广东省深圳市南山区2023-2024学年高一年级上册期末质量监测数学试题

绝密★启用前试卷类型：A

南山区2023-2024学年度第一学期期末质量监测

高一数学试题2024.1

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知集合/={Ny=lg(l-=则Nc2=(

A.{1}B.{-1,0,1)D.{-l,0}

2.下列所给的等式中正确的为()

3KV2

A.—=135°B.tan-=73c.sin——=—

3642

tt,,

3.已知命题。：Vx<0,x-cosx<0I则。的否定为()

A.<0,x-cosx>0B,3X>0,X-COSX>0

C.Vx<0,x-cosx>0D.Vx>0,x-cosx>0

4.设函数/(x)=3'+2x—4的零点为％,则()

A.(-1,0)B.(O,l)C.(l,2)D.(2,3)

y(X711

5.为了得到函数^=5立耳的图象，只需将函数y=cos万一］的图象()

7171

A.向左平移一个单位长度B.向左平移一个单位长度

24

7TJT

C.向右平移一个单位长度D.向右平移一个单位长度

24

(2Xr<1

6.已知函数/(x)=/，若/(/(sin6»))=2,则。的值可以为(

x,x21,

8.E^Da=sinl+cosl,6=k)g8siSinLc=28si,则()

A.c>a>bB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知函数/(x)=(2加-加2)/'为基函数，则下列结论正确的为()

A.m=lB./(x)为偶函数C./(x)为单调递增函数口./3的值域为[0,+。)

10.已知4民。是△48C的三个内角，下列条件是“cosZcos8cosC<0”的一个充分不必要条件的为()

A.sin(4+5)>0B.COS(4+5)>0C.sin(/-5)<0D.COS(4-5)<0

11.已知函数/(%)=血苗(%)=唇，若/(m)=g⑺，则下列结论可能成立的为()

A.m=nB.n<m<1C.m<l<nD.l<m<n

12.已知函数/(x)满足如下两个性质：①VxeR,/[/(x)+g(—x)]=—l,其中函数g(x)是函数y=log3X

的反函数；②若xwj,贝！l/(x)w/(y),则下列结论正确的为()

K.若a丰b，则(a-b)[g(a)—g(b)]>0

B.若点P(cos6,sin。)在曲线歹=g(x)上，则sin2"0

C.存在点。，使得曲线y=/(x)与y=g(x)关于点。对称

D.方程/(3sinx)+x=l恰有9个相异实数解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

JT

13.已知扇形的圆心角为一，且弧长为兀，则该扇形的面积为

3

14.已知函数/(%)=—+加%,若VxeR,/(l-x)=/(l+x),则加=.

15.已知当〃eN*时，函数/(x)=in(x+ay+b的图象恒过定点(-1,1)，其中a,6为常数，则不等式色心40

x-a

的解集为.

八149v

16.已知实数x,>>0,且一+—W---.记M=cosx+cosy,贝i]」=,M的最小值为.

xyx+yx

(第一空2分，第二空3分)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.（10分）

计算下列各式的值.

,,14,______

⑴30g3-+21g--lg25；（2）（78）3+7（3-7r）2-（-1）2024xn-

18.(12分)

已知集合A={x\2a-3<x<a+2},5=<x—<2X<4>.

16

(1)若Q=0,求；

(2)若AuB=B,求实数。的取值范围.

19.（12分）

（1）已知点尸（—3,。）为角二终边上一点，且tana=—g,求cos（兀+a）的值;

（2）若tan［夕+巳）=葭求sin2/?+2cos20的值.

20.（12分）

己知某产品在过去的32天内的日销售量。(x)(单位：万件)与第x天之间的函数关系为

①Q(x)=a(x—8y+6；②Q(x)="+加这两种函数模型中的一个，且部分数据如下表:

X(天)241020

Q(x)(万件)121110.410.2

(1)请确定。(x)的解析式，并说明理由；

(2)若第x天的每件产品的销售价格均为P(x)(单位：元)，且P(x)=60-|x-20],求该产品在过去32

天内的第x天的销售额/(x)(单位：万元)的解析式及/(x)的最小值.

21.(12分)

己知函数/(x)=Acos(a)x+(p)(A>0,a)>0,0<(p<7i)的部分图象如图所示.

(1)求/(x)的解析式;

(2)设0＜。＜兀，记/(x)在区间[0,句上的最大值为g(e),求g(e)的解析式.

22.(12分)

2

已知函数/(x)=a-2rd为定义在R上的奇函数•

(1)求实数a的值；

(2)(i)证明：/(x)为单调递增函数;

Vxe(O,+”)，若不等式包士噬纪空贮)

(ii)+三二L〉0恒成立，求非零实数加的取值范围.

x+1x2+l

绝密★启用前试卷类型：A

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高一数学参考试题答案与评分标准

一、单项选择题:

题号12345678

答案DCABCDBA

8.解析：・・・a=sinl+cosl〉sin21+cos21=l，且。=V5sin[l+z|v后,〈后,

sinl7i

---=tanl>tan—=f0<cosl<sinl<1./.b=logsinl<logcosl=1.

■iA，DCpOnSc1DCnOnSc1

cosl4

...c=2C0S1>2C0Sy=41,：.oa>b故应选A-

二、多项选择题：

题号9101112

答案ACBDABDACD

12.解析：易知g(x)=3)且g(x)为单调递增函数，.•.选项A正确；

点P(cos。,sin。)显然在以原点为单位圆上，易知曲线y=g(x)与单位圆在第二象限有交点，此时

cos。＜0,sin6＞0,/.sio26=2sin^cos^＜0,/.选项B错误；

・•・若x/y，则/(x)w/(v),.•.若/(c)=—l,则常数C的值唯一，

又X/xeR,/[/(x)+g(—x)]=-1,VxeR,/(x)+g(—x)=c,

/.VxGR,/(x)+3-x=c,即/(x)=c-3r(xeR),由=可知。一3-。=—l，

不难知道c=0是上述方程的根，显然函数y=c-3-c单调递增,

方程c—3-'=-1有且仅有一个实数根c=0,:.f(x)=-3^,

从而不难知道曲线J=/(%)与〉=g(x)关于原点对称，.・・选项C正确；

方程/(3sinx)+x=1即-3-3sira+x=1,即x—1=3ftoe,

两边取对数，得1083(%-1)=-3$11«,

考虑函数＞=log3(x—l)与＞=—3sinx的图象(如下图)，易知它们恰有9个交点，

选项。正确，综上所述，应选ACD.

三、填空题:

15.[1,2）

[49।14।V4x

解析：*.*x,jv>0,且—I—«-------—I—49,化简得I44,

xyx+yy）xy

又上+把22k'=4,，匕+色=4,当且仅当上=色时,

等号成立，易知工=2,

xy\xyxjxyX

u=cosx+cosy=cosx+cos2x=2cos2x+COST-1=2^cosx+—J-->-—，

19

易知当cosx=——（x〉0）时，等号成立，的最小值为-一.

48

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17.（10分）

解：（1）310g35+21g1-lg25=5+lg1-lg25=5+1g^^=5-2=3.

4

4______/3^3

⑵（逐户+J（3—兀）21）2°24*兀=22\|3-7l|-7T=7T-3-7T=1-

l）

18.（12分）

解：（1）若a=0,则4={%[-3<x<2},

由\<2,<4,解得—4<x<2,r.8={x[—4<x<2},

6g—{x|—4<x«—3}.

（2）由=3可知，4口B,

①若4=0,则2。一32a+2,解得a>5,

tz+2<2,

②若4W0,即a<5,则

2«-3>-4,

解得—VaV0,

2

综上所述，实数。的取值范围为-：,0。［5,+力）.

19.(12分)

解：（1）由正切函数的定义可知，tana=2，

4

又tana=——,:.a=4,

3

-33

由余弦函数的定义可知，costz=卜3），+42=_《,

3

cos7t+a=-COS6Z=—

5

c71

tan夕+tan4tan^+lj

(2)Vtanf夕+：)=

1—tanetan]Jtan夕-3

tan^=-1

."2…T篙签产漂储

20.（12分）

解：（1）选择模型②，理由如下:

由题表可知，随着x增大时，销售量逐渐减少，若。（x）=k（x-8y+6,则当1WXW32时，Q（x）非单调递

减函数，不符合题意.

b+-=n,

对于Q（x）=«+b,根据题意，将点（2,12）,（4,11）代入可得＜2

JC7k-

Z)+—=11,

4

4

解得k=4,b=10,此时Q(x)=10+—,

X

易知点(10,10.4),(20,10.2)均在Q(x)=10+3的图象上,

X

Q(x)=10+—(^1<x<32,xeN*

x+40,1Vx420(x£N)

(2)P(x)=-|x-20|+60=

-x+80,20<x<32(xGN*),

x+40),l<x<20(x£N)

由(1)知/(x)=P(x).Q(x)=[

l(io+S

-x+80),20<xV32(XEN)

10x+—+404,l<x<20(xe]、*)，

即/(x)=<X

-10x+—+796,20<X<32G■eN*),

当l<x<20(xeN*)时，/(x)=10x+—-+404>2^1Ox--+404=484,

X

当且仅当10x=皿，即x=4时，等号成立

X

当20<x<32(xeN)时，/(x)=-10X+——+796为单调递减函数，

X

：.f(x)的最小值为432)=486>484,

综上可知，/(x)的最小值为484万元.

21.(12分)

解：(1)由图可知/=2,

—T///]=%

412L6J4

最小正周期为7=兀，

•.-T=—=2,

CO

:.f(x)=2cos(2x+0),

又点[it在/W的图象上，,2cos(77T\c口“(7兀、,

12xJ,+0J=2,即cos1—1■0J=1,

77r7Ji

:.—+(p=2kji(kGZ),即0=--+2kMkGZ),

5兀

又0<°<兀,...左=1,且9=不，

/⑴=2cos.

rtkit5兀/r_\

(2)(方法一)令2%+工■=左兀(左£Z)，贝！Jx二-------(kGZ),

212v7

・・・/(X)的图象的对称轴方程为》=日一

・•・在区间（0,兀）内，/（X）的图象有两条对称轴，其方程为x=A，和x=

77rT7T

（方法二）・・•/（x）的最小正周期为7=兀,：./—w=已，

在区间（0,兀）内，/（x）的图象有两条对称轴，其方程为x=A，和》=得，

上单调递增，在区间（胃广］上单调递减,

易知/（x）在区间0,A上单调递减，在区间717兀

129U

・・・/（X）的图象关于直线X=4对称，/（O）=/RU-V3

①若，则/（x）在区间［0冽上的最大值为/（0）=2cos^=-V3,

②若，epffh则/（x）在区间［0冽上的最大值为/（，）=2cos「，+自

③若^,7i\则/（x）在区间［0冽上的最大值为=

Q<0<~,

6

2cos12,+g）,

综上所述，g（，）=<久”N

612

7兀八

2,—<0<71.

12

22.（12分）

2

解：（1）（方法一）a-为---定---义--在R上的奇函数,

2V+1

f（0）=a-1=0,即a=1,

22,-1

2¥+12¥+1

2--'_11_2V

VxeR，显然有=F77rK=—/（x）,

J

-2~-1^为奇函数,

2A+1

实数a的值为1.

2

（方法二）・•・/（%）=”亦为定义在R上的奇函数,

VxeR,/(-.x)+/(.X)=fa---------]+[a---------]=2a-[—-——I--------]

'，八，I2-+1)I2'+1)(2、+12-,+1)

+22+21+2

—2a—=2a—7-----------------2a—2=0

2~x+l(2¥+2-¥+2)

2V_1

.•.4=1,此时/（X）=为奇函数，符合题设.

(2)⑴任取实数X]<0,则

f(x]"上