理论力学（工科专业）全套教学课件

第1章

刚体静力学基础全套可编辑PPT课件静力学、运动学和动力学三部分，共17章。静力学包括刚体静力学基础、平面力系、空间力系，运动学包括点的运动学、刚体的基本运动、点的合成运动、刚体的平面运动，动力学包括质点运动微分方程、动量定理、动量矩定理、动能定理、碰撞、达朗贝尔原理、虚位移原理、动力学普遍方程与拉格朗日方程、机械振动基础、质点相对运动的动力学基础。本章内容

1力和刚体

2静力学公式

3约束和约束力

4物体的受力分析与受力图第一节力和刚体的基本概念一、力力使物体的运动状态发生变化的效应，称作力的外效应；而使物体发生变形的效应，则称作力的内效应。力的常用单位为N或kN。力的大小、方向和作用点，称为力的三要素。二、刚体刚体是指在力的作用下不变形的物体，即在力的作用下其内部任意两点的距离永远保持不变的物体。这是一种理想化的力学模型。刚体是在一定条件下研究物体受力和运动规律的科学抽象，因此，静力学又称为刚体静力学。第二节静力学公理公理一力的平行四边形法则作用在物体的同一点上的两个力的合力仍作用在该点上，其大小和方向由两个力组成的平行四边形的对角线表示，如图1-1（a）所示，或者说，合力矢等于这两个力矢的矢量和，即图

1-1a图1-1（b）推论1如图1-1（b）所示，可另作一力三角形来求两汇交力合力矢的大小和方向，即依次将

和

首尾相接画出，力的三角形法则然后连接第一个力的起点至第二个力的终点形成三角形的封闭边，即为二力的合力矢

，称为力的三角形法则。图1-3（c）推论2力的多边形法则如图1-1（c）所示，作用线汇交于同一点的若干个力组成的力系，称为汇交力系或共点力系。推论2力的多边形法则利用力三角形，将各力逐一相加，可得到从第一力到最后一力首尾相接的多边形，如图1-1（d）所示，多边形的封闭边即为该汇交力系的合力。图1-1（d）用力多边形求汇交力系的合力时，合力的指向是从第一力的起点指向最后一力的终点。公理二二力平衡公理使刚体在两个力作用下维持平衡状态的充要条件是这两个力大小相等、方向相反、沿同一直线作用，称为二力平衡公理，图1-2（a）反之，若刚体在且仅在两个力的作用下处于平衡，则此二力必大小相等、方向相反，且作用在两受力点的连线上。如图1-2（a）所示，公理二图1-2（b）中的三铰拱在力

的作用下处于平衡状态，杆AC，CB两部分也是平衡的。如图1-2（c）所示，假如不考虑杆的自重，则杆CB是受二力作用而处于平衡的，故C，B处的两个力必作用在两受力点C，B的连线上，且大小相等、方向相反。这类只有两点受力的无重杆，通常称为二力杆或二力构件。图1-2（b）（c）公理三加减平衡力系公理在作用于刚体的力系上任意加上或减去一个平衡力系不改变原力系对刚体的作用效果。力在刚体上的可传性原理推论3作用于刚体上的力，其作用点可以沿作用线在该刚体内前后任意移动，而不改变它对该刚体的作用效果。证根据加减平衡力系公理设有力

作用在刚体上的点A，如图1-3（a）所示。可在力的作用线上任取一点B，并加上两个相互平衡的力

和

，且如图1-3（b）所示，由于力

和

也是一个平衡力系，故可去掉，这样只剩下一个力。如图1-3（c）所示。因此，原来的这个力

与力

等效，即原来的力

沿其作用线移到了点B。（a）（b）（c）图1-3三力平衡汇交定理推论4若刚体在三个互不平行的共面力的作用下处于平衡状态，则这三个力的作用线必汇交于一点。证如图所示，在刚体的A，B，C三点上，分别作用三个相互平衡的力，，根据力的可传性，将力

和

移到汇交点O，根据力的平行四边形法则，得合力，则力

应与

平衡。由于两个力平衡必须共线，所以力

必定与力

和

共面，且通过力

与

的交点O。于是定理得证。公理四作用和反作用定律任何两个物体的相互作用力，总是等值、反向、共线且分别作用于两个物体上。公理五刚化原理设变形体在已知力系作用下维持平衡状态，如果将这个已变形但平衡的物体变成刚体（刚化），则其平衡不受影响。第三节约束和约束力被约束体约束限制被约束体运动的周围物体称为约束。例一个运动受到限制或约束的物体，称为被约束体。如图，圆柱形滚子静止在水平路面上。取滚子为研究对象，则它是一个被约束体，而路面就是它的一个约束。约束力例约束对被约束体的反作用力称为约束力。如图，重物由绳索挂在空中。取重物作为研究对象，则它是一个被约束体，而绳索是它的一个约束。约束力的方向应当与它所能限制的被约束体的运动方向相反。这是确定约束力方向的基本原则。约束力方向一，理想的光滑表面约束例车轮与轨道的接触面、图1-5中与滚子接触的路面，都可以认为是理想光滑表面约束。约束力的方向沿接触面公法线指向被约束体，称为法向约束力。图1-5图1-5中路面对滚子的约束力

就是法向约束力。一，理想的光滑表面约束例图1-7中的直杆放在槽中，它在A，B，C三处受到槽的约束，这种约束称为尖端支承约束，此时可将尖端支承处看作小圆弧与直线相切，其约束力仍是法向约束力。图1-7二，柔性约束例柔性约束一般由柔软的绳索、链条或皮带等构成。由于这些物体只能承受拉力，故这类约束的约束力只能是拉力。

图1-6中吊住重物的绳索就是一个柔性约束，其约束力为拉力。

图1-6二，柔性约束例

如图l-8（a）所示的带传动装置，其传送带的约束力都是拉力，如图1-8（b）所示。（a）（b）图1-8三，圆柱铰链（平面铰链）约束

为了将两个构件A与B连接在一起，可以在A，B上各钻一个圆孔，然后用圆柱形销钉将它们串起来，如图1-9所示。图1-9这种约束称为圆柱铰链三，圆柱铰链（平面铰链）约束

如图1-10（a）所示，约束力

应通过接触点K沿公法线方向（通过销钉中心）指向构件。图1-10（a）实际上预先很难确定接触点K的位置，因此约束力

的方向无法确定。三，圆柱铰链（平面铰链）约束

如图1-10（b）所示，通常用一对互相垂直的分力

与

表示约束力

图1-10（b）根据平衡条件计算出

与

的大小，再根据需要用平行四边形规则求得合力

的大小和方向。由于这种铰链限制构件在垂直于销钉的平面内的相对移动，故亦称为平面铰链。约束在工程中实例（1）固定铰支座用以将构件和基础连接，桥梁的一端与桥墩的连接常用这种约束，如图1-11所示为这种约束的简图。图1-11图1-12（2）向心滚动轴承轴颈处的向心滚动轴承，如图1-12所示。约束在工程中实例（3）连接铰链用来连接两个可以相对转动但不能移动的构件，如曲柄连杆机构中的曲柄与连杆、连杆与滑块的连接，如图1-13所示。图1-13通常在两个构件的连接处用一小圆圈来表示铰链约束在工程中实例（4）滚动铰支座一种特殊的平面铰链，通常与固定铰支座配对，分别装在桥梁的两端。与固定铰支座不同的是，它不限制被约束的梁端在水平方向的位移。（a）（b）图1-14这种铰链的约束力只能在滚轮与地面接触面的公法线方向，如图1-14（a）所示！圆柱铰链约束不能限制构件之间绕销钉轴的相对转动三，空间球铰链

球铰链的构造如图1-15（a）所示，通常是将构件的一端做成球形后放入另一构件或基础中的球窝中。图1-15（a）作用是限制被约束体在空间中的移动但不限制其转动三，空间球铰链

某些电视机的天线下端与天线座的连接就是球铰链约束。图1-15（b）其约束力一般由三个互相垂直的分为

，

，

表示，如图1-15（b）所示。例第四节物体的受力分析与受力图受力分析物体的受力是指分析所要研究的物体（称为研究对象）上受力多少、各力大小（已知或未知）和方向的过程。主动力约束力如工作载荷、构件自重、风力等，这类力一般是已知的或可以测量的。需要进行受力分析约束力受力分析进行受力分析，就是要具体分析构件上所受这些力的大小和方向，而分析结果通常是表示在所研究物体的简图上。表示物体受力分析结果的简图称为受力图作受力图的一般步骤如下：（1）取研究对象并画出简图。（2）先画上主动力。（3）逐个分析约束，画出约束力。！作受力图的主要工作是对约束力进行分析解例1-1重力为P的圆球放在板AC与墙壁AB之间，如图1-16（a）所示。设板AC重力不计，试作出板与球的受力图先取球作为研究对象，作出简图，其受力如图1-16（b）所示。球上主动力P，约束力有

和

，均属于理想光滑面约束的法向约束力图1-16（b）图1-16（a）再取板作为研究对象。由于板的自重不计，故板AC只有A，C，

处的约束力，其受力如图1-16（c）所示。图1-16（c）其中，A处为固定铰支座，其约束力可用一对正交分力

，

表示；C处为柔性约束，其约束力为拉力

；

处的约束力为法向约束力。

图1-16（d）利用三力平衡汇交定理确定出A处约束力的方向，即先由力

与

的作用线延长后求得汇交点O，再由点A向O连线，则

的方向必沿着AO方向，如图1-16（d）所示。图1-16（d）解例1-2如图1-17（a）所示，梯子AB和AC在点A处铰接，又在D，E两点处用绳连接。梯子放在光滑水平面上，不考虑其自重，在AB上的H处作用一铅垂力F。试分别画出整个系统、DE、AB以及AC的受力图。图1-17（a）整体的受力分析如图1-17（b）所示图1-17（b）把平衡的整个结构刚化为刚体在H处受载荷F的作用，在铰链A处受AC部分给它的约束力

，

的作用。在点D处受绳子对它的拉力

作用，

是

的反作用力。在点B处受光滑地面对它的法向约束力

的作用。图1-16（c）梯子AB部分的受力分析如图1-17（c）所示。绳子DE的受力分析如图1-17（e）所示。

，

是梯子对绳子两端D，E的拉力。图1-17（e）梯子AC部分的受力分析如图1-17（d）所示。在铰链A处受AB部分对它的作用力

，作用。在点E处受绳子对它的拉力

作用，

是

的反作用力。在C处受光滑地面对它的法向约束力

作用。图1-17（d）ThankYou!第2章

平面力学本章内容

1力在轴上的投影与力对点的矩

2力偶矩

平面力偶系的简化

3平面力系的简化4平面力系的平衡条件与平衡方程式5平面力系平衡方程式的应用举例6物系的平衡

静定与超静定的概念7滑动摩擦及其平衡问题第二章平面力系力系平面力系空间力系各力作用线共面的力系各力作用线不共面的力系本章将详细地讨论平面力系的简化和平衡问题。第一节力在轴上的投影与力对点的矩一、力在轴上的投影如图2-1所示，已知力F与轴x，称力F与轴x的单位向量i的数量积为力F在轴x上的投影，记为

。于是有图2-1从几何上看，是过力矢的起点A和终点B分别向轴x引垂线所得到的有向线段的长度。图2-1力在轴上的投影是一个代数量，其正负号可由力F与轴x的正向夹角来反映。由式（2-1）知：当时，当时，通过几何上判断其正负号如图2-1所示。当有向线段

与x轴正向一致时，

为正，反之为负。力在轴上的投影在两种情况下等于零：①力等于零；②力与轴垂直，即当

时，

。为了计算上的方便，经常取力在平面直角坐标轴上的投影，如图2-2所示。此时有图2-2反表示力F的大小与方向，即之，若已知力F在一对直角坐标轴上的投影

与

，就可由它们来F的大小与方向，即式中：

，

——分别表示力F与x轴和y轴的夹角。力在平面直角坐标轴上的投影与力沿这两个方向的分力的大小在数值上是相等的根据合矢量投影规则，可以得到一个重要的结论，即合力投影定理

力系的合力在某轴上的投影等于各分力在该轴上投影的代数和。设一平面力系由组成，其合力记为。称为该力系的主矢。力系的合力

与主矢

是有区别的证合力

的大小和方向与主矢

是相同的，故，

与

在任一轴上的投影相等。根据合力投影定理，可得（2-3）故（2-4）式中：

，

——分别表示合力

与x轴和y轴的夹角。二、力对点的矩例用扳手拧螺母时，螺母的转动效果除与力F的大小和方向有关外，还与点O到力作用线的距离h有关。距离h越大，转动效果就越明显，反之亦然，如图2-3所示。图2-3可以用力对点的矩这样一个物理量来描述力使物体转动的效果。力F对某点O的矩等于力的大小与点O到力的作用线的距离h的乘积，并冠以适当的正、负号，记作其中，点O称为矩心；h称为力臂；Fh表示力使物体绕点O转动效果的大小；是一个代数量。规定：使物体逆时针方向转动的力矩为正，反之为负。根据定义图2-3所示的力

对点O的矩为由定义知：力对点的矩与矩心的位置有关，同一个力对不同点的矩是不同的。因此，对力矩要指明矩心。在计算力系的合力对某点的矩时，常用到所谓合力矩定理，即平面力系的合力对某点O之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。设平面力系由

组成，该力系合力为

，则有例如果计算力F对点O的矩，如图2-5所示，由合力矩定理，有图2-5第二节力偶矩平面力偶系的简化力偶是由一对等值、反向、不共线的平行力组成的特殊力系。它对物体的作用效果是使物体转动。力偶中的两个力对其作用面内某点之矩的代数和，称为该力偶的力偶矩，记为

，简记为M。如图2-6所示：与组成一个力偶，两力之间的距离d，称为力偶臂。在力偶作用面内任选一点O，设点O到力

的距离为a；按定义，该力偶的力偶距

为图2-6力偶矩与矩心无关，这是力偶矩区别于力对点的矩的一个重要特性。正是由于这一点，写力偶矩时不必写出矩心，只记作

或M即可，有力偶中两个力在任意轴上的投影的代数和都为零，这也是力偶所特有的性质力偶不能与单个力等效，也不能与单个力相平衡力和力偶是静力学中的两个基本要素。根据力偶的特性，可以得到一个重要的结论，即同平面内力偶的等效定理：同一平面内的两个力偶等效的唯一条件是其力偶矩相等。该定理等价于下列事实：（1）力偶矩是力偶作用的唯一量度。（2）在力偶矩不变的前提下，可以在作用面内任意移动和转动力偶。（3）在力偶矩不变的前提下，可以同时改变力偶中力的大小和力

偶臂的长短。讨论平面力偶系的简化问题设平面力偶系由n个力偶组成，其力偶矩分别为图2-7平面力偶系的简化（1）保持各力偶矩不变，同时调整其力与力偶臂，使其有共同的臂长d。由于

，所以有（2）将各力偶在平面内移动和转动，使各对力的作用线分别共线。（3）求各共线力系的代数和，每个共线力系得一合力，而这两个合力

等值、反向，相距为d，构成一个合力偶，其力偶矩为即平面力偶系可以用一个力偶等效代替，其力偶矩为原来各力偶矩的代数和。图2-8第三节平面力系的简化一、力平移的定理作用在刚体上A点处的力F，可以平移到刚体内任一点B，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力F对新作用点B的矩。这就是力线平移定理。证设刚体上A点作用着一个力F，在刚体内任选B点，现在把力F平移到B点。根据加减平衡力系公理在B点处加上一对平衡力

，

，使得故点A处的力F就由点B处的力

及附加力偶等效代替了，而且该力偶的力偶矩M等于原来的F对新作用点B的矩。意义在理论上，它建立了力与力偶这两个基本要素之间的联系。在实践上，应用力线平移定理，可以很方便地简化一个复杂的力系。例图2-11（a）图2-11（b）攻螺纹用的铰杠丝锥二、平面力系的简化

主矢与主矩设刚体上作用着一个平面力系

，如图2-12所示。图2-12（1）在平面力系内任选一点O，称为简化中心。（2）将平面汇交力系中的各个力作矢量和，得到一个合力矢，称为原力系的主矢，记为

。由简化过程知（3）附加的平面力偶系中各力偶的力偶矩由力线平移定理知其力偶矩记为

，称为原力系的主矩，它等于各力偶矩的代数和，也等于原力系中各力对简化中心O点的矩的代数和，即综上所述，平面力系向作用面内任意一点简化，可以得到一个力和一个力偶；力称为原力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和；力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。一个任意的平面力系，都可以由一个力和一个力偶等效替换选定直角坐标系xOy，计算出各力在两轴上的投影，再根据合力投影定理得到主矢在两轴上的投影

，

，最后求得主矢即

，即式中：

，

——分别是

与x轴和y轴的夹角固定端（插入端）约束。它是使被约束体插入约束内部，被约束体一端与约束成为一体而完全固定，即不能移动也不能转动的一种约束形式。例（a）（b）图2-13固定端约束的约束力是由约束与被约束体紧密接触而产生的一个分布力系。如图所示注意固定端约束与平面铰链约束中的固定铰链是有本质区别的。从约束效果上看，固定端约束既限制被约束体移动又限制其转动，而平面铰链约束则只限制被约束体移动，并不限制其转动；从约束力的表示方法上看，固定端约束除与铰链约束一样，用一对正交分力表示约束力的主矢之外，还必须加上一个约束力偶，正是这个约束力偶起着限制转动的作用。三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明对平面力系向作用面内一点简化后得到的主矢和主矩做进一步分析后，可能出现以下四种情况：（1）（2）（3）（4）分别讨论这些情况情况（1）

，说明该力系无主矢，而最终简化为一个力偶，其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出，当力系简化为一个力偶时，主矩与简化中心的选取无关。情况（2）

，说明原力系的简化结果是一个力，而且这个力的作用线恰好通过简化中心（否则

）。这个力就是原力系的合力。在这种情况下，记为

，以将它与一般力系的主矢相区别。情况（3）

，这种情况还可以进一步简化：由力的平移定理知，

与

可以由一个

等效代替。这个力

，但作用线不通过简化中心O，若设合力作用线到简化中心的距离为d，则

。三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明情况（3）证明其中

为合力

的作用点，图2-15（a）（b）（c）另外，由图2-15（b）及证明过程知情况（4）

，表明该力系对刚体总的作用效果为零。根据牛顿惯性定律，此时物体将处于静止或匀速直线运动状态，即物体处于平衡状态。三、简化结果的进一步讨论

合力矩定理的证明第四节平面力系的平衡条件与平衡方程式平面力系平衡的充分和必要条件是力系的主矢及作用面内任意一点的主矩同时为零。证由主矢为零，即得而由主矩为零，有综合以上两式，并采用简写记号：以

，

代表力在轴上的投影，以

表示力对点O的矩，得（2-18）方程式（2-18）就是平面力系平衡方程式的基本形式，它由两个投影式和一个力矩式组成，即平面力系平衡的充分和必要条件是各力在作用面内一对正交坐标轴上的投影代数和以及各力对作用面内任意点O之矩的代数和同时为零。二矩式平衡方程为式中，AB连线不得与x轴相垂直。（2-19）方程式（2-19）也完全表达了力系的平衡条件：由

知，该力系不能与力偶等效，只能简化为一个作用线过矩心A的合力，或者为平衡力系；由

知，若该力系有合力，则合力必通过A，B连线最后，由

知，若有合力，则它必垂直于x轴；而据限制条件，A，B连线不垂直于x轴，故该力系不可能简化为一个合力，从而所研究的力系必为平衡力系，如图2-16所示。三矩式平衡方程为其中，A，B，C三点不得共线。图2-16由

，

知，该力系只可能为作用线过A，B两点的合力或是平衡力系；由式

，且C点不在AB连线上知，该力系无合力，为平衡力系，如图2-17所示。图2-17应用方程式（2-19）或式（2-20）时，不得违背其限制条件，否则会得到不独立的方程式，仍然不能求得三个未知量。例对于平面汇交力系，即各力作用线共面且汇交于一点的力系，假定各力线汇交于点O，则取O点为简化中心，这时由于不必进行力线的平衡，也就不会产生附加的平面力偶系，从而只要主矢为零，该力系就平衡。其平衡方程为（2-21）图2-18例对于平面平行力系（各力作用线共面且平行的力系），该力系简化后其主矢必与各力平行从而方向已知，这时可取两个投影轴分别与该力系平行和垂直，则与该力系垂直的轴上的投影方程总是自然满足的，故其平衡方程式为（2-22）图2-19对于平面力偶系，由于它简化后为一个合力偶，而力偶在任何轴上的投影都是零，因此，式（2-18）中的前两式自然满足。所以，平面力偶系的平衡方程为第五节平面力系平衡方程式的应用举例

应用平衡方程式求解平衡问题的方法，称为解析法解题方法包含以下步骤1．选取研究对象，进行受力分析所谓研究对象，是指为了解决问题而选择的分析主体。选取研究对象的原则是：要使所取物体上既包括已知条件，又包括待求的未知量。选取之后，要对它进行受力分析，画出其受力图。2．建立平衡方程式三个小步骤：（1）选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平行力系、一般力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等）。（2）建立投影轴，列投影方程式。投影轴的选取，原则上是任意的，不一定非取水平或铅垂方向，应根据具体问题，从解题方便入手去考虑。（3）取矩心，列力矩方程。矩心的选取也要从解题方便的角度加以考虑。3．解平衡方程式，求得其中所包含的未知量由平衡方程式可知，一个静力学平衡问题经过上述力学分析之后，往往归结于求解一个线性方程组。从理论上说，只要建立的平衡方程组具有完整的定解条件，如独立方程数与未知量数目相等，那么求解它是不困难的。但是如果所要解的方程组互相联立，则计算往往比较麻烦。例2-1，如图2-20（a）所示的结构，不计两杆自重。杆AB上作用有力偶，已知，，求A点和C点处的约束力。解（1）取BC为研究对象。BC为二力杆，其受力分析如图2-20（b）所示。（a）（b）图2-20（2）取AB为研究对象。其受力分析如图2-20（c）所示。列平衡方程：从而可求得所以图2-20（c）例2-2悬臂梁AB如图2-21所示。梁上作用均布载荷（包括自重），载荷集度（单位长度梁上的载荷），梁自由端处受集中力集中力偶矩，梁长，求固定端A处的约束力。图2-21解（1）取梁为研究对象，作受力图。固定端的约束力用，，三个分量表示。

（2）列平衡方程。选用基本形式的平衡方程式（2-18），坐标系如图2-21所示。由得其中，第三式中是用合力矩定理求得的均布载荷q对A点之矩。（3）由上面的方程组解得其中，是显然的。因为该结构所有外力都没有沿x方向的分量。例2-3求图2-22所示结构中铰链A，B处的约束力。图2-22解（1）取系统整体为研究对象。画受力如图2-22所示。固定铰链A处约束力用，表示。（2）列平衡方程，有由：由：由：（3）解上述方程组，得，，第六节物系的平衡

静定与超静定的概念

所谓物系，是指由若干个部件按一定方式组合而成的机构或结构。这里构成物系的部件主要是刚体，因此也称为刚体系统。若物系中的每个物体和物系整体都处于平衡状态，则称该物系处于平衡状态。研究物系平衡问题的主要要点包括：（1）求外界对物系整体的约束力。（2）求物系内各物体之间相互作用的内力。（3）求机构平衡时主动力与工作阻力之间的关系物系的平衡问题静定问题：即所考察的问题中所包含的独立的平衡方程数目与未知量（主要是约束力）总数相等。超静定问题：即问题中包含的独立平衡方程数少于未知量数。例如图2-23所示为由两根和三根绳索吊起一个重物。图2-23（a）为静定问题，图2-23（b）为超静定问题（a）（b）图2-23例图2-24（a）表示一个连续梁结构有三个独立的平衡方程，而结构中包含了五个未知的约束力，故为二次超静定结构。该梁若没有中间两个活动铰支座，则为一个简支梁，属于静定问题，如图2-24（b）所示。把梁做成超静定的，主要是为了提高梁的强度与刚度性能，如图2-24（c）所示。（a）（b）（c）图2-24例2-4，AC，CD两段梁在C处由铰链连接。其支承和受力如图2-25（a）所示。若已知，，不计梁重，求支座A，B，D处的约束力和铰链C处所受之力。分析可分别取每段梁为研究对象，先取CD段梁为研究对象，因为其中包含了三个未知量，，，可以由三个平衡方程求出它们，然后再取整体或AC段梁，由三个平衡方程求得余下的三个未知量。图2-25（a）解，（1）取CD段梁作研究对象，受力分析如图2-25（b）其中含，，，三个未知量。列方程，，，解得图2-25（b）（2）再取AC段梁为研究对象，

受力分析如图2-25（c）所示。在数值上有，。由二矩式，，，解得，，图2-25（c）例2-5如图2-26（a）所示结构，已知物体重，求A和B处的约束力以及杆BC所受的力。图2-26（a）解（1）研究整体，其受力分析如图2-26（b）所示。列出平衡方程并求解：，，，，，，（2）以CE杆（带滑轮）为研究对象，其受力分析如图2-26（c）所示。图2-26（c）列出平衡方程并求解：，例2-6如图2-27（a）所示，AB杆和BC杆在B点处铰接，C处为活动铰支座。已知，，均布载荷，求A，C处的约束力。解（1）受力分析：图2-27（b）分别为AB杆、BC杆及整体的受力图。（a）（b）图2-27（2）以BC为研究对象：，，（3）以整体为研究对象：，，，，，例2-7如图2-28（a）所示的曲轴冲床机构由圆盘O、连杆AB和冲头B组成。A，B两处为铰链连接。，。若不计各零件自重及摩擦，当OA在水平位置，冲压力为F时，求主动力偶矩M。

解由几何法，作三角形，如图2-28（c）所示。，为压力。再取圆盘O为研究对象，受力分析如图2-28（d）所示。（b）（c）（d）图2-28（a）由得例2-8平面桁架受力分析如图2-29（a）所示。已知，试求其中4，5，7，10各杆内力。图2-29（a）分析桁架是由直杆铰接而成的结构。图示桁架中所有杆件都在一个平面内，故称为平面桁架。桁架中杆件的铰链接头处称为节点。解法一

所谓节点法是指每次取一个节点作为研究对象求A，B处的约束力，取整体为研究对象。由得可解出

，，取节点A为研究对象受力分析如图2-29（b）所示。图2-29（b），，解得再取节点D为研究对象，受力分析如图2-29（c）所示。与上面类似地求得，又取节点C为研究对象，受力图如图2-29（d）所示，可求得，最后取节点E为研究对象，受力图如图2-29（e）所示，可求得，（c）（d）（e）图2-29解法二

所谓截面法假想地用一个截面将桁架中若干根杆截开，将桁架截成两个部分，取其中一部分为研究对象，求得截面处各杆的内力。受力分析如图2-29（f）所示，由得由得图2-29（f）受力分析如图2-29（g）所示由得关于，可由求出，图2-29（g）第七节滑动摩擦及其平衡问题

两个相互接触的物体，当它们具有相对滑动趋势或已经滑动时，接触表面上将产生阻碍滑动的力。当物体之间只有滑动趋势而尚未滑动时，这种力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。而当物体之间已经产生相对滑动时，则称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。静摩擦力的性质静摩擦力可以看作是接触面对具有滑动趋势的物体的切向约束力。图2-30静摩擦力的取值范围是最大静摩擦力的取值满足如下定律：最大静摩擦力发生于物体的临界平衡状态，其大小与两物体间的法向约束力成正比，其方向与物体的滑动趋势相反。上述定律为静摩擦定律，其数学表达式为式中f称为静摩擦因数，它是反映摩擦表面物理性质的一个比例常数。动摩擦力的性质当物体已经滑动时，接触面上作用着阻碍相对滑动的动摩擦力，它与静摩擦力有相似的性质，在数值上也与接触面的法向约束力成正比，即式中，是动摩擦因数摩擦角接触表面对物体的法向约束力和切向约束力（即摩擦力）可以合成为一个合力,称为全约束力。如图2-31所示图2-31全约束力与接触面法线的夹角为，其正切值。当静摩擦力由零增大到最大值时，也由零增大到最大值，且有称为摩擦角，它是全约束力与接触面法线夹角的最大值。当物体处于临界平衡状态时，全约束力与法线方向的夹角即为摩擦角。如图2-32所示为一可调角度的平板，上面放置重为P的物体。若分别用待测静摩擦因数的两种材料制成平板和重物，并逐渐调整斜面倾角使物块进入临界平衡状态，则这时的斜面倾角就是摩擦角。于是有图2-32二、滑动摩擦平衡问题举例摩擦平衡问题分为下列三种类型:（1）物体的平衡尚未达到临界平衡状态

此时静摩擦力也未达到最大值。（2）物体处于临界平衡状态

此时有最大静摩擦力,其方向要根据物体的运动趋势确定。（3）平衡范围问题

需根据摩擦力的取值范围来确定某些主动力或约束力的取值范围。例2-9如图2-33（a）所示，物块A重,放在悬臂梁DB的粗糙平面下，两边分别用绳及弹簧拉住，绳绕过滑轮B吊一重为的物块C，系统处于平衡状态。已知,，

，物块A与梁间摩擦因数。问（1）欲保持物块A平衡，弹簧拉力应为多大？（2）当弹簧拉力时，物块A与梁之间的摩擦力为多大？图2-33（a）解（1）这是平衡范围问题。①设弹簧拉力的最小值为，此时物块A处于临界平衡状态，且有向右运动趋势。故摩擦力，且方向向左，如图2-33（b）所示。

由，，解得图2-33（b）②设弹簧拉力取最大值，此时物体A也处于临界平衡状态但具有向左运动趋势。故摩擦力方向如图2-33（c）所示。由，，解得综合①与②知：当时，物块A可以处于平衡状态。图2-33（c）（2）依题意取物块A为研究对象，受力分析如图2-33（d）所示，此时方向可假设向右。，其中，负号表示此时摩擦力实际方向与假设相反。图2-33（d）例2-10凸轮推杆机构如图2-34（a）所示。已知推杆与滑道间的静摩擦因数为f，滑道宽度为b，推杆直径为d。问：为保证推杆不会被卡住，a应取多大？设凸轮与推杆间的摩擦不计。图2-34解法一取推杆刚能被卡住时的平衡状态，即临界平衡状态来研究，可以求得a的最大值，即。取推杆为研究对象，作受力图，如图2-34（b）所示。A，B处的摩擦力均向下，且为最大静摩擦力。图2-34（b）列方程，，，，联立上述方程，解得即只要，推杆就不会被卡住。解法二

全约束力与接触面的法线夹角为摩擦角。受力分析如图2-34（c）所示。图2-34（c）由几何关系，设，交于点C,则有因，故有例2-11制动器的构造和主要尺寸如图2-35（a）所示。若制动块与鼓轮表面间摩擦因数为f，求制动鼓轮转动的最小力F。图2-35（a）解所谓最小力F，应使鼓轮刚能停住，故为临界平衡状态问题。此时摩擦力。先取鼓轮：受力分析如图2-35（b）所示。由，得图2-35（b），其中，再取杆，如图2-35（c）所示。图2-35（c），于是即欲使鼓轮停住，至少应加力。ThankYou!第3章

空间力系本章内容1力在空间直角坐标轴上的投影

2力对轴的矩与力对点的矩

3空间力系的平衡方程式及其应用

4平行力系的中心与重心当物体所受的力，其作用线不在同一平面而呈空间分布时，称为空间力系。在工程实际中，有许多问题都属于这种情况。如图3-1所示，车床主轴受切削力、、和齿轮上的圆周力、径向力以及轴承A、B处的约束力，这些力构成一组空间力系。如图3-1第一节力在空间直角坐标轴上的投影一、直接投影法若一力的作用线与x，y，z轴对应的夹角已经给定，如图3-2（a）所示，则可直接将力向三个坐标轴投影，得图3-2式中：，，——分别为力

与x，y，z三坐标轴间的夹角。二、二次投影法当力与坐标轴x，y间的夹角不易确定时，可先将力投影到Oxy坐标平面上，得一力向x，y轴上投影，如图3-2（b）所示。若

为力与z轴间的夹角，

为

与x轴间的夹角，则力

在三个坐标轴上的投影为图3-2（b）如果力

的大小、方向是已知的，则它在选定的坐标系的三个轴上的投影是确定的；反过来，如果已知力

在三个坐标轴上的投影

，

，

的值，则力

的大小与方向也就被唯一地确定了，它的大小为其方向余弦为一、力对轴的矩第二节力对轴的矩与力对点的矩一力使物体绕某一定轴转动，其效应通常以此力对该轴的矩来度量，称为力对轴的矩。图3-3归纳：当力作用线与旋转轴共面时，不可能使物体绕该轴转动。如果力

垂直于门且不通过转动轴，就能使门转动；而且这个力越大，或其作用线与转动轴的距离越远，这个转动效应就越显著。图3-3因此，可以用力

的大小与上述距离的乘积来度量力

对刚体绕定轴的转动效应，再用不同的正、负号来区别不同的转动方向，此即力对轴的矩的概念。如图3-4所示，将力

分解为两个分力

和

，力

平行于z轴，力

位于通过力

的作用点A且与z轴垂直的平面E内。图3-4力

对z轴的转动效应完全由分力

决定因此，力对轴之矩为力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩。力

对z轴的矩，定义为式中，O点为平面E与z轴的交点；d为O点到力

作用线的距离。力对轴的矩是一个代数量，其单位是N·m。从力对轴的矩的定义可知：（1）当力与轴平行时（

）或力作用线与轴相交时（

），

力对轴的矩均为零。（2）当力沿其作用线移动时，力对轴的矩不变。这是因为此时

及

均未改变。合力矩定理

空间力系的合力对某一轴的矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和。设有空间一般力系（）

，其合力为，则合力矩定理为设有一力，其作用点A的坐标为

，如图3-5所示。为求力

对z轴的矩，可将力

向x，y，z三个坐标轴上投影，分别记为

，

，

，而

为力

在

坐标面内的分力。根据力对轴之矩的定义，对于z轴的矩等于

对于O点的矩，即根据平面力系的知识及合力矩定理，有于是如图3-5同理，可计算力对x轴及对y轴的矩。因此，力

对x，y，z轴的矩分别为（3-6）式（3-6）即为力对轴之矩的解析表达式。注意式中力

的投影

，

，

和力

的作用点的坐标x，y，z都是代数量。例3-1托架固连在轴上，载荷

，方向如图3-6（a）所示，求力

对直角坐标系

各轴之矩。图中长度单位是cm。3-6（a）由图3-6（b）可得解

（1）求方向余弦图3-6（b）（2）计算力在各坐标轴上的投影（3）计算力在各坐标轴的矩力作用点A的坐标是，，因此，利用式（3-6）求得力对各坐标轴的矩为二、力对点的矩矢研究力使刚体绕矩心转动的效应，需要引入力对点的矩矢的概念，它取决于力与矩心所构成平面的方位、力矩在该平面内的转向、力矩的大小这三个因素。因此，对于空间力系，力对点的矩可用一矢量来表示，称为力矩矢。设有一力（用矢量

表示）及矩心O，如图3-7所示，点O到力

作用线的距离为d。用

来表示力

对O点的矩，其大小为图3-7力矩与矩心位置有关，应以矩心作为起始点。所以力矩矢是定位矢。如果以表示矩心O到力

作用点A的矢径，由矢量代数得知，矢量积

也是一个矢量，其大小等于

面积的两倍，其方向垂直于

与

所决定的平面，其指向符合右手螺旋法则，因此（3-7）即力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。若以矩心O为原点，作空间直角坐标系，如图3-8所示，则与分别表示为图3-8代入式（3-7），可得（3-8）式中：，，，

——A点坐标；，，—分别为力

在三个坐标轴上的投影。三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩之间的关系由式（3-8）可知，力矩矢在三个坐标轴上的投影为（3-9）将式（3-9）与式（3-6）比较，可得（3-10）由此可得出结论：力对某一点的矩矢在通过该点的任一轴上的投影，等于此力对该轴的矩。第三节

空间力系的平衡方程式及其应用一、空间一般力系向一点的简化设有空间任意力系，分别作用在刚体的

各点上，如图3-9所示。在刚体上取任意一点O为简化中心，将各力向O点平移，可得到一个在O点的空间汇交力系和一个空间附加力偶系。与平面力系类似，该汇交力系可合成为一个作用于O点的力，等于各力的矢量和。即（3-11）图3-9附加力偶系可合成为一个空间力偶，其力偶矩，等于各附加力偶矩的矢量和，亦即等于原力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和。称为原力系的主矢，称为原力系对简化中心O的主矩矢。如图3-10所示图3-10结论：空间任意力系向一点（简化中心）简化的结果一般可得一个力和一个力偶，该力作用于简化中心，等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主矢；该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心的矩的矢量和，称为原力系对简化中心的主矩矢。若用解析法来计算力系的主矢和主矩矢，可在简化中心O点建立直角坐标系，由式（3-11）可得主矢在各坐标轴上的投影为（3-13）且（3-14）将式（3-12）向各坐标轴投影，并注意到力对点之矩与力对轴之矩间的关系，则得（3-15）且（3-16）二、空间任意力系的平衡方程及应用从力系的简化结果来分析力系的平衡条件。空间任意力系向一点简化的结果得到一个力和一个力偶，因此，空间任意力系处于平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对于任意点的主矩矢都等于零。即根据式（3-14）和式（3-16），上述条件可写成（3-17）空间任意力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在任一直角坐标系中每一轴上的投影的代数和等于零，以及各力对每一轴的矩的代数和也等于零。空间任意力系是物体受力的最一般情况，其他类型的力系都可以认为是空间任意力系的特殊情形，因而它们的平衡方程也可由方程式（3-17）导出，具体如下。（1）空间汇交力系取力系的汇交点作为坐标系的原点，则力系中各力都通过该点，即与各坐标轴相交。因此各力对坐标轴的矩均为零，即式（3-17）中，

，，。于是，空间汇交力系的平衡方程只有三个，即（3-18）（2）空间平行力系若取z轴平行于力系中各力的作用线，则坐标面与各力作用线垂直。因此，式（3-17）中，，，。于是，空间平行力系的平衡方程只有三个，即（3-19）（3）平面任意力系取力系的作用面为坐标面，则力系中各力在z轴上投影均为零，各力对x，y轴的矩也为零。因此，，，于是，平面任意力系的平衡方程只有三个，即（3-20）式（3-20）与前面得出的平面任意力系的平衡方程是相同的。例3-2半圆板的半径为r，重力为如图3-11所示，板的重心C离圆心为

，在A，B，D三点用三根铰链杆悬挂于固定处，使板处于水平位置。求此三根杆的内力。图3-11解取半圆板为研究对象。由题意，吊杆1，2，3均为二力杆，设它们均受拉力，分别记为，，，则板受

，，，四个平行力的作用，这是一个空间平行力系的问题。如图3-11所示。根据式（3-19），有图3-11取A点为坐标原点，建立坐标系，（a），（b），（c）由式（a）解得代入式（b），解得将解得的，代入式（c），得例3-3三根无重杆AB，AC，AD铰接于点A，其下悬挂一物体，重力为如图3-12所示，AB与AC等长且互相垂直，

，B，C，D处均为铰接。求各杆所受的力。图3-12解取节点A为研究对象。由于各杆自重不计，则所受的力都沿杆的轴线方向，设均为拉力，则A点受三杆的拉力，，和绳子的拉力

，这是一个空间汇交力系的平衡问题。取坐标系如图3-12所示，利用方程式（3-9），可得图3-12由式（c）解得（注意

），（a），（b），（c）将此结果代入式（a）和式（b），可解得式中，负号表明，的实际方向与假设相反，即两杆均受压力。例3-4和圆盘与水平轴固连，盘垂直于z轴，盘垂直于x轴，盘面上分别作用力偶，，如图3-13所示。已知两半径为，，，，不计构件自重，试计算轴承和的约束力。解（1）取整体为研究对象，受力分析，A，B处x方向和y方向的约束力分别组成力偶，画受力图。（2）列平衡方程：A，B处的约束力：：：，，例3-5某车床主轴装在轴承A与B上，如图3-14所示，其中A为向心推力轴承（即不允许轴沿任何方向移动），B为向心轴承（即能允许沿轴向有不大的移动，故无轴向约束力）。圆柱直齿齿轮C的节圆半径

，其下与另一齿轮啮合，压力角

。在轴的右端固定一半径为

的圆柱体工件。已知

，

，

。车外圆时车刀给工件的力作用在点H，其中切向切削力

，轴向切削力

，径向切削力

。试求齿轮所受的力F和两轴承的约束力。图3-14解取主轴连同齿轮C和工件一起作为研究对象。以A点为坐标原点，取x轴在水平面内，y轴与主轴轴线重合，z轴沿铅垂线。这是一个空间任意力系的平衡问题，未知力有六个：，，

，，，，可利用空间任意力系的六个平衡方程求解。，（a），（b），（c），（d），（e），（f）由式（a）可解得再由式（b），得将其代入式（c），得将求得的和

值代入式（d），解得将

值代入式（e），得再将

和

值代入式（f），解得一个平衡的空间任意力系，在三个坐标平面，，上的投影所组成的三个平面任意力系也不一定是平衡力系。因为在平面内，有平衡条件，，。在平面内，有平衡条件，，。在平面内，有平衡条件，，。例如，在例3-5中，可采用上述方式，将轴上各力分别向所选定的三个坐标平面投影，得到如图3-15所示的三个平面力系的受力图。其中，齿轮C的啮合力在切向和径向上的投影分别为和。且，在这三个平面力系中，分别根据各自的平衡方程，可得与例3-5中同样的结果。图3-15（a）在图3-15（a）中，由平衡方程可知，，，上述三个方程与例3-5中由，，得出的方程是一样的。在图3-15（c）中，有这与上例中根据，得出的结果相同。图3-15，，同理，在图3-15（b）中，有即为上例得出的相同的平衡方程。，图3-15（b）应当特别指出的是，在画投影图时，必须特别注意力在三个视图之间的关系，不要把力的方向画错。对空间任意力系而言，只有六个平衡方程，可用来求解六个未知量。转化为三个平面任意力系后，如前所述，总共可列出九个平衡方程，然而，不难看出，独立的方程数仍然只有六个，因而仍然只能求解六个未知量。第四节平行力系的中心与重心一、平行力系的中心平行力系的中心，即为平行力系合力的作用点。例如，两同向平行力和分别作用在A，B两点，如图3-16所示。利用平面一般力系简化的理论，可求得它们的合力

，其大小为

，其作用线内分AB连线于C点，且有图3-16显然，C点与两力

，

在空间的方位无关。若，按同方向转过相同的角度

，则合力

亦转过同一角度

，且仍通过C点，如图3-16所示。图3-16上述结论可推广到由任意多个力组成的平行力系。这样，便可将力系中各力逐个地顺次合成，最终求得力系的合力

，

的作用点即为该平行力系的中心，且此点的位置只与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。现利用解析法确定平行力系中心的位置。取一直角坐标系

，设有一空间平行力系

平行于z轴，各力作用点的坐标为

，而平行力系中心C点的坐标为

，如图3-17所示。根据合力矩定理，有，或，或再利用平行力系中心的性质，将各力按相同转向转到与

轴平行，同理，有于是，得平行力系中心C点的坐标公式为二、重心物体的重心是平行力系中心的特例。放置在地球表面附近的物体，每一部分都受到地心的重力作用，由于地球半径比物体的尺寸大得多，因此，物体各部分所受的重力组成了一平行力系，此力系的合力即为物体整体所受的重力，重力的作用点称为物体的重心。显然，无论物体如何放置，其重心总是确定的点。重心的位置可由平行力系中心的坐标公式来确定。设物体各微小部分的重力为，则物体整体的重力为

，其大小为

，物体重心

的坐标公式为（3-22）对于均质物体，设其密度为

，则

，，其中

，

分别为物体微小部分及整体的体积。于是，式（3-22）可写成(3-23)此即为物体形心的坐标公式式（3-23）也可写成积分的形式，即(3-24)对于均质等厚的薄壳（板），设其表面积为A，由于厚度极小，则式（3-23）可写成或对于均质线段，设其长度为L，类似地可得其重心坐标公式为或求物体重心时，需注意：（1）利用物体的对称性求重心（2）组合体的重心求法例3-6不等边角钢的截面近似地简化如图3-18所示，试求其形心，已知，，。3-18解将该图形分成1及2两个矩形。取坐标系如图3-18所示，于是，，则形心坐标为例3-7半径为的圆面有一圆孔，孔的半径为，如图3-19所示，两圆中心的距离为，求圆形的重心位置。3-19解将圆形看作由两部分组成：半径为的大圆面和半径为的小圆面。后者是切去部分，故其面积为负值。取大圆中心为坐标原点令轴通过两圆的中心，利用对称性，应有，则即图形的重心C应在点O的左边。ThankYou!第4章

点的运动学本章内容

1运动学的基本概念

2点的运动方程

3速度与加速度的矢径表示法

4速度与加速度的直角坐标表示法

5自然轴系

6速度与加速度的自然表示法第一节

运动学的基本概念静力学中所研究的对象，都是由于受到平衡力系的作用而处于静止或匀速直线运动的状态，即平衡状态。在描述某一物体的运动时，总是选定合适的物体作为参考体。将坐标系固结于参考体上就构成参考坐标系，称为参考系。在运动学里，总是选取地球作为参考系，为了方便，将这个坐标系称为静坐标系。点的运动学是研究点在空间中的位置随时间变化的规律。它包括点的运动轨迹、运动方程、速度和加速度。运动学是研究物体机械运动几何规律的学科。第二节点的运动方程点在空间运动所经过的路线，称为点的运动轨迹。点的运动轨迹如为直线，则称为直线运动；如为曲线，则称为曲线运动。若动点做直线运动，可取此直线为轴，如图4-1所示。在直线上任选一点为坐标原点，并选某一方向为正向，则动点的位置可由它的坐标确定。4-1当动点运动时，它的坐标随时间变化，在一般情况下，坐标是时间的单值连续函数，即（4-1)式（4-1）称为动点沿直线运动相对于点O的运动方程。(1)自然法一般地，动点做曲线运动时，它的几何位置随时间变化的规律，同样可用数学表达式表示，称为点做曲线运动的运动方程。动点对于不同的参考系，可写出不同形式的运动方程。（2）直角坐标法（3）矢径法（4）柱坐标法式（4-2）称为动点沿已知轨迹的运动方程。显然，当函数已知时，动点任一瞬时在轨迹曲线上的位置可完全确定。设动点的轨迹曲线是已知的，可参照点做直线运动时的表示方法，以点的轨迹曲线本身作为参考系来决定点的位置，如图4-2所示。

自然法4-2在轨迹曲线上选定一点作为原点，并规定在原点某一边的弧长为正，在另一边的弧长为负。点在曲线上的位置由弧长来确定。为代数量，称为动点的弧坐标或自然坐标，当动点沿轨迹曲线运动时，弧坐标将随时间而变，并可表示为时间的单值连续函数：（4-2）

直角坐标系法当动点在空间运动时，它在任一瞬时的位置可用直角坐标系的三个坐标来确定，如图4-3所示。三个位置坐标都是时间的单值连续函数，通常表示为（4-3）图4-3式（4-3）就是动点的直角坐标运动方程。若函数都已知，则动点在任一瞬时的位置即可完全确定。由上述方程消去时间，即可得到之间的关系式，这就是动点的轨迹方程。当动点始终在同一平面内运动时，如取这个平面为坐标平面，则运动方程（4-3）就简化为（4-4）消去之后，即是轨迹方程矢径法如图4-4所示，设动点沿任一空间曲线运动，选空间任意一点作为原点，则动点的位置可由如下的矢径来表示：当动点运动时，矢径的大小及方向均随时间而改变，因而可表示为时间的单值连续函数这就是动点的矢径运动方程。当动点运动时，矢径端点所描绘的曲线就是点的运动轨迹。图4-4柱坐标法由高等数学知识可知，动点在空间的位置可由点的柱坐标唯一确定。如图4-5所示，参数为动点的柱坐标。当点在空间运动时，其柱坐标随点的位置不同而变，即为时间的单值连续函数：图4-5（4-6）式（4-6）即为用柱坐标表示的点的运动方程。当点做平面曲线运动时，其位置用坐标和便可唯一确定。因此，可用极坐标系代替柱坐标系来描述动点的运动。如图4-6所示。此时，动点的运动方程简化为图4-6从上式中消去参数，即可得到用极坐标表示的动点的轨迹方程。例4-1直杆两端分别沿两互相垂直的固定直线与运动，如图4-7所示。试确定杆上任一点的运动方程和轨迹方程，已知，，。图4-7解选取直角坐标系，则动点的坐标为这就是点的运动方程。从运动方程中消去时间，则得点的轨迹方程这是以，为半轴的椭圆方程。例4-2如图4-8所示，刨床的曲柄滑道摇杆机构由曲柄，摇杆

及滑块

组成。当曲柄绕

轴转动时，摇杆可绕

轴摆动，摇杆及滑块

与扶架相连，摇杆摆动时可带动扶架做往复运动。已知

，

，，且

。当曲柄以匀角速度转动时（即

），求扶架的运动方程。图4-8解取坐标系

如图4-8所示，令

点表示扶架的运动，由

可知

点的横坐标为为了求出与时间的关系，应找出与转角的关系，由及得知：即将的值代入前式，即得扶架的运动方程一、点的速度第三节速度与加速度的矢径表示法图4-9设动点做曲线运动，从瞬间到瞬间，动点由位置移动到，其矢径分别为和，如图4-9所示。在时间间隔内，矢径的改变量为图4-9则称为动点在时间间隔内的位移。描述点在时间间隔内运动的平均快慢程度，称为动点在时间间隔内的平均速度矢量，以表示，即因为时间是标量，故知的方向与的方向相同。越小，与的差别就越小，平均速度就越趋近于动点的真实速度。因此当趋近于零时，即得动点的瞬时速度，即表示，即所以，动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数。注意：函数对时间的导数用在函数上方加表示。速度描述点在瞬时运动的快慢与方向。点的速度是矢量，它的方向就是或在极限情况下的方向，也就是轨迹曲线上点的切线方向。一般地说，点的运动方向指的是速度的方向。速度的单位是m/s。二、点的加速度在一般情况下，动点的速度的大小和方向都可能随时间变化。为了表明点的速度的变化情况，用加速度来表示每一瞬时点的速度对于时间的变化率。加速度既包括速度大小的变化，也包括速度方向的变化。设动点在瞬时的速度是，在瞬时的速度是，如图4-10所示，则速度的变化是，故动点的平均加速度为图4-10当趋近于零时，即得动点在瞬时的加速度为动点的加速度等于动点的速度对于时间的一阶导数，或等于动点的矢径对于时间的二阶导数。如由任一定点作相当于各瞬时，，，的速度矢量，，，，连接速度矢量端点的曲线称为速度矢端曲线。由瞬时加速度的概念，可知瞬时加速度的方向是沿着动点速度矢端曲线的切线方向，如图4-11所示。加速度的单位是。图4-11第四节速度与加速度的直角坐标表示法一、点的速度的直角坐标表示法动点的直角坐标的运动方程为由图4-3知，矢径可写成式中：，，——沿直角坐标轴正向的单位矢量。图4-3第三节已经证明，动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数，因此动点的速度可写为但速度矢量也可表示为式中：，，——在坐标轴，，上的投影。由此我们得到，用直角坐标表示的速度为这就表明：动点的速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各对应坐标对于时间的一阶导数。速度的大小及方向余弦为二、点的加速度的直角坐标表示法加速度是速度对于时间的导数，所以加速度在坐标轴上的投影，，应分别等于速度在坐标轴上的投影对于时间的导数，即这就表明：动点的加速度在各坐标轴上的投影，分别等于动点的各对应坐标对于时间的二阶导数。加速度的大小及方向余弦为例4-3曲柄连杆机构在工程中有非常广泛的应用，这种机构能将转动转换为平动，如压气机、往复式水泵、锻压机等；或将平动转换为转动，如蒸汽机、内燃机等。如图4-12所示的曲柄连杆机构中，曲柄以匀角速度绕轴转动，由于连杆的带动，滑块沿着直线导槽做往复直线运动。已知，，且，求滑块的运动方程、速度及加速度。图4-12解滑块的运动是往复直线运动，轨迹沿直线，可用直角坐标法建