不可再生资源经济学

2024/6/51不可再生资源经济学2024/6/52不可再生资源的最优利用在分析不可再生资源价格的决定时，环境与资源经济学的基本原则是霍特林法则。

霍特林法则可以用多种方程式来表现。起初，经济学家采用的方程式是:P’/P=r(11-1)或者是Pt=P0ert(11-2)

2024/6/53不可再生资源的最优利用（续）在(11-1)、(11-2)两式中，r代表贴现率，t代表时期，0代表基期，P则被用来代表开采出来的资源产品的价格。但经济学家很快就发现，只有在假定开采成本（即生产成本）等于0的前提下，开采出来的资源产品的价格才等于埋在地下的资源的价格。否则，则有

2024/6/54不可再生资源的最优利用（续二）P=C+λ(11-3)其中，P代表开采出来的资源产品的价格，C代表边际生产成本，λ则代表（埋在地下的）资源的价格。不同的术语被用来称呼λ，包括：矿区使用费(royalty)、租金或资源租金(rent/rental)、资源耗用费(depletionpremium)、边际使用者成本或使用者成本(usercost)。

2024/6/55不可再生资源的最优利用（续三）在本章中，我们把λ统一称为边际使用者成本，并将其定义为随着自然资源储藏量的变动而变动的未开采的自然资源的价格。在承认P和λ的差别，同时假定C不变，(11-1)式和(11-2)式就演变为：λ’/λ=r(11-4)λt

=λ0ert(11-5)2024/6/56不可再生资源的最优利用（续四）如果(11-4)式和(11-5)式的左边大于右边，即λ的增长率高于贴现率，那就意味着推迟不可再生资源的开采更有利可图，因而应该更多地保存不可再生资源；反之，如果这两个方程式的左边小于右边，即λ的增长率低于贴现率，那就意味着提早开采不可再生资源，将所得收入用于投资更有利可图，因而应该更多地耗用不可再生资源。2024/6/572024/6/58不可再生资源的最优利用（续五）假定按照现有的开采量累积下去，到T时期所有的资源存量都将被开采光，则有

(11-6)其中，X表示资源存量，T则是资源存量不复存在的时期。2024/6/59不可再生资源的最优利用（续六）在资源边际使用者成本的时间途径既定的前提下，不可再生资源的耗竭速度取决于其基期边际使用者成本λ0或者是由基期边际使用者成本决定的（假定开采成本C为常数）基期资源产品价格P0。

2024/6/510不可再生资源的最优利用（续七）假定基期资源产品价格定为P1(P1>P0)，那么，第Ⅰ象限上的曲线将平行上移；第Ⅱ象限上各个时期的资源需求量Q1(t)都会减少；反映在第Ⅲ象限上，则是表示资源开采量与时间关系的曲线右移。曲线右移可能产生两种后果。假如曲线移动幅度比较小，则有

(11-7)(T≤T11)2024/6/511不可再生资源的最优利用（续八）假如曲线上移的幅度比较大，则有

(11-8)换句话说，基期资源产品价格的上升，将使资源耗竭的时期推迟；如果价格上升超过一定幅度，以致在该资源存量尚未用完时，对该资源的市场需求量就下降为0，则资源耗竭成为不可能。

2024/6/512不可再生资源的最优利用（续九）反之，假定基期资源产品价格定为P2(P2<P0)，那么，第Ⅰ象限上的曲线将平行下移；第Ⅱ象限上各个时期的资源需求量Q2(t)都会增加；反映在第Ⅲ象限上，则是表示资源开采量与时间关系的曲线左移。曲线左移的结果是

(11-9)(0≤T2≤T)2024/6/513不可再生资源的最优利用（续十）换句话说，基期资源产品价格的下降，将使资源耗竭的时期提早；极而论之，如果价格下降超过一定幅度，以致对该资源的市场需求量等于或大于该资源的存量，那么，该资源将立即消耗迤尽。

2024/6/514不可再生资源的最优利用

（续十一）如果图11.1中基期的资源产品价格为P1，则价格的时间途径的上移意味着资源产品价格达到PB水平的时期将早于T时期；而因价格提高、需求量减少而导致的资源开采量曲线的右移则意味着资源耗竭的时期迟于T时期，甚至资源不会耗竭；2024/6/515不可再生资源的最优利用

（续十二）如果图11.1中基期的资源产品价格为P2，则价格的时间途径的下移意味着资源产品价格达到PB水平的时期将迟于T时期；而因价格降低、需求量增加而导致的资源开采量曲线的左移则意味着资源耗竭的时期早于T时期；这样，在资源产品价格还没有达到PB时，不可再生资源的存量就已经耗竭；2024/6/516不可再生资源的最优利用

（续十三）前者意味着在资源产品价格达到PB时，不可再生资源的存量仍然存在；由于资源产品价格不再按霍特林法则上升，厂商或不可再生资源所有者将受到损失。后者意味着由于资源产品价格本来还可以继续按霍特林法则上升，因而厂商或不可再生资源所有者将丧失因价格上升可能带来的收益。

2024/6/517不可再生资源的最优利用

（续十四）但是，在理想状态即完全竞争和产权明确的条件下，资源产品价格——更准确地说，是决定资源产品价格变化的资源边际使用者成本——是不可能长期偏高或偏低的。这是因为，在理想状态下，掌握着完全信息的厂商将根据霍特林法则来使用全部不可再生资源的存量。2024/6/518不可再生资源的最优利用

（续十五）假定厂商预期将来该资源产品的市场价格最高为PB，那么，霍特林法则就要求在市场价格达到PB的时期，不可再生资源存量正好全部用完，从而使得厂商或不可再生资源所有者既不会直接受到损失，也不会丧失预期收益。

2024/6/519不可再生资源的最优利用

（续十六）而只有当图11.1中基期的资源产品价格为P0时，资源产品的市场价格达到PB的时期和不可再生资源存量用完的时期才正好都是T时期，从而做到了不可再生资源的最优利用。

2024/6/520不可再生资源的最优利用

（续十七）PB是由资源产品的替代品或替代技术决定的，但替代技术并非必不可少的假设，只要需求曲线与代表价格的纵轴相交于代表有限价格的某一点（如图11.1上的PK），则上述分析中的结论就可以成立。2024/6/521不可再生资源的最优利用

补充一既然在不可再生资源边际使用者成本的时间途径按霍特林法则变动时，既定资源存量和资源产品需求曲线条件下的资源产品价格（基期价格还是最后一期价格可以任选）与资源耗竭时期之间，在一定范围内存在着对应关系，那么，在此范围内，我们也可以从资源耗竭时间T中推导出相应的资源产品价格来。

2024/6/522不可再生资源的最优利用

补充二图11.1还可以用来分析最低安全标准对不可再生资源最优利用的影响。补充一提到的对应关系之所以会存在，一个隐含的前提是：对不可再生资源的利用必须从现在开始，即价格的时间途径必须与代表价格的、从原点向上延伸的纵轴相交。

2024/6/523不可再生资源的最优利用

补充二（续）放弃这一隐含前提，即承认对该资源的开采不一定从现在、即从0时期开始，那么，资源产品价格与资源存量耗竭时期T之间的对应关系将不复存在。在不可再生资源边际使用者成本的时间途径按霍特林法则变动，以及资源存量和资源产品需求曲线为既定的条件下，资源产品价格与利用资源的时期

将成为两个独立的变量。2024/6/524不可再生资源的最优利用

补充二（续二）放弃上述隐含前提的政策含义是：为了保障子孙后代的利益，当代人可以有意识地留下某些不可再生资源存量（例如某些矿藏）以供后代利用。表现在图11.1中，就是不可再生资源的开采起点时期从0推迟到n。但这些专供某一代人使用的不可再生资源一旦投入开发，则仍然应该按照有关的经济规律办事。2024/6/525不可再生资源的最优利用

补充二（续三）通过不可再生资源开采起点时期的变更，经济学领域中现有的最优化原则就与最低安全标准、进而与资源利用的可持续性原则结合起来了。

从结合上述两类原则的角度出发，前面在介绍图11.1时所提到的符合(11-8)式条件的基期资源产品价格P1也就有了新的含义。

2024/6/526不可再生资源的最优利用

补充二（续四）基期资源产品价格偏高而导致的资源存量没有耗竭，对于仅限于一代人范围之内的不可再生资源的最优利用来说，不是最优的；但对于涉及子孙后代利益的不可再生资源利用的可持续性来说，它又是有益的。2024/6/527不可再生资源的最优利用

补充二（续五）制定符合(11-8)式条件的基期资源产品价格P1的政策含义是：政府可以有意识地运用经济手段——即通过提高有关不可再生资源的税收或使用费的办法——来提高不可再生资源的开采成本，进而影响到有关的资源产品价格，从而抑制对资源产品的需求以及相应的不可再生资源开采量，以达到保证不可再生资源利用的可持续性和代际公平的目的。

2024/6/528第二节最优利用模型一模型的设定

二模型的建立

三对模型的说明

四最优控制条件

2024/6/529模型的设定第一，厂商的成本是不可再生资源产量和存量的函数。用公式来表示，就是c=c(yt,Xt)(11-10)式中，c是开采总成本，yt是某一不可再生资源t期的产量，Xt是该资源t期的存量。

2024/6/530模型的设定（续）如果开采总成本与资源存量无关，则有。但是，在一般情况下，有，即资源存量越少，单位资源的开采成本越高。这样假定的理由是，在不可再生资源矿藏已经被探明的条件下，人们总是首先开采单位成本比较低的富矿和易于开采的矿藏。

2024/6/531模型的设定（续二）单位开采成本随着不可再生资源存量的递减而递增的假定，具有十分重大的意义。它意味着不可再生资源不会完全耗竭。耗竭的只是单位开采成本比较低的那一部分资源存量。如果某一不可再生资源的单位开采成本高到令人无法承受的地步，而人类又没有发现相对便宜的替代品，则经济增长的前景是暗淡的。2024/6/532模型的设定（续三）第二，假定存在着n

个条件完全相同的采掘业厂商。这些厂商分别在不同的矿床进行开采，这些厂商自主经营、互不依赖、互相竞争，并寻求各自利润净现值的最大化。2024/6/533模型的设定（续四）第三，假定上述厂商都处于一个计划者的控制之下。通过了解每个厂商的资源最优利用方案，计划者可以知道每一时期各个厂商的产量。如果厂商相互竞争的结果，是某一资源耗竭的时间途径与计划者的安排相同，则表明这些厂商在竞争中形成的均衡是有效率的。2024/6/534模型的设定（续五）第四，t期不可再生资源的开采量为nyt，t期的需求价格pt=p(nyt)，用支付意愿衡量，t期的总效益函数为，净效益函数（总效益减去总成本的差额）为。式中，ζ是积分变量。

2024/6/535模型的设定（续六）第五，假定每个厂商在0期和T期开始时可获得的不可再生资源存量，分别为X0=和XT=（、为已知的既定数量）。2024/6/536模型的设定（续七）每个厂商每一时期的开采量，相当于这一时期开始时和结束时不可再生资源存量的差额。即y0=-X1，y1=X1-X2，...，yt=Xt-Xt+1，...，yT-1=XT-1-。所有时期的累积开采量为2024/6/537模型的建立由于在某一时期开采和利用的那部分不可再生资源，不可能在另一时期再被开采和利用，因而在作出某一时期的开采决策时，计划者必须考虑它对其它时期开采不可再生资源的效益和成本的影响。因此，计划者所面临的问题，是使得所有有关时期净效益的现值之和最大化。用公式来表示，就是2024/6/538模型的建立（续）(11-11)对于每个厂商来说，其净效益现值最大化的约束条件为

yT=Xt-Xt+1(11-12)2024/6/539模型的建立（续二）根据(11-11)和(11-12)式，可以给出拉格朗日函数

(11-13)式中，μt、α和β都是拉格朗日因子。2024/6/540模型的建立（续三）不可再生资源最优利用的必要条件是

(t=0,1,...,T-1)(11-14)(t=1,2,...,T-1)(11-15)2024/6/541模型的建立（续四）(11-14)式表明，沿着最优利用的时间途径，不可再生资源的价格p(nyt)应该相当于其边际生产成本与边际使用者成本μt(1+r)t之和。在(11-14)、(11-15)式中，μt表示的是边际使用者成本的贴现值。令λt为未折现的t期边际使用者成本，则有μt=λt(1+r)-t。用λt取代μt，(11-15)式就变成2024/6/542模型的建立（续五）(11-16)整理后得

(11-17)2024/6/543模型的建立（续六）如果我们让时间从离散的变成连续的，同时让时期变得非常短，(11-14)式基本上不受影响，(11-17)式则会变成

(11-18)2024/6/544对模型的说明第一，假定不可再生资源的生产（开采）成本不受资源存量变化的影响，即，则边际使用者成本的变化率就等于利息率，(11-17)式与(11-18)式就是霍特林法则。

2024/6/545对模型的说明（续）再假定不可再生资源的边际生产成本小得可以忽略不计（例如，当时波斯湾石油的价格为20-30美元一桶，而其开采成本仅10-20美分一桶），则根据(11-14)式，不可再生资源的价格就相当于其边际使用者成本。根据(11-18)式，不可再生资源价格的变化率就相当于利息率。

2024/6/546对模型的说明（续二）第二，假定不可再生资源的生产（开采）成本受到资源存量变化的影响，且资源存量越少，单位资源开采成本越高。在这种情况下，由于有，因而如(11-18)式所示，边际使用者成本的变化率将小于利息率。

2024/6/547对模型的说明（续三）(11-18)式中，dλt/dt可以看作是投资于不可再生资源的资本得益，而则可以看作持有一单位不可再生资源存量所得到的额外红利。(11-18)式可以重写成。由于，因此。换句话说，就是资本得益加额外红利等于投资于不可再生资源的利息成本。

2024/6/548对模型的说明（续四）第三，假定同一品位的矿藏开采成本相同，而不同品位的矿藏开采成本不同，品位越低，开采成本越高。则在开采某一品位富矿时，边际使用者成本按照利率上升；而当富矿开完，贫矿作为富矿的后障投入开采时，矿藏的边际使用者成本停止上升（甚至下降）。2024/6/549对模型的说明（续五）第四，重写(11-14)式，用λt取代μt并对时间求导，有

(11-19)这表明，价格的变动取决于边际开采成本和边际使用者成本的变动。

2024/6/550最优控制条件在任何时候，不可再生资源消耗带来的净收益由两部分构成：当前的收益流量，以及由于低开采成本的资源存量减少而导致的未来收益流量变化。后者用ωtyt来表示。其中，ωt=nyt，表示每一厂商动用一单位资源存量的未折现价值。

2024/6/551最优控制条件（续）用汉密尔顿方程式来表示，就是

(11-20)

在(11-20)式中，H对yt求导，得。因此，最优消耗的一阶条件，即(11-14)式，可以简写成

(11-21)2024/6/552最优控制条件（续二）(11-21)式衡量的是开采的净效应，即用现在的净收益减去未来的损失。净效应最大化意味着开采不可再生资源的边际收益等于单位资源存量的损失。根据(11-20)式，，因而(11-18)式可写成2024/6/553最优控制条件（续三）(11-22)或写成又由于dXt/dt=-yt，因而有

(11-23)2024/6/554最优控制条件（续四）(11-21)、(11-22)和(11-23)式是用汉密尔顿方程式表示的最优控制条件。用控制论的术语来说，yt是控制变量，Xt是状态变量，未折现的ωt是类似于拉格朗日乘数的共态或辅助变量。2024/6/555第三节影响最优利用的若干因素一替代与边际使用者成本的决定二勘探与边际使用者成本三不确定性与资源最优利用

2024/6/556替代替代的作用首先体现在有关自然资源稀缺性的争论中。地球上各种物质的数量都是有限的，随着人类经济活动规模的扩大，它们或迟或早地都会成为稀缺资源。解决物质稀缺性的办法，除了物质资源的回收利用外，就是替代，或者用存量相对丰富的物质替代存量相对稀缺的物质，或者用其它生产要素替代稀缺的自然资源。2024/6/557替代（续）由于所有的物质都具有稀缺性，而替代性技术的出现又具有随机性和不连续性，从而使人们很难预测这些替代性技术出现的时间和替代效应的大小，因而导致了在自然资源稀缺性的争论中，争论双方各执一词、两不相下的局面。2024/6/558替代（续二）替代的作用还体现在自然资源的最优利用上。正如图11.1所表明的，能够对不可再生资源的边际使用者成本或资源产品价格起制约作用的，一是替代品或替代技术的价格，二是对资源产品的需求。而需求曲线的形状在很大程度上又取决于替代品或替代技术。2024/6/559替代（续三）对于有替代品的必需品来说，其需求价格弹性往往是比较大的，对价格变动反应灵敏的需求量成为抑制不可再生资源边际使用者成本上升的有效手段；而对于没有替代品的必需品来说，其需求价格弹性是比较小的，在极端情况下甚至等于0，在这种情况下，对价格变动反应迟钝甚至没有反应的需求量往往起不到抑制边际使用者成本上升的作用。

2024/6/560替代（续四）影响自然资源最优利用的替代有多种类型。其中包括：自然资源对自然资源的替代；其它生产要素对自然资源的替代；节约资源的低质产品对浪费资源的高质产品的替代；不同产品之间的替代；以及技术对自然资源的替代。导致原料替代的最重要的因素有三个：相对价格，技术变革和政府的法规。2024/6/561替代（续五）这三个因素中，又以相对价格和技术变革更为重要。以自然资源对自然资源的替代（即原料替代）为例，原料成本占总成本的比重越大，其相对价格的影响也就越大，而产品加工次数越多，原料成本在总成本中的比重就越小；因此，原料相对价格对原料替代的影响以初加工阶段为最大。2024/6/562替代（续六）如果按从相对价格变动到原料替代(或不可再生资源替代)的时滞分类，可以分成三类：第一种，现有技术和设备允许用一种原料替代另一种原料，在这种情况下，原料相对价格一旦变动，原料替代将立即实现；2024/6/563替代（续七）第二种，原料替代所需技术存在，但必须相应更换设备，在这种情况下，从相对价格变动到原料替代需要一定的时滞；第三种，原料替代所需技术尚不存在，但原料相对价格的变动刺激了对新的节约原料技术的研究，从而间接导致了原料替代，在这种情况下，从相对价格变动到原料替代的时滞将更长，而且其中的不确定性也更大。2024/6/564替代（续八）在所有这三种情况下，相应的技术变革都是影响原料替代的决定性因素。换句话说，没有技术变革，也就谈不上一种自然资源对另一种自然资源的替代。替代性技术被称为障碍性技术(backstoptechnology)，替代性技术就象球场上的限制性障碍物一样，把自然资源边际使用者成本的上升限制在某一限度之内。2024/6/565替代（续九）障碍性技术对边际使用者成本的影响是Rt

=(PB,T-C)/(1+r)T-t(11-24)T是障碍性技术开始发挥作用的时期，此时资源产品价格PT已上升到与障碍性技术的价格PB,T相等的水平。2024/6/566替代（续十）由于PT=C+RT，而生产成本C又是一个常数，所以，T期边际边际使用者成本RT取决于PB,T的大小，而T期之前的某一时期t的边际边际使用者成本Rt则相当于Rt/(1+r)T-t。这就是说，所有时期的边际使用者成本及不可再生资源的开采量都会受到替代性技术的影响，并将随着PB,T的升降而升降。

2024/6/567

勘探在自然资源经济学中，勘探是指增加不可再生资源存量从而降低其开采成本的活动。它不仅包括发现新的矿藏储量，而且还包括研究和开发使得开采贫矿有利可图的新工艺，因为后者同样能够增加不可再生资源的存量。2024/6/568

勘探（续）勘探对边际使用者成本的影响是：随着新的不可再生资源存量的发现，人们将预期到新资源的开发会导致未来不可再生资源供给的增加，因而不可再生资源的未来预期边际使用者成本及其产品的未来预期价格将下降；而这又进而导致不可再生资源的供给厂商扩大现在的生产规模，以避免未来价格下降可能带来的损失；2024/6/569

勘探（续二）但现在生产规模的扩大又将破坏现有的均衡，使供给曲线右移，从而导致不可再生资源现期边际使用者成本及其产品现期价格的下降。反映在图上，就是不可再生资源的价格呈现出锯齿形波动。在两次因勘探带来的不可再生资源的发现之间，资源边际使用者成本仍按照霍特林法则，随着时间的推移而稳步上升；而每一次新资源的发现都将或多或少地引起不可再生资源边际使用者成本的下降。2024/6/5702024/6/571勘探（续三）勘探同样是需要成本的。令φ=φ(zt)(11-25)(11-25)式中，zt代表新发现的矿藏量。

厂商的目标是使利润的现值最大化。在既考虑生产成本又考虑勘探成本的条件下，这一目标可以用(11-26)式来表示

2024/6/572勘探（续四）(11-26)上述目标的约束条件是dXt/dt=zt-yt

（11-27）(11-26)、(11-27)式表明，勘探发现一方面会增加资源存量，从而降低开采成本c，另一方面又需要一定的勘探成本φ，因而厂商必须对这两种成本的升降幅度加以权衡。2024/6/573勘探（续五）勘探成本与边际使用者成本之间也有关系，即有-dφ/dzt

+ρt=0(11-28)

(11-28)式中，ρt是t期的边际使用者成本。(11-28)式的含义是：在竞争性均衡中，资源的边际使用者成本应该与用来取代它的新发现矿藏的边际勘探成本相等。

2024/6/574勘探（续六）(11-28)式有着极其重要的实际应用价值。众所周知，边际使用者成本是衡量自然资源稀缺性的主要指标，但它往往无法直接观察和计算。有了(11-28)式，经济学家就可以直接运用竞争性均衡条件下的边际勘探成本来衡量边际使用者成本的大小。2024/6/575不确定性不可再生资源利用中的不确定性可以分成三种情况：

第一种情况，资源产品需求的不确定性。一般来说，人们对近期市场需求的预测往往是比较准确的，而对远期市场需求的预测则不是那么准确，换句话说，市场需求的不确定性是随着时间的推移而增加的。2024/6/576不确定性（续）由于厂商通常是风险回避者，他们将采用增加近期资源开采量的办法，来躲避这种随着时间的推移而增加的不确定性，从而使不可再生资源耗竭的时期提前。第二种情