函数选填压轴题（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）中考数学

抢分通关01函数选填压轴题（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数、二次函数、反比例函数图象和性质是高频考点、必考点，所以必须提高对函数图象和性质理解和掌握的能力.2．从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值3分左右，着实不少！易错点一反比例函数求K值未考虑图象所在的象限【例1】（2024·湖南长沙·三模）如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，点在轴上．若的面积是3，则．【例2】（2024·安徽合肥·一模）如图，已知反比例函数（）的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为9，则的值为．【例3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，的边轴，的延长线过原点，且，反比例函数的图象经过点，若的面积是2，则的值为．

由三角形的面积求反比例函数的由三角形的面积求反比例函数的K值时，要充分考虑到反比例函数所在的象限，再取值.易错点二一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题【例1】（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【例3】（2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（

）A．B．C． D．由已知图象确定相对应的系数范围，再分类讨论其他函数图象的大致位置，需要对原函数各系数和图象位置的正确理解和掌握,再根据范围确定新函数图象的大致范围.由已知图象确定相对应的系数范围，再分类讨论其他函数图象的大致位置，需要对原函数各系数和图象位置的正确理解和掌握,再根据范围确定新函数图象的大致范围.易错点三根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误【例1】（2024·四川达州·模拟预测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；

②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例2】（2024·湖南永州·一模）如图，抛物线的图像与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④．正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【例3】（2024·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数为常数，且的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例4】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，给出下面4个结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，则．其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个由二次函数的图象确定各系数由二次函数的图象确定各系数a,b,c的取值，再分类讨论各个式子是否正确，其中还和方程与不等式有紧密的联系.题型一反比例函数与特殊四边形【例1】（2024·山西大同·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为的面积是，则的值为．

反比例函数与特殊平行四边形问题，熟记反比例函数中反比例函数与特殊平行四边形问题，熟记反比例函数中K值的几何意义和各特殊平行四边形性质.1．（2024·安徽合肥·一模）如图，菱形的顶点B在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，A，D在第一象限，轴，反比例函数的图象经过面积为2的菱形的中心E，交于点F．

（1）k的值为．（2）的值为．2．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于，两点．正方形的顶点，在第一象限，且顶点在反比例函数的图像上．（1）的面积为；（2）若正方形向左平移个单位长度后，顶点恰好落在反比例函数的图像上，则．题型二一次函数与反比例函数【例1】（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为．

反比例函数与一次函数交点问题，求交点再联立方程组，再利用直线上加下减的平移原则.反比例函数与一次函数交点问题，求交点再联立方程组，再利用直线上加下减的平移原则.【例2】（2024·安徽池州·一模）如图，已知直线与轴、轴分别交于点，．请解决下列问题：（1）线段的长为；（2）若菱形的边轴，另一边在直线上，且点是的中点，点在反比例函数的图象上，则．1．（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线相交于点C，D，且点D的坐标为．如图，当点A落在x轴负半轴时，过点C作x轴的垂线垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接．当时，则点C的坐标为．题型三几何图形中动点之函数问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图1，已知的边长为，，于点E．现将沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（

）

A． B． C． D．几何图形中动点问题，要抓着关键的特殊位置，再求出特殊位置上的值.几何图形中动点问题，要抓着关键的特殊位置，再求出特殊位置上的值.【例2】（2024·河南濮阳·一模）如图1，在矩形中，为的中点，是线段上的一动点．设，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（

）A．7 B．8 C． D．1．（2024·河南周口·一模）如图1，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接、，设为，为，且关于的函数图象如图2所示，则的最大值为（

）

A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，．与矩形的一边都在直线上，其中、、，且点位于点处．将沿直线，向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，与矩形重叠区域面积为，则关于的函数图象大致为（

）A．B．C．D．3．（2024·河南平顶山·一模）如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（

）A． B． C． D．题型四二次函数与其他函数综合问题【例1】（2024·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为．

（1）抛物线的对称轴为直线；（2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是．二次函数中平移，左加右减，上加下减，再根据二次函数的图象和性质解答.二次函数中平移，左加右减，上加下减，再根据二次函数的图象和性质解答.1．（2024·安徽合肥·一模）我们定义：如果一个函数图象上存在纵坐标是横坐标6倍的点，则把该函数称为“行知函数”，该点称为“行知点”，例如：“行知函数”，其“行知点”为．（1）直接写出函数图象上的“行知点”是；（2）若二次函数的图象上只有一个“行知点”，则的值为．2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且与点C关于抛物线对称轴对称，则点D坐标为，连接，，点P在抛物线第四象限内不与B，C两点重合．过点P作y轴的垂线与线段交于点E，以为边作，使，点F在点E的下方，且，点F恰好落在射线上，再将绕点E旋转得到（点P的对应点为点，点F的对应点为点），当与垂直时，点的横坐标为．

抢分通关函数选填压轴题解析（含一次函数、二次函数、反比例函数等综合问题）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）一次函数、二次函数、反比例函数在中考选择题、填空题考场中是热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.1．从考点频率看，一次函数、二次函数、反比例函数图象和性质是高频考点、必考点，所以必须提高对函数图象和性质理解和掌握的能力.2．从题型角度看，以选择题、填空题最后一题为主，分值3分左右，着实不少！易错点一反比例函数求K值未考虑图象所在的象限【例1】（2024·湖南长沙·三模）如图，点是反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，点在轴上．若的面积是3，则．【答案】【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，根据平行线间的距离处处相等，得到，结合双曲线过第二象限，求出值即可．【详解】解：连接，∵，∴，∴，∵点是反比例函数图像上的一点，∴，∴，∵双曲线过第二象限，∴；故答案为：．【例2】（2024·安徽合肥·一模）如图，已知反比例函数（）的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为9，则的值为．【答案】【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，设，则，，结合图象经过斜边的中点，得到，根据点D，点C都在图象上，得到，得到，继而得到，结合的面积为9，得到，计算得，解答即可．【详解】设，则，，∵图象经过斜边的中点，∴，∵点D，点C都在图象上，∴，∴，∴，∵的面积为9，∴，∴，∴．故答案为：．【例3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，的边轴，的延长线过原点，且，反比例函数的图象经过点，若的面积是2，则的值为．

【答案】3【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．延长交轴于点，证明，求得相似比为，利用相似比求得的面积，利用等高的两个三角形求得的面积，再利用比例系数的几何意义求解即可．【详解】解：延长交轴于点，连接，

∵平行于轴，，∴轴，∴，∵，∴，∵的面积是2，∴的面积是，的面积是，∴，故答案为：3．由三角形的面积求反比例函数的由三角形的面积求反比例函数的K值时，要充分考虑到反比例函数所在的象限，再取值.易错点二一次函数、反比例函数、二次函数图象共存问题【例1】（2024·安徽合肥·一模）已知反比例函数的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，先根据一次函数、反比例函数的图象得到的符号，进而由判断出抛物线与轴的交点位置、对称轴位置，又结合可知抛物线开口向上，据此即可求解，掌握一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：由反比例函数的图象可得，，由一次函数图象与轴的交点在轴的正半轴上可得，，∵，∴二次函数与轴的交点在轴的正半轴上，∵抛物线的对称轴，∴抛物线的对称轴位于轴的左侧，又∵，∴抛物线开口向上，故选：．【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可．【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，把分别代入两个函数解析式得：，，解得：，，∴，，∴，∵，∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线，所以C选项符合题意．故选：C．【例3】（2024·安徽芜湖·一模）已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解．【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，∴函数的图象开口向下，对称轴为直线．∴综上，可得B正确．故选：B．由已知图象确定相对应的系数范围，再分类讨论其他函数图象的大致位置，需要对原函数各系数和图象位置的正确理解和掌握,再根据范围确定新函数图象的大致范围.由已知图象确定相对应的系数范围，再分类讨论其他函数图象的大致位置，需要对原函数各系数和图象位置的正确理解和掌握,再根据范围确定新函数图象的大致范围.易错点三根据二次函数的图象讨论各系数a,b,c有关式子正误【例1】（2024·四川达州·模拟预测）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，下列结论：①；

②；③点和在抛物线上，当时，；④不等式的解集是或；⑤一元二次方程的两根分别为，．其中错误的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由抛物线对称轴为直线可判断①，由抛物线与轴的交点个数可判断②，由抛物线开口方向，对称轴及抛物线与轴交点位置可判断③，由抛物线经过及抛物线的对称性可判断④，由根与系数关系可判断⑤．【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，，抛物线对称轴为直线，，，故②正确；抛物线和轴交点在负半轴，，，①正确；当时，两点都在对称石侧．图象部分．随增大而增大，，③正确；不等式，抛物线在轴上方时，取值范围，而抛物线和轴交点为和，解集是或；④错误．的两个根，，∴，，，，的两个根，，⑤错误．故选：B．【例2】（2024·湖南永州·一模）如图，抛物线的图像与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④．正确的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】本题考查二次函数的开口，对称轴，与轴交点个数，自变量取值范围等知识．可借用数形结合的方法．【详解】①：图象与轴有两个交点①正确；②：图象开口向上对称轴图象与轴的交点在轴负半轴②正确；③：由图象可知，当时，③不正确；④：由图象知，当时，④正确．故选：B．【例3】（2024·陕西榆林·一模）在平面直角坐标系中，二次函数为常数，且的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解答关键是根据抛物线的位置确定待定字母的取值范围．根据二次函数的图象的位置，确定a、b、c的符号，通过对称轴，与x轴交点的位置确定各个选项的正确与错误即可．【详解】解：∵抛物线开口向上，∴，∵对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，∴，故①错误，∵对称轴为对称轴为直线，，∴，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴，∴，故②正确；∵抛物线与x轴交于两点，∴有两个不相等的实数根，∴，∴，故③正确；∵，∴∵，，∴，∴，故④正确；所以正确的个数有3个，故答案为：C【例4】（2024·四川成都·模拟预测）已知抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，给出下面4个结论：①；②；③；④若点，在抛物线上，则．其中正确的结论有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据二次函数与一元二次方程的关系，即可判断①结论；根据二次函数系数与图象的关系，即可判断②结论；由抛物线图象可知，当时，，即可判断③结论；根据二次函数的增减性，即可判断④结论．【详解】解：由图象可知，抛物线与轴有两个交点，，，①结论正确；抛物线开口向上，对称轴为直线，且与轴交点在负半轴，，，，，，，，，②结论错误；由函数图象可知，当时，，，，，③结论正确；抛物线的对称轴为直线，点离对称轴近，点离对称轴远，，④结论正确，正确的结论有3个，故选：C．由二次函数的图象确定各系数由二次函数的图象确定各系数a,b,c的取值，再分类讨论各个式子是否正确，其中还和方程与不等式有紧密的联系.题型一反比例函数与特殊四边形【例1】（2024·山西大同·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为的面积是，则的值为．

【答案】2【分析】本题主要考查了反比例函数的的值，求出点M的坐标为，点N的坐标为，根据进行计算即可．【详解】解：四边形是矩形，，，∵点的坐标为∴，则点M的坐标为，点N的坐标为，∴解得，故答案为：2．反比例函数与特殊平行四边形问题，熟记反比例函数中反比例函数与特殊平行四边形问题，熟记反比例函数中K值的几何意义和各特殊平行四边形性质.1．（2024·安徽合肥·一模）如图，菱形的顶点B在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，A，D在第一象限，轴，反比例函数的图象经过面积为2的菱形的中心E，交于点F．

（1）k的值为．（2）的值为．【答案】1【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质．（1）由菱形的性质，得到的面积是，而矩形的面积是，即可得到的值；（2）设点E的坐标为，分别求得点A，B的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点F的坐标，然后利用平行线的性质求得即可．【详解】解：（1）四边形是菱形，，，，的面积菱形的面积，∵，，四边形是矩形，矩形的面积，的值是．故答案为：；（2）由（1）得反比例函数的解析式为，设点E的坐标为，直线的解析式为，则设点B的坐标为，设点A的坐标为，∴，解得，∴直线的解析式为，联立，解得（负值已舍），∴，故答案为：．2．（2024·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴交于，两点．正方形的顶点，在第一象限，且顶点在反比例函数的图像上．（1）的面积为；（2）若正方形向左平移个单位长度后，顶点恰好落在反比例函数的图像上，则．【答案】28【分析】（1）首先求得点的坐标，可得，，然后根据三角形面积公式求解即可；（2）过点作轴于点，交反比例函数图像于点，过点作轴于点，证明，，进而确定点的坐标，然后求得的值，即可获得答案．【详解】解：（1）对于一次函数，令，则有，解得，即，令，则，即，∴，，∴；（2）如图，过点作轴于点，交反比例函数图像于点，过点作轴于点，∵四边形为正方形，∴，，∴，∵轴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即，同理可得，∴，，∴，即，将点代入反比例函数，可得，解得，即该反比例函数解析式为，∵轴，∴点的纵坐标为5，∴点的横坐标为1，即，∵将正方形向左平移个单位长度后，顶点恰好落在反比例函数的图像上，即此时点重合，∴点移动了个单位长度，即，∴．故答案为：（1）2；（2）8．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题关键．题型二一次函数与反比例函数【例1】（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点A、点B，将直线向下平移b个单位后双曲线交于点C、点D，M是第二象限内一点，连接、，若以M为位似中心的与位似，位似比为，则b的值为．

【答案】9【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理．由题意可得，设直线的解析式为，点，，根据两点间距离公式求得，整理得，进而得到，由点恰好都落在反比例函数图象上得到，即，由根和系数的关系得，求出的值，据此即可求解．【详解】解：联立，解得或，∴点，，∴，∵与位似，相似比为，∴，∴，

∵将直线向下平移b个单位，∴设直线的解析式为，点，，∴，整理得，，∴，∵点恰好都落在反比例函数图象上，∴与反比例函数的交点方程为，即，由根与系数的关系得，，解得或(不合，舍去)，令，则，∴直线和与的交点分别为和，∴，故答案为：9．反比例函数与一次函数交点问题，求交点再联立方程组，再利用直线上加下减的平移原则.反比例函数与一次函数交点问题，求交点再联立方程组，再利用直线上加下减的平移原则.【例2】（2024·安徽池州·一模）如图，已知直线与轴、轴分别交于点，．请解决下列问题：（1）线段的长为；（2）若菱形的边轴，另一边在直线上，且点是的中点，点在反比例函数的图象上，则．【答案】5【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）分别求出直线与轴交于点，与轴交于点，从而得出，，再由勾股定理计算即可得出答案；（2）延长交轴于点，由菱形的性质得出，证明，即可得出点的坐标，代入反比例函数解析式即可得出答案．【详解】解：（1）由题意，得当时，，直线与轴交于点．当时，，直线与轴交于点，，．在中，，故答案为：；（2）如图，延长交轴于点．，点是的中点，．四边形是菱形，．轴，，，，，，，，．点在反比例函数的图象上，，故答案为：．1．（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线相交于点C，D，且点D的坐标为．如图，当点A落在x轴负半轴时，过点C作x轴的垂线垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接．当时，则点C的坐标为．【答案】【分析】先证明的面积和的面积相等；证明四边形与四边形都是平行四边形，故可得出，，再由全等三角形的判定定理得出，故，设，，，可得，再证明，可算出，，进一步可得答案．【详解】解：如图，连接，，，∵于相交于点C，D，且点D的坐标为．∴，即反比例为，设，则，∵，而，∴；∵两三角形同底，∴两三角形的高相同，∴，∵，，∴四边形与四边形都是平行四边形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，设，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴直线的解析式为，联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得

，解得：，，∴．故答案为：【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，题目综合性较强．题型三几何图形中动点之函数问题【例1】（2024·河南信阳·一模）如图1，已知的边长为，，于点E．现将沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象如图2，则当t为9时，S的值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是动点函数图象问题、平行四边形的性质、勾股定理及含30度角的性质，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键．根据题意得出，，结合函数图象确定，当运动时间时，为二次函数，且在时达到最大值，对称轴为，二次函数与坐标轴的另一个交点为，然后确定二次函数解析式，代入求解即可．【详解】解：∵为，，于点E．∴，∴，由运动的与重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象得：当运动到6时，重叠部分的面积一直不变，∴，∴，由函数图象得：当运动时间时，为二次函数，且在时达到最大值，对称轴为直线，∴二次函数与坐标轴的另一个交点为，设二次函数的解析式为，将点代入得：，∴，当t为9时，．故选：C．几何图形中动点问题，要抓着关键的特殊位置，再求出特殊位置上的值.几何图形中动点问题，要抓着关键的特殊位置，再求出特殊位置上的值.【例2】（2024·河南濮阳·一模）如图1，在矩形中，为的中点，是线段上的一动点．设，图2是关于的函数图象，其中是图象上的最低点，则的值为（

）A．7 B．8 C． D．【答案】D【分析】由图象右端点的横坐标为，得出，从而求得，，，作点M关于的对称点E，连接交于N，连接交于O，连接，得，根据两点之间，线段最短，得到此时y最小，最小值为的长度，通过证明，求出，，过点E作于F，利用勾股定理求出，，，从而求得的长度，即可求解．【详解】解：∵图象右端点的横坐标为，∴∵矩形中，∴，∴∵∴∴∴∵M为的中点，∴作点M关于的对称点E，连接交于N，连接交于O，连接，如图，∴，，∴，根据两点之间，线段最短，得此时y最小，∵点M关于的对称点E，∴垂直平分，∵，，∴，∴，即，∴，∴，过点E作于F，由勾股定理，得，∵，∴，解得：，∴，，∴，∵是图象上的最低点，∴a是y的最小值，∴，故选：D．【点睛】本题考查几何动点函数图象问题，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键．1．（2024·河南周口·一模）如图1，矩形中，点为的中点，动点从点出发，沿折线匀速运动，到达点时停止运动，连接、，设为，为，且关于的函数图象如图2所示，则的最大值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查动点问题与函数图象，矩形的性质，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．在函数图象中找到当时，，得出，进而得到，再利用图象的拐点得出，由图象知到达时得最长，由勾股定理即可求出其值．【详解】解：由图知，当时，，即当在点时，点为的中点，，，当在上运动时，慢慢增大，到点时，从图中的拐点可知，此时，，当在上运动时，先减小再增大，直到到达点时，此时最长，，故选：B．2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，．与矩形的一边都在直线上，其中、、，且点位于点处．将沿直线，向右平移，直到点与点重合为止．记点平移的距离为，与矩形重叠区域面积为，则关于的函数图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先根据经过点和经过点时计算出和，再分，和三种情况讨论，画出图形，利用面积公式解答即可．【详解】解：当经过点时，如图所示：为等腰直角三角形，，，，；当经过点时，如图所示：，，，；①当时，如图所示：此时，，，；②当时，如图所示：过作于，此时，，，，，，四边形是矩形，，；③当时，如图所示：此时，，，，，，，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解三角形等知识，关键是画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行运算．3．（2024·河南平顶山·一模）如图1，在中，．动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y随x变化的关系图像，其中M为曲线的最低点，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．作，当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时，当动点P运动到点时，运动结束，此时，根据直角三角形的性质结合勾股定理求解即可．【详解】解：作，垂足为，当动点P运动到点时，线段的长度最短，此时点P运动的路程为，即，当动点P运动到点时，运动结束，线段的长度就是的长度，此时，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，在中，，∴，∴，∴的面积为，故选：C．题型四二次函数与其他函数综合问题【例1】（2024·安徽宿州·一模）如图，已知抛物线（是常数且）和线段，点和点的坐标分别为．

（1）抛物线的对称轴为直线；（2）当时，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是．【答案】2或【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，利用数形结合的数学思想作出图形，根据图形进行求解是解决问题的关键．（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，即可求解；（2）由题意可知，当时，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛