福建省三明市2023-2024学年高二年级上册期末质量检测数学试题 含答案

三明市2023-2024学年第一学期普通高中期末质量检测

高二数学试题

本试卷共6页。满分150分。

注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核

对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上

无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知a=（l,3,—1）,8=（2,匕5）,若则实数人的值为（)

77

A.1B.-1C.-D.——

33

无2

2.双曲线可―V=1的焦距为（）

A.A/2B.2&C.2D.4

3.等比数列｛g｝中，若%=2,,%=4,贝4为=（)

A.10B.16C.24D.32

4.两条平行线/i：x+2y—2=0,4：奴+6y—9=0间的距离等于()

A7^/5

-4B.孚0•亚D.

5

5.如图，在四面体O42C中，OA=a,OB=b,OC=c,OE=-OA,BF=-BC,且EF=()

34

1一3,1一

B.-ClH---u---C

344

1.31.

D.——a+—b+—c

344

6.已知A（-l,0）,B（l,0），若直线y=k（x-3）上存在点P使得ZAPB=90°,则实数k的取值范围为（）

「才'7]艮『才刀]pv

C.-------,-----D.—oo-------I,-------,+oo

3344

\J\J\7

7.已知数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为5“工，若4=2,”+i=2S〃，d=（—l）"a,,则与°o=（）

A.150B.100C.200D.5050

8.抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.从抛物线

y2=2px（p＞。）的焦点厂发出的两条光线分别经抛物线反射，若这两条光线均在抛物线对称轴同侧且与x

轴的夹角均为60°,两条反射光线之间的距离为6,则p=（）

.35

A.1B.—C.2D.一

22

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选

项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.等差数列｛%｝的前见项和为S“，若。4+必+%2=切，则下列各项的值一定为机的是（）

ss

A.262B.3a8C.3l5D.3l5

155

10.下列说法中正确的是()

A.fsin—=cos—

I4；4

(cos%、-xsinx-cosx

C.设函数/(x)=xlnx,若/'(%o)=2,则x()=e

D.设函数的导函数为/'（x）,且〃x）=%2+3矿（2）+lnx,则/（2）=_：

11.以下四个命题表述正确的是（）

A.直线（2m-l）y=机一3（meR）恒过定点（5,-2）

B.圆好+/=2上有且仅有2个点到直线x-y+1=0的距离等于—

C.曲线G：/+,+2%=0与。2：/+/一4%—8y+16=0恰有四条公切线

D.己知圆。：必+丁=2,尸为直线x+y+20=0上一动点，过点尸向圆C引切线外，其中A为切点,

则|24|的最小值为2

12.如图，在底面是直角三角形的直三棱柱ABC—4与C中，尸是8片的中点，A4=4,AC=BC=2,

若平面a过点P,且与AC1平行，则（）

A.异面直线AG与CP所成角的余弦值为半

B.三棱锥G-ACP的体积是三棱柱ABC-A与G体积的工

6

C.当平面a截棱柱ABC-A^G的截面图形为等腰梯形时该图形的面积等于19

D.当平面a截棱柱ABC-A4G的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于3&

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知点4（—1,1）,8（3,3）,以线段为直径的圆的标准方程为.

14.曲线C:/（x）=sinx+e'+2在点（0,/（0））处的切线方程为.

炉V21

15.已知双曲线「：r—J=l（a〉0,6〉0）的离心率为e,直线/:y=—x与双曲线「交于M,N两点，若

ab2

\MN\=245b,则e的值是.

16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1：若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运

算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”

等）。如取正整数根=6,根据上述运算法则得出6f3~*10f5-16—8—4f2f1,共需经过8个步骤变成1

（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列｛%｝满足：%=m（%为正整数），

%=＜才当4为偶数时’，若“冰雹猜想”中心=1，则加所有可能的取值集合为.

3a”+1,当/为奇数时，

五、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

等差数列｛。“｝中，4+。4=—14，%+4=-20.

（1）求数列｛4｝的通项公式：

（2）已知数列｛4+〃｝是首项为1,公比为2的等比数列，求也“｝的前〃项和5“.

18.（12分）

在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。是矩形，E,尸分别是棱BC,尸。的中点.

（1）证明：CF〃平面必E：

（2）若A4J_平面A8CD,且A3=l,AD=AP=2,求二面角尸—AE—O的余弦值.

19.（12分）

22

已知椭圆c：=+与=l（a〉6〉0）的右焦点为b（1,0）,且经过点QV2,

ab

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线/,直线/与椭圆相交于M,N两点，求线段MN的长.

20.（12分）

在如图所示的多面体A8CDE尸中，四边形ABC。为菱形，且NADC为锐角.在梯形ABE/中，AF//BE,

AF±AB,AB=BE=2AF=2,平面ABE户，平面ABCD

（1）证明：平面ACR

（2）若%_"0=半，AG=2AB（2e[0,l]）,是否存在实数4,使得直线CG与平面CEF所成角的正弦

值为若存在，则求出力,若不存在，说明理由.

4

21.（12分）

己知数列｛。“｝满足：q=2,g=4,a,+2=3«n+1-2an.

(1)证明：数列｛4+l-4｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式;

(2)在%与4+i之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为4的等差数列，求数列的前〃项和

[4J

22.(12分)

在平面直角坐标系x。〉中，已知点A,8为抛物线C:y2=2px(p>0)上不同的两点，OALOB,

且Q4L05于点D

(1)求尸的值；

(2)过x轴上一点T&O)«WO)的直线/交C于〃(%,%),NC%.%)两点，M,N在C的准线上的射影分

别为P,Q,F为C的焦点，若SgQF=2S&MNF，求MN中点E的轨迹方程.

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高二数学参考答案及评分细则

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考

查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难

度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的半；如果后继

部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

1.A2.D3.B4.A5.D6.B7.C8.B

二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。全部选对的得5分，有选错的得0分，部

分选对的得2分.

9.BD10.BCD11.ACD12.AC

三、填空题：本题共4小题,每小题5分,满分20分.

13.(1)2+(—)2=514.2x-y+3=0

15.乎16.{4,5,32}

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2q+4d——14

17.解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d,由题意得<

2q+6d——20

q=_]

解得《

d——3

所以=q+(n—V)d——1+(〃—1)x(—3)——3〃+2.

(2)因为数列｛为+4｝是首项为1,公比为2的等比数列，所以a“+d=2"T,

所以2=27一4=2"7+3”-2,

所以斗=(1+2+2?++2”T)+口+4+7++(3??-2)]

2

18.解：(1)证明：如图，取出中点G,连接FG,EG,

因为点尸为尸。中点，所以FG〃AD且PG=^A。，

2

又因为四边形ABC。为矩形，E为2C的中点，

所以EC〃AD且EC=^A。，

2

所以FG〃EC且FG=EC,所以四边形BGEC为平行四边形，所以C尸〃EG,

又因为CF<Z平面B4E,EGu平面B4E,所以CF〃平面P4E.

(2)以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则4(0,0,0),F(0,l,l),E(l,l,0),

所以AE=(l,l,0)，AF=(0,1,1),设平面曲E的一个法向量为根=(苍y,z),

m-AE=0[x+

则<,，即<,y=,0

m-AF=0[y+z=°

令1=1,得加二(1,—1,1),

易知平面DAE的一个法向量为“=(0,0,1),

易知二面角尸-AE-O为锐二面角，设其二面角的平面角为。,

\m-n\1J3

贝ijcose=^^=^—='

\m\-\n\V3xl3

所以二面角尸—AE—O的余弦值为走

3

a2=b2+1

19.解：(1)由题意得<26

-------1----------=1

L24/

a2—4-

解得〈。,

b2=3

22

故椭圆的标准方程为土+匕=1.

43

y=x-l

(2)联立<炉/，消去y得7/—8x—8=0,

143

88

设〃(%,%),N(x2,y2)，则%/=于斗%2=_亍，

故=J1+42|xj-x2|=J1+左2J(X]+r)~—

20.解：(1)证明：因为平面AB£F_L平面A2C£>,AF±AB,AFu平面ABEE

平面ABE尸、平面A5CD=AB,所以A尸，平面4BCD,

又因为BDu平面ABCD,

所以A产，

因为四边形ABC。为菱形，所以

又AFAC=A,AF,ACu平面ACR所以平面ACF,

(2)设ACBD=O,

iiiA2/3

因为v=—S,-\BE\=——15cli5HsinNA3C•2=—sinZABC=,

乙-aoc3ZA_\/IDfiCr।।3233

所以sinNABC=立.

2

TT

因为NA。。为锐角，所以NA3C=K,所以ZVRC为等边三角形，

3

所以aa=i,Q同=JL

以。为原点，0C,。8所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则网0,0,2),A(-1,0,0),网0,6,0)，

所以"=(一2,0,1),CE=(-1,73,2),

[n-CF=0

设平面CEF的一个法向量〃=(x,y,z),则1,

n-CE=0

-2x+z=0

即＜L，

—x+y/3y+2z—0

取％=1,可得z=2,y=—A/3,故〃=(1,后,2),

假设存在实数4,使得直线CG与平面CEP所成角的正弦值为手，设G(x,y,2),由

AG=2AB(2e[0,1])得(彳-1,732,0),则CG=(X—2,732,0).

设直线CG与平面C所所成的角为氏

,/\CG-n\|2+22|J6

则sin0=cos(CG,n)=----j--=—「-=——，

'/CG\\n\2夜"万-42+44

解得222—5/1+2=0,即4=2或彳=；,又因为4G[0,1],所以/l=g,

故存在实数2=-,使得直线CG与平面CEF所成角的正弦值为—.

24

21.解：(1)证明：因为。〃+2=3。〃+1—2。〃，所以4+2一%+1=2(。〃+1—。〃)，

又因为4=2,〃2=4,所以。2-％=2w0,

所以可+2—4+1

aa

n+l-n

所以数列｛%+i—4｝是以首项为2,公比为2的等比数歹U.

所以4+「4=2X2"T=2",

当〃之2时，—a”_i)+(a”-—%-2)++(%—/)+q=2®i+202++21+2»

所以q=①二学+2=2",

当〃=1时，q=2也满足上式，

故数列｛«„｝的通项公式为4=2〃(“eN*),

(2)解：由题意可知4+1—4=("+2T4,

所以5+1)4=%+「%=才，

234

所以］=~~\—-H--+

〃212223

将①式两边同时乘以;，得3(=京+*+最+②

①-②得：

1ZI+1

-T〃=1—7H—rH—T+

2222324

〃+13n+3

/-)n+l

故数列」-的前n项和7；=3—安,

qJ