2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理课件新人教A版选择性必修第一册

第一章学习单元2空间向量基本定理本学习单元的主要内容是空间向量基本定理.空间向量基本定理是立体几何问题代数化的基础,有了这个定理,任何一个空间向量都可以由三个不共面的基向量来唯一确定,这样就实现了从无限空间向量到有限基向量的转化,结合向量运算,能表示及解决更多的几何问题.本学习单元,从空间中三个两两垂直的不共面的向量这一特殊情况出发,类比平面向量基本定理,得到空间向量基本定理,并在简单问题中选用基底表示其他向量.由此得出本单元的研究内容:空间向量分解为三个两两垂直的向量→空间向量基本定理→简单应用.这是本学习单元的知识明线.具体知识结构如下图所示:在知识明线的学习过程中,如何选择合适的基底来表示任一向量,体会无限化有限的思想是一个难点,这依赖于对立体几何图形基本元素及其基本关系的把握,依赖于对空间向量基本定理的应用,能较好地培养空间想象力及化归的数学思想,从而发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.学习目标1.掌握空间向量基本定理.(数学抽象)2.了解空间向量正交分解的含义.(数学抽象)3.会用空间向量基本定理解决有关问题.(逻辑推理、数学运算)基础落实·必备知识一遍过知识点

空间向量基本定理1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在_______

有序实数组(x,y,z),使得p=

.

2.基底:我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做

.

空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底

唯一的

xa+yb+zc基向量

3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量

,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.

单位正交基底为建立空间直角坐标系奠定了理论基础

由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=

.像这样,把一个空间向量分解为三个

的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

两两垂直

xi+yj+zk两两垂直

微思考1.空间的一个基底中,能否有零向量?为什么?

2.空间的基底是否唯一?空间的任意向量用基向量表示是否唯一?提示

不能.因为零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面.提示

空间的基底不唯一,任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;但当基底选定时,空间任意向量用基底表示是唯一的.重难探究·能力素养速提升问题1平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a,b来表示(平面向量基本定理).类似地,任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢?问题2三个共面的向量能否表示空间中任意一个向量?为什么?探究点一基底的判断问题3已知{a,b,c}是空间的一个基底,则向量a,b,c应满足什么条件?为什么?【例1】

设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间的一个基底的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个C规律方法

判断基底的基本思路及方法(1)基本思路:判断三个空间向量是否共面.若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.(2)方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组.若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.探究点二用基底表示空间向量问题4选取空间的一个基底,则空间任意向量均可用这个基底线性表示.根据向量的加减法及数乘运算,如何用基底表示未知向量?规律方法

用基底表示向量的注意事项(1)空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的.(2)用基底表示空间向量时,一般要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则,逐步向基向量过渡,直至全部用基向量表示.(3)在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底.例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底.探究点三应用空间向量基本定理证明线线位置关系问题5基底的引入,使得空间不再“杂乱无章”,而是能用基底有序地表示.选取恰当的基底线性表示未知向量,如何根据数量积运算,证明线线位置关系?【例3】

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.(1)证明:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值.规律方法

应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行,可求两条异面直线所成的角等.一般是根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.(1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0;(2)若证明线线平行,只需证明两向量共线;(3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).探究点四应用空间向量基本定理求距离、夹角问题6选取适当的基底表示未知向量,根据数量积定义,如何求线段的距离以及直线的夹角?【例4】

如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.求:(1)AC1的长;(2)BD1与AC所成角的余弦值.规律方法

利用数量积求夹角或其余弦值的基本步骤

本节要点归纳1.知识清单:(1)空间向量的基底;(2)空间向量基本定理及其应用;(3)空间向量共线、共面的充要条件.2.方法归纳:转化化归.3.常见误区:(1)基向量理解错误,没有注意到基向量的条件;(2)运算错误,利用基底表示向量时计算要细心;(3)向量夹角和直线间夹角的范围不同,不要混淆;(4)转化目标不清,如表示向量时没有转化目标,不理解空间向量基本定理的意义.学以致用·随堂检测促达标12341.(例1对点题)若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底.解

假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面.即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b,b+c,c+a不共面.故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.1234B12343.(例3对点题)已知三棱柱ABC