2024年九年级中考数学复习：圆与二次函数的综合压轴题

2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴

题

1.如图，抛物线y=ax?+2ax-3a(a*0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且

OA=OC,直线y=-x与该抛物线交于E,F两点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PHLEF于点H,求PH的最大值.

(3)以点C为圆心，1为半径作圆，OC上是否存在点D,使得△BCD是以CD为直

角边的直角三角形？若存在，耳毯写出D点坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线y=ax?+bx+c(a、b、c是常数，a#0)经过原点。和两点,

点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的。P总经过定点A(0,2).

(1)a=_,b=_,c=_；

(2)求证：在点P运动的过程中，G>P始终与x轴相交；

(3)设。P与x轴相交于M、N两点，M在N的左边.当AAMN为等腰三角形时，

直接写出圆心P的横坐标.

u

3.如图，在平面直角坐标系中，顶点为(3,4)的抛物线交y轴与A点，交x轴与B、

C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0,-5).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相

切，请判断抛物线的对称轴与。C的位置关系，并给出证明.

(3)在抛物线上是否存在一点P,使4ACP是以AC为直角边的直角三角形.若存在，

求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图所示：在平面直角坐标系中，圆M经过原点。且与X轴Y轴分别相交于A(-6,

(2)若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M,顶点C在圆M上,开口向下且经

过点B.求此抛物线的函数表达式

(3)设(2)中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P,使得

=百若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由

5.如图，二次函数y=a%2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C.且B（1,

0）,若将△BOC绕点O逆时针旋转90°,所得△DOE的顶点E恰好与点A重合,且^ACD

的面积为3.

（1）求这个二次函数的关系式.

（2）设这个二次函数图象的顶点为M,请在y轴上找一点P,使得△PAM的周长最小，

并求出点P的坐标.

（3）设这个函数图象的对称轴1交x轴于点N,问：A、M、C、D、N这5个点是否

会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可

能，请说明理由.

6.如图，在直角坐标系中，以点A0）为圆心，以2、万为半径的圆与x轴相

（1）若抛物线•“二二S'去的.Tse，经过C、D两点，求抛物线的表达式，并判断点B是

否在该抛物线上

（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P,使得APBD的周长最小

（3）设Q为（1）中的抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M,使

得四边形BCQM是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由

7.如图，在平面直角坐标系中，以点C(1,1)为圆心，2为半径作圆，交x轴于A,

B两点，开口向下的抛物线经过点A,B,且其顶点P在。C上.

(1)求/ACB的大小；

(2)写出A,B两点的坐标；

(3)试确定此抛物线的解析式；

(4)在该抛物线上是否存在一点D,使线段0P与CD互相平分？若存在，求出点D

的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图，已知抛物线y=ax?+bx+c(a>0,c<0)交x轴于点A,B,交y轴于点C,设

过点A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D.

(1)如图1,已知点A,B,C的坐标分别为(-2,0),(8,0),(0,-4)；

①求此抛物线的表达式与点D的坐标；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求ABDM面积的最大值；

(2)如图2,若a=l,求证：无论b,c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标.

9.如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O,且与x轴、〉轴分别相交于A(-8,

0),B(0,-6)两点.

(1)求出直线4B的函数解析式；

(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点顶点C在圆M上，开口向下，且

经过点B,求此抛物线的函数解析式；

(3)设(2)中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点尸，使得SAPDE=

上SAABC?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，一抛物线经过点A(-2,0),点B(0,4)和点C(4,0),该抛物线的顶

点为D.

(1)求该抛物线的函数关系式及顶点D坐标.

(2)如图，若P为线段CD上的一个动点，过点P作PM±x轴于点M,求四边形PMAB

的面积的最大值和此时点P的坐标.

(3)过抛物线顶点D,作DELx轴于E点，F(m,0)是x轴上一动点，若以BF为

直径的圆与线段DE有公共点，求m的取值范围.

11.如图1,已知抛物线y=-x?+bx+c经过点A(1,0),B(—3,0)两点，且与y轴

交于点C.

(1)求b,c的值.

(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P,使得APBC的面积最大？求出点P的

坐标及△PBC的面积最大值.若不存在，请说明理由.

(3)如图2,点E为线段BC上一个动点(不与B,C重合)，经过B、E、O三点的圆

与过点B且垂直于BC的直线交于点F,当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标.

12.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=eix2+2x+c与x轴交于点A(-

1,0)和点B,与y轴相交于点C(0,3),抛物线的对称轴为直线/.

(1)求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；

(2)如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D,点C关于直线/的对称点

为N,试证明四边形CDAN是平行四边形；

(3)点P在直线/上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求

点P的坐标.

13.在平面直角坐标系中，直线1=三交J轴于点3,交X轴于点4,抛物线

逑=■，戈芋上,翻He.经过点3,与直线J交于点C(4.-2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，横坐标为”;的点,1/在直线3。上方的抛物线上，过点作.1/E］轴交

直线3C于点E，以口£’为直径的圆交直线3c于另一点0.当点E在x轴上时，求

_/)£',/的周长；

(3)将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90:，得到，点d0；B

的对应点分别是一士.。..瓦.若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点5

的坐标.

O

14.如图，已知抛物线y=ax?+yx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于丁C,且A

(2,0),C(0,-4),直线1：y=-；x-4与x轴交于点D,点P是抛物线丫=2*2+?

x+c上的一动点，过点P作PE_Lx轴，垂足为E,交直线1于点F.

(1)试求该抛物线表达式；

(2)求证：点C在以AD为直径的圆上；

(3)是否存在点P使得四边形PCOF是平行四边形，若存在求出P点的坐标，不存在

请说明理由.

15.如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点,

(1)直接写出圆心C的坐标;

(2)当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；

(3)若以点B为圆心、r为半径作圆B,当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐

标.

16.如图，已知抛物线尸加+法-3(f#0)经过点A(3,0),B(-1,0).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)若以点A为圆心的圆与直线相切于点求切点〃的坐标;

(3)若点。在x轴上，点尸在抛物线上，是否存在以点8,C,Q,尸为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

y

Bx

C

参考答案：

1.(1)y=x2+2x-3；(2)组1；(3)点D的坐标为(之叵，一3-叵)或(一"°,

8101010

。丽、一一二、一，412

—3H------)或(1,-3)或(-=，----).

1055

2.(1)a=—,b=0,c=0；(2)(3)0或a=2±或a=—2±2-73

3.解：(1).••抛物线的顶点为(3,4),...可设此抛物线的解析式为：y=a(尤-3?+4.

;此抛物线过点A(0,-5),.*.-5=a(0-3)2+4,解得a=—l.

,此抛物线的解析式为：y=-(x-3)2+4,即y=-/+6尤一5.

(2)此时抛物线的对称轴与。C相离.证明如下：

令y=0,即_犬+6*_5=0,得x=l或x=5,

AB(1,0),C(5,0).

令x=l,得y=-5,.,.A(0,-5).

如图，过点C作CELBD于点E,作抛物线的对称轴交x轴于点F,

1.

5\

VABXBD,AZABO=90°-ZABO=ZCBE.

VZAOB=ZBEC=90°,/.AAOB^ABEC.

.OB_AB

"EC"BC'

XVOB=LOA=5,...根据勾股定理，得AB=JOA?+OB?=后+F=标.

又：BC=4,.•，=叵，即EC=双羽.

EC413

VCF=2,.•.CF—EC=2-乳羽=近箔一巫^>0,即CF>EC.

131313

抛物线的对称轴与。C相离.

(3)存在.

假设存在满足条件的点PG，*),

2

,点P(金,%)在抛物线y=f2+6x-5上，yP=-Xp+6xp-5.

XAC2=OA2+OC2=52+52=50,

222

AP=(Ap-O)+(yp+5)=与？+”2+10yp+25,

222

CP=(xP-5)+(yP-O)=尤p?+yp2-10xp+25.

①当/A=90。时，在RfACAP中，由勾股定理，得AC?+AP2=CP2,

50+/~+井-+10井+25=Xp~+%--10斗+25,整理，得与+">+5=0.

Xp+(_与~+6与-5)+5=0,解得马=7或尤p=0,月=-12或井=-5.

.••点P为(7,-12)或(0,-5)(舍去).

②当/C=90。时，在R/AACP中，由勾股定理，得AC2+CP2=AP2,

_

50+xp~+yp—10xp+25=xp~+yp~+lOyp+25,整理，得与+*—5=0.

年+6%-5)-5=0,解得与=2或即=5,井=3或井=0.

.•.点P为(2,3)或(5,0)(舍去).

综上所述，满足条件的点P的坐标为(7,-12)或(2,3).

2

4.(1)5=-jX-8(2)y=-x-6^-8(3)P_।-3,1kP:(42-3-1),-3-1)

5.(1)y=—2x+3；(2)P(0,3);(3)(—2,2)

6.(1)y=；x2-述x-3,点B(-V3,0)在抛物线上；

33

(2)(5-2)；

(3)存在，M(-3石，12)或(5月，12)或(百，-4).

7.(1)120°；(2)A(1-石，0),B(1+6，0)；(3)y=-x2+2x+2；(4)D(0,2).

8.(1)①y=：(x+2)(x-8),D(0,4)；②36；(2),(0,1).

3

9.(1)解析式为y=-/x-6；

199103713

10.(1)y=——(x-1)'+—；(1,—•);(2)P(一,