新疆乌鲁木齐地区2024届高二数学第一学期期末统考试题含解析

新疆乌鲁木齐地区2024届高二数学第一学期期末统考试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/("=(/—2x)e，的图像大致是()

2.如图是一水平放置的青花瓷.它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其

外形上下对称.花瓶的最小直径为12cm,瓶口直径为20cm,瓶高为30cm,则该双曲线的虚轴长为()

2

3.设“，"是两条不同直线，a,£是两个不同平面，则下列说法错误的是。

A.若根_La,L。，贝！I俏〃〃；B.若a//〃，mLa,则冽_L〃；

C.若加//a,n!la,则加〃D.若m_La,ml/J3,则。_L/?

4.直线x+y+2=0分另ij与x轴，》轴交于A,B两点,点P在圆一+/―4x+2=0上，则△ABP面积的取值范

围是()

A.[2,6]B.[4,8]

C[72,3V2]D.[2A/2,30]

5.小方每次投篮的命中率为3,假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为()

7

2010

A.—B.——

4949

2515

C.—D.—

4949

6.给出如下四个命题正确的是()

①方程■?+/—2x+l=0表示的图形是圆；

②椭圆三+亡=1的离心率6=好；

323

③抛物线x=2y2的准线方程是x=-L

8

22S

④双曲线匕—L=—1的渐近线方程是丁=土?x

49257

A.③B.①③

C.①④D.②③④

7.已知等差数列前几项和为S“，且耳3<0,S12>0,则此数列中绝对值最小的项为

A.第5项B.第6项

C.第7项D.第8项

4

8.函数/(%)=%+——(%>5)的最小值是()

x-1

A.3B.4

C.5D.6

9.过抛物线/=4x的焦点尸的直线/与抛物线交于尸。两点，若以线段为直径的圆与直线x=5相切，则|PQ|()

A.8B.7

C.6D.5

315

10.数列1,4，二的一个通项公式可以是。

4216

n+1n+3

A.a=------B

〃2〃-a.=~^r

n+1n+3

C.ci-D・a-

Inn4〃

11.在空间直角坐标系中，已知/（—1,0,2）,N（3,2,0）,则MN的中点尸到坐标原点O的距离为（）

B.V2

C.2D.3

12.已知两个向量〃二（2,—1,3）,Z?=（4,m,n）,且q//b，则根+〃的值为（）

A.lB.2

C.4D.8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.从某校随机抽取某次数学考试100分以上（含100分，满分150分）的学生成绩，将他们的分数数据绘制成如图

所示频率分布直方图.若共抽取了100名学生的成绩，则分数在［120,130）内的人数为

14.写出一个公比为3,且第三项小于1的等比数列4=

15.正三棱柱A3C-A3IG的底面边长和高均为2,点。为侧棱CG的中点，连接A。，BD,则点G到平面ABD的

距离为.

16.已知函数/（%）满足：①/Xx）是奇函数；②当x＞0时，ra）＞o.写出一个满足条件的函数/（x）=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22=1（。＞人〉0）的离心率为孝，且过点（2夜,01

17.（12分）已知椭圆C：5+与

a2b2

（1）求椭圆C的方程；

（2）四边形的顶点在椭圆。上，且对角线AC,均过坐标原点。，若Kc.凝0=-g，求。4-03的取

值范围.

18.(12分)已知a>0,b>0,a-bb—1,求证：—+—J9.

19.(12分)已知函数/(x)=(x?-2x)e*+2ex-e21nx

(1)求/(x)在点(L/(D)处的切线方程；

(2)求证:f(x)>0

20.（12分）如图所示，在长方体ABC。-431clz>i中，E,尸分别是A5,AC的中点，AD=AAi=2,AB=&

（1）求证：Eb〃平面AZMiAi；

（2）求平面EFO与平面OEC的夹角的余弦值；

A.M

（3）在线段4d上是否存在点M,使得平面E尸。？若存在，求出苦■的值；若不存在，请说明理由

A\u\

21.（12分）如图长方体ABC。—A4C2中，AB=AD=\,AAl=2,点£为。，的中点.

D\

11〃

B

（1）求证：5,〃平面ACE；

（2）求证：平面ACE；

（3）求二面角A—CE—C的余弦值.

22.（10分）已知｛4｝是公差不为0的等差数列，$5=20,且%，%，％0成等比数列

（1）求数列｛4｝通项公式；

（2）设用=q+2",求数列｛2｝的前几项和S"

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】由函数〃x）有两个零点排除选项A,C；再借助导数探讨函数/（x）的单调性与极值情况即可判断作答.

【详解】由/（尤）=。得，尤=0或x=2,选项A,C不满足；

由/（力=（%2一2%）6'求导得八］）=（——2）1,当x<—0或x>上时，f'（x）>0,当—夜<%<也时，

于是得/（x）在（-%-夜）和（、反,+oo）上都单调递增，在（-0,拒）上单调递减，/。）在％=—夜处取极大值，在

尤=应处取极小值，D不满足，B满足.

故选:B

2、C

22

【解析】设双曲线方程为3=1,（a>0,b>0）,由已知可得。，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入

a~b"

双曲线方程，求解》，即可得到双曲线的虚轴长

【详解】设M点是双曲线与截面的一个交点，

V2

设双曲线的方程为：二(a>0,b>0)

a

花瓶的最小直径44=2a=12cm,则a=6,

由瓶口直径为20cm,瓶高为30cm,可得M（10,15）,

22

故i詈n一I仁S=1，解得6=45=，

62b~4

..•该双曲线的虚轴长为26=2x：45=?45

42

故选：C

3、C

【解析】直接由直线平面的定理得到选项A3正确；对于选项C,m可能平行、相交或异面，所以该选项错误;

对于选项。，机与夕内一直线/,所以因为/为£内一直线，所以所以该选项正确.

【详解】对于选项A,若加_La,则相〃〃，所以该选项正确；

对于选项8,若al甲,m±a,则根，力，所以该选项正确；

对于选项C,若m〃a,nlla,贝Um，〃可能平行、相交或异面，所以该选项错误；

对于选项。，若加，a,ml1（3,则机与夕内一直线/,所以/J_a,因为/为£内一直线，所以所以该选

项正确.

故选：C

【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4、A

【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.

【详解】x+y+2=0与x,y轴的交点，分别为4（—2,0）,3（0,—2）,点P（x,y）在圆炉+/一©+2=0,

即（x-2y+y2=2上，

所以|AB|=2夜，圆心（2,0）到直线的距离为d=^^=2后，

所以八45尸面积的最小值为5mhi=gx20x（20-亚）=2,

最大值为S3=1X2V2X（2A/2+V2）=6.

故选：A

5、A

【解析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件

的概率计算公式进行求解.

【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况，

即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中，

因此恰有1次命中的概率为—+-,

故选：A.

6、A

【解析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求

出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。

【详解】对于①选项，x2+y2-2x+l=0,。2+£_4/=4+0_4=0,故①错误；

对于②选项，由题知4=312=2,所以c=l,a=豆，所以离心率e=18，

3

故②错误；

对于③选项，抛物线x=2y2化为标准形式得抛物线故准线方程是x=-l，

故③正确；

2222

对于④选项，双曲线乙-二=-1化为标准形式得二-匕=1,

49252549

7

所以4=25,〃=49,焦点在x轴上，故渐近线方程是丁=±（九，故④错误.

故选:A

7、C

13

【解析】设等差数列的首项为外,公差为"，5]3=万（％+%3）=13%<0,则。7<0,又

12

812=5（4+。12）=6（R+%）>0,则。6〉一%>°，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，

又则|以|>|%|，则在数列中绝对值最小的项为的，选C.

8、D

【解析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值

44r2-2r-3

【详解】由/Xx）=x+—得八x）=l—N，

x-l（X-1）（九T）

因为九，5,所以

所以/（九）在[5,+8）上单调递增，

4

所以爪X*=*5）=5+^[=6,

□—1

故选：D

9、C

【解析】依据抛物线定义可以证明：以过抛物线焦点尸的弦P。为直径的圆与其准线相切，则可以顺利求得线段忸。|

的长.

【详解】抛物线丁二射的焦点F(1,O)，准线％=—1

取P0中点"，分别过P、Q、3作抛物线准线的垂线，垂足分别为N、M、E

则四边形NPQM为直角梯形，上店为梯形中位线，|HE|=g(|M0+|NP|)

由抛物线定义可知，|MQ|=|QE|,|四=附,则|PQ|=|MQ|+WH

故|HE|=g|p0,即点3到抛物线准线的距离为|P0的一半，

则以线段P。为直径的圆与抛物线的准线相切.又以线段为直径的圆与直线x=5相切,

则以线段PQ为直径的圆的直径等于直线x=5与直线x=-l间的距离.

即闿=5_(-1)=6

故选:C

10、A

【解析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.

【详解】因为「|=与』2+11_43+154+1

~2r，2~8~^r，16

所以该数列的一个通项公式可以是4=今；

53

对于选项B：%=—丰一，所以本选项不符合要求;

-84

21

对于选项C%=-7—，所以本选项不符合要求;

32

53

对于选项D：4,=—/一,所以本选项不符合要求,

一84

故选:A

11、A

【解析】利用中点坐标公式及空间中两点之间的距离公式可得解.

【详解】QM(-l,0,2),N(3,2,0),由中点坐标公式，得

所以|OP|=J1+1+1=VL

故选：A

12、C

【解析】由al1b，可知三丸£尺，使b=2a，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.

4=2A4=2

【详解】•：al1b，：・3九eR,使b=2a，得,机二一4,解得：<m=-2,所以根+〃=4

n=3An=6

故选：C

【点睛】思路点睛：在解决有关平行的问题时，通常需要引入参数，如本题中已知引入参数;I,使b=

4〃

转化为方程组求解；本题也可以利用坐标成比例求解，即由。/"，得7=1=；，求出血，

2—13

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、30

【解析】根据频率分布直方图中所以小矩形面积和为1,可得。值，根据总人数和［120,130)频率，即可得答案.

【详解】因为频率分布直方图中所以小矩形面积和为1,

所以(0.005+0.035+a+0.020+0.010)x10=1,解得a=0.030,

所以分数在［120,130)内的人数为100x0.030x10=30.

故答案为：30

14、—.3"-1(答案不唯一)

10

【解析】由条件确定该等比数列的首项的可能值，由此确定该数列的通项公式.

【详解】设数列｛4｝的公比为彘则q=3,

由已知可得。3<1，*<•9al<1,

所以用<§，故％可取证，

故满足条件的等比数列的通项公式可能为4=4•3"-1,

故答案为：—-y1-1(答案不唯一)

10

2

【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求点面距离的公式可以直接求出.

【详解】如图，建立空间直角坐标系。一孙z,。为4当的中点，由已知，A(-l,0,2),5(1,0,2),D(0,V3,l),

G(0,6。)，所以罚=(2,0,0)，AD=(1,73,-1),

设平面ABD的法向量为n=(%,y,z),

ADn=0x+y/3y+z=0_[

，即：\，取y=l,得〃=

ABn=02x=0

QD=(0,0,1),

ICD-HIR

则点G到平面ABD的距离为［一」=火.

同2

故答案为：

2

16、1(答案不唯一)

【解析】利用函数的奇偶性及其单调性写出函数解析式即可.

【详解】结合塞函数的性质可知/(》)=三是奇函数，当x>0时，r(x)=3x2>。，则/(%)=彳3符合上述两个条件,

故答案为：/(答案不唯一).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)工+上=1

84

(2)[-2,0)0(0,2]

【解析】（1）根据椭圆的离心率为手，且过点（2夜,0）,由6=工=2,。=2后求解；

（2）设直线AC方程为y=Ax,则直线3。的方程为丫=-工％,分左>0时，与椭圆方程联立求得A,3的坐标,

2k

再利用数量积求解.

【小问1详解】

V2y2叵

解:因为椭圆C:j+=l（a>b〉0）的离心率为,且过点（2夜,0）,

a2

所以e=工=,a—2y/2,

a2

所以c=2,我=4,

22

所以椭圆的方程为土+上=1;

84

【小问2详解】

设直线AC的方程为'=依，则直线5。的方程为丁=-'X.

2k

=kx

y殂2_8才希2“202岳

当左>0时，联立2,02得*=—“2'不妨设4（「丁，7彳），

尤+2y=81+2左J1+2左2g2k2

y—___1_1

联立《2k'，得必=16k2

x2+2y2=81+2F

Ak_28®-4®4岳4后/c

当皿而交‘后R时‘°A°B=l+2左21+2-1+2/一』+2「'

k

:.0<OAOB<2^

-8圆46k-4®-4庭〉

—4”2

当从而R时'OAOB=1+2父+1+2/-1+242―工>一

1乙K

k

:.-2<OAOB<0>

当左<0时，同理可得上述结论.

综上，QAOBe[-2,0）（0,2]

18、见解析

【解析】将a+仁1代入式子，得到1+工=1+",1+-=1+—,进而进行化简，最后通过基本不等式证明问题.

aabb

【详解】•.%>（）,b>0,a+b^l,.\1+-=1+—=2+-,1+-=1+—=2+-

ba

1H--l+b—+—>5+4.

ab

当且仅当2=f,即a=/?=!时取“=”

19、(1)(e2-e)x+y-e2=0；(2)证明见解析

【解析】（1）求导/'（九）=（炉—2）/+2e—J,进而得到/⑴=e—/,=写出切线方程;

(2)将(/一2%)e"+2e%-/ln%>0转化为(%一2)，+2e,设g(%)=(%—2)e*+2e,//(%)二^丁

xx

利用导数法证明.

【详解】(D函数/(%)的定义域是(0,+8)

2

f\x)=(%2-2)ex+2e--,可得/⑴=e—e?

又/(D=e,

所以/(%)在点(1,7(1))处的切线方程为y-e=(e-e2Xx-V)

整理得⑵―e)x+y—e?=0(或斜截式方程y=(e—e2)x+e2)

2

(2)要证(无2—2尤)>+2ex-e\nx>0

2x

只需证(%-2x)e+lex>e21nx

因为无>0,所以不等式等价于(x—2)e'+2e〉里吧

-Sg(x)=(%-2)ex+2e,h(x)=

g\x)=(x-V)ex,0<x<l,g'(x)<0；x>l,g'(x)>0

所以g(x)在(OH单调递减，在［1,+8)单调递增

故gOOmin=g(D=e

又"（x）=e（l:lnx）,。＜无卜,勿（无》0；x＞e,h\x）＜0

X

所以/z（x）在（o,e］单调递增，在［e,+8）单调递减

故"（x）max=/z（e）=e

因为g（X）mm=丸（©max且两个函数的最值点不相等

所以有g。）〉Hx）,原不等式得证

20、（1）证明见解析；（2）巫；（3）不存在；理由见解析

10

【解析】（1）连接Ad,AiD,交于点。，所以点。是AN的中点，连接歹O,根据判定定理证明四边形AE尸。是平

行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系，求出两个面的法向量，求得两个法向量的夹角的余弦值，进而得到

二面角的夹角的余弦值；（3）假设在线段4A上存在一点M,使得平面E尸。，设出点M的坐标，由第二问得

到平面EFO的一个法向量，判断出和该法向量不平行，故不存在满足题意的点

【详解】（1）证明：连接Ad,AiD,交于点。，所以点。是40的中点，连接尸。

因为歹是AC的中点，

所以。尸〃CD,OF=gcD

因AE//CD,AE=—CD,

2

所以。尸〃AE,OF=AE

所以四边形AEFO是平行四边形

所以E尸〃40

因为EFC平面AOZMi,AOu平面ADZMi,

所以E歹〃平面ADDiAi

（2）以点A为坐标原点，直线A5,AD,应和分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为点E,尸分别是A3,AC的中点，AD^AAi=2,AB=也,

所以仇后，0,0),0(0,2,0),片［*,0,0、

7

所以。E=EF=(0>1，1)

设平面E尸。的法向量为；;=(8y,z)，

^-x-2y=0,

n-DE=0,

则即《

n-EF=0,

y+z=0.

令y=L则z=-l,x=2&

所以z；=(2及1)，

由题知，平面OEC的一个法向量为机=(0,0,1),

TM

所以cos<〃，m>=r—=-----.

VlOxl10

所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是.

10

(3)假设在线段AiDi上存在一点M,使得平面EFD

设点M的坐标为(0,f,2)(02),则两二(_垃,t,2)

因为平面EFD的一个法向量为n=(272,1,-1).而引W与1不平行,

所以在线段AiDi上不存在点M,使得平面EFD

21、(1)见解析(2)见解析(3)-Y3

3

【解析】(1)作辅助线，由中位线定理证明。E〃3D1,再由线面平行的判定定理证明即可；

(2)连接用O,AB1，由勾股定理证明E