2024年高考数学一轮复习（新高考版）基本不等式

§1.4基本不等式

【考试要求】1.了解基本不等式的推导过程2会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基

本不等式在实际问题中的应用.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.基本不等式：

(1)基本不等式成立的条件：G0,6>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当。=6时,等号成立.

(3)其中竽叫做正数a,b的算术平均数，幅叫做正数a,b的几何平均数.

2.几个重要的不等式

(1)〃2+22ab(a,〃£R).

hri

(2与+］》2(。，c同号).

(3)abW("m，》GR).

(4)a~^b(a,bGR).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数，如果积犯等于定值尸，那么当尤=>时，和尤+y有最小值2炉.

(2)已知x,y都是正数，如果和尤+y等于定值S,那么当x=y时，积冲有最大值*.

注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴不等式与迎W皇等号成立的条件是相同的.(X)

(2)y=%+：的最小值是2.(X)

(3)若x>0,y>0且4+>=孙，则孙的最小值为4.(V)

(4)函数尸sinx+#"，%］。，以的最小值为4.(X)

SillX\乙)

【教材改编题】

1.若正实数〃，匕满足。+4吐出则就的最小值为()

A.16B.8C.4D.2

答案A

解析因为正实数。，6满足〃+4/?=血

所以ab=a+4b^2\[4ab=4y[ab,

所以ab216,

当且仅当〃=4A,即〃=8,8=2时等号成立.

2.函数丁=%+金7光20)的最小值为.

答案1

解析因为x20,所以x+l>0,义7>。，

x十1

利用基本不等式得y=尤+士=尤+1+七一1/(x+l>dy—1=1,

JiIJ-人I1\/Ji\L

当且仅当x+l=±,即尤=0时，等号成立.

X十1

所以函数〉=%+金^。10)的最小值为1.

3.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是n?.

答案25

解析设矩形的一边为xm,面积为yn?,

则另一边为]X(20—2x)=(10—x)m,

其中0<x<10,

x+(10—x)

.•・y=x(10—x)W--------------29=25,

当且仅当x=10—x,即x=5时，等号成立，

,,Vmax-25,

即矩形场地的最大面积是25nA

■探究核心题型

题型一利用基本不等式求最值

命题点1配凑法

例1⑴已知x>2,则函数尸x+五的最小值是()

A.2^2B.2吸+2

C.2D.A/2+2

答案D

解析由题意可知，x-2>Q,

1

,,•y=(x-2)+,,'A+2^2A/(X-2K,-7.+2=V2+2,当且仅当x=2+号时，等号成立,

函数>=苫+本，(02)的最小值为也+2.

3

(2)设04<于则函数y=4x(3—2x)的最大值为.

宏安—9

u木2•

3

角星析V0<x<2，A3-2x>0,

—「2x+(3—2x"9

y=4x(3—2x)=2[2x(3—2x)]W2——-------=1

3

当且仅当2x=3—2x,即尤时，等号成立.

函数y=4x(3—2x)(0<x<!)的最大值为

命题点2常数代换法

例2己知无>0,y>0,且4x+2y-孙=0,则2尤+y的最小值为()

A.16B.8+4也

C.12D.6+4正

答案A

解析由题意可知彳2+4?=1,

xy

.•.2x+y=(2x+y0力=三+m+8N2里f+8=16,

当且仅当号=§,即x=4,y=8时，等号成立，

yx

则2x+y的最小值为16.

命题点3消元法

例3(2023・烟台模拟)已知无>0,j>0,x+3y+xy=9,贝！Jx+3y的最小值为.

答案6

解析方法一(换元消元法)

由已知得9-(%+3>)=盯=+3>耳.’3")2,当且仅当彳=3丫，即x=3,y=l时取等号.

即(x+3y>+12(尤+3y)—108N0,

令x+3y=t,则f>0且产+12f—10820,

得即x+3y的最小值为6.

方法二(代人消元法)

9—3y

由x+3y+孙=9,得x=]+.,

诉也工鼻9—3y9—3y+3y(1+y)

所以x+3y-i+y+3y-引

9+3y23(l+y)2-6(l+y)+12

=]+y=1+^

=3(1+y)+差一62213(1+y)•差一6

=12—6=6,

1?

当且仅当3(1+内=有，即y=l,x=3时取等号，

所以x+3y的最小值为6.

延伸探究本例条件不变，求孙的最大值.

解9~xy—x+3y^2\l3xy,

；.9一町22"\/3xy,

：.t>0,

.•.9一户,2小f,

即户+25f—9W0,

解得0<fW小，

'.y[xy^y[3,...孙W3,

当且仅当x=3y,即x=3,y=l时取等号，

孙的最大值为3.

思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.

(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代

换的方法；三是消元法.

跟踪训练1(1)(多选)若正实数a,6满足a+6=l,则下列说法错误的是()

A.ab有最小值[

B.8g+8也有最大值8啦

C.[+1有最小值4

D.那+炉有最小值乎

答案AD

解析由1=〃+/?22^^（当且仅当。=/?=3时等号成立），

得abW9,故〃/?有最大值：，故A错误；

（6+也）2=4+6+2，^=1+2^^^1+2\^=2（当且仅当〃=/?=；时等号成立）,

则3+也贝I队「+8也有最大值8也，故B正确；

工+4="中=424（当且仅当。=6=:时等号成立），

故!+1有最小值4,故C正确；

〃2+。2=3+力2-2〃6=1-24/?*（当且仅当〃=/?=3时等号成立），

所以层+〃有最小值;，故D错误.

Y---1

⑵已知X>1,则y=m两的最大值为.

答案I

解析令t=X—l9/.x=t+l,

Vx>l,.*.^>0,

._t_£_1_1_1

，），_2-2--,

•（r+l）+3r+2r+4f+4+2^2V4+26

4

当且仅当t=2,即x=3时，等号成立，

.,.当X=3时，Jmax=g.

题型二基本不等式的常见变形应用

例4⑴若0<a<b,则下列不等式一定成立的是（）

ct~\~bi—

A.b>~2~>ci>\lab

i—〃+b

B.bRab>—

abI—

C.b>~2~>\ab>a

a+hI—

D.b>a>~2~>y/ab

答案c

解析*.*0<a<b,2b>a~\~b,

.ciIbI—

/.b>-2-Xab.

*.*b>a>0,ab>ci1,y[ab>a.

..cibI—

故b>~2~>yjab>a.

（2）（2023•宁波模拟）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方

数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证

明，也称之为无字证明.现有如图所示图形,点尸在半圆。上，点C在直径上，且OFLAB,

设BC=b,则该图形可以完成的无字证明为（）

abI—

A.—2一ab(a>0,b>0)

B.c^+b2^2y[ab(a>0,Z?>0)

a~\~b层+及

D.2W-2—(〃>0,Z?>0)

答案D

由图形可知，）

解析OF=^AB=^a+b,

OC=1（〃+b）—b=2（。—b）,

在RtZXOC尸中，由勾股定理可得，

CF=\I（审）+（/）=1〈02+及），

•：CF20F,

+b）（a>0,Z?>0）.

思维升华基本不等式的常见变形

⑴.”性中.

27i—a~\~bc^+b2

Q）1jWyfZbW~~2~~W\~2-（。>0,Z?>0）.

~a+TbV

跟踪训练2（2022.漳州质检）已知a,b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是

（）

A.啖B-+J-

a+bab

2/~2-

C'y[abcr+b2

答案B

解析'：a,6为互不相等的正实数，

•1.12

2212

2\j~aby[abyfab9

I2rr__i___2_

\a2+b2<\]2aby[ab<y[ab9

•••最大的是％/

题型三基本不等式的实际应用

例5中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一

场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品（一

个会徽和一个吉祥物）售价定为尤元时，销售量可达到（15—0.1尤）万套.为配合这个活动，生

产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为

50元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10.约定不计其他成本,

即销售每套纪念品的利润=售价一供货价格.

中国陕西2021

SHAANXICHINA

（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？

（2）每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？

解（1）每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15—0.1X100=5（万套）,

供货单价为50+学=52（元），

总利润为5X（100—52）=240（万元）.

（2）设售价为x元，则销售量为（15—0.1尤）万套，供货单价为（50+i5，1iJ元，

单套利润为X—50一m二5。一询二J元，因为15—0.卜＞0,所以0＜无＜150.

所以单套利润为

产尤一50—［（150—^^^J+lOOWl。。—2y

当且仅当150—x=10,即x=140时取等号，

所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.

思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足

实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.

跟踪训练3某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形A8CD,如图）上设计三个等高的

宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之

和为1440cn?.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm.当直角

梯形的高为cm时，用纸量最少（即矩形A3CZ）的面积最小）.

答案12小

解析设直角梯形的高为xcm,

•••宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为1440cm2,

且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2cm,

1440

・•・海报宽AO=x+4,海报长+8,

故S屐4BCO=ADQC=（X+4）^^+8）=8X+^^+1

472N28^5^0+1472=192小+

1472,

当且仅当网=等，

即x=12小时，等号成立.

「・当直角梯形的高为12小cm时，用纸量最少.

课时精练

应基础保分练

1.下列函数中，最小值为2的是（）

2

A.y=x+~

f+3

B.

C.y=ex+e~x

D.y=sinx+^^0<x<3

答案C

2

解析当x<0时，y=x+-<0,故A错误;

f+3/o—1

y飞奉=点王+平寿2，

当且仅当7好+2=吊=^^,即f=—1时取等号,

又一w—1,故B错误；

y=e*+e-x2y/ex-e~x=2,

当且仅当ex=e~x,

即x=0时取等号，故C正确;

当电

0,I时，sin%£(0,1),

>=5由％+系22,

当且仅当sinx=^^,

即sinx=l时取等号，

因为sinxG(0,1),故D错误.

2.已知。>0,b>0,a+b=2,则lga+lg6的最大值为()

A.0B.1C.；D.1

答案A

解析'：a>Q,b>0,a+b=2,

/.1ga+lgb=lgab^lg=0,

当且仅当a=b=\时，取等号.

；.lga+lgb的最大值为0.

3.（2021•新高考全国I）已知尸1，尸2是椭圆C：5+]=l的两个焦点，点M在C上，则阿

的最大值为（）

A.13B.12C.9D.6

答案C

解析由椭圆C：看+彳=1，得|"+|M尸¥=2X3=6,贝山"皿尸21d也”皆理>二32

=9,当且仅当1MBi=|MB|=3时等号成立.

所以的最大值为9.

4.（2023•太原模拟）已知a,6为正实数，a+b=3,则一）+9方的最小值为（）

CLILU\乙

A.TB.7C.2D.4

Jo2

答案A

解析因为Q+Z?=3,

111t1万+2+1

所以--1A1%+2〃+1

++2-6++1+Z?+2=+1+2

〃&+2M)6.a

2

3'

当且仅当即°=2,6=1时，等号成立.

112

所以•的最小值为（

a~\~1b+2

4

5.（多选X2022•衡阳模拟）设。=log23,Z?=log2^则下列关系正确的是（）

a~\~ba+b

A.ab>~2—B.ab<2

a-\~bbC7b

>一D.ab>~

2aa

答案BCD

(a+b)2bi小、I、、

解析易知〃>0,Z?>0,―2—=1，a丰b,ab<r~~—=1,ab>~^a>l,显然成立.

叱7b

所以一^—>ab>G

6.（多选）（2023・黄冈模拟）若〃>0,b>0,且〃+b=4,则下列不等式恒成立的是（）

1111

AKN--十-

浦_4a力

C.Iog2〃+log2b<2D-^+^C8

答案BD

解析因为〃>0,Z?>0,所以停/）w"J",当且仅当〃=b=2时等号成立,

则仔>=4或02或〃,当且仅当a=b=2时等号成立，

则/层+尻力8,悬

当且仅当a=b=2时等号成立，

则10g2〃+10g20=10g246W10g24=2,

当且仅当〃=匕=2时等号成立，故A,C不恒成立，D恒成立；

对于B选项，1+：="¥=W14X]=1,

当且仅当〃=匕=2时等号成立，故B恒成立.

7.函数的最小值为.

答案0

炉—1+111

解析因为y=」_[—X-1+।=x~\~1+I—2(x>-1),

,x+1x+11x-\-1

所以代2#—2=0,

当且仅当尤=0时，等号成立.

所以〉=百(%>—1)的最小值为o.

8.(2023•娄底质检)已知〃，/?为正实数，且2〃+/?=1,贝(+治的最小值为

答案6

解析由已知条件得，(+治=吟丝+为=号+型+4N2\^W+4=6,

当且仅当§=品即a=京匕=£时，取等号.

所以|十为的最小值为6.

9.(1)当时，求函数y=x+o的最大值;

⑵已知0<x<2,求函数y=R4—/的最大值.

解(Dy=T(2x—3)+己十|=—(y+&)+|.

3

当时，有3—2x>0,

叱23-2%813—2x8一,

所以25+3Q—2x、253Q—2%

Q—OyQ1

当且仅当一^=占，即X=—3时，取等号.

23~2x2

355

于是yW—4+]=—故函数的最大值为一].

(2)因为0<x<2,

所以4—P>0,

则y=x\)4—x2=y]x2-(4~x2)<~—=2

当且仅当f=4—即彳=啦时，取等号，

所以y=r\/4—%2的最大值为2.

10.某企业为了进一步增加市场竞争力，计划利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，

生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产武干部)手机，需另投入成本R(x)万元，

10A2+100x,0<x<40,

且R(x)=1,10000、通过市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全

70U+—：——9450,x，40,

年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)求出今年的利润wax万元)关于年产量彳(千部)的函数关系式(利润=销售额一成本)；

(2)今年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

解(1)当0<x<40时，W(x)=700x~(10^+100x)-300=-10^+600.r-300,

„、,,10000八,10000A,

当x240时，W(x)=700x—(705+―-——9450)—300=—卜+――J+9150,

—1Ox2+600%—300,0<x<40,

⑵若0a<40,W(x)=-10(x-30)2+8700,

当X=30时，W(X)max=8700(万元).

若尤2M0,W(x)=-[j+10^00^+9150W9150-2^/10000=8950,

当且仅当天=萼2时，即x=100时，取等号.

•••W(X)max=8950(万元).

.•.今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8950万元.

立综合提升练

11.(2023•湘潭模拟)已知a,P为锐角，且tana-tan』+2tanatar?夕=0,则tana的最大值为

()

.坐C坐D.^2

答案A

解析因为£为锐角，所以tan£>0,

由题意可得tana=[黑2/1].去=

"an夕+诉'

当且仅当tan^=坐时取等号，

故tana的最大值为当.

12.（2022・天津模拟）若a>0,b>0,则（。+6）2+9的最小值为.

答案4

解析若a>0,b>0,则3+£>）2+9分（2/^）2+3=4"+表力4,

a='b,

当且仅当（1

叶=茄，

即a=6=乎时取等号，

故所求的最小值为4.

维尧展冲刺练

13.《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依

据，通过这