江门市2024年高考模拟考试（一模）数学试卷（含答案）

试卷类型：A

江门市2024年高考模拟考试

数学2024.03

本试卷共5页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：«1>

1.答题前，,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号.

3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.

5.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(175,5?).现随机选择一

名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是

参考数据：P0-b<XW〃+<T)a0.6827

A.0.6827B.0.34135C.0.3173D.0.15865

2.在A48C中，B=30°,b=2,c=2底，则角/的大小为

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

3.已知｛an｝是等比数列，%G=84，且%，4是方程，一34%+加=0两根,则m=

A.8B.—8C.64D.—64

4.己知角a的终边上有一点尸(一l，$,则cos(1+a)=

数学试题第1页(共5页)

5.设耳，❷为双曲线。：・一4=1（。＞0）＞0）的左、右焦点，点4为双曲线的左顶点，

ab

以玛尸2为直径的圆交双曲线c的渐近线于M,N两点，且点M,N分别在第一、三象限,

2

若NMAN=一冗，则双曲线的离心率为

3

A.叵B.721C.叵D.715

3，3

6.已知（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）11=UQ+a［（2+X）十u，2（2+x）2+…+a”（2+,

则旬+。2+。4。-----％0的值是

A.680B.-680C.1360D.-1360

7.已知9名女生的身高平均值为162（单位：cm）,方差为26,若增加一名身高172（单

位：cm）的女生，则这10名女生身高的方差为

A.32.4B.32.8C.31.4D.31.8

8.物理学家本・福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以〃开头的数出现的概率为

.£（〃）=10应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若

n

玉01）="^辔-QwN*）,则左的值为

Ml+log25

A.7.B.8C.9D.10

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是

A.z・z=|z「,zEC

B.产24=一1

C.若|z|=l,zeC,则匕一2的最小值为1

D.若—4+3，是差于%的方程，+pX+q=0Q?,gwR）的根，则P=8

数学试题第2页（共.5页）

10.已知函数f(x)=sin(2car+y)+sin(2<ax_y)+2^3cos2cox-y/3(a)>0),则下列结论

正确的是

jr

A.若/(x)相邻两条对称轴的距离为一，则0=2

2

B.当G=1,xc[0,-]Bt,/(X)的值域为[一百,2]

C.当g=1时，/(X)的图象向左平移出个单位长度得到函数解析式为y=2cos(2x+J)

-6.1f6

D.若/(x)在区间[0,J2T]上有且仅有两个零点，则5W0<8

6

11.已知曲线E:虫L如1=1,则下列结论正确的是

48」

A.y随着x增大而减小•

B.曲线E的横坐标取值范围为[-2,2]

C.曲线E与直线》=-1.4%相交，且交点在第二象限

D.〃(方,%)是曲线上上任意一点，则|缶的取值范围为(0,4]

・，•••,1,,,；

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

I

12.已知向量方=(i,o),3=。,1),若与3垂直，则4=..

13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的

(如图)，则该几何体共有个面；若被截正方体的棱长是60cm,那么该几何体

的表面积是cm2.

数学试题第3页(共5页)

14.函数/(x)的定义域为R,对任意的了,y,

成立.请写出满足上述条件的函数/(%)的一个解析式.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题13分)如图，四边形28co是圆柱底面的内接矩形，以是圆柱的母线.

(1)证明:在侧棱尸。上存在点E,使P3//平面4EC；p

(2)在(1)的条件下，设二面角0一/E—C为60°,卜公

AP=l,AD=yf3,求三棱锥E—力CD的体积.；；'、'、I

.1

B

16.(本小题15分)在数字通信中，信号是由数字0和I组成的序列,且传输相互独立.

由于随机因素的干扰，发送的信号0或I有可能被错误地接收为I或0.已知发送0时，

收到I的概率为a(0<a<l),收到。的概率为l-a；发送I时，收到0的概率为

£(0</<1),收到L的概率为1一夕.假设发送信号0和I是等可能的.

(1)已知接收的信号为1,且a=0.1,夕=0.05,求发送的信号是0的概率；

(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三

次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输

时，收到的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即,为译码(例如,

若依次收到1,0,1,则译码为1).已知发送1,若采用三次传输方案译码为1的概率

大于采用单次传输方案译码为1的概率，求夕的取值范围.

数学试题第4页(共5页)

17.(本小题15分)已知椭圆E：=+《=1(〃>8>0)的离心率是也，过点“(2,0)的动

ab3

直线/与椭圆相交于43两点，当直线/与入轴垂直时，直线/被椭圆E截得的线段长为

4也

----•

3

(1)求椭圆E的方程；

lA^I\MA\

(2)是否存，在与点M不同的定点N,使得扁=谒恒成立？若存在，求出点N的

坐标；若不存在，请说明理由.

18.(本小题17分)已知关于％的方程炉忖=夫)有三个根，分别为西，/，％3，

且再</<13•

(1)求小的取值范围：

fI-\\

✓XV1—.••,

(2)设/=一-L,证明：七随着，的增大而减小.

・、；

19.(本小题17分)将2024表示成5个正整数七/2，电，为4户5之和，得到方程

国+工2+工3+%4+/=2024①，称五元有序数组(石，x2,x3,X4,15)为方程①的解，

对于上述的五元有序数组(孙X2,x3,x4,x5),当TWQ5时，若

max(Xj-Xj)=E«wN),则称(卬x2,x3,x4,/)是好密集的一组解：

(1)方程①是否存在一组解(再,12，/，工4，x5)，使得玉+1-玉«=1,2,3,4)等于同一常数？

若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由.

(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的?

5

(3)记5=2町，问S是否存在最小值？若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说

«=i

明理由.

数学试题第5页(共5页)

江门市2024年普通高中高三模拟测试

数学答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号12345678

答案DDCACBAC

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的，如果有两个选项正确的，选1对个得3分；如果有三个

选项正确的，选对1个得2分，选对2个得4分。

题号91011

答案ACDBCDAD

v*J

由题设得：曲线为.丁-卞二K\^O,y<0）（可得曲线图形，

---=K\'<0.v>0）

E.84'

D选项解析，方法一：

⑶辿/日，即点MG。/。）到直线岳+”0

的距离的0倍-

数学答案第1页共13页

当直线、，2x+y+c=0与曲线彳+京=乂'三0）相切，c=-4，两平行直线、讶x+y=0与

「d=±

Y2x+y-4=0距离73,

故，卜’2%+为9⑪4】

方法二：

设x=2cos（（,y—242sin（（即

<2x,-,+J%=2<2cosa+2<2sina=4sinfrz+—）

4,

rc，73,7,

daw[0,_]-iia+—曰一•—]

因为2,所以444,

故/瓜，+讣（。用.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

题号121314

14.10800+360073/Gc)=sinxf(x)=sin5xf(x)=sin9x

11t

答案一2

(第1个空2分，第2个空3分)等，答案不唯一，写对即可。

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(1)证明：取E为PD中点，连接BD交AC于。点,

连接EO...........1分

・・,。为BD中点,E为PD中点，

.-.EO//PB2分

又...EOu^\EC,PB年s^\EC..............3分

：.PBH^EC■.....4分

数学答案第2页共13页

(2)方法一：

解：设AB=t,t>0,以A为原点，徵皿项所在直线分别为x辄y辄z轴,

D(0>>/3.0),E0.冬：

建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，°，0)C亿6,0)

.4E=0.—>.4C=(t.^.0)..4D=「

22(0.V3.0)

镯位>E的法向量"=。，°，°)............6分

设平面ACE的法向量”=(x,乂z),

mAC=tx+-/iy=0

-Tx/3I

nj-AE=—y+-z=0

则、2)2

.......7分

取y=-f,得加二电-1.同

..........8分

•.•二面角D-AE-C为60°,

yIm'(IJ

.1.COS60'=—.

用?|仙|g+4「9分

a3

t=-/..AB=CD=士

由t>0,解得2,2.........10分

S.t,.r.=-ADCD=lx^X-=^

lL

-222411分

d=J_p，4=1_

点E到平面AC。的距离2'2........J分

3sid3速J=史

••・三棱锥E-ACD的体积33428........13分

方法二：

解：设AB=CD玄」>D,过点D作D尸1AE,垂足为E,连接°F,CF,如图，

1/CD1面PADAFc面PAD

I

CDJ_AF5分

又CD门DF=D..AFc面CDF

数学答案第3页共13页

...AT±®CDF6分

1/CFc面CDF

.-.AF1CF7分

二/CFD为二面角O-AE-C的平面角，...........8分

于是，NCFD=601

在RtAAFD中，

ZCFD=60°AD=73

II

.-.DF=—

2................9分

在RrACDF中

tanZCDF=^-=-^二万

FD6

2AD=y/3

.-.CD=-

2...........10分

SLIR=1-4DCD=|x^x|=竽

11分

d=J_PA=J_

点E到平面ACD的距离2'2..........J分

Vj--.vr,=-xSvvr,xd=^-

三棱锥E-ACD的体积I」/3428

313分

16.解：(1)设A="发送的信号为V,B="接收到的信号为V,

则％="发送的信号为0",B="接收到的信号为0".....1分

P(.4)=P(A)P(叫A)=0.95.P(B|.4)=0.1

2..............2分

由题意得

P(B)=P(ABU.AB)=P(.AB)+P(AB)=P(.A)P(B|.4)+P(.A)P(B|A)4分

数学答案第4页共13页

=0,5x0.95+0.5x0,1=0.5256分

3Pf.AB)_P(.4)P(B|.A)_O.5xO.l_2

的P(B)P(B)0,52521

(2)若采用三次传输方案译码为1的概率为

月=C.y/(l-/叶+(1-/>T=3/A1-加10分

若采用单次传输方案译码为1的概率为马二>",

P-R=C/>X1-Ar

（冷卜犷）；（；）（）

=1-2+F=/1-/1-2/7>0，....................

1•<0</7<l,•.（!-ZO（1-2/n>013分

1

O</7<-

解得2,

O</3<-

故，2.............................15分

17.解：（1）由已知，点（2，F—）在椭圆E上，......1分

ATy~

所以椭圆的方程为G*7一......5分

]x1AB

(2)当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于'两点.

IM_IMAI

如果存在定点N满足条件，则pVB|一|MB|一，即加以二\NB\

所以N点在X轴上，可设N点的坐标为&。，°)......6分

数学答案第5页共13页

当直线/与X轴重合时，设直线,与椭圆相交于A，B两点，设、，'反0)Bk，瓦0),则

小+而_v'6+2

由网|MB|，有*-、；6v1G2，解得％=2或X。=3

所以，若存在不同于点M的定点可满足条件，则点网的坐标只可能为®。).......7分

|A'A|_|MA|

下面证明：对任意的直线/,均有而=雨.

方法一:

当直线/的斜率为零时，由上可知，结论成立.

当直线/的斜率不为零时，可设直线’的方程为"叩+2,设

X~•JV-J1

—+—=1

联立’64得......8分

x=n]y+2(2r?f+3%'+8r?iy-4二。

8n?4

=

-Kiy]+)4=-^—y1/2'—Q八

所ef以，2k+3,2rn+3......9分

因此7十口二蟹工=””

.....10分

易知，点B关于x轴对称的点的坐标为B&0%).

Ix-3仃叫-11

——=----=二^----=m--、

又Ly,y.必.......11分

1X：-3rnv：-11I

----=------—=-+—=m--

%一%-Z匕Y......12分

1_1

所以匕；二吃，即N,A,B'三点共线......13分

数学答案第6页共13页

M=M=2i=M

所以pVB|\NB\y：\MB\14分

ArA|_MA

所以，存在与点不同的定点N（0,3），使得词=加恒成立......15分

方法二：

NA_MA

欲证而=而，由角平分线定理逆定理知：即证v轴平分/AMR....1°分

即证：%+嗫=0......11分

k.k-兑_3)+尤&-3)

又“,龙x；-3x「3(x-3KV-3).....12分

)•;(£-3)+y(v-3)=)1G“ET)+晃(缈.-l)=2rw：-(y+)=0

;s14分

所以，存在与点.不同的定点N（0,3），使得画~|MB恒成立......15分

方法三：

当直线I的斜率为不存在时，由上可知，结论成立.

当直线’的斜率存在时，可设直线’的方程为丫二感-2）,设内/口阻.尤）.

七+J

联.y=k(x-2)*,6卜+21，-12kA+12T-12=0.......'刀

N12好-12

g、i.V+X——：----XX-=：-----c八

所以，’-弘」+2，-3k'+2.....9分

L1.V]+.V：-6.V,+.V：-6_

因此％.x2-3Cx,-3X\';-3)・3(A.十七)十91......10分

易知，点B关于x轴对称的点的坐标为B&0%).

,_J,：2)k

A.———k十.

又,-1.v-3A--3.V,-3......11分

数学答案第7页共13页

-v：-k(x-2),k.k

—―=------------=-k----------=k+-------

士-3x「3，v-3x-3...........12分

所以Q二小，即N,AB三点共线......13分

酬|一网_」MA|

..........14分

所以pVB|网J：

NA_MA

所以，存在与点M不同的定点N(0,3)，使得.丽・］画.恒成立......15分

方法四：

NA_MA

欲证而二而，由角平分线定理逆定理知：即证v轴平分/△MA.......1。分即证k+k=0•…

XZ.A/VOU

.......11分

k+k--।二3)+)代3)

又、‘"'-3士-3(x-3Xx_-3)...........12分

y,(x-3)+y；(x,-3)=k&-2)C*-3)+k(\-2X.\-3)

二电-5(x.+x；)+12]=k]^^+12卜。........14分

NA|_MA

所以，存在与点.不同的定点N(0,3)，使得NB|一MB恒成立......15分

q.xe'\x>0

18.解：(1)令/(x)=c1M=；xc,-.x<0............1分

_(A'+l)e\x>0

贝’」X-(,X+l)c\x<0.........2分

(注："X)在X=0处不可导，是否考虑此点的导数不纳入评分标准)

・•.x>0时，e)>°,神)递增；时，f'(x)<。，f(x)递减；

X<-1时J'(x)>。，f(x)递增…3分

_1

又二，f(0)=0...........4分

X->-co.f⑶―。+C

nX—+8时f(X)T0

H寸t.........5分

(注：极限也可用图形代替，图形正确或说理充分即给分)

数学答案第8页共13页

小,1、，1।i1x,,+1+In

「•g⑴<g(­)=1+---------In—=--------------

X(j,\i&XQ.....14分

又"°e-",，；%+ln，%=-1.....15分

.'.(?(—)=0

x。,.,.g(r)<o,/.x3(0<0..16分

%随着t的增大而减小......17分

方法二：

由⑴知：3一……―，

又〃0）=0，，⑴=°>；......7分

“乂）在（0,+8）递增，，土K（O,I），使‘（/）一"，则X3e（o,xo）.....8分

由=£•'•*=m

X..X

得e',即*7产山一二.......9分

“3>•

t=tG（—，+g）

令X3,则X。.......10分（f的范围给分）

=--tW（L+「Q）11八

从而31+f.X。,.....11分

+Int

巾）=，77厂……12分

令如=；S-叫"?1

八11t+1C

g⑴=---=-—^<o

t-tr.....13分

A+

.,.g(r)在x0,递减

数学答案第10页共13页

••.m的取值范围是(°’/......6分

由(1)知：级

又f(0)=0，，.......7分

=

f(x)在(0,+8)递增，/.3v.;1e(0,l)，使‘(X。)e,则X3G(O,X0).....8分

由X.二)

得**=-}，即'"、一=他一}.......9分

t—-tG(—,+x)

令X3,则，％.......10分(t的范围给分)

_I1"

从而为=正7.....11分

X(t)

(l+r)2-tfl+t)2.....12分

f>-->1

令g⑴=1+t-1Int,X。

gQ)=1-(1+]nt)=-!nt<0

.....13分

(—,+x)

，g⑴在J递减，

数学答案第9页共13页

•)=l+\,+lnx,-,

'..........14分

&_1

又~e,■,-A,Cl+ln，v，=-1...........15分

g(—)=0,

%/.5(r)<0x3(t)<0..........16分

.・•天随着t的增大而减小......17分

19.解：(1)若羯-X,是同一常数Q=1,2,3,4).

由等差数列的定义，㈤构成等差数列，为+*+*+冬+*=54............1分

_2024

5乂3=2024,解得：&一飞一，与々GN”矛盾.......2分

故不存在一组解。'：,*'*"*'*)，使得是同一常数。=1234).........3分

(2)方法一：

当由题意知：t=1时，对于1父，厂5,ma&-xj=l,

记maxM=M且个数为y,则mi。；打二M-1个数为&y),/以石儿/分

yM+(5-ylw-1)=2024