押江苏无锡卷第23-26题（统计综合、尺规作图、圆综合问题、一次函数与二次函数的实际问题）（解析版）

押江苏无锡卷第23-26题押题方向一：统计综合3年江苏无锡卷真题考点命题趋势2023年江苏无锡卷第23题统计从近年江苏无锡中考来看，统计是近几年江苏无锡中考的必考题；预计2024年江苏无锡卷还将继续重视对统计的考查。2022年江苏无锡卷第23题统计2021年江苏无锡卷第23题统计1．（2023·江苏无锡·中考真题）2023年5月30日，神州十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题：学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表竞赛成绩x（组别）（A）（B）（C）（D）（E）（F）频数2196a57b6学生参加航天知识竞赛成绩统计表年级平均数众数中位数七年级8281八年级8282九年级8380

(1)_________；_________%；(2)请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．【答案】(1)90；10(2)七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大【分析】（1）先求出总人数，再根据C所占的百分比求出a，再由所有频率之和为1，求出“E”所占的百分比，进而确定m的值；（2）比较中位数、众数、平均数的大小得出答案．【详解】（1）解：∵抽取的总人数为（人），∴C组的人数为（人），；故答案为：90，10；（2）解：七年级的平均分最高；八年级的中位数最大；九年级的众数最大．（答案不唯一）．【点睛】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．2．（2022·江苏无锡·中考真题）育人中学初二年级共有200名学生，2021年秋学期学校组织初二年级学生参加30秒跳绳训练，开学初和学期末分别对初二年级全体学生进行了摸底测试和最终测试，两次测试数据如下：育人中学初二学生30秒跳绳测试成绩的频数分布表跳绳个数（x）x≤5050＜x≤6060＜x≤7070＜x≤80x＞80频数（摸底测试）192772a17频数（最终测试）3659bc育人中学初二学生30秒跳绳最终测试成绩的扇形统计图(1)表格中a＝；(2)请把下面的扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）(3)请问经过一个学期的训练，该校初二年级学生最终测试30秒跳绳超过80个的人数有多少？【答案】(1)65(2)见解析(3)50名【分析】（1）用全校初二年级总人数200名减去非70＜x≤80的总人数即可求得a；（2）用户减去小于等于80个点的百分比，即可求出大于80个占的百分比，据此可补全扇形统计图；（3）用总人数200名乘以大于80个占的百分比，即可求解．【详解】（1）解：a=200-19-27-72-17=65，故答案为：65；（2）解：x>80的人数占的百分比为：1-1.5%-3%-29.5%-41%=25%，补充扇形统计图为：（3）解：最终测试30秒跳绳超过80个的人数有：200×25%=50（名），答：最终测试30秒跳绳超过80个的人数有50名．【点睛】本题考查频数分布表与扇形统计图，频数与频率，能从统计表与统计图中获取有用的信息是解题的关键．3．（2021·江苏无锡·中考真题）某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高．为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从1500名员工中随机抽取200人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表锻炼次数x（代号）（A）（B）（C）（D）（E）（F）频数10a68c246频率0.05b0.34d0.120.03某企业员工参加健身锻炼次数的扇形统计图（1）表格中________；（2）请把扇形统计图补充完整；（只需标注相应的数据）（3）请估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有多少人？【答案】（1）42；（2）见详解；（3）估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人．【分析】（1）由扇形统计图直接得出b的值，再用200×b，即可求解；（2）先算出c，d的值，再补充统计图，即可；（3）用总人数×健身锻炼超过10次的员工的频率之和，即可求解．【详解】（1）解：由扇形统计图可知：b=0.21，a=200×0.21=42，故答案是：42；（2）c=200-10-42-68-24-6=50，d=50÷200×100％=25％，补全扇形统计图如下：（3）1500×(0.34+0.25+0.12+0.03)=1110（人），答：估计该企业上月参加健身锻炼超过10次的员工有1110人．【点睛】本题主要考查扇形统计图以及频数分布表，准确找出相关数据，是解题的关键．1）如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。2）平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数；中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势；众数考察的是各数据所出现的频数，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。1．垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．无锡市环保部门抽样调查了某居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图．注：为厨余垃圾，为可回收垃圾，为其它垃圾，为有害垃圾根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查的样本容量是___________；(2)补全条形统计图；(3)假设该小区每月产生的生活垃圾为吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多少吨？【答案】(1)50(2)见解析(3)12【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．（1）由厨余垃圾吨数及其所占百分比可得抽样总数，即样本容量；（2）用减法求出可回收垃圾的数量，即可补全条形统计图；（3）用总数量乘以样本中有害垃圾数量所占比例即可．【详解】（1）解：在这次抽样调查中，生活垃圾一共有(吨，故答案为：50；（2）回收垃圾有：(吨，补全条形统计图如下：（3）(吨，答：估计每月产生的有害垃圾大约有12吨．2．为丰富同学们的学习生活，某校打算在七年级开设四种不同社团课，分别是A羽毛球、B插花、C健身操、D围棋．为了解同学们对些课程的选择倾向情况，学校在校园随机抽取部分七年级同学做“你最喜爱的社团课”的问卷调查，调查结果统计图部分如图所示．请你根据如图信息解决下列问题：(1)参加问卷调查的学生人数为名，“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是；(2)补全条形统计图（画图并标注相应数据）；(3)若该校七年级一共有900名学生，试估计选择“围棋”社团课的学生有多少名？【答案】(1)100；(2)见解析(3)估计选择“围棋”社团课的学生约有名．【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．（1）根据参加“健身操”的人数除以所占的百分比即可求出参加问卷的学生人数，用选择“羽毛球”社团课的学生人数除以总人数乘即可得到结果；（2）用总人数减去参加其他各项的人数即可得到参加“插花”的人数，从而可补全条形统计图；（3）先求出样本中参加“围棋”社团课的百分比，再用七年级人数乘以这个百分比即可得到结论．【详解】（1）解：参加问卷调查的学生人数为（名），“羽毛球”社团课所对应的扇形圆心角的度数是，故答案为：100；；（2）解：参加“插花”的人数有（名），补全条形统计图如下，；（3）解：（名），答：估计选择“围棋”社团课的学生约有名．3．为了解某校初三学生英语口语检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该校若干名学生的英语口语检测成绩，按，，，四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图：请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题：(1)本次抽取的学生有________名；(2)补全条形统计图；(3)在抽取的学生中级人数所扇形圆心角的度数为是________；(4)根据抽样调查结果，请你估计某校名初三学生英语口语检测成绩等级为级的人数．【答案】(1)；(2)见解析图；(3)；(4)检测成绩等级为级的人数是人．【分析】（）根据等级的人数和所占的百分比即可求出总人数；（）用总人数乘以B等级所占的百分比，即可补全统计图；（）用整体减去、、等级所占的百分比，即可求出级人数所占的百分比；（）用某校名初三学生乘以等级所占的百分比，即可得出答案；本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．【详解】（1）本次抽取的学生有（人），故答案为：；（2）等级的人数是：（人），补图如下：（3）等级所占的百分比是：，抽取的学生中级人数所扇形圆心角的度数为为，故答案为：；（4）等级所占的百分比是：，∴估计某校名初三学生英语口语检测成绩等级为级的人数为（人），答：估计某校名初三学生英语口语检测成绩等级为级的人数为人．4．某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，完成下列问题：

(1)学校这次调查共抽取了______名学生；(2)求m的值并补全条形统计图；(3)在扇形统计图，“围棋”所在扇形的圆心角度数为______；(4)设该校共有学生1000名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．【答案】(1)100；(2)20，图见解析；(3)；(4)250名．【分析】（1）用“围棋”的人数除以其所占百分比可得；（2）用总人数乘以“书法”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；（3）用乘以“围棋”人数所占百分比即可得；（4）用总人数乘以样本中“足球”人数所占百分比可得．【详解】（1）解：学校本次调查的学生人数为（名）；（2）解：，“书法”的人数为（人）；补全图形如下：

（3）解：在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为；（4）解：估计该校喜欢足球的学生人数为（名．答：估计该校有250名学生喜欢足球．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．押题方向二：尺规作图3年江苏无锡卷真题考点命题趋势2023年江苏无锡卷第24题尺规作图从近年江苏无锡中考来看，尺规作图在近三年的必考题，重点考查尺规作图基本作法，考查难度一般；预计2024年江苏无锡卷还将继续重视对尺规作图的考查。2022年江苏无锡卷第24题尺规作图2021年江苏无锡卷第24题尺规作图1．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，已知，点M是上的一个定点．

(1)尺规作图：请在图1中作，使得与射线相切于点M，同时与相切，切点记为N；(2)在（1）的条件下，若，则所作的的劣弧与所围成图形的面积是_________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先作的平分线，再过M点作的垂线交于点O，接着过O点作于N点，然后以O点为圆心，为半径作圆，则满足条件；（2）先利用切线的性质得到，，根据切线长定理得到，则，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出，然后根据扇形的面积公式，利用的劣弧与所围成图形的面积进行计算．【详解】（1）解：如图，为所作；

；（2）解：∵和为的切线，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧与所围成图形的面积．故答案为：．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为．（如需画草图，请使用试卷中的图2）【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D；（2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可．【详解】（1）解：如图，∴点D为所求点．（2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E，∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四边形ABCD是梯形，∴，∴四边形AECD是矩形，∴，∴四边形ABCD的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键．3．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，已知锐角中，．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的平分线；作的外接圆；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，的半径为5，则________．（如需画草图，请使用图2）【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）根据尺规作角平分线的步骤，即可作的平分线，作出AC的中垂线交CD于点O，再以点O为圆心，OC为半径，画圆，即可；（2）连接OA，根据等腰三角形的性质得AD=BD=，CD⊥AB，利用勾股定理求出OD，BC，进而即可求解．【详解】解：（1）如图所示：（2）连接OA，∵，的平分线，∴AD=BD=，CD⊥AB，∵的半径为5，∴OD=，∴CD=CO+OD=5+=，∴BC=，∴．故答案是：．【点睛】本题主要考查尺规基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，理解三角形外接圆的圆心是三角形各条边中垂线的交点，是解题的关键．尺规作图与几何性质综合主要掌握以下三方面的知识：（1）通过题干描述辨别是何种尺规作图（主要有：作已知角、角平分线、中垂线等）；（2）图形背景设置的几何图形的相关性质（一般为特殊的三角形或四边形）；（3）相关的运算工具（一般长度计算工具：相似、勾股定理等）1．如图，在中，．(1)请在图（1）中用无刻度的直尺和圆规作图：作的角平分线交于点，在上求作点，使；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若，则（如需画草图，请使用图2）【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据尺规作角平分线和作一个角等于已知角的方法画图即可；（2）过点D作于G，过点E作于F，分别证明和得到，再分别证明和得到，然后利用正切定义求解即可．【详解】（1）解：如图，射线、点E即为所求；（2）解：如图，过点D作于G，过点E作于F，则，∵平分，，，∴，又，∴，∴，∵，，∴，则，∴，∴，又，，∴，∴，∵，，∴，又，∴，即，∵，，∴，∴，即，∴（负值舍去），∴，故答案为：．【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、作一个角等于已知角，角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、正切等知识，熟练掌握相关的知识的联系与运用，正确添加辅助线，利用全等三角形的性质和相似三角形的性质求解是解答的关键．2．如图，中，．(1)尺规作图：作菱形，使分别在上；(2)题（1）中所作的菱形的周长为_______．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了菱形的判定与性质，作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．（1）先作的平分线，再作交于点，作交于点，则四边形满足条件；（2）设菱形的边长为，则，再证明根据相似三角形的性质得到即利用比例性质求出，从而得到菱形的周长．【详解】（1）解：作的平分线，再作交于点，作交于点，如图，则为所作菱形．（2）解：设菱形的边长为，则，∵四边形为菱形，即解得：即菱形的边长为∴菱形的周长．3．在矩形中，．(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图．先在上确定点E，使．再在上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C．(2)在（1）的条件下，若，且，则的长为_____（如需要画草图请使用试卷中的备用图）．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，正弦函数的定义，勾股定理，矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．（1）以为圆心，为半径作弧交于点E，则．再作的垂直平分线，交于点F；（2）根据，设，，利用，列式计算求得，设，在中，由勾股定理列式计算求解即可．【详解】（1）解：所作图形如图，（2）解：∵，∴，设，，∴，，∵，∴，，解得，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得，故答案为：．4．如图1，在中，，且边上有一点D．(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）：①作的角平分线，交边点E；②作，其中点F在边上；(2)在（1）的条件下，若，，点D在边上运动，则面积的最小值为___________．【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查尺规基本作图，角平分线的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积．利用面积法求解是解题的关键．（1）①利用尺规基本作图-作已知角的平分线，作出图形即可；②利用尺规基本作图-经过直线上一点作已知直线的垂线，用出图形即可．（2）根据，当时，值最小，此时，值也最小，所以此时面积的最小，利用解平分线性质得出，设，根据，即，求解得h值，再代入即可求解．【详解】（1）解：①如图所示，就是所求；②如图所示，就是所求．（2）解：∵∴当时，值最小，此时，∴四边形为矩形，∴，∴，∴值最小，∴此时，面积，如图，∵平分，∴，设，∵∴即解得：，∴∴面积的最小值为：．押题方向三：圆的综合问题3年江苏无锡卷真题考点命题趋势2023年江苏无锡卷第25题圆与三角形相似综合从近年江苏无锡中考来看，圆与三角形相似综合是常考题型，也是考查重点，难度一般。预计2024年江苏无锡卷还将继续考查圆与三角形相似综合，为避免丢分，学生应扎实掌握。2022年江苏无锡卷第25题圆与三角形相似综合2021年江苏无锡卷第25题圆与三角形相似综合1．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．

(1)求的度数；(2)若，求的半径．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；（2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解．【详解】（1）如图，连接．

为的切线，．，．，．，．（2）如图，连接，，，．，，且，，，即，，，即半径为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键．2．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，再由对顶角相等得，故可证明绪论；（2）根据可得由可得出连接AE，可证明，得出代入相关数据可求出，从而可求出绪论．【详解】（1）∵所对的圆周角是，∴，又，∴；（2）∵△是等边三角形，∴∵，∴∴∵∴，∴∴连接如图，∵∴∴∠又∠，∴△∴，∴∴，∴（负值舍去）∴，解得，【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．3．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B．（1）求证：；（2）若，，求证：．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵是的直径，∴∠ABC=90°，∵切于点B，∴∠OBP=90°，∴，∴；（2）∵，，∴，∵OB=OC，∴，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=∠AOB=20°，∵是的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；4）注意圆的相关知识和相似、三角函数、勾股定理结合解决相关计算问题。1．如图，在△中，，以为直径的圆分别交，于点D，E，过点B作圆的切线交的延长线于点F．(1)求证：；(2)如果，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行线的判定、相似三角形的判定与性质、切线的性质等，得到相似三角形是求解的关键．（1）根据，，可以得到，从而证明结论．（2）连接，证明，得到，可求出的值，即可．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴．∴．∴．（2）解：连接．∵是的直径，∴．∵是的切线，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴，即：，∴，∴．2．如图，在中以为直径作圆，圆心为，交于点，连接，延长至，连接．已知，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长度．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理：（1）先证，推出，即可证得是的切线；（2）根据求出，连接，得到，列得，勾股定理求出，即可求得．【详解】（1）∵，，∴，∴，∵，∴，即，∵是的直径，∴是的切线；（2）∵，∴，即，∴，连接，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．3．如图，四边形是平行四边形，以为直径的经过点，与交于点．连接，，作，与的延长线交于点．

(1)求证：是的切线；(2)求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的性质、切线的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）连接．由等腰三角形的性质以及平行线的判定得出，从而得出，即可得证；（2）根据圆周角定理和平行线的性质可得出，再根据平行四边形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：连接．

，，．．，，，，是的半径，是的切线．（2）解：连接．

，中，，，∵，．，，，，∴，∵四边形是平行四边形，．4．如图，已知内接于，若，平分交于D，交于点E．(1)求证：；(2)若，试求、的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证，然后根据两角对应相等的两个三角形相似判定，进而根据相似三角形的性质可得出结论；（2）设的圆心为点O，连接交于H，过点B作交的延长线于F，先证及为等边三角形，从而得，，设，则，，，再证，由得，于是可设，则，从而得，则，，然后由（1）得，据此由相似三角形的性质得，最后设，则，由（1）的结论得，再证，可得，据此即可求出x，进而得的长．【详解】（1）证明：∵平分，，，，，，，；（2）解：设的圆心为点O，连接交于H，过点B作交的延长线于F，，平分，，，，，，，为等边三角形，，设，则，由勾股定理得：，，，，，，，∴可设，，，即，，，由（1）得：，，即，，设，则，由（1）的结论得：，即：，，，，，，，将代入上式得：，，，，．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，等边三角形的判定及性质，圆周角与圆心角之间的关系；解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，垂径定理．押题方向四：一次函数与二次函数的综合问题3年江苏无锡卷真题考点命题趋势2023年江苏无锡卷第26题一次函数与二次函数实际问题的综合从近年江苏无锡中考来看，一次函数与二次函数实际问题的综合是常考题型，也是考查重点，难度一般。预计2024年江苏无锡卷还将继续考查一次函数与二次函数实际问题的综合，为避免丢分，学生应扎实掌握。2022年江苏无锡卷第26题一次函数与二次函数实际问题的综合1．（2023·江苏无锡·中考真题）某景区旅游商店以元的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于元，不高于元，经市场调查发现每天的销售量与销售价格（元）之间的函数关系如图所示．

(1)求关于的函数表达式：(2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润=（销售价格一采购价格）×销售量】【答案】(1)(2)销售价格为元时，利润最大为【分析】（1）分时，当时，分别待定系数法求解析式即可求解；（2）设利润为，根据题意当时，得出，当时，，进而根据分时，当时，分别求得最大值，即可求解．【详解】（1）当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，∴解得：∴，当时，设关于的函数表达式为，将点代入得，解得：∴，（2）设利润为当时，∵在范围内，随着的增大而增大，当时，取得最大值为；当时，∴当时，w取得最大值为，当销售价格为元时，利润最大为．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．2．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【答案】(1)x的值为2m；(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；；（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜，∵-3<0，∴x＜4时，S随着x的增大而增大，∴当x=时，S有最大值，最大值为，即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．待定系数法求一次函数、二次函数的表达式；利用不等式，不等式组求自变量的范围；利用一次函数，二次函数的单调性求出自变量范围里的最大值或最小值。1．水果店购进某品种榴莲，榴莲的保质期为30天，平均每颗榴莲的售价为100元，由于榴莲需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量m颗，每颗榴莲的成本为y元．y与x的函数关系如图所示．m与x之间的关系如表：第x天销售量m颗15(1)求y与x的函数表达式．(2)若每天的销售利润为W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？【答案】(1)；(2)第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元．【分析】（1）设与的函数表达式为，再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）分两种情况讨论：当时，，当时，，再利用函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设与的函数表达式为，把和分别代入得：，解得：，∴与的函数表达式为；（2）当时，，∵，∴随的增大而减小，∴当时，；当时，，∵不在范围内，当时，随的增大而减小，∴当时，；综上述，第天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是元．2．为加强劳动教育，各校纷纷落实劳动实践基地．某校学生在种植某种高产番茄时，经过试验发现：①当每平方米种植2株番茄时，平均单株产量为8.4千克；②在每平方米种植的株数不超过10的前提下，以同样的栽培条件，株数每增加1株，平均单株产量减少0.8千克．(1)求平均单株产量（千克）与每平方米种植的株数（为整数，且）之间的函数关系式；(2)已知学校劳动基地共有10平方米的空地用于种植这种番茄．问：当每平方米种植多少株时，该学校劳动基地能获得最大的产量？最大产量为多少千克？【答案】(1)（，且为整数）(2)6株，312千克【分析】（1）根据题意，找出数量关系式，即可求出平均单株产量（千克）与每平方米种植的株数之间的函数关系式；（2）利用总产量平均的产量种植的株数，列关于的一元二次方程，将其转化为顶点式，根据为整数，即可求出种多少株最大产量，以及最大产量多少.【详解】（1）解：每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.8千克，，关于的函数表达式为（，且为整数）；故答案为：（，且为整数）.（2）解：设每平方米番茄产量为千克，根据题意得：，为整数，当时，取最大值，最大值为，（千克），答：每平方米种植6株时，该学校劳动基地能获得最大的产量，最大产量为312千克．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合运用，解题的关键需要找出和存在的关系，以及熟练掌握顶点式二次函数表达式．