第5讲 简易方程（教师版）（知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升）人教版

第5讲简易方程知识点一：用字母表示数1.用字母表示数量关系（1）可以用字母或含有字母的式子来表示一个数或表示数量关系；

（2）字母与数字相乘时，把乘号省略。省略乘号时，一般把数字写在字母前面。含有字母的式子中的加、减、除号不能省略。2.用字母表示运算定律和计算公式（1）在含有字母的式子里，只有字母与字母、数字与字母之间的“×”才能简写成“.”或者省略不写。

注意：省略乘号后，数字必须写在字母的前边。

（2）应用公式求值解决问题的步骤：

第一步：写出字母公式

第二步：把字母表示的数值代入公式

第三步：计算出结果，记住写单位

3.用字母表示复杂的数量关系（1）不同的式子可以表示相同的数量关系。

（2）将字母的具体数值代入含有字母的式子中,即可求得相应式子的值。4.化简含有字母的式子并代入数据求值计算含有字母的式子的时候，可以先运用运算定律将含有字母的式子进行化简,再求值。知识点二：解简易方程1.方程的意义（1）方程的意义：含有未知数的等式是方程。

（2）方程必须具备的两个条件：一是等式；二含有未知数。

2.方程一定是等式；但等式不一定是方程。3.所有的方程都是等式，但等式不一定都是方程。4.等式的性质等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等。

5.方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。考点一：用字母表示数【例1】（2020•顺德区）林老师用500元钱去买体有用品，每个篮球a元．若他买了6个篮球，还剩（500﹣6a）元；若a＝50，买6个篮球还剩200元．【思路分析】根据“总价＝单价×数量”即可计算出林老师买篮球用的钱数，用500元减买篮球用的钱数就是还剩下的钱数．把a＝50代入表示含有a的表示还剩钱数的式子计算即可求出若a＝50，买6个篮球还剩的钱数．【规范解答】解：500﹣a×6＝500﹣6a（元）当a＝50时500﹣6a＝500﹣6×50＝500﹣300＝200（元）答：每个篮球a元．若他买了6个篮球，还剩（500﹣6a）元；若a＝50，买6个篮球还剩200元．故答案为：（500﹣6a），200．【名师点评】此题是考查学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；使学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取值，求含有字母式子的值．1．（2020•荥阳市）红星体育用品商店里，每个篮球售价a元，每个足球售价b元．（1）买5个篮球和2个足球要（5a+2b）元．（2）根据篮球、足球的单价，写出一个含有字母的式子：2a+b，这个式子表示买2个篮球和1个足球要花的钱数．【思路分析】（1）用每个足球售价乘足球的个数，用每个篮球售价乘篮球的个数，再相加即可；（2）2a+b，用每个篮球售价乘2，得出2个篮球的单价，再加每个足球的个数，即可得买2个篮球和1个足球要花的钱数．【规范解答】解：（1）5×a+2×b＝5a+2b（元）答：买5个篮球和2个足球要（5a+2b）元．（2）2a+b，这个式子表示的意思是：买2个篮球和1个足球要花的钱数．故答案为：（1）（2a+3b）；（2）2a+b，买2个篮球和1个足球要花的钱数．（答案不唯一）【名师点评】本题考查了用字母表示数，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．2．（2020春•复兴区期末）食堂运来a袋大米，每袋重25千克，已经吃了x千克．还剩下（25a﹣x）千克．当a＝20，x＝360时，还剩下140千克．【思路分析】食堂运来a袋大米，每袋重25千克，共重a个25千克，根据乘法的意义，a个25千克即25a千克，吃了x千克还剩下（25a﹣x）千克；把a＝20，x＝360代入含有字母a、x的表示还剩下克数的式子计算即可．【规范解答】解：25×a﹣x＝25a﹣x（千克）当当a＝20，x＝360时25a﹣x＝25×20﹣360＝500﹣360＝140（千克）答：还剩下（25a﹣x）千克．当a＝20，x＝360时，还剩下140千克．故答案为：（25a﹣x），140．【名师点评】此题是考查学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；使学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取值，求含有字母式子的值．3．（2020•藁城区）一本书共有m页，小明每天看a页，看了b天，还剩19页．小明看了ab页，还可以表示为（m﹣19）页．【思路分析】先根据“每天看的页数×看的天数＝看了的页数”求出看了的页数，即ab页，也可以根据“这本书的总页数﹣剩下的页数＝看了的页数”求出即可．【规范解答】解：一本书共有m页，小明每天看a页，看了b天，还剩19页．小明看了ab页，还可以表示为（m﹣19）页．故答案为：ab，（m﹣19）．【名师点评】做对这道题的关键是分清总页数，看的页数和剩下的页数这三者之间的关系．考点二：解简易方程【例2】（2019春•吴忠期中）在6+2＝8、27﹣x、52÷2＝26、x﹣7＞12、a﹣15＝32、7x＝30、x+y＝30中，等式有5个，方程有3个．【思路分析】等式是指用“＝”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分类．【规范解答】解：等式有：6+2＝8、52÷2＝26、a﹣15＝32、7X＝30、X+Y＝30，因为它们是用“＝”号连接的式子，共5个；方程有：a﹣15＝32、7X＝30、X+Y＝30，因为它们是含有未知数的等式，共3个．故答案为：5，3．【名师点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．1．（2019春•射阳县期中）在5.6+x＝7.8；95﹣37＝58；8﹣y；30+x＜75；9x＝72+18中，等式有5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+1，方程有5.6+x＝7.8、9x＝72+18．【思路分析】等式是指用“＝”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分类．【规范解答】解：等式有：5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+18方程有：5.6+x＝7.8、9x＝72+18．故答案为：5.6+x＝7.8、95﹣37＝58、9x＝72+18，5.6+x＝7.8、9x＝72+18．【名师点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．2．（2019•衡阳模拟）如果3x+4＝25，那么4x+3＝31．【思路分析】根据题意，先求出方程3x+4＝25的解，然后把x的值代入4x+3进行计算即可．【规范解答】解：3x+4＝25，3x+4﹣4＝25﹣4，3x＝21，3x÷3＝21÷3，x＝7，把x＝7代入4x+3＝4×7+3＝31，故答案为：31．【名师点评】本题主要考查解方程，根据等式的性质进行解答即可．3．（2018春•获嘉县月考）等式的两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍是等式．【思路分析】等式的性质：在等式的两边都加上（或减去）一个相同的数，等式依然成立；据此进行判断．【规范解答】解：等式的两边同时加上或减去同一个数，所得的结果仍是等式；故答案为：等式．【名师点评】此题考查等式的性质：在等式的两边同时都加上（或减去）一个相同的数；两边同时都乘上（或除以）一个相同的数（0除外），等式依然成立．要注意：必须是同一个数才行．一．选择题（共6小题）1．笼子里有a只鸡.8只兔，这些鸡和兔﹣﹣共有多少只脚？下面列式错误的是（）A．2a+8×4 B．（a+8）×4﹣2a C．（a+8）×（4+2）【思路分析】因为一只鸡有2只脚，一只兔有4只脚，由此根据：鸡的只数×2+兔的只数×4＝鸡和兔的总脚数；算出即可；或者把鸡的脚的只数看作4只，则这样鸡和兔共有[（a+8）×4]只脚，这时鸡和兔的总只数就多算出了2a只脚，然后用鸡和兔的总只数减去多算出的鸡的脚的只数即可．【规范解答】解：笼子里有a只鸡.8只兔，这些鸡和兔﹣﹣共有多少只脚？列式为：2a+8×4或（a+8）×4﹣2a，所以列式错误的是（a+8）×（4+2）；故选：C．【名师点评】明确题中数量间的关系，是解答此题的关键．2．（2020•齐齐哈尔）如果a、b均为质数，且3a+7b＝41，则a+b＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【思路分析】因为41是奇数，只有奇数加偶数和才为奇数，且3、7、a，b均为质数，所以a，b中必有一个是2．假设a＝2，则b＝（41﹣6）÷7＝5．所以a+b＝7．【规范解答】解：假设a＝2，则b＝（41﹣3×2）÷7＝5，a+b＝7；a+b＝7．故选：C．【名师点评】完成本题首先要明白一个偶数加一个奇数等于一个奇数．3．（2020春•綦江区期末）一个长方体的长、宽、高分别是a，b，h米，如果长与宽不变，高增加2米后，那么现在的长方体的体积比原来长方体的体积增加（）立方米．A．2ab B．2abh C．ab（h+2） D．4a+4b【思路分析】根据长方体的体积公式V＝abh，分别求出原来和后来的长方体体积，再相减就是增加的体积．【规范解答】解：原来长方体的体积：V＝abh后来长方体的体积：a×b×（h+2）＝ab（h+2）＝abh+2ab增加的体积：abh+2ab﹣abh＝2ab（立方米）．答：新的长方体体积比原来长方体体积增加2ab立方米．故选：A．【名师点评】解答此题的关键是把所给出的字母当做已知数，再根据长方体的体积公式分别求出长方体的体积，进而得出答案．4．（2020•李沧区）一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，这个两位数用含有字母的式子表示是（）A．ab B．10a+b C．10b+a【思路分析】用十位上的数字乘以10，加上个位上的数字，即可列出这个两位数．【规范解答】解：因为十位数字为a，个位数字为b，所以这个两位数可以表示为10a+b．故选：B．【名师点评】此题考查了用字母表示数，以及两位数的表示方法．两位数字的表示方法：十位数字×10+个位数字．5．（2018春•台安县期末）下列式子中是方程的是（）A．5x+3.2 B．10＝x+8 C．2.8﹣0.5x D．12+23＝35【思路分析】方程是指含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．由此进行选择．【规范解答】解：A、5x+3.2，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；B、10＝x+8，既含有未知数又是等式，具备了方程的条件，因此是方程；C、2.8﹣0.5x，只是含有未知数的式子，不是等式，不是方程；D、12+23＝35，只是等式，不含有未知数，不是方程．故选：B．【名师点评】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．6．（2020•中原区）如果2m（m是一个自然数）表示一个偶数，那么2m+1一定表示的是（）A．奇数 B．合数 C．质数【思路分析】在自然数中奇数与偶数相差1，即一个偶数加1或减1都是奇数，一个奇数加1或减1都是偶数，如果2m（m是一个自然数）表示一个偶数，那么2m+1一定表示的是奇数．【规范解答】解：如果2m（m是一个自然数）表示一个偶数，那么2m+1一定表示的是奇数．故选：A．【名师点评】此题是考查学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量．一个偶数加1或减1都是奇数，如果2m（m是一个自然数）表示一个偶数，那么2m+1一定表示的是奇数．二．填空题（共6小题）7．（2020•唐县）我们所穿鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的换算关系是m＝2n﹣10（m表示码数，n表示厘米数）．那么25厘米长的鞋子用“码”作单位是40码．【思路分析】根据“码”和“厘米”之间的换算关系m＝2n﹣10，把n＝25厘米代入式子，求得m的值也就是“码”数．【规范解答】解：当n＝25厘米时，m＝2n﹣10，＝2×25﹣10，＝40；答：25厘米的鞋子用”码“作单位就是40码．故答案为：40．【名师点评】此题考查含字母的式子求值，把字母表示的数值代入式子，进而求得式子的数值即可．8．（2020•衡阳县）鸟的骨骼约是体重的0.05﹣0.06倍，人的骨骼约是体重的0.18倍，一个人体重a千克，他的骨骼约重0.18a千克：小军体重40千克，他的骨骼约重7.2千克．【思路分析】求这个人的骨骼重，用a乘人的骨骼是体重的倍数0.18即可；求小军的骨骼重，把小军的体重40千克代入含有字母的式子，计算即可．【规范解答】解：a×0.18＝0.18a（千克）40×0.18＝7.2（千克）答：他的骨骼约重0.18a千克：小军体重40千克，他的骨骼约重7.2千克．故答案为：0.18a，7.2．【名师点评】用字母表示数，关键是根据等量关系式把未知的量当做已知的量解答．9．（2020•唐县）妈妈说：“我的年龄比茜茜的4倍少3岁．”茜茜说：“我今年a岁．”用含有字母的式子表示妈妈的年龄是（4a﹣3）岁；如果茜茜今年9岁，那么妈妈今年33岁．【思路分析】妈妈的年龄比茜茜的4倍少3岁，茜茜今年a岁，用茜茜的年龄乘4再减3就是妈妈的年龄．把a＝9岁代入含有字母a的表示妈妈今年年龄的式子计算即可求出妈妈今年的年龄，【规范解答】解：a×4﹣3＝4a﹣3（岁）当a＝9岁时4a﹣3＝4×9﹣3＝36﹣3＝33答：用含有字母的式子表示妈妈的年龄是（4a﹣3）岁；如果茜茜今年9岁，那么妈妈今年33岁．故答案为：（4a﹣3）岁，33．【名师点评】此题是考查学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；使学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取值，求含有字母式子的值．10．（2020•浦城县）水果店运来香蕉a千克，梨比香蕉的2倍少b千克，梨多少千克用含有字母的算式表示是（2a﹣b）千克．【思路分析】求梨多少千克，先根据求一个数的几倍，用乘法先求出香蕉质量的2倍，然后减去梨比香蕉的2倍少的质量即可．【规范解答】解：a×2﹣b＝2a﹣b（千克）答：梨有（2a﹣b）千克；故答案为：（2a﹣b）千克．【名师点评】此题考查了用字母表示数，明确求一个数的几倍是多少，用乘法解答，是解答此题关键．11．（2020•安新县）当a＞2时，a2＞2a；当a＜2时，a2＜2a；当a＝2时，a2＝2a．【思路分析】因为2×2＝22，所以当a＝2时，a2＝2a；当a＞2时，a2＞2a；当a＜2时；a2＜2a．【规范解答】解：当a＞2时，a2＞2a；当a＜2时，a2＜2a；当a＝2时，a2＝2a．故答案为：＞2，＜2，＝2．【名师点评】此题属于用字母表示数，应通过代数据进行解答．12．A、B都是自然数，且B比A大42．如果14A+1.5B＝2016，则A＝126，B＝168．【思路分析】由题意可知，B＝A+42，将14A+1.5B＝2016中的B用（A+42）代换，解关于A的方法即可求出A＝？，进而即可求出B＝？【规范解答】解：由题意可知B＝A+42把B＝A+42代入14A+1.5B＝201614A+1.5×（A+42）＝201614A+1.5A+63＝201614A+1.5A+63﹣63＝2016﹣6315.5A＝195315.5A÷15.5＝1953÷15.5A＝126B＝126+42＝168．故答案为：126，168．【名师点评】此题主要是考查等量代换，根据题意得出B＝A+42后，再把14A+1.5B＝2016中的B用A+42代换，然后再解关于A的方程．三．判断题（共5小题）13．（2020春•綦江区期末）如果2x＝3b，那么6x＝12b．（x和b均不为0）×（判断对错）【思路分析】根据等式的基本性质，等式两边同时乘（或除以）同一个不为零的数，等式仍然成立，由此解答．【规范解答】解：2x＝3b，2x×3＝3b×3，6x＝9b，原说法错误．故答案为：×．【名师点评】此题考查了等式的性质的运用．14．（2020春•沈阳期末）妈妈和爸今年相差3岁，再过n年，他们相差3n岁．×（判断对错）【思路分析】两人的年龄差是永远不变的，两人原来相差3岁，再过n年后仍然相差3岁．【规范解答】解：因为两人的年龄差是永远不变的，所以妈妈和爸今年相差3岁，再过n年，他们相差3岁．题干的说法是错误的．故答案为：×．【名师点评】此题主要考查年龄差是永远不变的．15．（2019秋•广州期末）一本书原价a元，现在九折出售，现价比原价便宜了0.1a元．√（判断对错）【思路分析】九折是指现价是原价的90%，把原价看成单位“1”，现价就比原价便宜了（1﹣90%），用原价乘上这个分率就是便宜的钱数．【规范解答】解：a×（1﹣90%）＝a×0.1＝0.1a（元）所以现价比原价便宜了0.1a元，原题说法正确．故答案为：√．【名师点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．16．（2019秋•肥城市期末）如果2a＝3b（a、b不等于0），那么a＜b．×（判断对错）【思路分析】由题意知2a＝3b（a、b不等于0），要比较a、b两数的大小，可比较另外两个数的大小，根据“积一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大”，据此判断．【规范解答】解：如果2a＝3b（a、b不等于0），因为2＜3，所以a＞b，因此如果2a＝3b（a、b不等于0），那么a＜b，这种说法是错误的．故答案为：×．【名师点评】解答此题要明确：积（0除外）一定的情况下，一个因数小则另一个因数就大．17．（2019秋•鹿邑县期末）利民批发市场运来m车蔬菜，每车装3吨，供应给菜场35吨．3m﹣35表示一共运来蔬菜的吨数．×（判断对错）【思路分析】用每车的质量乘辆数求出求出总吨数，再减去35吨就是剩下的吨数．【规范解答】解：3m﹣35表示剩下蔬菜的吨数．故题干的说法是错误的．故答案为：×．【名师点评】在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．四．计算题（共1小题）18．用字母表示并计算．一篇稿子一共有m个字，依依每分钟打50个字．（1）打了n分钟后，已经打了多少个字？还剩多少个字没打完？（2）当m＝4000，n＝25时，用上面的式子分别求出已打的字数和没打完的字数．【思路分析】（1）一篇稿子一共有m个字（看总作工作量），依依每分钟打50个字（看作工作效率），求打了n分钟后已经打的字数，根据“工作量＝工作效率×工作时间”即可求出打了n分钟后已经打的字数；用这篇稿件的总字数减已经打的字数就是还剩下没打完的字数．（2）把n＝25代入含有字母n的表示已经打的字数的式子计算即可求出已经打的字数；把m＝4000，n＝25代入含有字母m、n的表示没打完的字数的式子计算即可求出没打完的字数．【规范解答】解：n分针打了50×n＝50n（个）还剩（m﹣50n）个答：已经打了50n个字，还剩（m﹣50n）个字没打完．（2）当n＝25时50n＝50×25＝1250（个）当m＝4000，n＝25时m﹣50n＝4000﹣50×25＝4000﹣1250＝2750答：已经打了1250个字，还剩2750个字没的完．【名师点评】此题是考查学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；使学生在理解含有字母式子的具体意义的基础上，会根据字母的取值，求含有字母式子的值．五．应用题（共7小题）19．如图，李叔叔家的这片苹果园和梨园一共有多大？【思路分析】由图可知，苹果园的长是24米，宽是a米，梨园的长是19米、宽是a米，然后用（24+19）×a计算即可得到李叔叔家的这片苹果园和梨园一共有多大．【规范解答】解：（24+19）×a＝43×a＝43a（平方米）答：李叔叔家的这片苹果园和梨园一共有43a平方米．【名师点评】本题考查用字母表示数，知道长方形的面积计算公式是解答本题的关键．20．（2016秋•沛县月考）妈妈买了a千克苹果和b千克梨，每千克苹果4.5元，每千克梨3.2元．（1）用含有字母的式子表示妈妈买水果付的钱．（2）当a＝2.4，b＝1.8时，妈妈一共付了多少钱？【思路分析】（1）根据总价＝单价×数量，先求出妈妈买a千克苹果和b千克梨分别花了多少钱，进而相加就是买两种水果共用去多少钱数．（2）把a＝2.4，b＝1.8代入（1）的算式，求出结果即可．【规范解答】解：（1）根据总价＝单价×数量可得妈妈付的钱数可以表示为：（4.5a+3.2b）元．（2）a＝2.4，b＝1.8时：4.5a+3.2b＝4.5×2.4+3.2×1.8＝10.8+5.76＝16.56（元）答：妈妈一共付了16.56元．【名师点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．21．有两块麦田第一块麦田有a亩，平均亩产400斤麦子．第二块麦田有b亩，平均亩产500斤麦子．（1）两块麦田共有多少亩？（2）第一块麦田共产多少斤麦子？（3）第二块麦田共产多少斤麦子？（4）两块麦田共产多少斤麦子？【思路分析】（1）把两块麦田的亩数相加即可求解；（2）根据单产量×亩数＝总产量即可求解；（3）根据单产量×亩数＝总产量即可求解；（4）把两块麦田的总产量相加即可求解．【规范解答】解：（1）两块麦田共有（a+b）亩；（2）第一块麦田共产400a斤麦子；（3）第二块麦田共产500b斤麦子；（4）两块麦田共产（400a+500b）斤麦子．【名师点评】此题考查了用字母表示数，明确题中数量间的基本关系，是解答此题的关键．22．（2019春•德州期末）王叔叔家花园如图，其中阴影区域种植各种鲜花：白色区域是正方形灌溉用蓄水池，边长为b．（1）用含有字母的式子表示出鲜花种植区域的面积．（2）如果a＝12米b＝3米，那么种花区域的面积是多少？【思路分析】（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，再根据正方形面积的计算公式S＝a2进行计算；（2）把a＝12米b＝3米代入计算即可求解．【规范解答】解：（1）鲜花种植区域的面积为a2﹣b2．（2）如果a＝12米，b＝3米，则a2﹣b2＝122﹣32＝144﹣9＝135（平方米）答：种花区域的面积是135平方米．【名师点评】本题主要考查了学生对长方形和正方形面积公式的掌握情况．23．小王骑自行车每时行a千米，他从甲地出发到乙地，已经行了4时，还差12千米到达乙地，甲、乙两地相距多少千米？（1）用式子表示甲、乙两地的距离．（2）当a＝8时，甲、乙两地的距离是多少千米？【思路分析】（1）首先根据速度×时间＝路程，用小王骑自行车的速度乘已经行的时间，求出小王已经行的路程是多少；然后用它加上距离乙地的路程，求出甲、乙两地相距多少千米即可；（2）把a＝8代入计算即可求解．【规范解答】解：（1）甲、乙两地相距（4a+12）千米．答：甲、乙两地的距离（4a+12）千米．（2）当a＝8时，4a+12＝4×8+12＝32+12＝44答：甲、乙