备战2024年高考数学一轮复习52、空间距离

空间距离知识点归纳1．点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离。即一点到它在一个平面内的的距离叫做这一点到这个平面的距离。2．异面直线的公垂线：和两条异面直线都的直线叫做异面直线的公垂线。3．公垂线唯一：任意两条异面直线有条公垂线，但和两条异面直线都垂直的直线有条。4．两条异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线间的距离。5．直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)7．两个平行平面的公垂线、公垂线段：（1）两个平面的公垂线：叫做两个平面的公垂线。（2）两个平面的公垂线段：公垂线的部分，叫做两个平面的公垂线段。（3）两个平行平面的公垂线段都。8．两个平行平面的距离：两个平行平面的长度叫做两个平行平面的距离。9．在各和距离中，点与点、点与直线、点到平面的距离、两条异面直线间的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这四种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求。10．用向量法求距离的公式：⑴异面直线之间的距离：，其中⑵直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量⑶两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量⑷点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量另法：点平面则⑸点A到直线的距离：，其中，是直线的方向向量⑹两平行直线之间的距离：，其中，是的方向向量题型讲解：一、点到直线的距离例1、如图在正方体中，是侧面内一动点，若到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹所在曲线是A、直线B、圆C、双曲线D、抛物线例2、如图，定点和都在平面内，定点是内异于和和的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是A、一条线段，但要去掉两个点B、一个圆，但要去掉两个点C、一个椭圆，但要去掉两个点D、半圆，但要去掉两个点二、异面直线间的距离例3、如图，在棱长为的正方体中，是的中点，交于交于，交于交于（1）求证：是异面直线与的公垂线（2）求异面直线与的间的距离例4、在四面体中，分别是的中点（1）证明：所在直线是异面直线的公垂线（2）求异面直线间的距离。三、点到面的距离例5、正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为。例6、如图，在长方体中，在上，且，在上，且（1）求点到直线的距离（2）求点到平面的距离。四、线到面、面到面的距离例7、在长方体中，（1）求证：平面平面（2）求面和平面间的距离。例8、如图，四棱柱的底面为正方形，侧棱与底面边长均为，且，则侧棱和截面的距离是。练习1．ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为A、 B、 C、 D、1解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求易证CE=1∴选D。答案：D2．在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是A、13 B、11 C、9 D、7解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC∴O是△ABC的外心∴OA===5∴PO==11为所求∴选B答案：B3．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是A、a B、a C、a D、a解析：A到面MBD的距离由等积变形可得。VA—MBD=VB—AMD，易求d=a答案：D4．平面α内的∠MON=60°，PO是α的斜线，PO=3，∠POM=∠PON=4５°，那么点P到平面α的距离是A、 B、 C、 D、解析：cos∠POM=cos∠POH·cos∠MOH，∴=cos∠POH∴cos∠POH=∴sin∠POH=∴PH=PO·sin∠POH=3×=答案：A5．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，E是CC1的中点，则E到A1B的距离是A、a B、a C、a D、a解析：连结A1E、BE，过E作EH⊥A1B于H，在△A1BE中易求EH=a答案：D6．A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______。解析：CD=答案：5或7．设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________。解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD∴AD是PA与BC的公垂线易得AB=2，AC=2，BC=4，AD=，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD=答案：8．已知l1、l2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l1、l2分别交α、β、γ于A、B、C和D、E、F，AB=4，BC=12，DF=10，又l1与α成30°角，则β与γ的距离是__________；DE=__________。解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6由面面平行的性质定理可得=，∴=，即=∴DE=25答案：6259．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的边长为a，E、F分别是棱A1B1、CD的中点。（1）证明：截面C1EAF⊥平面ABC1（2）求点B到截面C1EAF的距离。（1）证明：连结EF、AC1和BC1，易知四边形EB1CF是平行四边形，从而EF∥B1C，直线B1C⊥BC1且B1C⊥AB，则直线B1C⊥平面ABC1，得EF⊥平面ABC1而EF平面C1EAF，得平面C1EAF⊥平面ABC1（2）解：在平面ABC1内，过B作BH，使BH⊥AC1，H为垂足，则BH的长就是点B到平面C1EAF的距离，在直角三角形中，BH===10