四川省凉山州2023-2024学年高二年级下册数学第二周考试试卷

凉山州民族中学高二数学第二周考试试卷

一、单选题

1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},^={X|X2-X-6>0},则MCN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是（一1,G）,贝”的共软复数彳=（）

A.1+V3zB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

3.在中，(Q+c)(sinZ—sinC)=6(sinZ—sinB),则/C=()

7171—2兀5兀

A.-B.—C.—D.——

6336

4.已知向量a=（3,1）花=（2,2）,贝IJCOS〈Q+瓦。一力=（）

A.—B.叵C.好D,正

171755

22

5.双曲线上-匕=1的渐近线方程是（）

49

3.2.9,4

A.y=±-xB.y=±—xC.y=±—xD.y=：上一x

2349

6.圆G:x?++2x+2y—2=0和圆C2:x2+y2—4x—2y+1=0的公切线的条数为(

A.1B.2C.3D.4

7.记S”为等差数列{%}的前〃项和.若出+6=10，&网=45,则$5=()

A.25B.22C.20D.15

8.下列函数中，在区间(0,+⑹上单调递增的是()

A.f(x)=-lnxB.=]

2

c./«=--D./(X)=3MI

X

二、多选题

9.下列统计量中，能度量样本国,9,…,x”的离散程度的是（）

A.样本占,9,…,x”的标准差B.样本看,马,％的中位数

C.样本X”X,的极差D.样本看,马,…,x”的平均数

10.下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（）

A./(x)=-3x5B.f(x)=2x

1j_

C./(X)=-D.=

11.某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排

气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64Ppm,继续排气4分钟后又测得浓度为32Ppm.由检验知该地下车库一

氧化碳浓度V(单位：PPm)与排气时间，(单位：分钟)之间满足函数关系y=(a,R为常数，e是自然对数

的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于05ppm,人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是()

A.a=128

B.7?=—In2

4

C.排气12分钟后浓度为16Ppm

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

12.已知正方体48co，则()

A.直线与。4所成的角为90°B.直线与C4所成的角为90°

C.直线BG与平面班QD所成的角为45°D.直线8C1与平面N8CD所成的角为45°

三、填空题

13.掷一枚骰子，记事件出掷出的点数为偶数；事件①掷出的点数大于2.下面说法正确的是.

(1)P⑷〉P(B)(2)P(AB)>P(AB)(3)P(AB)>P(AB)

14.若ee(0,5；tane=：,贝Usind-cosg=.

,8

15.已知直线/：x-阳+1=0与。+/=4交于两点，写出满足““ec面积为丁的m的一个值____.

16.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台

的体积为.

四、解答题

17.记“BC的内角4尻。所对边分别为,已知6(3<：05(7-1)=0(1-3(：058).

⑴证明：b+c=3a；

(2)求cosN的最小值.

18.已知曲线y=/(力=亡求:

(1)曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；

(2)(1)中的切线与曲线。是否还有其他的公共点？

19.如图，在三棱锥/一BCD中，N8工平面BCD,平面/3C工平面NBD,AC=AD,AB=BD.

(2)求二面角/-CO-3的余弦值.

20.如图，点/、3分别是椭圆1+《=1长轴的左、右端点，点尸是椭圆的右焦点，点P在椭圆上,且位于x轴上

3620

方,PA1.PF.

⑵设M是椭圆长轴N5上的一点〃到直线/P的距离等于I,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

21.某景点某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景点为了提升服务质量，采

用分层抽样从当天游客中抽取100人，以评分方式进行满意度回访.将统计结果按照

[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，制成如下频率分布直方图:

(1)求抽取的样本老年、中青年、少年的人数;

(2)求频率分布直方图中。的值；

(3)估计当天游客满意度分值的75%分位数.

22.记，为数列｛与｝的前〃项和.已知一+〃=2%+1.

n

⑴证明：｛与｝是等差数列；

(2)若。4，%，%成等比数列，求，的最小值.

参考答案：

1.C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根据交集的运算解出.

方法二：将集合”中的元素逐个代入不等式验证，即可解出.

【详解】方法一；因为"=卜卜27-620}=(-8,-2卜[3,+8),而”={-2,-1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故选：C.

方法二：因为“={-2,-1,0,1,2},将-2,-1,0,1,2代入不等式一一工-620,只有-2使不等式

成立，所以McN={-2}.

故选：C.

2.D

【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共轨复数的定义计算.

【详解】z在复平面对应的点是(_1,石)，根据复数的几何意义，z=-l+Gi,

由共辗复数的定义可知，z=-l-V3i.

故选：D

3.B

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】0(6/+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(〃+c)(。—c)=6("6),^a2-c2=ab-b2,

IT

又0<C(兀，所以c=§.

故选：B.

4.B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得K+屏〉-阳口+州―，从而利

用平面向量余弦的运算公式即可得解.

【详解】因为2=(3,1)[=(2,2),所以£+3=(5,3))-5=(L-1),

贝中+q=75?73?=后,|力卜071=拒，(5+Z；j.(a-Z；j=5xl+3x(-l)=2,

/___\a+b\\a-b\2V17

所以cos(a+b,4_Z?>公=-j=~~『=--.

'/卜+型-4V34XV217

故选：B.

5.A

【分析】直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可.

【详解】双曲线目-片=1的渐近线方程是：片±葭

492

故选：A

6.B

【分析】根据圆的一般式判断圆心与半径，利用几何法判断两圆位置关系，进而确定公切线

的数量.

2222

【详解】•.•两个圆G：x+y+2x+2y-2=0JjC2:x+y-4x-2y+l=0,

.,・圆£圆心为半径为2,圆。2圆心为(2,1),半径为2,

两圆圆心距为^(-1-2)2+(-1-1)2=V13,

•••2-2<V13<2+2=4,

两圆相交，有2条公切线.

故选：B.

7.C

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列｛%｝的公差和首项，再根据前"项和公式即可

解出；

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列｛。,｝的公差，再根据前〃项和公式的性质即可解

出.

【详解】方法一：设等差数列｛4｝的公差为d,首项为外,依题意可得，

。2+4=6+d+%+5d=10,艮f]%+3d=5,

又a4a8=(q+3d)(4+7d)=45,解得：d=1,%=2,

5x4

所以&=5%+w-xd=5x2+10=20.

故选：C.

方法二：a2+a6=2a4=10,a4a8=45,所以为=5,a8=9,

从而4="二幺=1,于是%=%V=5-1=4,

8—4

所以85=5%=20.

故选：C.

8.C

【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即

可.

【详解】对于A,因为＞=lnx在（0,+司上单调递增，＞=-X在（0,+e）上单调递减，

所以/（x）=7nx在（0,+e）上单调递减，故A错误；

对于B,因为＞=2,在（0,+。）上单调递增，y=:在（0,+e）上单调递减，

所以〃x）=g在（0,+纥）上单调递减，故B错误；

对于C,因为”:在（0,+司上单调递减，＞=-x在（0,+司上单调递减，

所以〃x）=-:在（0,+司上单调递增，故C正确；

对于D,因为/[£|=3*4=3；=6，/（l）=3H=3°=l,/（2）=3Hi=3,

显然〃x）=3卜一"在（0,+司上不单调，D错误.

故选：C.

9.AC

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定

正确选项.

【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势;

故选：AC.

10.AD

【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.

【详解】对于A,/(x)=-3d是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确;

对于B,/(》)=2,是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误；

对于C,=⑴=1,故〃x)=，在其定义域上不单调递减，故C错误；

1

对于D,/("=-2必是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误.

故选：AD.

11.ACD

【分析】由题意列式，求出。=1287=-'in2,即可判断A,B；可得函数解析式，将x=12

4

代入，即可判断C；结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断

D.

a-e4R=64

【详解】设/。)=。1,代入(4,64),(8,32),得

氏二32

解得。=128,尺=一，山2,A正确，B错误.

4

.(1Y7£

此时/(/)=128(e")=27-24=23所以"12)=24=16(ppm),C正确.

当了⑺W0.5时，即27-；40.5=27,得所以经32,

所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.

故选:ACD.

12.ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接与C、BC、,因为。/"/BO,所以直线8G与旦。所成的角即为直线5G

与所成的角,

因为四边形34GC为正方形，则故直线8G与£招所成的角为90。，A正确;

连接4C,因为4月，平面BC]U平面A8[C]C,则/百，8G，

因为ACLBG，481nBe=用，所以Bq,平面44C,

又4Cu平面4BC，所以8GLC4,故B正确；

连接45,设4Gn片2=。，连接60,

因为BB、1平面44G2，C0u平面44G2,则c。±B&,

因为CQ_L42,BlDlr>BlB=Bl,所以G。，平面BBQQ,

所以ZQBO为直线BC、与平面BBRD所成的角，

设正方体棱长为1,则CQ=t，BC1=4i,sinZQSO=1^=1,

所以，直线5G与平面所成的角为30。，故C错误；

因为GCL平面/8CD,所以/C/C为直线8G与平面/8CD所成的角，易得NC0C=45°,

故D正确.

故选：ABD

13.(3)

【分析】根据对应事件求概率，即可比较.

【详解】掷一枚骰子共6种情况，偶数点有2,4,6,大于2的点有3,4,5,6,

17

则尸(/)=：,P(s)=|,P(A)<P(B),故(1)错误；

N方表示既为偶数又是小于等于2的点，只有2,所以尸(/5)=k，

孤表示既为奇数又是大于2的点，有3,5,所以尸(血)=；,P(ABj<P(AB),故(2)错误;

表示既为偶数又是大于2的点，有4,6,所以P（/8）=；,

诙表示既是奇数又是小于等于2的点，有1,所以P（血）=：,P（AB）>P（AB）,故（3）

正确.

故答案为：（3）

14.--

5

【分析】根据同角三角关系求sin。，进而可得结果.

【详解】因为ee则Sin0>0,cos（9>0,

又因为tanO=^^=L,则cos8=2sin6,

cosff2

.1.cos20+sin20=4sin20+sin20=5sin23=1解得sin8=^^或sin6=-^^（舍去），

55

所以sin夕一cos6=sin6-2sin6=-sin6=-.

5

故答案为：-正.

15.2（2,-2,］中任意一个皆可以）

22

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长以同，以及点C到直线的距离，结合面积

公式即可解出.

【详解】设点C到直线N3的距离为d,由弦长公式得=2"-相,

所以黑,=gx/x2,4-/=g,解得：d=华或〃=乎，

11+11224x/522\l~51

由1=+^=下『，所以—^=竽或一^=竽，解得：冽=±2或冽=土:.

vl+mVl+myjl+m5yjl+m52

故答案为：2（2,-2』,-5中任意一个皆可以）.

22

16.28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法

二：根据台体的体积公式直接运算求解.

21

【详解】方法一：由于彳=而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱锥的体积为:x（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x（16+4+&京）=28.

故答案为：28.

17.（1）证明见解析

【分析】（1）将已知条件利用两角和差公式与正弦定理即可计算出结果；

（2）利用第一问的结果代入cosZ的余弦定理表达式，再利用基本不等式即可得到结果.

【详解】（1）E^6（3cosC—l）=c（l—3cosB）,

由正弦定理得：sin5（3cosC-1）=sinC（l-3cos5）,

整理得：sinC-3cosBsinC=3siriScosC-sinB,

sinB+sinC=3（cos5sinC+sin5cosC）=3sin（5+C）......①

因为/=兀一（5+C）=>sin/=sin（兀一（5+C））=sin（B+C）.......②

②代入①有：sing+sinC=3siib4,

再由正弦定理得6+c=3a.

（2）由余弦定理得：

,b2+c2-a29b2+9c2-(b+cY8(b2+c2]-2bc8x2Z>c-26c7

~2bc~186c-186c-186c-9

7

当且仅当Z>=c时，等号成立，所以cosN的最小值为看.

18.(1)3x-y-2=0；(2)切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点(-2,-8).

【分析】(1)由导数的定义得出了'=3/,再由导数的几何意义求出切线方程；

f3x—y-2=0

(2)由3求出该切线与曲线。的其他公共点.

【详解】(1)将X=1代入曲线。的方程，得〉=1

.•.切点为玖1,1)

,..Ay(x+AX)3-X3

•/y=lim——=lim-----------------

―一°Ax-oAx

_hm3-^2AX+3x(Ar)2+(Ar)3

—1°Ax

=lim[3/+3xAx+(Ax)2]=3x2

Mi=3

•・•过尸点的切线方程为y-l=3(xT),

即3x-y-2=0；

f3x—y—2,=0

(2)由3,可得(X-1)2(X+2)=0

〔尸x

解得XI=1,X2=-2

从而求得公共点为(1,1)和(2,8).

说明切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点(-2,-8).

19.(1)证明见解析

(2庠

【分析】(1)利用线面垂直及面面垂直的性质证明即可；

(2)方法一、利用几何法，取CD中点并连接NW、BM,结合条件证线线垂直，利

用二面角定义解三角形即可，方法二、构造合适的空间坐标直角系，利用空间向量计算二面

角即可.

【详解】(1)依题意，工面3c且AD,8Cu面8cD,

所以AB/BC,ABYBD,

因为面48c工面3CD,面48Cc面4RD=48,BDu面BCD,且.BDJ.AB,

所以8。1面/3C,

因为8Cu面N8C,

所以8CLBD.

(2)方法1、取C。中点M,并连接/M、BM.

因为/C=N。，所以NM_LCD,

由勾股定理可知BC=yjAC2-AB2=y)AD2-AB2=BD=AB.

因为8c=8。，所以8M_LC£＞；

则根据二面角定义可知AAMB是二面角A-CD-B的一个平面角，

且由图可知为锐角.

又因为481面BCD,同理(1)可知,

设43=。，可得BM=^a,贝！

22

g、i.BMV3

所以cos/AMB=---=——，

AM3

即二面角N-CD-B的余弦值为也.

3

方法2、

由(1)可知，AB、BC、8。三者两两相互垂直，

故以点3为坐标原点，分别以瑟、而、诙的方向为无、V、z轴的正方向，建立空间直

角坐标系.

-».\D

由勾股定理可知BC=>JAC2-AB2=yjAD--AB-=BD=AB.

不妨设/B=a,则/(0,0,吟8(0,0,0)〈(d0,0),。(040),

所以就=(a,O,-a),赤=(O,aQ),

易得平面BCD的一个法向量可以是)=(0,0,1),

设平面/CD的一个法向量为%=(x，%z),

所以

n2-AD=ay-az=0

故可得平面/CD的一个法向量可以是a=(W)

设二面角N-CD-3的一个平面角为a,且由图可知a为锐角.

即二面角/-8的余弦值为心.

3

⑵后

【分析】(1)设出尸点坐标,代入椭圆方程，根据加1PF列出方程联立即可求出P点坐标；

(2)设出M点坐标，根据M到直线/P的距离等于I列出方程，求出M点坐标，设出椭圆上

点的坐标，根据两点间距离公式列出式子，将“点坐标满足的椭圆方程代入消人可得到关于

x的二次函数，配方即可求得距离平方的最小值，进而求得距离的最小值.

【详解】(1)解油题知

3620

:.a=6,b=2^5,c=4,

.•.4(—6,0),8(6,0),尸(4,0),

22

•••尸在椭圆上，不妨设尸(x/),q+导1,

■.-PA1PF,.-.AP-FP=O,

：.(x+6,y)-(x-4,y)=0,

即x2+2x-24+y2^0,

3620

两式联立可得:

3573

x=~,y=-----

22

故点P的坐标为

\

(2)是椭圆长轴上的一点,

不妨设Af(见0),冽e[-6,6],

•••/(-6,0),门，孚

:.1Ap:x-+6=0,

••・M到直线AP的距离等于I地I,

|m+6|,

二.一/=6—777

VI+3

即|加+6|=12-2加,因为冽G[-6,6]

所以加+6=12-2m

解得m=2

设0(x,y)为椭圆任一点，

则满足：+1=1,即下=180;5X；

贝1d=QM=J(尤-2『+/

I5?

=JX2-4X+4+20~—

故当X=g时d有最小值为后.

21.(1)50；40；10

(2)a=0.020

⑶82.5.

【分析】(1)由题意可先确定抽样比为5:4:1,分别计算可求得结果；

(2)由频率分布直方图中所有小正方形面积为1，即可解得。=0.020；

(3)由百分位数的定义计算即可得游客满意度分值的75%分位数为82.5.

【详解】(1)老年、中青年、少年的人数比例为500:400:100=5:4:1,

故抽取100人，样本中老年人数为100义二:；=50人,

5+4+1

4

中青年人数为100x1=40人,

少年人数为100x—J=10人；

(2)易知组距为10,由频率分布