2024年山东省济宁市高新区九年级一模考试数学模拟试题

2024年山东省济宁市高新区九年级一模考试数学模拟试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

1.（3分）-工的绝对值是（）

3

A.-3B.AC.3D.1

33

2.（3分）下列计算错误的是（）

A03.〃5=8B.(a2Z>)3=a6b783

C.3疾+2炳=5届D.(a+6)2—a2+b~

3.（3分）下列图标中，既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()

A©BO

4.（3分）长城的总长用科学记数法表示约为6.7X106米，则它的原数为（）

A.670000米B.6700000米

C.67000000米D.670000000米

5.（3分）如图，△ABC内接于O。，是。0的直径，连接BO,NDCA=41°,则NABC

的度数是（）

A.41°B.45°C.49°D.59°

6.（3分）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字.若多面体的底面是面③,

则多面体的上面是（）

①

②③④

⑤|⑥|

A.面①B.面②C.面⑤D.面⑥

7.（3分）若一元二次方程后+2；1+1=0有实数解，则根的取值范围是（）

A.根2-1B.mWlC.m2-1且/“WOD.”zWl且/“WO

8.（3分）如图，正六边形的外接圆。。的半径为2,过圆心。的两条直线/1、h

的夹角为60°,则图中的阴影部分的面积为（）

A.A-rr-B.An-C.-73D.-巨

332332

9.（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部8的仰角a为30°,看这栋楼底部C的俯

角B为60°,无人机与楼的水平距离为UOm,则这栋楼的高度为（）

A.14073ITB.16oV3irC.18073irD.20073ir

10.（3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F⑺=3«+1；②当n

为偶数时，F（77）=斗（其中左是使F（〃）为奇数的正整数）…，两种运算交替重复

nk

尸②、----尸①

3------予

24第1次'—'第2次

进行，例如，取"=24,贝U：

若»=13,则第2018次“F”运算的结果是（）

A.1B.4C.2018D.42018

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）已知a+6=4,a-b=2,则/-序的值为.

12.（3分）如图，直线AB//CD,GELEF于点E.若NBG£=60°,^\ZEFD的度数

是.

13.（3分）一个函数过点（1,3）,且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数

解析式.

14.（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳

四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳

子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长

x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为.

15.（3分）已知AC和8。是矩形A8CD的两条对角线，将△的）（7沿直线AC翻折后，点。

落在点E处，三角形AEC与矩形的重叠部分是三角形A3,联结。E.如果AB=6,BF

=2,那么/BOE的正切值是.

三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）

16.（6分）计算：（兀-3）°+V-（-1）2024+及）.

17.（7分）读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委

员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的

新风尚.某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进

行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D.整理如下：

下面是家庭成年人阅读时间在lWx<2小时内的数据：1,1.2,1.3,1.5,1.2,1,1.5,

1.4,1.7,1.2,1,2,1,1.8,1.6,1.5.

家庭成年人阅读时间统计表：

等级阅读时间（小时）频数

A0«112

B1«1.5a

C1.5«2b

Dx223

合计30

请结合以上信息回答下列问题：

（1）统计表中的a=,b—；

（2）B组数据的众数是,中位数是；

（3）扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为度，加=;

（4）该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请

用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率.

家庭成年人阅读时间扇形统计图：

B血％D10%

18.（7分）2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、

乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种

树苗每棵比甲种树苗每棵少6元.

（1）求甲种树苗每棵多少元？

（2）若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？

19.（7分）如图，。。是△48。的外接圆，是。。的直径，点C在。。上，连接AC,

且AC平分ND48,过点C作O。的切线交AB的延长线于点P.

（1）求证：BD//CP；

（2）若cosP=9，BD—24,求BP的长.

20.（8分）如图1,直线y=ax+4经过点A（2,0）,交反比例函数0）的图象于

点2（-1,加），点尸为第二象限内反比例函数图象上的一个动点.

（1）求反比例函数表达式；

（2）过点P作尸C〃彳轴交直线48于点C,连接AP,BP,若△ACP的面积是△BPC面

积的2倍，请求出点尸坐标.

图1备用图

21.（10分）已知Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,AB=5,点。是AB边上的一个动

点（不与点A、8重合），点尸是边BC上的一点，且满足过点C作CEJ_

CD交DF的延长线于E.

（2）如图2,联结BE,设AO=x,BE=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）过点C作射线BE的垂线，垂足为X,射线与射线DE交于点Q,当是

等腰三角形时，求A。的长.

22.（10分）如图，已知点C为二次函数y=/-4x+l的顶点，点尸（0,〃）为y轴正半轴

上一点，过点P作y轴的垂线交函数图象于点A,B（点A在点2的左侧）.点M在射线

尸8上，且满足PM=l+〃.过点M作交抛物线于点N,记点N的纵坐标为小.

(1)求顶点C的坐标.

(2)①若〃=3,求MB的值.

②当0<〃W4时，求冽的取值范围.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

1.（3分）-工的绝对值是（）

3

A.-3B.AC.3D.-A

33

【分析】正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是

零，由此即可得到答案.

【解答】解：-上的绝对值是工，

33

故选:B.

【点评】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义.

2.（3分）下列计算错误的是（）

A.〃3・〃5=Q8B.（/8）3=〃6人3

C.3遥+2遥=5遥D.（a+b）2^a2+b2

【分析】A.应用同底数哥乘法法则进行计算即可得出答案；

B.应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；

C.应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；

D.应用完全平方公式进行计算即可得出答案.

【解答】解：A.因为。3.『=『+5=°8,所以A选项计算正确，故A选项不符合题意；

B.因为（/6）3=々6b3,所以8选项计算正确，故B选项不符合题意；

C.因为3遍+2遥=5遥，所以C选项计算正确，故C选项不符合题意；

D.因为（a+6）2=cr+2ab+b2,所以£）选项计算不正确，故。选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了二次根式的加减，同底数哥乘法，积的乘方，完全平方公式，

熟练掌握二次根式的加减，同底数哥乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本

题的关键.

3.（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

e©®

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解.把一个

图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫

做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个

图形叫做轴对称图形.

【解答】解：A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合.

4.（3分）长城的总长用科学记数法表示约为6.7义1。6米，则它的原数为（）

A.670000米B.6700000米

C.67000000米D.670000000米

【分析】根据已知科学记数法的结果再判断原数，先确定原数的整数数位即可.

【解答】解：6.7X106米对应的原数为6700000米.

故选：B.

【点评】本题考查了科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法.科学记数法的表示形

式为。义10"的形式，其中lW|a|<10,w为整数,表示时关键要正确确定。的值以及w

的值.

5.（3分）如图，△ABC内接于O。，是OO的直径，连接BO,ZDC4=41°,贝U/ABC

的度数是（）

A.41°B.45°C.49°D.59°

【分析】由直径所对的圆周角是直角可得/D3C=90°,由同弧所对的圆周角相等可得

ZDBA^ZDCA,进而可计算N4BC.

【解答】解：是O。的直径，

:.NDBC=90°,

,：ZDBA=ZDCA^41°,

：.ZABC=90°-ZDBA=49°,

故选：C.

【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题

的关键是熟练掌握相关知识点，难度不大.

6.（3分）如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字.若多面体的底面是面③,

则多面体的上面是（）

可

②③④

⑤|⑥|

A.面①B.面②C.面⑤D.面⑥

【分析】由多面体的表面展开图，即可得到答案.

【解答】解：多面体的底面是面③，则多面体的上面是⑤.

故选：C.

【点评】本题考查几何体的表面展开图，关键是由长方体的表面展开图找到相对面.

7.（3分）若一元二次方程:小+2工+1=0有实数解，则他的取值范围是（）

A.小2-1B.m^lC.机2-1且mWOD.相W1且根W0

【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可.

【解答】解：•••一元二次方程加V2+2_X+I=0有实数解，

...A=22-4机20,且小#0,

解得：MJWI且“zWO,

故选：D.

【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0.

8.（3分）如图，正六边形A8CQEF的外接圆。。的半径为2,过圆心。的两条直线/1、h

的夹角为60°,则图中的阴影部分的面积为（）

A.A-rt-B.返C.ZTT-V3D.4—近

332332

【分析】连接AO,OC,由。。是正六边形的外接圆可求得NCOD=60°,是等

边三角形，根据扇形面积公式可求S扇形COD,根据三角形面积公式可求SACOD,利用三

角形全等将两块阴影部分拼接，转化为弓形，根据S阴影=S扇形c。。-Sy。。即可求解.

【解答】解：如图，连接A。，OC,

：O。是正六边形的外接圆，

.•.AD必过点。，ZCO£>^360°-=60°,

6

又,:OC=OD,

.♦.△CO。是等边三角形，OC=OD=CD=2,

•••直线A、/2的夹角为60°,

：.ZCOD-/KOD=AKOH-ZKOD,

即NCOK=N。。//,

又,：2DOH=ZAOG,

：.4COK=ZAOG,

：NOCK=Nft4G=60°,OC^OA,

•・.△OCK也AkOAG(ASA),S扇形COM=S扇形AON，

・'・S扇形COM-S/\OCK=S扇形AON-SzsOAG，

，s阴影=S扇形COO-S4coD,

•••S扇形c。尸叱0a=2m

3603

X2XA/§=«,

••S阴影-2-H-•

3

【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形面积和扇形面积计算，明确S阴影=5扇形

COD-SHOD是解决问题的关键.

9.（3分）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部5的仰角a为30°,看这栋楼底部。的俯

角0为60°,无人机与楼的水平距离为120相，则这栋楼的高度为（）

A.140V3irB.160V3irC.180V3irD.20(h/3n

【分析】过点A作4DLBC,垂足为。，根据题意可得：AD^UQm,然后分别在RtA

A3。和RtZXAC。中，利用锐角三角函数的定义求出8。和CD的长，最后利用线段的和

差关系进行计算，即可解答.

【解答】解：过点A作AOLBC,垂足为。，

由题意得：AD=120m,

在RtZXABO中，NBAD=30°,

：.BD=AD-tan30°=120义近=40«(m),

3

在RtZkAC。中，ZCAD=6Q°,

：.CD^AD-tan6Q°=120«（m）,

:.BC=BD+CD=16。如（m）,

...这栋楼的高度为160«〃z,

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合

图形添加适当的辅助线是解题的关键.

10.（3分）定义一种对正整数n的"F"运算：①当n为奇数时，F（“）=3"+1；②当n

为偶数时，F（n）=旦（其中左是使尸（〃）为奇数的正整数）…，两种运算交替重复

2k

尸②、----尸①

3------予

第1次’—'第2次

进行，例如，取〃=24,贝U：

若〃=13,则第2018次“F”运算的结果是（）

A.1B.4C.2018D.42018

【分析】计算出"=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解

答即可.

【解答］解：若"=13,

第1次结果为：3/1+1=40,

第2次结果是：丝=5,

23

第3次结果为：3/1+1=16,

第4次结果为：旭=1,

24

第5次结果为：4,

第6次结果为：1,

可以看出，从第四次开始，结果就只是1,4两个数轮流出现，

且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4,

而2018次是偶数，因此最后结果是1.

故选：A.

【点评】本题主要考查了数字的变化类，能根据所给条件得出力=13时六次的运算结果,

找出规律是解答此题的关键.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）已知a+6=4,a-b=2,则♦-/的值为8.

【分析】根据平方差公式将/-房转化为Q+b）（a-b）,再代入计算即可.

【解答】解：,.,a+b=4,a-b—1,

.,.a2-b2=（a+6）（a-b）

=4X2

=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提.

12.（3分）如图，aaAB//CD,GE_LEF于点、E.若NBGE=60°,则NEFD的度数是

30°.

【分析】延长G£交C£）于点式先利用平行线的性质可得NBGE=NE/3=60°,再根

据垂直定义可得/GEP=90°,然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答.

【解答】解：延长GE交CD于点X,

,JAB//CD,

:.NBGE=/EHF=60°,

；GE上EF,

:.NGEF=90°,

•/ZGEF是△EFH的一个外角,

:.NEFD=/GEF-NEHF=3Q°,

故答案为：30°.

【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

13.（3分）一个函数过点（1,3）,且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数

解析式y=x+2（答案不唯一）.

【分析】设一次函数的解析式为y^kx+b（左W0）,利用一次函数图象上点的坐标特征可

求出左+4>=3,利用一次函数的性质可得出左>0,取左=1,b=2即可得出结论.

【解答】解：设一次函数的解析式为>=丘+8"。0）.

:一次函数y=fct+6的图象经过点（1,3）,

：・3=k+b,

又•:函数值y随自变量x的增大而增大，

：.k>Q,

:.k=l,b=2符合题意，

符合上述条件的函数解析式可以为y=x+2.

故答案为：y=x+2（答案不唯一）.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记隈>0,y

随x的增大而增大；k<Q,y随x的增大而减小”是解题的关键.

14.（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳

四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳

子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长

x+4.5=y

x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为_y

xV=万

【分析】根据用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量木条，木条

剩余1尺，可以列出相应的方程组，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

'x+4.5=y

<1y，

，x+4.5=y

故答案为：，y.

x-l=万

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找

出等量关系，列出相应的方程组.

15.（3分）已知AC和8。是矩形ABC。的两条对角线，将△AOC沿直线AC翻折后，点。

落在点E处，三角形AEC与矩形的重叠部分是三角形ACR联结。E.如果A8=6,BF

=2,那么NBDE的正切值是△或返.

一3一

【分析】时，根据矩形的性质得出。4=0C=0B=。。，NAOC=NABC=90°,

AD//BC,则/。lO=/0D4=NAC8,根据折叠的性质得出AC_LZ）E,ZADE^ZAED,

ZACD=ZACE,ZADC=ZAEC^90°,ZDAC=ZEAC,设NOZM=a,则NOAD=

ZACB=a,ZEAC=a,根据直角三角形的性质及三角形外角性质推出N8OE=/8AF

=90°-2a,贝！JtanNBOE=tan/54R根据正切的定义求解即可；

AB>AD时，根据矩形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质及折叠的性质求

出/2。£=30°,根据特角的三角函数值求解即可.

【解答】解：如图，时，AC交于点。，

A_______________力D

E

・・•四边形A3CD是矩形，

：.OA=OC=OB=OD,ZADC=ZABC=90°,AD//BC,

：.ZOAD=ZODA=NACB,

根据折叠的性质得,ACLLOE,ZADE=ZAEDfZACD=ZACEfZADC=ZAEC=90°,

ZDAC=ZEAC,

设N0ZM=a,则NOAO=NAC3=a,ZEAC=a,

：.ZEFC=ZE4C+ZACB=2a,ZAED=90°-ZEAC=90°-a,

・・・ZBDE=/ABD-ZODA=90°-a-a=90°-2a,

•・•/AFB=NEFC=2a,

：.ZBAF=90°-ZAFB=90°-2a,

・•・ZBDE=ZBAF,

tanZBDE=tanZBAF,

在RtZXAB尸中，AB=6,BF=2,

：.tanZBAF=—=2=』，

AB63

tanZBZ）E=A,

3

即N3DE的正切值是」,

3

如图，时，

VAB=6,BF=2,

：.AF=AB-BF=4,

・・•四边形ABC。是矩形，

AZABC=ZBCD=90°,AB//CD,OC=OD,

：.ZBAC=NACD,

根据折叠的性质得，ZACD=ZACE,ACLDE,

：.ZACE=ZBAC,ZACD+ZCDE=90°,

.'.AF=CF=4,

：.ZBCF=30°,

AZACD=30°,

：.ZCDE=60°,

'/OC=OD,

：.ZCDO=ZACD=30°,

：.ZBDE=30°,

ZBDE的正切值是近，

3

故答案为：1或叵.

33

【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是

解题的关键.

三、解答题（本大题共55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）

16.（6分）计算：（兀■■口-（_1严24+4）.

【分析】先计算零指数幕，负整数指数基和算术平方根，再计算加减法即可.

【解答】解：（兀一3）0晒_（_1）2。24+（_1）-2

=1+2-1+4

=6.

【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数塞，负整数指数累，熟练掌握相关运算法

则是关键.

17.(7分)读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委

员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的

新风尚.某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了30户家庭进

行问卷调查，将调查结果分为4个等级：A、B、C、D.整理如下：

下面是家庭成年人阅读时间在1W尤＜2小时内的数据：1,1.2,1.3,1.5,1.2,1,1.5,

1.4,1.7,1.2,1.2,1,1.8,1.6,1.5.

家庭成年人阅读时间统计表：

等级阅读时间(小时)频数

A0W尤＜112

B14V1.5a

C1.5«2b

D3

合计30

请结合以上信息回答下列问题：

(1)统计表中的a=9，b=6；

(2)B组数据的众数是1.2,中位数是1.2;

(3)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为72度,m=30；

(4)该社区宣传管理人员有1男2女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请

用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率.

家庭成年人阅读时间扇形统计图：

B血％D10%

【分析】(1)由家庭成年人阅读时间在lWx＜2小时内的数据可得答案.

(2)根据众数和中位数的定义可得答案.

(3)用360°乘以C等级的人数所占的百分比，即可求出C组对应扇形的圆心角的度数;

求出B等级的人数所占的百分比即可得出答案.

(4)画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好选中“1男1女”的结果数，再利用概

率公式可得出答案.

【解答】解：(1)由家庭成年人阅读时间在lWx＜2小时内的数据可知，a=9,b=6.

故答案为：9；6.

(2)尤＜1.5小时内的数据中，1.2出现的次数最多，

•••2组数据的众数是1.2.

将1W尤＜1.5小时内的数据按从小到大排列，排在第5个的是1.2,

•♦•2组数据的中位数是12

故答案为：1.2；1.2.

(3)扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为360°X且=72。.

30

ZM%=_9_X100%=30%,

30

.'.m=3O.

故答案为：72；30.

(4)设1名男生记为A,2名女生记为3,C,

画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有：AB,AC,BA,CA,共4

种，

恰好选中“1男1女”的概率为空=2.

63

【点评】本题考查列表法与树状图法、频数(率)分布表、扇形统计图、众数、中位数,

能够理解频数(率)分布表和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及众数和中位

数的定义是解答本题的关键.

18.(7分)2019年3月12日是第41个植树节，某单位积极开展植树活动，决定购买甲、

乙两种树苗，用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种

树苗每棵比甲种树苗每棵少6元.

(1)求甲种树苗每棵多少元？

(2)若准备用3800元购买甲、乙两种树苗共100棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？

【分析】(1)根据题意列出分式方程求解即可；

(2)根据题意列出不等式求解即可.

【解答】解：(1)设甲种树苗每棵x元，根据题意得：

-8-0-0-=--6-8-0,

xx-6

解得：尤=40,

经检验：x=40是原方程的解，

答：甲种树苗每棵40元；

(2)设购买乙种树苗y棵，根据题意得：

40(100-y)+34yW3800,

解得：代33工，

3

是正整数，

最小取34,

答：至少要购买乙种树苗34棵.

【点评】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意

找到等量关系，难度不大.

19.(7分)如图，。。是的外接圆，是。。的直径，点C在。。上，连接AC,

且AC平分/D48,过点C作O。的切线交AB的延长线于点P.

(1)求证：BD//CP；

(2)若cosP=A,BD=24,求BP的长.

5

【分析】(1)连接0C,如图，先利用圆周角定理得到食=防，再根据垂径定理得到0C

±BD,接着利用切线的性质得OCLPC,然后根据平行线的性质得到结论；

(2)先利用B£)〃PC得到所以cosN4BD=cosP=_l,再根据圆周角定理

5

得44。2=90°,则利用余弦的定义可求出AB=30,所以O2=OC=15,接着在RtA

0cp中利用余弦的定义得到cosP=E2=±于是设PC=4无，尸。=5口则OC=3x=15,

P05

求出尤得到。尸=25,然后计算OP-0B即可.

【解答】(1)证明：连接。C,如图，

：AC平分/D48,

：.ZBAC^ZDAC,

•••BC=DC.

：.OC±BD,

为的切线，

：.OC±PC,

J.BD//CP-,

(2)解：-：BD//PC,

：./ABD=NP,

COSZAB£)=COSP=A,

5

是OO的直径，

AZADB=90°,

在RtAABD中，VCOSZABD=^L=A,

AB5

.•.AB=2BD=2X24=30,

44

，OB=OC=15,

•：OC±PC,

；./OCP=90°,

在RtZXOCP中，：cosP=F2=-l,

PO5

，设尸。=4x,PO=5xf

0C=3x,

即3x=15,

解得x=5,

OP=5x=25,

：.BP=OP-OB=25-15=10.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了垂径定理、

圆周角定理和解直角三角形.

20.(8分)如图1,直线y="+4经过点A(2,0),交反比例函数y=&0)的图象于

x

点2(-1,加)，点尸为第二象限内反比例函数图象上的一个动点.

(1)求反比例函数表达式；

(2)过点P作尸C〃尤轴交直线A3于点C,连接AP,BP,若的面积是△3PC面

积的2倍，请求出点尸坐标.

图1备用图

【分析】(1)将点A(2,0)代入y=ax+4求得。的值，得到直线的解析式，将2(-1,

，〃)代入直线的解析式，算出根的值，得到8的坐标，将8的坐标代入反比例函数>=区

x

(x<0)中求解，即可解题；

(2)根据点P为第二象限内反比例函数图象上的一个动点，过点P作PC±x轴交直线

AB于点C,分以下两种情况讨论，①当尸点在A2下方时，②当P点在上方时，根

据以上两种情况，结合“BP若△ACP的面积是△BPC面积的2倍”分析得到点C纵坐

标，将点C纵坐标代入反比例函数解析式求解，即可解题.

【解答】解：(1)：y=qx+4过点A(2,0),

2(2+4=0,

「・4=-2,

-2x+4,

•1点、B(-1,m)在＞=-2x+4上,

・"=2+4=6,

：.B(-1,6),

:.k=(-1)X6=-6,

(2)①当尸点在A5下方时,

*.*SAACP=2SABCP,

：.AC：BC=2：1,

作S_Lx轴，轴，

ABBR3

.y12

••------J

VB3

■:B(-1,6),

；・yc=4,

把yc=4代入y=-2中,

：.P(4)；

2

②当尸点在AB上方时,

*.*SAACP=2SABCP,

：.AB-.BC=1：1,

.•.2为AC的中点，

VA(2,0),8(-1,6),

：.C(-4,12),

把y=12代入y=二3中，

X

：.P(-A,12)；

2

综上所述：点尸坐标为(-旦，4)或(-［，12).

22

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点、用待定系数法求函数解析式、坐标与

图形、等腰三角形性质、全等三角形的性质和判定、熟练掌握相关性质定理并灵活运用

是解题的关键.

21.(10分)已知RtaABC中，90°,AC=3,42=5,点。是A3边上的一个动

点(不与点A、8重合)，点F是边8C上的一点，且满足过点C作CEJ_

CD交DF的延长线于E.

(1)如图1,当CE〃A8时，求的长；

(2)如图2,联结8E,设AZ)=x,BE=y,求y关于x的函数解析式并写出定义域；

(3)过点C作射线BE的垂线，垂足为X,射线C8与射线DE交于点Q,当△CQE是

等腰三角形时，求的长.

【分析】(1)由勾股定理可求8C的长，由锐角三角函数可求的长；

(2)通过证明△ACOS^BCE,可得即可求解；

BCBE

(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质和等腰三角形的性质可求解.

【解答】解：(1)\'CE//AB,CELCD,

J.ABLCD,

VZACB=90°,AC=3,AB=5,

研2-/=后0=4,

：cosA=坦望•