浙江省嘉兴市五校2024届高三二诊模拟考试数学试卷含解析

浙江省嘉兴市五校2024届高三二诊模拟考试数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

•-初/有且只有个不同的零点,

1.若函数=B4则实数机的取值范围是（）

e2)(e2)(e2

—,+00B.——,+ooC.—00,——D.—00,——

4J(4JI4J4

2.2021年某省将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政

治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

1111

A.-B.-C.一D.-

8462

X22

3.已知双曲线与一a=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为E,F,以OF（。为坐标原点）为直径的圆C交

a'

双曲线于A3两点,若直线AE与圆C相切，则该双曲线的离心率为（）

A,应+3新„2A/2+V63二+2几D3应+店

D.-----------c

2222

2+logjx<l

4.已知函数/（%）=2x,若于④=则他的最小值为（）

2\l<x<2

参考数据：1112Po.691n22Po.48

£立_

A.B.C.log2V3D.—

22

,31n2

5.已知a=In君，b=e>T,c=-------,则。，b,c的大小关系为（）

8

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

6.已知复数,则-的共甄复数在复平面对应的点位于（）

—_-一

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知复数z满足二巨=2-7(其中三为z的共朝复数)，贝！J目的值为()

1-1

A.1B.2C.73D.逐

9.已知i为虚数单位，复数z=(l+i)(2+i),则其共飘复数1=()

A.l+3zB.l-3zC.-l+3zD.-l-3z

10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：/(x+2e)=-/(%)(其中e=2.71828),且在区间［e,2e］上是减函数,

令“=手，b~,c=—,则/(a),f(b),/(c)的大小关系(用不等号连接)为()

乙33

A./(/?)>/(«)>/(c)B.f(b)>f(c)>/(«)

C.f(a)>f(b)>f(c)D.

11.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CP/(居民消费价格指数)，同比上涨4.5%,CP/上涨的主要因素是

猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CP/上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CP/一篮子商品权重，根据该

图，下列结论错误的是()

A.CP/一篮子商品中所占权重最大的是居住

B.CP/一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%

C.猪肉在C产/一篮子商品中所占权重约为2.5%

D.猪肉与其他畜肉在一篮子商品中所占权重约为0.18%

12.设i是虚数单位，则(2+3i)(3—2i)=()

A.12+5zB.6-6zC.5zD.13

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知｛4｝为等差数列，S”为其前n项和，若％=6,%+%=0,贝11$6=.

14.一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数"，若把〃当成一个同学的分数，与原来的50个分数

一起，算出这51个分数的平均值为N,则二=.

15.已知函数八％)的定义域为R,导函数为了'(x),若/(x)=8sx—/(-力,且尸(力+罢<0,则满足

/■(x+»)+/(x)<0的工的取值范围为.

16.已知P为双曲线C：的左焦点，直线/经过点F，若点A(a,0),3(0,b)关于直线/对称，

ab

则双曲线C的离心率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，在四棱锥尸—A3CD中，。是边长为4的正方形ABC。的中心，PO,平面ABC。，E为的

中点.

(I)求证：平面PAC_L平面PBD；

(II)若PE=3,求二面角。—PE—5的余弦值.

18.(12分)如图1,AADC与AABC是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，

ZACB=ZACD=30°ZABC=ZADC=90°>AB=2,连接是加,后边上一点，过E忤EFI/BD,交CD

于点口，沿町将ACEF向上翻折，得到如图2所示的六面体P-ABE阳,

p

I)

图I图2

(1)求证：BD1AP-

(2)设5E=；lEC(；leR),若平面PE产，底面A3EFD，若平面R45与平面PD产所成角的余弦值为手，求彳的

值；

(3)若平面P昉，底面A3EFD，求六面体尸-ABEED的体积的最大值.

X2

19.(12分)设函数/(x)=21n(x+l)+=一.

x+1

(I)讨论函数/(》)的单调性；

(II)如果对所有的XK),都有求。的最小值；

(III)已知数列｛4｝中，6=1,且(1一4+1)(1+4)=1,若数列｛4｝的前n项和为s“，求证：

S“〉斐-Ina.小

2a,

20.(12分)已知圆0：/+＞2=1和抛物线后：y=x2_2,。为坐标原点.

(1)已知直线/和圆。相切，与抛物线E交于两点，且满足OMLON,求直线/的方程；

(2)过抛物线E上一点P(x。,%)作两直线PQ,网和圆。相切，且分别交抛物线E于。,R两点，若直线。尺的斜率

为-有,求点P的坐标.

21.(12分)已知函数/(x)=lnx-gav2+x(awR),函数g(x)=-2%+3.

(I)判断函数砥x)=/(x)+gag(x)的单调性；

(II)若一2＜。＜一1时，对任意不等式|/(石)—/(尤2)归心&)-8(々)恒成立，求实数f的最小值.

22.(10分)已知。，b,c分别为AABC内角A,B,C的对边，若AABC同时满足下列四个条件中的三个:

①j=2瓜a+3c；②cos2A+2cos23=1；③。=痂@b=2^2.

c3(a+b)2、

(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？

(2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应AABC的面积.

(若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

由/(%)=别一初d是偶函数，则只需"%)=3—如2在xw(0收)上有且只有两个零点即可.

【详解】

解：显然/(%)=/-如2是偶函数

所以只需xe(0,48)时，/(x)=eW—〃V=eX—如2有且只有2个零点即可

令ex-mx2=0，贝!)m=与

X

xx

瓜/、e，/、e(x-2)

令g(x)=7，g(x)=[3J

xe(0,2),g,x)<0,g(x)递减,且xf0+,g(x)f+oo

xe(2,+oo),g,(x)>0,g(x)递增，且x-»-H»,g(x).+oo

g(x)>g(2)=—

XW(0,+ao)时，/(%)=*一"a2=6'-如2有且只有2个零点，

e1

只需机〉一

4

故选：B

【点睛】

考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.

2、B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有c；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率。=二=：,

124

故选B.

3,D

【解析】

连接C4,AF,可得但q=+,在中，由余弦定理得结合双曲线的定义，即得解.

【详解】

连接C4,AF,

则［0。=|04|=|。司=；,|0目=。,

所以|EC|=+，|FC|=|

在HjEAC中，|A£|=缶，cosZACE=1,

故cosZACE=-cosZACE=

3

在一A"中，由余弦定理

AF2=C42+CF2-2CACF-cosZACF

可得

3

根据双曲线的定义，得、&—逅c=2a，

3

c26372+76

Z2-----------------------------

所以双曲线的离心率—a—五"3及-瓜―2

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

4、A

【解析】

首先/(尤)的单调性，由此判断出由/(。)=/3)求得。力的关系式.利用导数求得log2。。的最小值，由

l<b<2

此求得ah的最小值.

【详解】

2+log,%,-<%<!/、、

由于函数/(x)=58，所以/(%)在7,1上递减，在［1,2］上递增.由于/(a)=/3)(a<。)，

O)

2r,l<x<2

/，］=2+log，=5"⑵=22=4,令2+1吗％=4,解得X」，所以*且2+log1a=2,化简

⑻〃24之

h

得log2a=2-2",所以log?ab=log2a+log2b-2-2+log2b,构造函数g(x)=2-2*+log2x(l<xW2),

]1-x2」n22

g(x)=-2、In2+.构造函数/z(x)=l-x-2x.ln22(l<x<2),

xln2xln2

h(x)=-(1+xln2)-2'ln22<0,所以h{x}在区间(1,2]上递减，而/z(l)=l-21n22«1-2x0.48=0.04>0,

/z(2)=l-81n22»l-8x0.48=-2.84<0,所以存在/e(L2),使人(％)=0.所以g(x)在(1,%)上大于零，在

(%，2)上小于零.所以g(x)在区间(1,%)上递增，在区间(工，2)上递减.而g⑴=0,g(2)=2-22+log22=-1,所

以g(x)在区间。,2］上的最小值为—1,也即log?"的最小值为-1,所以"的最小值为2T=j.

故选：A

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

5、D

【解析】

构造函数/(同=皿，利用导数求得了(%)的单调区间，由此判断出风仇c的大小关系.

【详解】

,口1仃In37-1Ine3In2In8人0,、Inx土…,，/、1-lnx-、一皿々、

依题意，得。二山。3=——，b=e=——,c=-----=——•令/(x)=----，所以/(%)=——z一•所以函数/(%)

3e88xx

在(0,e)上单调递增，在(e,+co)上单调递减.所以"(x)]x=/(e)=-=b,K/(3)>/(8),即a>c,所以h>a>c.

1me

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.

6、C

【解析】

分析：根据复数的运算，求得复数二，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案.

详解：由题意，复数则三=

所以复数;在复平面内对应的点的坐标为,位于复平面内的第三象限，故选C.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数二是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力.

7、D

【解析】

先判断函数的奇偶性可排除选项A,C,当x.0+时，可分析函数值为正，即可判断选项.

【详解】

y=sin[x―•In|x|=-cosxln|x\,

-cos(-x)ln|-%|=-cosxln|x|,

即函数为偶函数，

故排除选项A,G

当正数x越来越小，趋近于0时，—cosx<0,ln|x|<0,

所以函数丁=5由1%-1^]11|%|〉0,故排除选项3,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.

8、D

【解析】

按照复数的运算法则先求出三，再写出z,进而求出目.

【详解】

1+Z_(1+7)2_2i__.

口—(1-z)(l+z)一5一乙

二.---z=2-z^>z-z=2-z^>z=-----=-z(2-z)=-l-2z,

1-zi

z=—l+2i=>\z|=J(-if+2?=^5•

故选：D

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共物复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

9、B

【解析】

先根据复数的乘法计算出z,然后再根据共朝复数的概念直接写出三即可.

【详解】

由z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以其共轨复数1=1一33

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算以及共朝复数的概念，难度较易.

10、A

【解析】

因为/(x+2e)=—“X),所以〃x+4e)=/(x),即周期为4,因为外力为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]

示意图，如图“X)在(0,1)单调递增，因为52<25：.5S<25,23<32,25<33:.0<c<a<0<l，因此

/(/?)>/(«)>/(c),选A.

点睛：函数对称性代数表示

(1)函数/■⑺为奇函数0/(%)=—/(-%)，函数/■⑺为偶函数=/(x)=/(一%)(定义域关于原点对称)；

(2)函数于(玲关于点(。,〃)对称o/(x)+/(—x+2a)=2b,函数/(%)关于直线x=相对称o/(x)=/(—x+2附，

(3)函数周期为T,则/(x)=f(x+T)

11、D

【解析】

A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.C7V一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.

食品占19.9%,再看第二个图，分清2.5%是在CP/一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CP/

一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.

【详解】

A.CP/一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的，故正确.

B.C77一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.

C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CP/一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.

D.猪肉与其他畜肉在CP/一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

12、A

【解析】

利用复数的乘法运算可求得结果.

【详解】

由复数的乘法法则得（2+3z）（3-2Z）=6+5Z-6Z2=12+5i.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

【解析】

试题分析：因为｛勺｝是等差数列，所以。3+%=2%=0,即。4=0,又%-％=38=-6,所以d=—2,

所以$6=6囚+15d=6x6+15x（—2）=6.故答案为1.

【考点】等差数列的基本性质

【名师点睛】在等差数列五个基本量，中，已知其中三个量，可以根据已知条件，结合等差数列

的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程（组）来求余下的两个量，计算时须注意整体代换思想及方程思想的应

用.

14、1

【解析】

根据均值的定义计算.

【详解】

上时工“5OM+M1,.M,

由题意N=---------=M,..—=1.

51N

故答案为：L

【点睛】

本题考查均值的概念，属于基础题.

15、[»+力

【解析】

构造函数g(x)=/(x)-矍，再根据条件确定g(x)为奇函数且在R上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简

不等式，解得结果.

【详解】

依题意，-可=-〃-x)+巴厘，

令g(x)=/(x)-卷二，贝lg(x)=—g(-%),故函数g(x)为奇函数

g，(x)="X)—登=r(x)+等<0,故函数g(x)在R上单调递减，

贝！I/(x+乃)+/(x)<0n/(x+")一+/(x)—<0

=g")+g(木。=g(X+gg(3g(T),即…”，故工话,则”的取值范叫4+[.

故答案为：-5，+°°]

【点睛】

本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

16、73+1

【解析】

由点A(a,0),8(03)关于直线/对称，得到直线/的斜率，再根据直线/过点/，可求出直线/方程，又A,3中点

在直线/上，代入直线/的方程，化简整理，即可求出结果.

【详解】

22

因为歹为双曲线C：二—二=1伍〉0力〉0)的左焦点，所以网—c,0),又点A(a,o),8(0力)关于直线/对称，

ab

kAB=F=-2,所以可得直线/的方程为y=f(x+c),又A’3中点在直线/上,所以?=+整理得

0-aab2八2J

b1=a~+2ac»又b~=b—a1，所以-2ac-2a~=0,

故e?—2e—2=0，解得e=l土若，因为e〉l,所以e=l+JL

故答案为e-l+y]3

【点睛】

本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，

即可求出结果，属于常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（I）详见解析；（II）—封耍.

29

【解析】

（I）由正方形的性质得出AC，3。，由尸0,平面ABC。得出进而可推导出AC,平面P3D,再利

用面面垂直的判定定理可证得结论；

（H）取A6的中点"，连接OM、OE,以。“、OE、0尸所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

利用空间向量法能求出二面角D-PE-B的余弦值.

【详解】

（I）MCD是正方形，.•.ACLBD,

尸0,平面ABC。，ACu平面ABC。，.•.尸OLAC.

OP、BDu平面且0Pc5£>=0,；.AC_L平面PBD,

又ACu平面PAC,平面PAC_L平面PSD；

（H）取AB的中点M,连接OM、OE,

ABCD是正方形，易知。0、OE、OP两两垂直，以点。为坐标原点，以。河、OE、。尸所在直线分别为x、y、

z轴建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

在处APOE中，OE=2,PE=3,:.PO=E

.•.6（220）、D（-2,-2,0）,P（0,0,君）、石（0,2,0）,

设平面Pl汨的一个法向量7〃=（七,弘,4），BE=（-2,0,0）,PE=（0,2-45）,

.BE-0-Vi—0.__,/i—\

由1,得<r，令则玉=0,Z]=2,.,.m=（0,45,2）.

m-PE-0[2丁]-，54=0'）

设平面PDE的一个法向量〃=（%，%，Z2），Z>£=（2,4,0）,PE=（0,2,-75）,

n-DE=O企，取必=指，得得〃=(-

由<，得220z2=2,x2--275,26,y/5,21

n-PE=O

m-n30^

cos<m,n>=।~r-j-r=----------

时N29，

二面角O—PE—5为钝二面角，，二面角D-PE-B的余弦值为-上叵

29

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

18、(1)证明见解析(2)2=-(3)典A

49

【解析】

(1)根据折叠图形，BDLAC,PNL8。,由线面垂直的判定定理可得比)j_平面PAN,再根据APu平面P4V,

得到

(2)根据PNL跖，七FLAC,以N为坐标原点，为苍％z轴建立空间直角坐标系，根据

出

AB=AD=2,BD=BC=2yjl3,AM=1,CM=3,=可知，EF=^2^,PN=CN=^3—，表示相应点

1+21+2

|5-42|冷求解.

的坐标，分别求得平面与平面OEP的法向量，代入COS'M,"

⑶设所求几何体的体积为V,设CN=x(O<x<3)为高，则RN=Y

x,表示梯形BEFD和AABD的面积由

273+—x（3-x）

、3J1

V=­x+—x2Al,再利用导数求最值.

322

【详解】

(1)证明：不妨设所与AC的交点为MB。与AC的交点为M

由题知，CD=BC,ZDCA=ZBCA=30°,则有5。LAC

又BD/IEF,则有EFLAC.

由折叠可知，PN±EF,所以可证PN±BD,

由ACcPN=N,ACu平面PAN,PNu平面QAN,

则有6Z)_L平面上4N

又因为APu平面PAN,

所以5DLAP....

(2)解：依题意，有PN1EF,平面PEF工平ABEFD面,

又PNu平面PEF,

则有PNA平面跖D,PN1AC,又由题意知，EF±AC

如图所示：

以N为坐标原点，NA,NE,NP为苍％z轴建立如图所示的空间直角坐标系

由题意知48=4。=2,8。=5。=26,4〃=1,。知=3

由AE=；IEC可知,

ER售“NG

则N（0,0,0）,p1（）,0，W打,0,0

,A

1+X

32,G,o],/o,-£,O1,D鸟,—五0

B

1+2JI1+^J1+2

则有AP=[一打,0,三],

BP=

I1+21+2）

、

FP=,DP=\-

71

设平面ABP与平面DFP的法向量分别为切=(玉,%,4),〃=(%2,%，Z2)

AP-m=0—（42+1）$+3Z]=0

则有《n=m=3,A42+1）

BP-m=0—（4+1）%+,3Z]=0

FP-n-0

则=><

DPn-0

|5-42|=好

所以cos（m,n

因为4e(0,1),解得

⑶设所求几何体的体积为V,设CN=x(O<x<3),

则RN=^x,

3

2A/3+-%（3-x）

、3）

V=-x---------+-x273xl

322

jx+lj（3-x）+l

12

-----X

3

x-2)(x+2)

二当0〈尤<2时，V'>0,当2<%<3时，V'<0

./(九)在(0,2)是增函数，在(2,3)上是减函数

二当尤=2时，丫有最大值，

即％=*8+12x2)=竽

二六面体P-AEBED的体积的最大值是包8

9

【点睛】

本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直的转化，二面角的向量求法和空间几何体的体积，还考查了转化化归的

思想和运算求解的能力，属于难题.

19,(I)函数/(x)在(-1,-2+J5)上单调递减，在(-2+JI,+oo)单调递增；(H)2；(III)证明见解析.

【解析】

(I)先求出函数/(x)的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；

(H)设g(x)=/(x)-ax,先求出函数g(x)的导数，通过讨论。的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最

小值；

11111

(III)先求出数列一是以一=1为首项，1为公差的等差数列，an=-,an+l=-问题转化为证明：

anJnn+1

,/„111

历“+1+,1\<1+彳+公++一,通过换元法或数学归纳法进行证明即可.

+23n

【详解】

、%2+4%+2

解：(I)/(x)的定义域为(-1,+8),/(%)=1—k，

(x+l)

当—KxV—2+夜时，f(x)<2,当x>—2+后时，f(x)>2,

所以函数/(x)在卜1,-2+上单调递减，在卜2+J5,+s)单调递增.

r2

(II)设g(%)=2方(%+l)d------ax9

x+1

2(x+1)2+2(x+l)-l

,/\x+4x+219

贝!lg(%)［Qa-------1)2+2—%

x+1)x+1)2X+1

10

因为年2,故—IV—(------------1)2<0,

x+1

(i)当生1时，1-好2,(<2,所以g(x)在［2,+oo)单调递减,

而g(2)=2,所以对所有的g(x)<2,即/(x)<ax；

2—a

(ii)当IVaVl时，2V1-QVL若xw0,----,则g，(x)>2,g(x)单调递增,

l+y/Z-a

而g(2)=2,所以当%W0,时，g(x)>2,即/(x)>ax；

ci—1

(iii)当方1时，1-a",g'(x)>2,所以g(x)在[2,+oo)单调递增,

而g(2)=2,所以对所有的x>2,g(x)>2,即/(x)>ax；

综上，。的最小值为1.

(皿)由(1-an+i)(l+a«)=1得，an-an+i=an*an+i,由ai=l得，a#2,

11,11,

所以--------=1,数列一是以一=1为首项，1为公差的等差数列,

a

an+lan[4J\

J_11

故—=n,an=—,a”+i

annn+1

n-111

5“>就~一/a4+1(7?+1)+------<1+—+—++—

2(n+l)23n

九2

由(II)知a=l时,2Zn(x+l)d-----<2x9x>2,

')x+1

即山a+i)+E<x,x>2.

1,n+11,1

法一：令得山丁+丽河3

即方(〃+1)_/“+:［工11<1

n〃+1n

n11n

因为Z/〃(左+i)—历%+不|,,历(〃+l)+

2(几+1)'

k=\乙、KK十J.

所以勿(〃+1)H；-----VIH11-…H

万么I)2(77+1)23n

故$.＞一■一打q

S>lnaU

法二：n~~~n+\++->/«(n+1)+,.

2an23n2(〃+l)

下面用数学归纳法证明.

%21

(1)当”=1时，令X=1代入山(X+1)+：77~即得1>山2+—,不等式成立

2(%+1)4

(1)假设"=笈@dN*,fc>l)时，不等式成立，

即1+』+』++—>ln(k+i]-\——~-

123k')2(4+1)'

,1111k1

贝〃=左+1时1-\1FH1------〉/〃(左+1n)H7H--------

川"23kk+1''2(女+1)k+1'

1%2

令x=。！代入山(-1)+可的<刈

1左+21/\k1-^7/7i\kj左+2I

----->M7-------1----7-----77-----r/〃7(左7+I)^---;------7------->加(左+])H----(-----r+III-------1-----------------

1寻％+1k+\2(左+1)(攵+2)172(左+1)左+1172(左+1)k+12(左+1)(左+2)

左（左+2）+1k+1

=ln(k+2)+ln(k+2)+

2（左+1）（左+2）2(1+2)

、，

即.1,H1----11----FH--1--1----1-->/“(/左,+2)-I---2-----

1,23kk+1、)2(4+2)'

,11

由（1）（1）可知不等式1+万+耳++~>ln(n+l]-\———~-对任何“GN*都成立.

n、)2(〃+1)

故S.＞料一方

2a“

考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值；3、数列的通项公式；4、数列的前〃项和；5、

不等式的证明.

20、（1）y=-l；（2）p（_g,3）或p（后1）.

【解析】

试题分析：直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与曲线相交于M,N两点，且满足QWLQV,

只需数量积为0,要联立方程组设而不求，利用坐标关系及根与系数关系解题，这是解析几何常用解题方法，第二步

利用直线QR的斜率找出坐标满足的要求，再利用两直线与圆相切，求出点的坐标.

一/、/、\b\

试题解析：（1）解：设/：y=H+Z?,M（xl,y^,N（x2,y7）,由/和圆。相切，得「—=1.

A/K+1

b2=/+].

y-kx+b

由｛-2c消去y，并整理得尤2—依—b—2=0，

y=x-2

xx+x2=k,\x2=-b-2.

由OM_LON,得OMON=0,即石々+%%=。.

/.西苑+（何+b）（kx2+b）-0.

/.（1+左2）%龙2+kb（%+%2）+/=0,

：.（l+k2）（-b-2）+k-b+b2=0,

：.b\-b-2）+[b--l）b+b2=0.

**-Z?2+Z?=0•

.•./?=—1或Z?=0（舍）.

当b=—1时，k=Q,故直线/的方程为y=-L

⑵设p（%,为）,。（4％）,火伍,必），则％亡―上"2）一/一2）=西+々.

演-x2项一x2

；・%+%二—^3.

设,少：丁一%二%（%一%），由直线和圆相切，得而下一二1，

即（%；—1）化;—2%%勺+y：-1=0.

设/PR：y—%=%（%—%），同理可得：（%；-1）^2—2%o%左2+y：—1=。.

故勺，&是方程（焉—1快2-2x0y0k+^-1=0的两根，故左+修=乌吟.

苞、-1

V=Vn-kyXr.r

由｛，量-2得厂勺―=。，故为+……

同理％0+々=左2，贝！|2%0+再+%2=勺+左2，即2%0-6=2°'；.

X。T

.•.2%一百=2%芳：2）,解/=_曰或6

当/=-立时，%=-?；当/=百时，％=L

33

故P-彳>-'!或。（石」）.

I3力

21、（1）故函数y=E（x）在,,：］上单调递增，在上单调递减;（2）?.

【解析】

试题分析：

（I）根据题意得到/（%）的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性.（II）分析题意可得

/(X2)+出(%)4/(%)+火(%)对任意—2WaW—l,1<%<2恒成立，构造函数

7z(%)—f(%)+tg(x)-lux—cix^+(1—2/)%+3%,则有〃(％)——ax+(1—2%)V0对任意a£[―2,—1],xG[1,2]

2x

恒成立，然后通过求函数的