湖南省邵阳市2024届高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题

湖南省邵阳市2024届高三上学期1月第一次联考（一模）数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∣x=3n+1，n∈N}，A．1 B．2 C．3 D．42．若i(1+z)=1（i为虚数单位），则z+zA．-2 B．-1 C．1 D．23．命题“∀x∈R，A．∃x∈R，x2C．∀x∈R，x24．若抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3A．34 B．43 C．235．城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）A．110 B．144 C．132 D．1566．已知向量a=(t，2)，b=(2，−1).若A．52 B．−52 C．37．在某次美术专业测试中，若甲､乙､丙三人获得优秀等级的概率分别是0.A．1529 B．78 C．588．已知a=10lg4，A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知平面直角坐标系中，M(−2，0)，N(2，0)，动点P(x，y)满足|PM|=2|PN|，点A．曲线C的方程为(x−6)2C．曲线C的方程为(x+6)210．下列命题中，说法正确的有（）A．设随机变量X∼B(10，1B．成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数r越接近于1C．决定系数R2D．基于小概率值α的检验规则是：当χ2⩾xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2<11．已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R，且f(x)−x与g(1−2x)均为偶函数，则下列说法一定正确的有（）A．f(x)关于x=1对称 B．f(x)x关于点(0C．g(x+2)+g(x)=2 D．f(0)=112．如图所示，四边形ABCD是长方形，AB=3，BC=4，半圆面APD⊥平面ABCD.点P为半圆弧AD上一动点（点P不与点A．三棱锥P−ABD的四个面都是直角三角形B．三棱锥P−ABD体积的最大值为4C．异面直线PA与BC的距离的取值范围为[4D．当直线PB与平面ABCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥P−ABCD外接球的截面面积为15π三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{an}的首项为1，an14．已知(1+x)8=15．已知3sinφ−3cosφ=2sinα，16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1，F2，它们的离心率分别为e1，e2，点P为它们的一个交点，且四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17．甲､乙､丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上（含90分）获优秀等级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲､乙､丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数据（单位：分）：甲：86，乙：88，丙：96，假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的知识竞赛成绩相互独立.（1）估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；（2）设X表示甲､乙､丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计X的数学期望EX.18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，（1）求证：tanB=3tanA；（2）延长BC至点D，使得|DA|=|DB|.当∠DAC最大时，求tanD的值.19．如图所示，圆台的上､下底面圆半径分别为4cm和6cm，（1）求证：A1（2）截面ABB1A1与下底面所成的夹角大小为60∘，且截面截得圆台上底面圆的劣弧20．已知递增的等差数列{an}(n∈（1）求数列{a（2）记Sn为数列{an}的前n项和，bn=S21．已知椭圆C：x2（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图所示，点A是椭圆C的右顶点，过点(6，0)的直线l与椭圆C交于不同的两点E，F，且都在x轴的上方，点P的坐标为22．已知函数f(x)=3lnx+ax（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）当a=12时，方程f(x)=0有三个不相等的实数根，分别记为①求b的取值范围；②证明|x

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】C6．【答案】D7．【答案】A8．【答案】D9．【答案】A,B10．【答案】C,D11．【答案】B,C12．【答案】A,B,D13．【答案】8114．【答案】12915．【答案】016．【答案】5+517．【答案】（1）解：甲在以往参加的10次知识竞赛中有4次成绩获得优秀等级.记事件A为“甲在本次知识竞赛中获得优秀等级”，则P(A)=4所以甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率为1−P(A)=（2）解：X的所有可能取值为0，记事件B为“乙在本次知识竞赛中获得优胜等级”，事件C为“丙在本次知识竞赛中获得优胜等级”，则P(B)=36=则P=(1−=P==P==P(X=3)=P(A)P(B)P(C)=∴EX=0×318．【答案】（1）证明：∵m∴(c+b)(c−b)+(2a−b)(2∵b∴c即c=4acosB.再由正弦定理得：sinC=4sinAcosB（显然B为锐角），结合sinC=sin(A+B)，得：sinAcosB+cosAsinB=4sinAcosB.即cosAsinB=3sinAcosB（显然A为锐角）.所以tanB=3tanA（2）解：如图：设∠BAC=α(0<α<π2)因为AD=BD，所以B=∠BAD=α+∠CAD，∴∠CAD=B−α.故tan∠CAD=tan(B−α)==当且仅当1tanα=3tanα，即此时tanB=3，B=π19．【答案】（1）证明：∵圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.∴母线AA1与母线∴A，∵圆面O1∥圆面O，且平面ABB1A1∩∴A（2）解：解法一：∵劣弧A1B1的长度为8π3，∴∠A1O则A(6，则AA1=(−2向量为n1−2x+tz=0，−9x+33y=0.底面的一个法向量n2因为截面与下底面所成的夹角大小为60所以cos60即|OO∴BB∵在等腰梯形ABB1A∴等腰梯形ABB1A∴S解法二：如图，分别取AB，A1B1的中点为C，C1，连结O1过点C1作C1D⊥OC由O1C1∴|CC∴S20．【答案】（1）解：设an由题意得3a4=21，a∴（2）解：由（1）可得Sn则bn=可得：12T①-②可得：12设Kn=12K③-④可得：12∴21．【答案】（1）解：依题意得2b=2解得a=2，∴椭圆C的标准方程为x2（2）证明：∵直线l过点(6，0)，与椭圆C：x2∴直线l的斜率存在且不为0，设直线l方程为y=k(x−6)，联立方程y=k(x−6)，x2设E(x1，又P(=k⋅=k⋅∴k∵k∴∠APE=∠OPF.22．【答案】（1）解：函数f(x)的定义域为(0，又a>0，令f'(x)=0，得当Δ⩽0，即a⩾23时，2ax2−4x+3⩾0当Δ>0，即0<a<23时，方程2ax当x∈(0，x1)和(x2，综上：当a⩾23时，f(x)在(0，+∞)上单调递增，当0<a<23时，f(x)在（2）解：当a=12时，①方程f(x)=0有三个不相等的实数根，即方程−b=3lnx+12x2−4x在(0令g'(x)=0，求得：x=1或x=3，则g(x)在(0，1)和(3，+∞)上单调递增，在(1，3ln3−152<−b<−②证明：设方程f(x)=0三个不相等的实数根分别为：x1，x2，x3，且x1<x2<x3，由①可得0<x1<1<且当x→0时，f(x)→−∞，当x→+∞时，f(x)→+∞.由f(x构造函数ℎ(x)=f(x)−f(2−x)(ℎ