广东省茂名市2024届高三一模数学试题（含答案解析）

广东省茂名市2024届高三一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合力={0,1,2,3},5-{-1,0,1},C=A^\B,则集合。的子集个数为（）

A.2B.3C.4D.8

2."％＜1”是。2_4工+3＞0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.从6名女生3名男生中选出2名女生1名男生，则不同的选取方法种数为（）

A.33B.45C.84D.90

4.曲线/（'）=/+"在点（0,1）处的切线与直线＞=2%平行，贝!]〃=（）

A.-2B.-1C.1D.2

22

5.椭圆C：=+A=1（a＞力＞0）的左、右焦点分别为片，F2,过片作垂直于x轴

ab

的直线/,交C于/,B两点，若|/刈=|为用，则C的离心率为（）

A.B.V2-1C.在一1D.2-V2

22

6.函数了=/（尤）和了=/（x-2）均为R上的奇函数，若/（1）=2,则/（2023）=（）

B.-1D.2

6tan—+a则sin2a=()

12

B.—

25

8.数列｛氏｝满足q=8,a„+1=77GN*),若数列也}是递

减数列，则实数2的取值范围是（）

A.（一*B.7

D.—,+oo

8

二、多选题

9.若/（X）=-$3+；X2+2X+I是区间（切_1,用+4）上的单调函数，则实数加的值可以

是（）

A.-4B.-3C.3D.4

试卷第1页，共4页

10.过抛物线C：/=4x的焦点尸作直线/交c于48两点，贝！I()

A.C的准线方程为x=-2

B.以为直径的圆与C的准线相切

a

C.若［43|=5,则线段中点的横坐标为:

D.若|AB|=4,则直线/有且只有一条

11.在棱长为2的正方体/BCD中，E,尸分别为棱8C的中点，则()

A.直线E尸与3G所成的角为60。

B.过空间中一点有且仅有两条直线与44,42所成的角都是60。

C.过4，E,尸三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为3亚+2囱

D.过直线E厂的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形

12.从标有1,2,3,…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字。，b,

记点4(。/),3(1,-1),0(0,0),则()

99

A.449B是锐角的概率为三B.2胡。是锐角的概率为前

99

C.”08是锐角三角形的概率为二D.的面积不大于5的概率为二

三、填空题

2

13.已知复数z=「，其中i为虚数单位，则胃=____.

1+1

14.如图，茂名的城市雕像“希望之泉”是茂名人为了实现四个现代化而努力奋斗的真实

写照.被托举的四个球堆砌两层放在平台上，下层3个，上层1个，两两相切.若球的半

径都为〃，则上层的最高点离平台的距离为.

15.动点尸与两个定点0(0,0),4(0,3)满足|尸旬=2|尸O|,则点P到直线/：

"ZX—y+4-=0的距离的最大值为.

试卷第2页，共4页

[H]上有且只有两个零点，则。的取

16.函数/(x)=2siini。龙+・(tw>0)在区间

值范围是.

四、解答题

17.在Ay48c中，角A,B,C所对的边分别为b,c,已知acosB-bcos/-a+c=0.

(1)求3的值；

⑵若M为/C的中点，且a+c=4,求的的最小值.

18.已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽

石榴，按质量(单位：g)将它们分成5组：[360,380),[380,400),[400,420),[420,440),

[440,460]得到如下频率分布直方图.

(1)用样本估计总体，求该品种石榴的平均质量；(同一组中的数据用该组区间的中点值

作代表)

⑵按分层随机抽样，在样本中，从质量在区间[380,400),[400,420),[420,440)内的

石榴中抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测.

(i)已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概

率；

(ii)记这3个石榴中质量在区间[420,440)内的个数为x,求X的分布列与数学期望.

19.设E,为数列｛4｝的前〃项和，已知-7^不是首项为:、公差为:的等差数歹U.

〃(川+1〃23

(1)求｛。”｝的通项公式；

⑵令勿=(27)％,4为数列也｝的前〃项积，证明：

3〃曰5

20.如图，在四棱锥尸-/BCD中，平面尸CD_L平面ABHCD,AB1BC,

PD=AB=2CD=2,BC=y/2^ZPDC=120°.

试卷第3页，共4页

(1)证明：PB1AD；

⑵点E在线段尸C上，当直线/E与平面/BCD所成角的正弦值为g时，求平面/8E与

平面尸8C的夹角的余弦值.

21.已知双曲线E：1-匕=1(。>0)的左焦点为尸，A,8分别为双曲线的左、

a23

右顶点，顶点到双曲线的渐近线的距离为也.

2

(1)求E的标准方程；

(2)过点8的直线与双曲线左支交于点P(异于点A),直线2尸与直线/：x=-l交于点W,

/尸E4的角平分线交直线/于点N,证明：N是血4的中点.

22.若函数“X)在［a,目上有定义，且对于任意不同的占广2«。,可，都有

|/(xi)-/(x2)|<^ki-x2l>则称/(x)为［a,句上的“后类函数”.

⑴若〃x)=］+x,判断是否为［1,2］上的“3类函数”；

丫2

⑵若/■(力=°(了-1户-1-1111》为［1,6］上的“2类函数”，求实数”的取值范围；

⑶若“X)为［1,2］上的“2类函数”，且/⑴=〃2),证明：气，尤2«1,2］,|/(占)-/(“<1.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【分析】根据给定条件，求出集合。即可得解.

【详解】集合/={0,1,2,3},5={-1,0,1},则。=/口8={0,1},

所以集合C的子集个数为22=4.

故选：C

2.A

【分析】先解一元二次不等式，然后根据集合的包含关系可得.

【详解】解不等式--4尤+3>0得x>3或x<l,

记/=(_8,1)U(3,+8),B=(_S,1),

因为/B,所以“x<l”是中-4x+3>0”的充分不必要条件.

故选：A

3.B

【分析】利用组合数公式直接计算.

【详解】*；=45.

故选:B

4.C

【分析】确定曲线/(x)=e'+存在点(0,1)处的切线的斜率，求出函数的导数，根据导数的

几何意义，即可求得答案.

【详解】因为曲线f(x)=e'+◎在点(0,1)处的切线与直线y=2x平行，

故曲线/(x)=e'+"在点(0,1)处的切线的斜率为2,

因为/'(x)=e*+a,所以/⑼=e°+a=l+a=2,

所以“=1,

故选：C.

5.A

【分析】根据题意可知直线/：x=-c,结合方程可得|/用=生，进而求离心率.

a

【详解】因为E(-c,0),且直线/垂直于X轴，可知直线/：x=-c,

答案第1页，共17页

将x=-c代入椭圆方程可得M+E=1，解得y=±贵，所以=更，

01b2a11a

又因为|/用=寓闾，则更=2c,即Ui=c,

aa

可得c2+qc-〃2=0,贝！］/+e-l=O,解得e=--.

222

故选：A.

6.A

【分析】由奇函数性质推导出'=/(')的周期为4,利用周期性、奇偶性求函数值.

【详解】因为>=/('—2)为奇函数，所以>=/(%)关于(-2,0)对称，即/(—x)+/(x—4)=0,

又歹二/(%)关于原点对称，贝！l/(r)=-〃x),有/(x)=/(x—4)n/(x+4)=/(x),

所以3=/(%)的周期为4,故/(2023)=/(-1+2024)=止1)=-/(1)=-2.

故选：A

7.C

【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.

【详解】令/=：+*得戊=，一：，贝lJ6tan£+4cos］|■-4=，

即6tan,+4sin£=5sin2%=10sin%cos/,^SW(5cosZ+3)(cosZ-l)=0,且cos/<0,

那么cost=~—,贝!Jsin2a=sin|2z--|=-cos2z=l-2cos21=—.

5I2J25

故选：C.

8.D

【分析】将a向=Cr取倒数结合累加法求得‘=>“一］，再利用数列单调递减列不等式

"。"+1an8

并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案

【详解】由题意，％“=弋7,两边取倒数可化为'=理由=’+"，所以'-上=1,

〃%,+1an+xanana2%

--=2,-------="-1,由累力口法可得，---1+2+---+(«-1)=,因为％=8,

a""1"

42%«„-i«„ax2

所以J_=〃（〃T）+L（2"1『

288

答案第2页，共17页

所以2=（2"J）।2,因为数列也｝是递减数列，故“<〃1，即

因为〃22,〃£N*,所以

8

/max

故选:D.

9.CD

【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于加的不等式组,

解出即可.

【详解】由题意，f,(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+l),

令/'（x）>0,解得一1cx<2,令/''（丁卜。，解得尤<-1或x>2,

所以/（x）在（T,2）上单调递减,在（-8,-1）,（2,+8）上单调递减,

若函数/（尤）=-；苫3+；/+2式+1在区间（加-1,机+4）上单调，

、f777—1—1、、_

则冽+44-1或加一122或1,解得加《-5或加>3或加£0,

[m+4<2

即加（一5或冽23.

故选：CD.

10.BCD

【分析】对于选项A:计算出准线即可判断；对于选项B:验证|儿〃17[=呼是否成立；对于选

项C,D:借助焦点弦及通径的相关公式计算即可.

【详解】对于选项A:由抛物线C：y2=4x,可得2p=4,解得p=2,故准线方程为

x=-^-=-l,故选项A错误；

对于选项B:设的中点为“，且M在准线上的投影为,

由抛物线的定义可知:\AA'\=\AF\,\BB'\=\BF\,

答案第3页，共17页

易知四边形/R4Z为直角梯形，所以=W忸0」"月+1即=四,

11222

故以为直径的圆与C的准线相切，故选项B正确；

对于选项C：设/（国,必）,川工2，%），

因为|48|=|/刊+忸下|=|44[+忸8[=X]+孑+%+及=再+'2+2=5,

所以玉+无2=3,所以线段48中点的横坐标为土芋=：,故选项c正确；

对于选项D:结合抛物线的焦点弦中通径最短，可得以422。=4,要使|AB|=4,

则线段N3为抛物线的通径，则这样的直线有且只有一条，故选项D正确.

故选：BCD.

11.ACD

【分析】根据线线角和截面的相关知识逐一判断各个选项即可.

【详解】对于A,如图所示，连接/C，4C”48,

AEB

因为E,尸分别为棱8c的中点，所以跖〃/C,

由/4//CG，/4=CG可知，四边形是平行四边形,

答案第4页，共17页

所以NC//4C],所以EF//&G，

所以E尸与3G所成的角即为4。与BG所成的角，即乙4©B或其补角,

因为V48G是等边三角形，所以440d=60。，

所以E尸与2G所成的角为60。，故A正确；

对于B,因为直线44，42所成角是90。，且两条直线相交于4，

所以过点4与两直线所成角为60。的直线有4条，故B错误；

对于C,易知平面4瓦。为过4，E,尸三点的截面，该截面为梯形，

显然4G=2V2,A'E=GF=Vl2+22=S/5,EF=42,

所以截面图形的周长为4£+4E+£b+G尸=2亚+石+亚+6=3亚+2石，故C正确;

对于D,如图所示，分别取/4，CG的靠近A,C的三等分点G,H,

连接G2，GE,HD1,HF,易知GEUHD\,HF//GDt,

答案第5页，共17页

故点2，G,E,F,"共面，该截面图形为五边形，故D正确.

故选：ACD

12.ACD

【分析】根据向量数量积为正结合古典概型公式判断A,B选项，根据数量积为正得出锐角

判断C选项，结合面积公式判断D选项.

【详解】易知勿，彷不共线，若N493是锐角，OA-OB={a,b)(\,-\)=a-b>Q,易知

4(。,共有100种情况，其中。=6共有10种，与有相同种情况，即45种，所以

459

是锐角的概率为丽=兀，A正确；

若/氏4。是锐角，石.而=/一.+62+6>0恒成立，所以/胡。是锐角的概率为1,B错

误；

OAOB>0

若一。是锐角三角形，则・丽•曲>0,

AO-AB>0

=a-b>0,

即<(-1,-1,b+1)=Q-6<2,

(_Q,_-a,-1-b)—/_q++Z)>0,

9

所以6=1,共有9种情况，所以“05是锐角三角形的概率为前，C正确；

若

=|OA|^OB|-\/l—COS2AAOB=y/a2+b2x:]=+，a+b<10,

iQxOQ

该不等式共有C：o=7二=45组正整数解，所以“05的面积不大于5的概率为:D正确.

1x220

故选：ACD.

13.1+i

【分析】应用复数除法化简，结合共软复数的概念即可得答案.

【详解…诒2（1）=一

（l+i）（「i）

答案第6页，共17页

••Z=1+1•

故答案为：1+i

2V6+6

14.------a

3

【分析】根据给定条件，求出四个球的球心构成的正四面体的高即可得解.

【详解】依次连接四个球的球心。］,。2，。3，。4，则四面体。1-。2。3。4为正四面体，且边长为2。,

正AO03O4外接圆半径r=：。2°3$M60。=/a,则。到底面。2。3。4的距离

h=yj(2a)2-r2=2fq,

所以最高点到平台的距离为地“+2a=24+6”.

33

故答案为：2显6a

3

15.2+A/34

【分析】利用两点距离公式及已知求得尸的轨迹是圆心为(0,-1),半径为2的圆上，再确定

直线所过的定点并判断其与圆的位置关系，要使圆上点到直线距离最大，有圆心与定点所在

直线与直线/垂直，进而求最大值.

【详解】令P(x,y),则在+(尸3)2=2&+y,整理得x2+(y+l)2=4,

所以尸的轨迹是圆心为(0,-1),半径为2的圆上，

又直线/：机》一y+4-3”?=0可化为切(x-3)-(y-4)=0,易知过定点(3,4),

由3?+(4+1)?>4,故点(3,4)在圆/+(夕+=4外，

则圆心与定点所在直线与直线/垂直，圆心与直线/距离最大，

所以点尸到直线/距离的最大值为J3?+(4+1)2+2=2+后.

故答案为：2+国

答案第7页，共17页

11

16.

【详解】利用三角函数的性质分析求解即可.

由于/(%)在区间兀71上有且只有两个零点，所以3

15

即巴〈四〈型=3＜。＜9,由/(x)=0得,兀7

OX-----=aJl,左£Z,

G)3CD6

717171兀G兀713兀

CDX~\---G

5

6267"+不万+]

兀G71兀G71八

——+—<7171<--------F—<2兀

6666111723

或＜解得U</<5或

c716971ccTICD71,333

2兀<------1<371371<--------F—<471

2626

1723]

所以。的取值范围是

故答案为:与11J鸣用

7T兀①兀兀①兀)工口由H

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用整体法得到—+b再根据零点

06626;

个数得到不等式组，解出即可.

17.（呜

⑵百

【分析】(1)利用正弦定理边化角以及利用两角和的正弦公式化简〃cosB-6cos%-〃+°=0,

可得cos5的值，即可求得答案.

——＞1—•1—.

(2)由题意可得9=7切+二5。，平方后结合数量积的运算以及基本不等式，即可求得

22

答案.

【详解】(1)由正弦定理及acosB—bcos/—a+c=0,

得sinAcosB—sinBcos4-sin4+sinC=0,

又sinC=sin(+5)=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinZcosB-sin4=0,

又/£(0,兀)，sin^40,2cos5-l=0,即cos5=；,

又Bc(O,兀)，・・・B忖.

(2)由M为/C的中点，^BM^~BA+~BC,而a+c=4,

22

答案第8页，共17页

A

M

____►2(1—»1—>12i_k21_1_.

所以=-BA+-BC=-BA+-BCk2+-BAkBC

u2J442

121211\21

——CHdHCICCOSJDJ——(〃+。)—CLC

442心)」

1/2(4+C、23/<2

N；("+c)X，

\a=c

当且仅当/即a=c=2时等号成立，

所以的最小值为VL

18.(l)416g

69

⑵(i)—,(ii)分布列见解析，£(x)=]

【分析】(1)根据题意，用每组的频率乘以该组区间的中点值再求和得解；

(2)根据条件概率计算公式运算，求出X的所有可能取值及对应的概率得解.

【详解】(1)该品种石榴的平均质量为

x=20x[370x0.005+(390+410+450>0.010+430x0.015]=416,

所以该品种石榴的平均质量为416g.

(2)由题可知，这7个石榴中，质量在[380,400),[400,420),[420,440)上的频率比为

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取质量在[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴个数分别为2,2,3.

(i)记/="抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，5=“这3个石榴恰好来自不同区间”,

青尸(皿=等12

则尸(4)=

c；35

答案第9页，共17页

12

所以网间")=记35一6

3417

35

即这3个石榴恰好来自不同区间的概率为2.

(ii)由题意X的所有可能取值为0,1,2,3,

3

c40C2/rl18

贝"(X=0)=d1=房，尸(X=1)=亨

35

「5=2)=皆C\C=£,尸(X=3)=||1

35

所以X的分布列为

X0123

418121

p

35353535

41R1?10

所以£(X)=0x——+lx——+2x——+3x——=—

v7353535357

19.⑴a”/

(2)证明见解析

【分析】(1)由等差数列定义可得S,，由S〃与%的关系即可得知；

(2)由S〃与%可得或，即可得(，由(2〃+1)优+1"6,可得7；K6i,借助等比数列求和

公式计算即可得证.

■是首项为3、公差为;的等差数列,

【详解】(1)由

+1)

s〃n1

故-1)=—+-

〃(〃+1)23v736

n1

即S=—+—

366

当〃22时，Sn_x，

6

故

66

答案第10页，共17页

〃（2〃2+3〃+1-2〃2+3〃-1）2

6~n’

当〃=1时，a=S=――=1,符合上式,

x{6

故氏=";

n（2n+1）（〃+1）

（2）由。〃=IS'=6'

物〃二（2〃T）%6（2〃-"6（2H-［n

Sn〃（2〃+1）（〃+1）（2〃+1）（n+1

6（2-1）6（4-l）x26（2n-l）n

则北=姑2…2=（2+1）（1+1］（4+1）（2+1）・….（2〃+1）6+1）

6"（2-1）6〃

（2/+1）（/+1）（2〃+］）（〃+］），

由（2〃+l）（〃+l）23x2=6,

故［V多=6"、

0

则为<力".lx（l-6"）_6"-1

~1^6~5

Z=1Z=1

20.（1）证明见解析

_47154

77

【分析】（1）要证/。，可，需要证过四的平面与/。垂直即可，根据面面垂直的性质定

理及线面垂直的判定定理结合条件即得；

（2）建立空间直角坐标系，先根据条件确定E点的坐标，再求二面角.

【详解】（1）如图：

答案第11页，共17页

由于平面PDC_L平面ABCD，平面PDCH平面ABCD=CD，

过点P作CD的垂线交CD的延长线于点O,则尸O工平面ABCD.

连接03交AD于。，连接。4,

PD=2,ZPDC=\20°,

/.OD=1,：.OC=AB=2,

又ABMCD,AABC=90°,

.••四边形N8CO为矩形,

.ODOA也

：.OA=BC=C，­

OAAB2

RSOD/sRg/OB,:.NOAD=NABO,

又ZOAD+NDAB=90°,

ZAQB=90°,即/D_L08,

又尸。工平面/8C。，4Du平面NBC。,

PO1AD,y.POr>BO=O,PO,BO^^POB,

AD,平面FOB,又「PBu平面尸08,

AD1PB.

(2)以。为坐标原点，OA,OC,OP所在直线分别为x,y,Z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系,

答案第12页，共17页

E

则尸（0,0,6）,C（0,2,0）,^（V2,0,0）,S（A/2,2,0）,

,,"、UU1LlUUL

由于£在PC上，设PE=%PC，

则E（0,246-屈卜AE=（-V2,2A,y/3-,

又平面ABCD的法向量力=（0,0,1）,设直线AE与平面ABCD所成角为6,

sin6»=|cos（3l£,w）|=2日V5

\^2+422+（V3-V32）25，

解得4=1或4（舍去），

22

（_r__

：.E0,1,二，.\53=（0,-2,0）,BE=一板,-1,苗，5C=（-72,0,0）,

设平面/5E的法向共/=（X］，M，ZJ,平而P3C的法向共为=&,%/2），

-2%=0,-A/2X2=0,

BA•%=0,BC-n2—0,

则即，r百，G

BE-«1=0,BE-M2=0,_72X]一必H—Z[—0,-z?—0,

取再=百，%=百得々=（百,0,2后），%=（0,0,2）,

4A/2

COS（〃1，〃24454

VTTxT?-77

故平面NBE与平面P8C夹角的余弦值为生叵.

77

答案第13页，共17页

2

21.（I）/一匕二i

3

（2）证明见解析

【分析】（1）分析条件，求解方程即可.

（2）找到斜率不存在的情况，容易证明，再求证斜率存在的情况即可.

22

【详解】（1）因为三-匕=1,所以b=百,

a3

双曲线的一条渐近线为百X-砂=0,因为双曲线的右顶点为（。,0）,设右顶点到浙近线的距

离为d,

\^a\_V3a_G

由题意得=4a^=七=7'解得

tz2+3=c2,

2

则E的标准方程为，-匕=1.

3

①当NPFA=90。,即P尸，N尸时，设点P（-2,%），

2

代入双曲线方程得，（一2）2-£=1,解得乙=±3,取第二象限的点，则P（-2,3）,

因为8（1,0）,所以直线5P的斜率为砧,=事=-1,

—2—1

所以直线社的方程为了=X+1,令X=-1,解得k2,即M（T2）,

因为直线W是/PE4的角平分线，S..ZPFA=90°,所以直线W的斜率为Gv=l,

直线MV的方程为y=x+2,令X=-1,解得y=l,即N（-1,1）,

此时MN|=；|4Wj,即N是的中点；

②当NPE4片90。时，设直线BP的斜率为左，则直线AP的方程为了=左（》-1）,

答案第14页，共17页

y^k{x-\),

消去了得（3-公卜2+242》一/2+3）=0,

联立方程仔一」

由韦达定理得，xx=-.......，

Bpk-3

又因为晶=1,所以巧,=・!，yp=k（Xp-\）=^!^,

点尸〔胃'41'又因为尸（一2，0），

\K—JK—J）

6k

甘6k2k

所以原尸=-3

r+3+2-3左2—3一M—l，

/一3

由题意可知，直线NF的斜率存在，设为左'，则直线NF：y=〃（x+2）,

因为FV是NPE4的角平分线，所以NPFB=2NNFB,ffrWtanZ.PFB=tan2ZNFB,

2k2tanNNFB2K

又因为tan/PFB=k,tan2NNFB=

PFk2-11-tan2ZNFB~1-k'2，

2k2k‘

所以

即（左+无'）（减'_l）=o,得左=一乂或/=4

k'

由题意知上和《异号，所以左=-1,所以直线m的方程为y=i（x+2）,

令x=-i,可得y=一左，即N（-I,-左），所以札

直线尸B的方程为了=后卜-1）,令x=-l,可得y=-2后，

即W（T,-2左），所以（叫=卜2札

所以\AN/\=高\-k\=51,即N是小的中点•

综上，N是的中点.

22.⑴/（尤）=、+》是［1,2］上的“3类函数”，理由见详解.

/、14+e

（2）-7