2024届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

炮车中学2024届高三第一次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知纯虚数z满足。-2。z=2+小，其中i为虚数单位，则实数〃等于（）

A.-1B.1C.-2D.2

2.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积

为（）

A.券B.2/C.8D.8A/3

3.在AABC中NA,N5NC所对的边分别是"c,若a=31=4,NC=120°,则。=()

A.37B.13C.713D.国

4.已知i为虚数单位，若复数马=2+i,z3=5,则|z|=

A.1B.石

C.5D.575

5.已知集合4={》《可旧＜8",B={2,3,6},C={2,3,7},则6D(a。)=()

A.[2,3,4,5}B.{2,3,4,5,6}

C.[1,2,3,4,5,6}D.{1,3,4,5,6,7}

6.用一个平面去截正方体，则截面不可能是()

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

7.P是正四面体ABC。的面ABC内一动点，E为棱AD中点，记OP与平面BCE成角为定值。，若点P的轨迹为

一段抛物线，贝！Itan6=（)

A.V2B.C.D.272

24

'-i

8.已知八e是定义在R上的奇函数，则不等式/>3）J9-*2）的解集为（）

ex+a

A.（-2,6）B.（-6,2）C.（-4,3）D.（-3,4）

9.若/（九）是定义域为R的奇函数，且〃x+2）=—〃力，则

A.“X）的值域为RB.〃九）为周期函数，且6为其一个周期

C./（力的图像关于％=2对称D.函数/（#的零点有无穷多个

10.如图，在正方体A3CD—A4C1A中，已知E、F、G分别是线段AG上的点，且4石=£歹=歹6=6。1.则

下列直线与平面入出。平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.Cq

11.已知平面向量满足|=2,|a+b|=1,C=XQ+4〃且丸+2〃=1,若对每一个确定的向量〃，记|c|的最

小值为机，则当〃变化时，加的最大值为（）

11£

A.—B.—C.D.1

432

12.若。=log415.9,b=2101，。=0.4°」，贝！I)

A.c>a>bB.a>b>c

C.b>a>cD.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知双曲线C:二-3=1（。>0,。>0）的左右焦点分别为耳，鸟，。为坐标原点，点M为双曲线右支上一点,

ab

若忻用=2|QW|,tan/舷巴耳22,则双曲线C的离心率的取值范围为.

14.已知关于空间两条不同直线机、n,两个不同平面。、0,有下列四个命题：①若加〃。且〃〃0，则加％I;②

若加_L〃且m_L〃，则〃〃，；③若根_La且根〃,，则。_L/?；④若〃ua,且m_La,则加_L〃.其中正确命题的

序号为.

15.若函数〃为）=5111（以+0）3>0,0<0<2幻满足：①是偶函数；②/（无）的图象关于点］，（）］对称.则

同时满足①②的3,（P的一组值可以分别是.

16.已知，〉0,记;•⑺=J；（1—C；2x+C；4/—。81+...—C；128/+C；256x8）公，则/⑺的展开式中各项系数

和为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知三棱锥A-BCD中侧面ABD与底面5CD都是边长为2的等边三角形,且面ABD±面BCD,M,N

分别为线段AO、A5的中点.P为线段上的点，AMNLNP.

（1）证明：尸为线段8C的中点；

（2）求二面角A—NP—M的余弦值.

18.（12分）设数列｛4｝是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S“，q=l,若%,出，生成等比数列•

（1）求。“及黑；

（2）设3,=滔匕（"eN*）,设数列也,｝的前几项和北，证明：T“<g.

19.（12分）已知公差不为零的等差数列｛4｝的前"项和为S“，%=4,%是电与知的等比中项.

（1）求S"；

（2）设数列出｝满足4=%，bn+x=bn+3x2。”,求数列出｝的通项公式.

20.（12分）已知函数/（同=犬+ar-alnx,aeR

（1）若a=l,求/（九）的单调区间和极值；

⑵设ga）=/（x）+（a+2）lnx-（a+2T卜，且g⑴有两个极值点看…，若心+手，求

g(%)—g(%2)的最小值.

r2

21.(12分)已知。＞0,函数/(%)=%1口兀+5—々(％—1).

(I)若/(%)在区间上单调递增，求4的值；

(II)若aeZ〃尤)＞。恒成立，求。的最大值.(参考数据：gL16)

22.(10分)已知三棱锥P—ABC中，ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1,PB=PC=芯,设点E为丛中点,

点。为AC中点，点尸为P3上一点，且PF=2FB.

(1)证明：BD//平面CEF；

(2)若24,AC,求直线CE与平面P3C所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

先根据复数的除法表示出z,然后根据z是纯虚数求解出对应的a的值即可.

【详解】

2+cti(2+ai)(1+2z)2-2a+(4+a)i

因为(l-2z)z=2+5，所以z=

l-2z(l-2z)(l+2z)

又因为z是纯虚数，所以2—2a=0,所以。=1.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数2=。+次为纯虚数，则有。=0力/0.

2、B

【解析】

根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积.

【详解】

解：分析题意可知，如下图所示，

该几何体为一个正方体中的三棱锥A-BCD,

最大面的表面边长为20的等边三角形ABC,

故其面积为也（20）2=2百，

故选B.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.

3、D

【解析】

直接根据余弦定理求解即可.

【详解】

解：•.•a=3,0=4,NC=120°,

〃+人2一2赤05C=9+16+12=37，

,c=庖,

故选：D.

【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题.

4、B

【解析】

由Z-Z[=5可得Z=』，所以=筌=占，故选B.

ZjIZ)||2+i|y]5

5、C

【解析】

根据集合的并集、补集的概念，可得结果.

【详解】

集合A={xeNHV8x}={xGN|0VxV8},

所以集合4={1,2,3,4,5,6,7)

5={2,3,6},C={2,3,7),

故。。={1，4,5,6),

所以6u(aC)={L2,3,4,5,6).

故选：C

【点睛】

本题考查的是集合并集，补集的概念，属基础题.

6、C

【解析】

试题分析：画出截面图形如图

A1JBj._.._.._.._.._.._._-___I_C1

显然A正三角形，B正方形：D正六边形，可以画出五边形但不是正五边形；故选C.

考点：平面的基本性质及推论

7、B

【解析】

设正四面体的棱长为2,建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设P的坐标，求出向量£）尸，

冗

求出线面所成角的正弦值，再由角。的范围0,-,结合。为定值，得出sin。为定值，且P的轨迹为一段抛物线，

所以求出坐标的关系，进而求出正切值.

【详解】

由题意设四面体ABC。的棱长为2,设。为的中点，

以。为坐标原点，以。4为x轴，以08为y轴，过。垂直于面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz,

OA=也义2=初,取。4的三等分点G、尸如图,

则可得08=00=1,

则0G」O4=立，AG=OF=Z()A=N^,DG=《AD?-用=,EF，DG=旦,

3333323

所以6(0,1,0)、C(0,-l,0),A(AO,O),D与0,半、E坐,02,

m和ACD都是等边三角形，E为4。的中点，.•.BELA。，CE±AD,

f22卡、

：BE\CE=E,平面BCE,•..AO=--为平面BCE的一个法向量,

IT

因为OP与平面BCE所成角为定值。，则o,-

由题意可得

\2

26⑸(2屈

------------Xx----------------

3、3，

sin0-cos<

(2⑨2

2xx-+r+IF

卜+叫_(x+6)_Ix2+2y/3x+3

,(后—1『+3/+8\3x2+3y2-2y/3x+9\3x2+3/-2A/3X+9

因为P的轨迹为一段抛物线且tan。为定值，则sin夕也为定值,

..._2A/3X_x__3可得3y2=8j§x,此时sin，=3,贝!Icos，=逅，tan6=。=.

3y2—2岳3%2933cos32

故选：B.

【点睛】

考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题.

8、C

【解析】

由奇函数的性质可得。=1,进而可知/(%)在R上为增函数，转化条件得尤-3<9-f，解一元二次不等式即可得解.

【详解】

因为/(耳==|是定义在R上的奇函数，所以/。)+/(—1)=0,

1-1

e-1z，x-19

即——+9一=0,解得a=l,即=P~-=1—--,

e+a1八//+1,+1

e

易知/(%)在R上为增函数.

X/(jc-3)</(9-x2),所以x_3<9-V，解得—4<x<3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.

9、D

【解析】

运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可.

【详解】

/(九)是定义域为R的奇函数，则/(T)=一/(刈，/(。)=0,

又/(%+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=/(x),

即/(%)是以4为周期的函数，于(4k)=/(0)=0(keZ),

所以函数/(%)的零点有无穷多个；

因为2)=—/(x),/[(x+1)+1>/(-%),令/=1+%,则/Q+l)=/(l—0，

即于(x+l)=/(l-x),所以/(尤)的图象关于x=1对称，

由题意无法求出/(九)的值域，

所以本题答案为D.

【点睛】

本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键.

10、B

【解析】

连接AC,使AC交6D于点。，连接4。、CF,可证四边形AOCR为平行四边形，可得利用线面平

行的判定定理即可得解.

【详解】

如图，连接AC,使AC交友)于点。，连接A。、CF,则。为AC的中点，

在正方体A用GR中，小^/^^且至=。。]，则四边形A41cle为平行四边形,

AlCl//AC且4G=AC,

。、斤分别为AC、AG的中点，二4尸〃oc且AR=oc，

所以，四边形AOCR为平行四边形，则CP〃A。，

•••CFa平面ABD,AOu平面AlB。，因此，〃平面480.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.

11,B

【解析】

根据题意,建立平面直角坐标系.令。7>=凡。8=人0。=°.后为05中点.由a+b=1即可求得P点的轨迹方程.将

c=Aa+/Lib变形，结合彳+2〃=1及平面向量基本定理可知P,C,E三点共线.由圆切线的性质可知|c|的最小值m即

为。到直线PE的距离最小值，且当PE与圆M相切时,m有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得

直线方程，进而求得原点到直线的距离,即为根的最大值.

【详解】

根据题意JA|=2,设OP=a=(x,y),OB=Z?=(2,0),OC=c,E(LO)

b

则OE=—

2

由卜+N=1代入可得J(%+2『+y2=1

即P点的轨迹方程为(x+2『+y2=1

--{b]

又因为。=2。+〃匕,变形可得。=%。+2〃-，即。。=丸。。+2〃。力,且九+2〃=1

所以由平面向量基本定理可知PCE三点共线,如下图所示：

所以Ic|的最小值m即为。到直线PE的距离最小值

根据圆的切线性质可知，当PE与圆M相切时，加有最大值

设切线QE的方程为丁=左(％—1),化简可得区―y-k=0

|一2左一用

由切线性质及点M到直线距离公式可得「丁=1,化简可得8左2=1

+1

即Y

所以切线方程为YZx-y-也=0或走x+y-走=0

4-44-4

_V2

41

所以当。变化时，。到直线PE的最大值为m=「”=3

即机的最大值为g

故选:B

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用，圆的轨迹方程问题，圆的切线性质及点到直线距离公式的

应用，综合性强，属于难题.

12、C

【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较a、b,c三个数与1和2的大小关系，进而可得出a、b,。三个数的大小关

系.

【详解】

对数函数y=log4%为（。,+8）上的增函数，贝!|l=log44<log415.9<log416=2,即1<°<2；

指数函数y=2*为R上的增函数，则〃=2101>2'=2;

指数函数y=0.4'为R上的减函数，则c=O,401<0.4°=1.

综上所述，b>a>c.

故选：C.

【点睛】

本题考查指数塞与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，

属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、l<e<A/5

【解析】

2

法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得/耳叫=3，4c=\MFxf+\MF2f9tan耳=5昌，又由双曲线

..,.....\ME\e2=1+---

的定义得|5|-|晒1=2。，将离心率表示成关于|5|，|叫|的式子，再令标^=此2,则e?+1_2,令

/（。=/+；,对函数求导研究函数在[2,+8）上单调性，可求得离心率的范围.

法二：令|町|=小|晒|=勺AMF.F^O,tan（9>2,/]=2csin。，根据直角三角形的性质和勾股定理得

TT

将离心率表示成关于角。的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于tan。的函数，可求得离

AFXMF2=-,

心率的范围.

【详解】

\MF.\

法一：|^|=2|0M|,.-.AFMF=^,.-.4c2=\MF,f+\MFftan/MF?F、—----

X22IM

4c2_\MF^+\MF^

\MF^-\MF^=2a,I叫______

5

MF^-2\M^I\MF21+\MF2f

\MF2f

2

设需“2,则『t+l2

t2-2t+l+1°

I-\---z

令/«)=/+；,/，«)=]_*=尸=('+?y_i),所以/〉2时,/'(r)>0,在[2,a)上单调递增,

15I-

t+:N2+—=—,1</<5，:.1<e<y/5•

法二：-|^|=2|C>M|,:.ZF}MF2=^,令|M[=、|M|=G，ZMF^O,tan0>2,4=2csinO,

6-2ccos0,:.2a=r-n=2c(sin0-cos0),:.e------------,

「-sin0-cos0

1_sin20+cos20_tan2+1

=1+<5

(sincosOYsin2^+cos2^-2sin^cos^tan20+1-2tan0--n—

tan0d-------2

tan。

/.1<e<A/5.

故答案为：1＜仁君.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关

于某个量的函数，属于中档题.

14、③④

【解析】

由直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.

【详解】

①若加〃。且〃〃£，办”的位置关系是平行、相交或异面，①错；

②若加，，且相，〃，则〃〃，或者〃＜=/,②错；

③若相〃,，设过机的平面与£交于直线“，则相〃"，又加，。，则”，a,...0，，，③正确;

④若“ua,且由线面垂直的定义知772J_〃，④正确.

故答案为：③④.

【点睛】

本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，面面垂直的判定定理和线面垂直的定义，考查空间线面间

的位置关系，掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.

371

15、-9一

22

【解析】

根据/（九）是偶函数和/（X）的图象关于点,0对称，即可求出满足条件的。和9.

【详解】

由/（九）是偶函数及0«。＜2兀，可取0=],

贝！1/（%）=sin69%+—=cosox,

由/（X）的图象关于点[W，oJ对称，得0x]=E+],kwZ,

33

即①=3kH—fkGZ,可取co——.

22

3兀

故①，。的一组值可以分别是一，

22

371

故答案为：一，

22

【点睛】

本题主要考查了正弦型三角函数的性质，属于基础题.

1

16、一

9

【解析】

根据定积分的计算，得到/(0=-±(1-2。9+六，令r=1,求得/。)=!，即可得到答案.

18189

【详解】

根据定积分的计算，可得

89

/(r)=£(l-C；2x+C；4/_或8/+...—C；128%7+C；256/)dx=£(1-2x)公=—R(1—2x)1]

=-—(l-209+—,

1818

令=1,贝厅⑴=—《(1—2xl)9+(=q,

即f(t)的展开式中各项系数和为1.

【点睛】

本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得了«)的表示

是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)叵

5

【解析】

(1)设。为中点，连结。4，OC,先证明可证得5D1,NP,假设P不为线段6C的中点，可得应)，

平面ABC,这与ND6C=6O。矛盾，即得证；

(2)以。为原点，以08OC,分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求解平面ANP,平面肱VP的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【详解】

(1)设。为BD中点，连结Q4,OC.

/.OArBD,OC±BD,

又。AOC=O

•••比)，平面。4C,

ACu平面。4C,

：.BDLAC.

又M,N分别为AD,AB中点，

MN//BD,又MNLNP,

：.BD±NP.

假设P不为线段BC的中点，

则NP与AC是平面内ABC内的相交直线，

从而BD±平面ABC,

这与ND6C=60°矛盾，所以P为线段的中点.

(2)以。为原点，由条件面A3D，面5C。，

/.AO±OC,以08OC,Q4分别为％，V，z轴建立空间直角坐标系,

PN=0»——,ACV=(1,0,0).

设平面ANP的法向量为根=(8y,z)

L.走z-o

m-AN=022

所以n

m•PN=0m

22

取y=i,贝！Iz=i,x=6=m=(£l，l).

同法可求得平面MNP的法向量为n=(0,1,1)

、m-n2V10

/.cos(m,n

\m\\n\V5A/25'

由图知二面角A-NP-M为锐二面角,

二面角A-NP-M的余弦值为典.

5

【点睛】

本题考查了立体几何与空间向量综合，考查了学生逻辑推理，空间想象，数学运算的能力，属于中档题.

18、(1)a“=2〃-1,S“=〃2；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题中条件求出等差数列｛。”｝的首项和公差，然后根据首项和公差即可求出数列｛4｝的通项和前〃项和;

(2)根据裂项求和求出Tn,根据T,的表达式即可证明T“＜：.

【详解】

(1)设｛4｝的公差为d,

—1ax-\

由题意有12

%=6，％(%+d/-q.(q+4d)

q=1

且dwO=><

d=2

所以%=l+2(ra-l)=2w-l,

——IL，

2

(2)因为“=不口=可包=4%一一

所以看=：

1_1+...+1_J_

23nn+1

Tn

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的求解，裂项求和法，属于基础题.

rr+3n

19、(1)(2)4=3x2"+i—9.

-2

【解析】

(1)根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前几项和;

(2)由(1)中所求，结合累加法求得久.

【详解】

(1)由题意可得(、2/、/、即打』2.

(%+4d)=(%+d)(〃]+10")[Id=%d.

a,=2

又因为dwO,所以「所以%=〃+L

a

_“(2+〃+1)_"2+3〃

'n==

"22

(2)由条件及(1)可得优=%=3.

由已知得b“+「b”=3x2n+l,b„-%=3x2"(心2)

所以勿=(2一2T)+(%-2-2)++(&-4)+4

=3(2"+2"T+T-2+L+2?)+3=3x2"+1-9(n>2).

又仇=3满足上式，

所以仇=3x2"+1—9

【点睛】

本题考查等差数列通项公式和前〃项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题.

20、(1)/(%)增区间为减区间为1o,gj；极小值：+ln2,无极大值；(2)|-21n3

【解析】

(1)求出/(*)的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值；

(2)由题意可得当+々=人一1,%工2=1，求出且(七)一且(士)的表达式，"(7)=—1+求出为

(力的最小值即可.

【详解】

⑴将a=l代入"％)中，得到J/(x)=d+x—Inx,求导，

得到,(X)=2X+］_1=2X2+X1=(X+1)(2X1),结合工〉。，

XXX

当7''(力>0得到：〃尤)增区间为&■,+",当/'(尤)<0,得〃尤)减区间为且外力在x=；时有极小值

=4,无极大值.

(2)将/(九)解析式代入，得g(x)=d—(2b—2)x+21nx,求导

XX

令/(x)=0,得到l)x+l=0,

711Aflr\2.16.4

玉+x?=b—1f%1%2=1,A—yb—1J—42——4=—

2

g(芯)_g(%)=［为？_(2人一2)%+2111X1-|^x2_(26—2)尤2+21吨］,

二(xj—)—(2b—2)(%—%)+2—lux?)‘

二(玉之一々2)—2(玉+%2)(%一%2)+21n——,

=一(婷-')+2心,

xxx2x2

=-2-强+21n^,

1冗2%/%2

因为0<石<%，所以设％=；(°</<1),令"⑺=一+21n，0<Z<1),

则〃(/)=—“+1]+^=—与¥<0所以MO在(0,1)单调递减,又因为621+手

所以e―1)2=(/+々)2=^^-=%+卫+2=.+』+223，所以或.23

XX

%元221t33

又因为0</<1,所以0</W；所以丸(。2/?[3]=_]；_3]+21ng=|_21n3,

Q

所以g(%)-g(9)的最小值为§-21n3.

【点睛】

本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的极值的意义，考查转化思想与减元意识，是

一道综合题.

21、(I)a=2；(II)3.

【解析】

(I)先求导，得r(x)=lnx+x+l-a,已知导函数单调递增，又/(%)在区间+8)上单调递增，故

/-M=ln^-^+l>0,令g(a)=ln£.+l,求得g，(。)=',讨论得g(a)Wg⑵=0,而g(a”0,故g(a)=0,

、乙)乙乙//乙a

进而得解；

(II)可通过必要性探路，当x=2时，由〃2)=21n2+2-a>0知a<21n2+2<4,又由于aeZ,贝!Rax=3,当

。=3,/(元)=xlnx+f-3(尤一1),尸(x)=ln龙+尤一2,结合零点存在定理可判断必存在%e(1,1.6)使得/''(