x)Vg，(x),则当在

(Q,b)时()

A.f(x)<g(x)B.f(x)>g(x)

C.f(x)+g(a)<g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b)

【解答】解：设〃(x)=/(x)-g(x),则"(》)—f(x)-g'(x)<0,

所以〃(x)在R上单调递减，

因为a<x<b,

所以h(a)>h(x)>h(b),即/(a)-g(a)>f(尤)-g(x)>f(6)-g(6),

所以f(x)+g(a)<g(x)+f(a),f(x)+g(6)>g(x)+f(6),即选项C正确，D错误，

而选项/和2无法判断.

故选：C.

12.(2023•江宁区校级二模)若函数/G)=lnx与g(x)=ax-1(a>0)的图像有且仅有一个交点，则

关于x的不等式/(x-3)<。-3「4的解集为()

A.(-8,4)B.(4,+8)C.(3,4)D.(3,5)

【解答】解：/G)与g(x)只有1个交点等价于函数h(x)=lnx-ax+\只有1个零点，

即a1nx+l只有1个解，

X

令p(x)Jnx+l,则/(x)=21^,p'(1)=0,

当OVxVl时，p1(x)>0,p(x)单调递增，当％>1时，p'(x)<0,p(%)单调递减，并且P(%)>

0,

=

所以2(X)maxP(1)=1，P(?-2)<0,函数2(X)的大致图像如下图：

Va>0,：.a=\,原不等式为:In(x-3)<1-3X-4,即加(x-3)+3…-1<0,

令后(x)=历(x-3)+3%一4_%显然左(%)在％>3时是增函数，又左(4)=0,：.k(x)<0的解集

是(3,4)

故选：C.

13.(2023•浙江模拟)已知a,b,cG(-1,0),且满足

a=ln券+2,b=ln/()+l),c=e^2-l_1；则()

A.c<b<aB.b〈a<cC.a<c〈bD.a<b<c

3

【解答】解：已知a,b,ce(-1,0),且满足a=in"+2,b=lne(b+1),c=ec4-ln2-1-1-

34

易得(a+1)-加3+2,b=3+ln(b+1)-质4,In(c+1)=c+历2-1,

整理得a-In(a+1)—2-ln3,b~In(6+1)=3-历4,c~In(c+1)—1-ln2,

不妨设f(X)=X-In(x+1),函数定义域为(-1,+°°),

可得，(x)=l-'=^,

x+1x+1

当-1<X<O时，/(x)<0,/(无)单调递减；当x>0时，/(x)>0,/(无)单调递增，

所以/(c)</(a)<f(b),a,b,c<0,

解得b<a<c.

故选：B.

14.(2023•华龙区校级模拟)函数/(x)=/〃2x的图象与函数g(x)=eX-ef+x，的图象交点的横坐

2x

X=

标为比,Me°ln2x0()

A.-ln2B-4C4D.In2

【解答】解：令/(x)=g(x),则历2x=y-e-x+x-六(x>0),

所以"_e—-x=/"2x-2x+-^-=e-/n2x-eln2j(+ln2x,

2x

设〃(x)=e^-e-x-x(x>0),贝l]〃(x)=d+e-1>1+0-1=0,

所以〃(x)在(0,+8)上单调递增，

X

所以xo=-ln2x0,即e°=--—,

2x0

所以e*°ln2xc=—^―•(』)=--.

eHX02X°2

故选：B.

15.(2023•扬州三模)已知函数/(x)的导函数为g(x),/(x)和g(x)的定义域均为尺，g(x)为偶

函数，/(x)-d-sinx也为偶函数，则下列不等式一定成立的是()

A.f(0)=0B.g(0)=0C.f(x)<f(^)D.g(x)<g(")

【解答】解：根据题意，设〃(x)=f(x)--sinx,

由于〃(%)为偶函数，则％(-%)=/?(%),BP/(-x)-e~x+siwc=f(x)--sinx,

等号两边同时求导可得：-f(-x)+e-%+cosx=/(x)--cosx,

即-g(-x)+e-x+cosx=g(x)--cosx,

又由g(x)为偶函数，变形可得g(x)=-1(/+e-x)+COSX,

故/(x)=-1(/-er)+sinx+C(C为常数)，

由此分析选项:

对于4,由于。不确定，f(0)=0不一定成立，4错误；

对于8,g(0)=工(1+1)+1=2,8错误；

2

对于C,设尸(x)=d-x,有F(x)="7,

当疣(0,+8)时，F'(x)=^-1>0,F(x)为增函数，

当xe(-8,o)时，F'(x)="-KO,F(x)为减函数，

则有f(x)2F(0)=1,故在R上恒成立，

又由g(x)=[(d+e-x)+cosxel+cosx20,f(x)为尺上的增函数，

则有/(x)</(d)，C正确；

对于。，g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，不能保证g(x)<g(")成立，。错误.

故选：C.

16.(2023•九江模拟)设函数/(无)的定义域为R,其导函数为，(x),且满足/(x)>/(无)+1,f

(0)=2023,则不等式e-^(x)>e^+2022(其中e为自然对数的底数)的解集是()

A.(2022,+8)B.(-8,2023)C.(0,2022)D.(-0)

【解答】解：设g(x)*(x)-l,

gX

V/(x)>f(x)+1,即/(x)-/G)+l<0,

...g,⑴=f'(x)-f(x)+l<0,

X

e

：.g(x)在R上单调递减，又/(0)=2023,

/.不等式Jxf3>e-》+20220：(X)-l>2022=f(0)-1=>⑹I

x0

ee

即g(x)>g(0),.*.x<0,

原不等式的解集为(-8,0).

故选：D.

17.(2023•邵阳三模)定义在R上的可导函数/(x)满足/(x)-/(-X)=x(d+小、)，且在(0,+

8)上有f，(x)/支<0,若实数。满足/(2a)-f32)-2四一2。+碇-。-2+20-。-220,则。的

ex

取值范围为()

C.a<N■或心2D.

3

【解答】解：设g(x)=/(x)-xe『贝Ijg'(x)=f(x)+至工,

e

因为在（0,+8）上有f，（x）0,

ex

所以当x>0时，g'（x）<0,即g（x）在（0,+8）上单调递减,

又g(x)-g(-x)(x)-Xe-x-f(.-X)-xd=x(卢+e-x)-xe^-x^^O,

所以g（%）=g（-x），即gG）为偶函数,

所以g（x）在（-8,o）上单调递增，

由/(2〃)-f(〃+2)-2ae~2a+ae~a~2+2e-a220,得/(2〃)-2ae~(a+2)(a+2)

(。+2)

即g(2a)2g即+2),

所以|2a|W|〃+2|,解得-铲占2.

故选：A.

•安徽模拟)设。+33..6+e3,则（）

18.(202351=5"5,b+e~=3fec+1-e'

A.b〈c〈aB.ct〈b<cC.c〈a<bD.c〈b〈a

［解答］易矢口a二］n5—q，b=］n巳③

be3

令f(x)=lnx-‘(x>0>f'(x)」1x+1

F2〉0,

Xxx

则/（x）在（0,+8）单调递增,

又冷>5,

所以Ine3一\>]n5_p

e-Jb

所以a<b.

又GJ

e

3e

则b_c=]ne''^一\-ee即b〈c.

ee

综上，a<b<c.

故选:B.

e2

19.（2023•驻马店三模）设&蚩b=c=2保，则（)

4-ln4'

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c'>a>b

【解答】解：设/（x）=^，x>l,则f(x)=lnx-l,

lnxln2x

当x>e时，f(x)>0,即f(x)在（e,+°°）上单调递增,

当1cx<e时，，(x)<0,即/1(x)在(1,e)上单调递减,

2OC=2GH^,

2_4e

CI----，,b=―

2

ln2ln44-21n2elnve

lrry

Ve2<8,

22

vVe<2<e,,V(Ve)>/(2),BPc>«,

综上，c>a>b.

故选：D.

20.(2023•海淀区校级三模)已知函数/(x)=x-“situ在R上不是单调函数，且其图象完全位于直线x-

y-3=0与x-y+4=0之间(不含边界)，则a的一个取值为.

【解答】解：由题意得，(X)=1-acosx,

(x)的最大最小值必在1-a,1+a中取得，且/(x)=x-asitu在R上不是单调函数，

必有(1-a)(1+a)<0,解得⑷>1,

又f(x)图象完全位于直线x-厂3=0与x-尹4=0之间，

.,.尤+4-(x-asinx)>0且x-asinx-(x-3)>0,

'4+as：nx”恒成立，则同二

即.

3-asinx>0

综上所述，l〈|a|V3.

故答案为：2(答案不唯一)

21.(2023•吕梁三模)若.=60-7,b=L")声则a,b,c的大小关系为(

22

A.a>c>bB.b>a>cC.c>b>aD.b>c>a

【解答】解：令f(x)晋邑+1WL则F______1___

2x2Vx2x

当xE(1,+°°)时，f(x)<0,函数/(x)在(1,+°°)上单调递减,

In(3.5e2)

故/'(3.5)</(l)=0,即吗5+］二<“3.5,即b〈c；

2

令g(x)=e'-2-x-l，则g'(X)="-x-1,

g(x)="-1,

当0<x<l时，g"(x)>0,g'(x)单调递增且g'(0)=0,

故g'(x)>0,

故函数g(x)在(0,I)上单调递增，

故g(0.7)>g(0)=0,即eO.7>]+0.=].945>石§4|1,

故0>0,则a>c>b,

故选：A.

五.函数在某点取得极值的条件(共1小题)

22.(2023•常德二模)已知函数/(x)=ax3+x2-ax(aCR,且aWO).如果存在实数aC(-8,-i],

使函数g(x)=/(x)+f(x),x£[-1,b](6>-1)在》=-1处取得最小值，则实数6的最大值

为—.

【解答】解：由题意，g(x)="3+(3a+l)x2+(2-a)x-a,

据题知，g(x)2g(-1)在区间[-1,切上恒成立，

即：(x+1)[ax2+(2a+l)x+(1-3a)]―0…①

当x=-1时，不等式①成立；

当-l<xWb时，不等式①可化为ax2+(2tz+l)x+(1-3a)…②

令(x)=ax2+(2a+l)x+(1-3a),由成(-8,-1]知其图象是开口向下的抛物线，

故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得.

又(-1)=-4°>0,故不等式②成立的充要条件是(6)20,

2

整理得：且上生-工在ae(-8,-1]上有解，

b+1a

b2+2b-3wi,

b+1

A-SwGl,

2

实数6的最大值为逅二1,

2

故答案为：叵二L

2

六.利用导数研究函数的极值(共10小题)

2

23.(2023•禅城区模拟)已知函数/(x)=x-4x-a(^-2+e-x4-2)有唯一零点，则°=()

A.-工B.-2C.工D.2

22

222x+2

【解答】解：f(x)=x-4x-a(^-2+e-x+2)=G-2)-a^-+e-}-4,

令f=x-2,则/⑺=t2-a(ef+e-9-4为偶函数，图象关于f=0对称，

若f⑺=0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知/'(())=-4-2a=0,

所以a=-2.

故选：B.

24.(2023•金凤区校级一模)已知函数f(x)=e'+^lnx的极值点为xi，函数h(x)的最大值为

X2,则()

A.工2〉工1B.%2>工1C.%1>%2D.%12了2

【解答】解：(x)=e*+x4(0，+8)上单调递增，且否d)=e2-3>0,

x22

1

v卓=£-普<0，

X：

所以X]E([，y)>e+xt

由h，(x)JVnx,当xW(0,e)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，

2x2

当xE(e,+°°)时，h'(x)<0,h(x)单调递减，

所以h(x)=h(e)=^，即

所以修>了2.

故选：C.

25.(2023•阜新模拟)已知函数f(x)=x?J~^X2-9X，则/(无)的极大值为()

5

A.-3B.1C.27D.-5

【解答】解：:f(x)=x3-^—3)x“-9x，

b

•1\-222f(2)-

••f(xJ-3x+------x-9?

b

⑵=12+三'⑵-9,解得，(2)=15,

b

：.f(x)=X3+3X2-9x,f(x)=3/+6X-9=3(X+3)(x-1),

...当x<-3或x>l时，/'(x)>0；当-3<x<l时，/(x)<0,

：.f(x)在(-8,-3)和(1,+oo)上单调递增，在(-3,1)上单调递减，

...当x=-3时，/(X)取得极大值27.

故选：C.

26.(2023•石嘴山一模)若函数f(x)=-1x2+4x-2alnx有两个不同的极值点，则实数。的取值