押江苏南京卷第22-23题（三角形全等、三角函数的应用）（解析版）-备战2024年中考数学临考题号押题

押江苏南京卷第22-23题押题方向一：三角形全等3年江苏南京卷真题考点命题趋势2023年江苏南京卷第19题三角形全等从近年江苏南京中考来看，三角形全等考查，比较简单；预计2024年江苏南京卷还将继续重视对三角形全等的考查。2022年江苏南京卷第22题三角形全等2021年江苏南京卷第20题三角形全等1．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，且，对角线分别交，于点，．求证．【分析】连接交于，根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论．【解答】证明：连接交于，四边形是平行四边形，，，，，在与中，，，，，．【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．3．（2022·江苏南京·中考真题）如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．

【答案】见解析【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据邻边，即可证明平行四边形是菱形．【详解】解：证明：∵平分，，∴，．∴．∴．又∵于点，∴．在和中，，∴．∴．∴四边形是平行四边形．又∵，∴平行四边形是菱形．

【点睛】本题主要考查了菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．3．（2021·江苏南京·中考真题）如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．（1）求证；（2）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．【详解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的长为．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．1.平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．2.菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．3.全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．1．如图，中，点、在上，，．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，根据垂直的定义求出，利用即可证明；（2）根据全等三角形的性质得出，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，，，，在和中，，；（2）证明：，，∴．2．如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．(1)求证：．(2)运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________．【答案】(1)见解析(2)作图见解析，【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.（1）由“”可证（2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长，即可求解.【详解】（1）)证明：，，又，在和，，；（2）∵，，∴，，∴，的外接圆半径，故答案为：3．已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点为的中点，连接，的延长线交的延长线于点，连接．(1)求证：；(2)当满足_____时，四边形为正方形．【答案】(1)证明见详解(2)，【分析】（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质解决问题即可；（2）证明四边形是平行四边形，进而证得，根据正方形的判定即可得到结论．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，点是的中点，，在和中，，，，；（2）当，时，四边形是正方形．证明：由（1）知，，又，，四边形是平行四边形，由（1）知，，，，四边形是菱形，，，四边形是正方形．故答案为：，．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质、正方形的判定方法，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．4．如图，在中，，，垂足为D．E是上一点，且，过点E作，与交于点F．(1)证明；(2)若E是的中点，，则的面积为______．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明解答．（1）根据平行线的性质得出，进而利用证明解答；（2）连接，根据等边三角形的判定和性质以及三角形的面积公式解答．【详解】（1）证明：，，，，，，，在与中，，；（2）解：由（1）可知，，连接，是的中点，，，是等边三角形，，，，，的面积．5．如图，在中，点E、F分别是边、的中点．

(1)求证：；(2)若，求证：四边形是菱形．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）可证，即可求证；（2）可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，从而可证，即可得证．【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，点E、F分别是边、的中点，，，，在和中，()．（2）证明：四边形是平行四边形，，，，，点E、F分别是边、的中点，，，，四边形是平行四边形，同理可证：四边形是平行四边形，，，，，，四边形是菱形．【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定，掌握判定方法及性质是解题的关键．6．如图，的对角线，相交于点．是的中点，连接并延长交于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若平分，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，易证，根据全等三角形的性质可得，进一步即可得证；（2）先根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，进一步即可得证．【详解】（1）证明：在平行四边形中，，，，在和中，，，，，四边形是平行四边形；（2）解：，，平分，，，，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，点是的中点，，，，四边形是平行四边形，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．7．如图，在平行四边形中，E、F是对角线上的点，且，连接．(1)求证：；(2)连接，若，求证：四边形是菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由可证；（2）先证明是菱形，可得，然后利用，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴（2）连接交于点O，∵，四边形是平行四边形，∴是菱形，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，又∵∴四边形是菱形．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定，灵活运用这些性质解决问题的关键．8．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点E、O、F，连接和．(1)求证：四边形为菱形；(2)若，，求菱形的周长．【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据推出：；根据全等三角形的性质得出，推出四边形是平行四边形，再根据即可推出四边形是菱形；（2）根据线段垂直平分线性质得出，设，推出，，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可求解．【详解】（1）证明：是的垂直平分线，，，∵四边形是矩形，，，在和中，；，又，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形是菱形；（2）解：设，是的垂直平分线，，，在中，由勾股定理得：，∴，解得．，∴菱形的周长为20．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用，用了方程思想．9．如图，点E在正方形的边上，点F在的延长线上，且．

(1)求证：；(2)若，求正方形的边长．【答案】(1)见详解(2)【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由正方形的性质，得出，结合，即可作答．（2）设，结合正方形的性质，得出，再根据勾股定理列式计算，即可作答．【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴；（2）解：设，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴在中，，∴，解得（负值已舍去），∴正方形的边长为．押题方向二：三角函数的应用3年江苏南京卷真题考点命题趋势2023年江苏南京卷第19题三角形全等从近年江苏南京中考来看，三角形全等考查，比较简单；预计2024年江苏南京卷还将继续重视对三角形全等的考查。2022年江苏南京卷第22题三角形全等2021年江苏南京卷第20题三角形全等1．（2023·江苏南京·中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点，．无人机悬停在处，此时在处测得的仰角为；无人机垂直上升悬停在处，此时在处测得的仰角为．，点，，，在同一平面内，，两点在的同侧．求无人机在处时离地面的高度．（参考数据：，．【分析】延长交于点，根据题意可得：，，然后设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据，列出关于的方程进行计算，即可解答．【解答】解：延长交于点，由题意得：，，设，，，在中，，，在中，，，，，解得：，，无人机在处时离地面的高度约为．【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2022·江苏南京·中考真题）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）

【答案】处距离港口约【分析】过点作的延长线于点，在中，求得，在中，求得，根据，即可求解．【详解】解：过点作的延长线于点在中，，∵，，，∴，在中，∵，，∴∴∴处距离港口约．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．3．（2021·江苏南京·中考真题）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）【答案】52m【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，根据三角函数表示出DE，根据列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解．【详解】解：如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．∵∠FCD=90°，∴四边形CEBF是矩形，∵BE⊥CD，，∴∠BCE=∠CBE=45°，∴CE=BE，∴矩形CEBF是正方形．设CE=BE=xm，在Rt△BDE中，m，∵，∴，解得x=48，∴CE=BE=48m，∵四边形CEBF是正方形，∴CF=BF=48m，∵在Rt△ACD中，m，∴AF=CF-AC=20m，∴在Rt△ABF中，m，∴A，B两点之间的距离是52m．【点睛】本题考查了解直角三角形应用，理解题意，添加辅助线构造正方形和直角三角形是解题关键．解直角三角形实际应用的一般步骤：（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解。1．如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作.无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树的顶端B的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度为，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在P处时离地面的高度（参考数据：，）．【答案】无人机在处时离地面的高度【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点作，过点作，过点作，得，，，，设，则，，利用锐角三角函数的定义表示出，的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，过点作，过点作，则四边形，四边形均为矩形，∴，，，，由题意可知，，，设，则，，在中，，在中，，则，解得：，即：无人机在处时离地面的高度．2．学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯的位置如图所示，已知坡长，坡角为，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角为，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端处，且与地面的夹角为，、、、在同一平面上．求的长度．（结果精确到．参考数据：，，，．）【答案】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点E，根据直角三角形的性质求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，即可根据正切的定义求出，进而求出．【详解】解：如图，延长交于点，则．在中，，，，．在中，，，在中，，，．即的长度约为．3．如图，某栋楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物的、两点处测得该塔顶端F的仰角分别为、，矩形建筑物高度．计算该信号发射塔顶端到地面的高度．【答案】【分析】设，在中表示出的长，继而得的长；在中表示出的长，根据列出方程，解得的值，即可得该信号发射塔顶端到地面的高度的长.【详解】解：如图所示，过点作于点，设，则∵，．∴，∵，∴．∴．∵，，∴，∵，∴，∴．∴．4．今年除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，并测量烟花的燃放高度，如图，小李从B点出发，沿坡度的山坡走了260米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离80米的C点观看，此时烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为，亮亮在C处测得E点的仰角为，（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中）是否属实？（参考数据：，）【答案】说明书写的烟花燃放高度属实【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题．过作于，根据矩形的性质得到，，，设，，根据勾股定理得到，米，根据米，米，求得米，得到，根据三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：过作于，于，则四边形是矩形，，，，在中，米，，设，，，，米．米，∵米，米，米，，，，在中，，，，，，（米．∵在即425与435的范围内，答：说明书写的烟花燃放高度属实．5．某校组织九年级学生到三台山森林公园游玩，数学兴趣小组同学想利用测角仪测量天和塔的高度．如图，塔前有一座高为的斜坡，已知，，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在斜坡C处测得塔顶部B的仰角为45°，在斜坡D处测得塔顶部B的仰角为39°．(1)求的长；(2)求塔的高度．（取0.8，取1.7，取1.4，结果取整数）【答案】(1)的长为；(2)塔的高度约为．【分析】本题考查解直角三角形的应用．（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．【详解】（1）解：在中，，，．即的长为；（2）解：设，在中，，．在中，由，，，则．．如图，过点作，垂足为．

根据题意，，四边形是矩形．，．可得．在中，，，．即．．答：塔的高度约为．6．如图1是某公司电梯安装的一款人脸识别门禁（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2是其侧面示意图，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头离地面高度cm，人站在电梯内与识别门禁摄像头最远的水平距离为．即．小王的身高，当小王直立站在点处时，请通过计算说明这时小王能被识别吗？若不能，则小王最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（参考数据：，，）【答案】不能，小王最少需要下蹲才能被识别【分析】本题考查三角函数的实际应用，过点作于点，交于点，于点，于点，可得矩形和直角三角形．通过解求出，再比较与小王的身高的关系即可．【详解】解：小王不能被识别．理由：过点作于点，交于点，于点，于点．可得矩形和直角三角形．，，，．，．．∵，∴小王不能被识别；∵，∴小王最少需要下蹲才能被识别．7．如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求：(1)处到直线的距离．(2)轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．【答案】(1)30km(2)km【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点作，垂足为，设，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答；（2）根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】（1）解：过点作，垂足为，设，，，在中，，，在中，，，，解得：，，处到直线的距离约为；（2）如图：由题意得：，，在中，，，轮船航行的距离约为．8．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在