2024年西藏林芝市高三数学（理）1月一模考试卷附答案解析

2024年西藏林芝市高三数学（理）1月一模考试卷

（试卷满分150分，考试时间120分钟）2024.1

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合/一2Vx<1}1={止1X2},则在腔（）

A.（一21）B.[T/）C.HZD.IN]

2.已知复数z满足；=2+i,贝”的虚部为（）

A.~iB.-2C.iD.2

,2x+—

3.已知%>1,则的最小值是（）

A.3B.4C.6D.7

4.已知单位向量2与单位向量石的夹角为45°,则卜一回卜（）

A.2B.百C.&D.1

5.已知“X）是定义在R上的函数且/（r）=-/（x）,当x>0时，〃x）=2x（x+l）,则）

A.-4B.0C.4D.8

6.“cosx=l”是“sinx=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7.已知圆的方程为（xT）、/=%过点（TM）仅有一条直线与圆相切，则。=（）

A.-3B.3C.1D.0

x-y<-l

x+y<3

8.已知实数满足约束条件，则z=y-2x的最小值为（）

A.-1B.0C.1D.2

9.将直径为6的球削成一个体积最大的正方体，则这个正方体的表面积为（）

A.3B.6C.3兀D.67t

10.执行如图所示的程序框图，则输出的〃的值是（）

A.2B.3C.4D.5

11.已知等差数列｛“〃｝的前〃项和为S〃，若4=2g+%65=5,则使成立的〃的最大值为

()

A.3B.4C.5D.6

/y2

12.已知双曲线,：/一记=1(",°力>°)的左、右焦点分别为耳巴。为坐标原点，尸为双曲线上在第一象

限内的一点，|°P|=I尸阊，且△尸。耳的面积为6~ab,则双曲线的离心率e=()

A.^2B.2A/2c.V3D.2百

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在正项等比数列｛4｝中，%/5=4,则%=

14.若函数/(无)=也(如+1)的图象在％=°处的切线斜率为1,则。=

15.若动点M(x〃)到点-2,0)的距离和动点M到直线x=-2的距离相等，则点M的轨迹方程

是

八兀sin2a+1

0<a<———----7-7—=

16.若2,且tana=2,则cosa-sina.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.某企业生产的产品按质量分为合格品和劣质品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设

备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取100件产品作为样本，产品的质量情况

(2)根据产品质量，采用分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，从这5件产品中任选

2件，求选出的这2件全是合格品的概率.

K?_n(ad-be)2

附：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中麓=〃+6+c+d.

2

P（K>k0）0.0500.0100.001

2

k。3.8416.63510.828

18.设“8C的内角45,C的对边分别为a，4c,且(sinB-sinC)(6+c)HsnL4-VLmC)a.

(1)求8的大小；

⑵若6=收，且“BC的周长为2+2攻，求“BC的面积.

71

ZABC=-

19.如图，在四棱锥p-/BCD中，PA=AB=2,四边形”2⑦为菱形，3,P4_L平面

ABCD,E,F,Q分别是BC,PC,PD的中点.

(1)证明：平面EFQ〃平面尸/2；

(2)求二面角“一后尸一。的正弦值.

20.已知函数〃x)=e'+ax-l("eR).

⑴讨论函数〃x)的单调性；

⑵若函数“X)在x=l处取得极值，不等式〃力》队-1对Vxe(0,+8)恒成立，求实数6的取值范围；

(3)若函数/(X)在定义域内有两个不同的零点，求实数。的取值范围.

V2V2

C——H——=1((2>0,6>0)0八八

21.已知椭圆①b,直线7/：x-Y2y+Y2=°经过椭圆的左顶点和上顶点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/上是否存在一点P,过点尸作椭圆C的两条切线分别切于点A与点8,点尸在以48为直径的圆

上，若存在，求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

3

jX=1+C0S6Z

22.在平面直角坐标系中，曲线C|：x2-y2=l,曲线G的参数方程为L=sine(a为参数)，

以坐

标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线G42的极坐标方程；

⑵在极坐标系中，射线'一％S3°)与曲线分别交于48两点(异于极点。),求

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数/(可=忖一a"”.

(1)若“=1,求不等式/(x),7的解集；

⑵若Mx"2。+1恒成立，求。的取值范围.

1.B

【分析】根据交集的运算，求解即可得出答案.

【详解】根据交集的运算可得，

AI5={x|-2<x<1}I{x|-1<x<2}={x|-1<x<1}

故选:B.

2.D

【分析】利用复数的除法运算先求出I,然后利用共辗复数定义求出z即可解决问题.

【详解】因为「=2+i,

-2+i2i+i2-l+2i

z=------=---------=l-2i

所以ii，i-1

所以z=l+2i,

所以z的虚部为2,

故选：D.

3.C

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】因为》>1,所以

22

2x+——=2(x-l)+——+22不2(x7+2=(

所以x—1X—1

当且仅当即、=2时，取得等号,

故选:C.

4.D

4

【分析】根据向量数量积定义将卜一行"平方即可计算得出其模长.

【详解】由题意可知同二卜卜1,

则,一回『"-2缶Z+2庐=|同2_2也同干际45。+2麻=1-2+2=1

"d-而|=1

可得।।.

故选：D

5.A

【分析】根据题意可得1（-1）=一/（1）,代入运算即可.

【详解】因为f（r）=-/（x）,

令x=l,可得：〃-1）=-〃1）=-［2（1+1）］=~4

故选：A.

6.A

【分析】分别求解“cosx=l”与"sinx=o”的充要条件再判断即可.

［详解］易得当COSX=］时，x=2左乃，（后eZ）.当sinx=0时，x=左乃，（左eZ）.

故"cosx=l”是“sinx=O”的充分不必要条件.

故选：A

【点睛】本题主要考查了三角函数值求定义域的方法以及充分与必要条件的判定,属于基础题.

7.D

【分析】由过点（T'"）仅有一条圆的切线，故点在圆上，从而求解.

【详解】由题意知过点（T'“）仅有一条直线与圆相切，所以点（T'"）在圆上，

代入得：（-I），+〃=4,解得。=0,故D正确.

故选：D.

8.B

【分析】作出可行域，结合直线方程的几何意义分析求解.

【详解】如图，作出可行域，

5

联立方程1x+>=3,解得［y=l,即4(2,1),

因为z=y-2x,即了=2x+z,表示斜率为2,纵截距为z的直线，

当直线过/（利时，z=y-2x取到最小值2„「2-2'1=0.

故选：B.

9.B

【分析】求出球的内接正方体的棱长，再求出其表面积即可.

【详解】依题意，当正方体为球的内接正方体时，该正方体的体积最大,

令此时正方体的棱长为。，则由。=6,解得。=1,

所以正方体的表面积为6/=6.

故答案为：B

10.C

【分析】根据循环功能一一循环验证即可.

s=0+—=1<—

【详解】解：第一次循环13,此时〃=2；

cell35

S=0-i—I—=—<—

第二次循环1223,此时〃=3；

「八111115

S=0+-+—+-=—>—

第三次循环12363,止匕时〃=4,输出;

故选：C

11.C

【分析】根据给定条件，求出等差数列｛“"｝的首项及公差，进而求出前〃项和即可得解.

ax=2(%+d)+%+3d

【详解】设等差数列｛%｝的公差为"，由%=2%+%,&=5,得5%+10"=5

_一(5—2〃+7)_2久

角牟得=5,d=—2于是％二%+(〃一1)6?——2n+7n2

6

由S“>°,得0<"<6,所以使S〃>°成立的〃的最大值为5.

故选：C

12.B

c

【分析】由可知，点p在线段的垂直平分线上，联立一2与双曲线方程可求得点尸坐标,

SAPOR=SgoF=-I|,V/>=y[^-cib

由等面积法可得'22^,解关于e的齐次式方程即可.

【详解】由题意知，耳（G°）,如图所示，

因为|“卜朋|,

所以点尸在线段°此的垂直平分线”一2上,

又点尸在双曲线的第一象限上，

片_f=1%£bg-4叭

所以1/b。,解得于2a

又因为I。4HCgl,

a_c_1।"।_cb^lc1-4a1

=■^2al

所以口阿一S^OF2--\OF2\-yp--■一--

422442

整理得cjc?一4a2=48/,c-4ac-32a=0=>e-4e-32=0,

解得e2=8（舍负），

又e>l,

所以e=2四.

故选：B.

13.2

7

【分析】由正项等比数列性质，有的则&=

【详解】正项等比数列｛%｝中，“3乌=。：=4,则%=2.

故答案为：2

14.1

【分析】利用复合函数的导数计算法则，由导数的几何意义计算即可求得。=1.

【详解】由/(x)=m(ax+l)可得'(X)—办+i(水)一办+i,

/'(0)=—=1

根据导数的几何意义可得axO+1,

解得。=1.

故答案为：1

15./=8x

【分析】结合抛物线定义即可解题.

【详解】由抛物线定义知，点”的轨迹是以“(2，°)为焦点，直线丫=-2为准线的抛物线,

所以点M的轨迹方程为：「=8尤.

故答案为：V=8x.

16.-3

【分析】结合三角函数的平方关系及二倍角公式化简原式为齐次式即可求解.

八兀

0<a<一

【详解】因为2,tana=2,

所以

sin2cr+12sinacosa+sin*2a+cos2a2sinacosa+sin2a+cos2a

cos4a-sin4a(cos2a-sin26z)(cos2a+sin2a)cos2a-sin2a

2tana+tan2a+14+4+1_

=-----------------------=-----------=—3

1-tan2a1-4

故答案为：-3.

3

17.(1)有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；(2)10

【分析】(1)先计算出K2的值，根据独立性检验的思想对照临界值得结论；

(2)5件产品中有合格品3件劣质品2件，利用古典概型计算公式计算概率即可.

小麒意募IF卷…5

【详解】(1);

.♦•有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.

8

(2)采用分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，则合格品3件，劣质品2件，

P=£i=A

从这5件产品中任选2件，则选出的这2件全是合格品的概率砥10

B=-

18.(1)4(2)1

【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理进行求解即可；

(2)根据三角形公式、结合余弦定理进行求解即可.

【详解】⑴根据正弦定理，由⑸皿^回色+)卜皿-岳mC>n”c)e+c>=卜志)

=>Z)2_02=Q2-6ca=Z72=Q2+02

222

由余弦定理可知：b=a+c-2cacosBf

DV2兀

所以2,因为8e(0,n),所以4；

(2)因为b=夜，

所以有2=a2+c2~41ca=(a+cj_y[2ac-2ac

而的周长为2+20,所以a+c=2+VI,

.2=(2+V2)-\[2ac-2ac=>ac=2^2

于是有'',

1.'、66、

—acsvaB=—x2>J2x——=1

所以“3C的面积为222.

19.(1)证明过程见解析

Vw

⑵5

【分析】(1)根据中位线和四边形/BCD为菱形得到线线平行，进而得到线面平行，面面平行；

(2)作出辅助线，证明出「4/瓦/。两两垂直，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，得到法

向量的夹角余弦值，进而求出二面角的正弦值.

【详解】(1)因为四边形NBC。为菱形，所以/3//(力，

又已尸，0分别是“PC,m的中点，所以FQ〃CD,EF〃PB,

故FQHAB,

9

因为防(Z平面P/8,PSu平面尸

所以EF//平面同理可得尸0”平面尸N3,

因为EFcFQ=F,EF,FQu平面EFQ,

所以平面EFQH平面PAB；

(2)连接/C,

兀

ZABC=-

因为四边形/BCD为菱形，3,

所以为等边三角形，BCIIAD

因为E分别是8C的中点，所以故

因为尸/J_平面48cO,u平面48cD,

所以瓦尸/，/。，

故尸4/0两两垂直，

以A为坐标原点，所在直线分别为x,八z轴，建立空间直角坐标系,

/•

/•

//；：0・・一、L.

/八*\/・

J

因为尸4=AB=2,

4(0,0,0),£(6,0,0),尸(0,0,21C(@1,O)D(),2,0)F11]Q[,1,1)

所以<>

设平面NE尸的法向量为行=(无，％z),

玩•/£=(X，V，Z)(6,0,0)=y/ix-0

10

解得x=。，令z=l,则尸-2,故前=（0,-2,1）,

设平面EFQ的法向量为五=（&,%%）,

Y]A1

61+z,

n-EF=(xx,yx,zx).=-万西+2^=n°

k7

鹿1。'

万•。尸=（尤Qi/1）1)=6”产1n=。

则

解得4=0,令西=1得，为=8，故亢山后°）,

【分析】（1）求导，然后分。20和。<°讨论函数“X）的单调性;

（2）先根据/⑴=°求出“，再将不等式恒成立问题转化为

,构造函数

e

h（x\=-----e,xG（0,+oo）

%,求其最小值即；

（3）将函数“X）在定义域内有两个不同的零点的问题转化为函数g（x）=e，和函数«"=-依+1的图象

有两个不同的交点，观察图象可得答案.

【详解】（1）由已知/'Oe'+a,

当。上°时，/小）>°恒成立，函数“X）在R上单调递增，

当。<0时，令得x>ln（-a）,函数/（x）单调递增，

令/'3<0,得x<ln（-a）,函数/（x）单调递减，

综上：当°时，函数/（X）在R上单调递增；

当时，函数/（X）在011（一°），+8）上单调递增，在（r°』n（-a））上单调递减；

（2）若函数"X）在x=l处取得极值，则/<l）=e+a=0,解得a=-e,

11

经检验a=-e符合题意，

所以/（x）=e=ex-1,

则不等式/（x）NbxT恒成立即e-ex-lNbx-l恒成立，

6<e*e

整理得一xe在（0,+8）上恒成立，

h（x）=~--e,xe（0,+oo）

所以I'人叫设x,

/、（x-l）ex

则X,

令得0<x<l,“X）单调递减，令"（x）>°,得X>1,“（X）单调递增,

所以，（x）min=Ml）=e-e=0,

所以640;

（3）令f（x）=e*+办T=°,可得e*=-ox+l,

若函数/（X）在定义域内有两个不同的零点，

则函数g（x）=e、和函数厂（力=-办+1的图象有两个不同的交点，

当函数g（x）=e*和函数«X）=-G+1的图象相切时，

因为函数g（x"e、和函数«）=一亦+1均过点（°』），则（°』）为切点，

又g'（x）=e',

则切线方程为片e°x+l=x+l,故-Q=l,即。=T

如图，当。=T时，函数gG）=e'和函数乂"=-"+1的图象只有一个交点,

观察图象可得：

12

当函数g（x）=e'和函数，。）=-办+1的图象有两个不同的交点时有一°>0且pwi,

即a<0且

即实数。的取值范围为（一°°'T）U（T，。）.

【点睛】方法点睛：恒成立问题一般通过参变分离转化为最值问题，同时零点个数问题转化为方程的根

的个数或者函数图象的交点个数问题.

f2,

——+V-1

21.（1）2

V14-V22+V7-V14-V22-V7

（2）存在点尸，其坐标为3'3和33

【分析】（1）由题意，代入两个顶点坐标易得“力的值，从而椭圆方程即得；

（2）在直线/上设点尸，设出切线斜率得直线方程，代入椭圆方程，消元后整理成的一元二次方程，由

判别式为。可得°一片）6+2%%匕-V：+1=0①，同理得到另一式，（2-X；）月+2%%公-了：+1=0②，

通过同构，得出：尢人为方程（2-焉）公+2%%-；+1=°的两根，由题设推得其+/=3与直线方程

联立即得.

【详解】（1）由题意，直线八龙-凸+后=°经过点（一生°）和（°力），解得：a=G,b=\,故椭圆C的

—+/=1

标准方程为：2

如图，假设直线/上存在点P,使点P在以为直径的圆上.

不妨点设尸（X。，为）,依题意，PA1尸况则两条切线斜率必存在,

分别设尸4尸5的斜率为左，后2,则必：>一歹0=左1（%_%0）,lPB-y-y（）=k2（X~Xo\

>一％=左1（%一%）

<2_i，

由2+7一消去V,整理得,（2将+1卜2+的（%一占%））+2（奸工：一2左％0%+"—1）=0

因直线尸4与椭圆相切,

13

故A=16左1（%-左/）-8（2Al之+1）（6¥-2匕%为+就-1）=。

（2-X：）尢"+2%为左一y：+1=0①

整理得:

y-%=a2（工-.）

'无2_,

-

—Iy~1（2人;+1）工2+4k2（%—k?Xo）%+2（抬%：—2左2%oVo+—1^—0

又由12消去V,可得:

故由八2二16%左2%）-8（2片+1）修片—2左2%%+y；T卜。,整理得.（2-焉）代+2%%左27：+1=0

②

由①②可得：3抬为方程（2_X：）上2+2%为左-y：+1=0的两根，

左+左—2%%

'2-*一2

岫二^

因"土血,故2-片片0,则A=4x；y；-4（2-川（1-制>0即xo+2y；-2>0,且,2T4

又由尸/1P8可得:

_2±V7

又点尸在直线/上，贝产。一枝"+0=°,即、。=后外一后代入（*）,解得：“一3

2+V7714-^2-V7-VU-A/2

------------%=---------4=--------------

当先_3时,3，当。3时，3

V14-V22+S-V14-V22-V7

即存在点—3—'F-）和―3—

经检验它们都满足裔+2弁-2>0,

V14-V22+V7-V14-V22-V7

故存在点尸使点尸在以为直径的圆上，点尸坐标为’―3—，3）或'—3—3.

【点睛】关键点睛：本题主要考查的是椭圆的切线方程的处理和对直线与圆锥曲线的位置关系的处理.

对于椭圆的切线问题一般有两个思路，其一设切点和切线斜率，通过与椭圆方程联立借助于判别式为0

将斜率用切点坐标表示得出切线方程；其二是设直线上点和两切线斜率，通过与椭圆方程联立借助于判

别式为0得到同构方程.

22.⑴曲线£的极坐标方程/cos*-/sin*=