江西省赣州市2024届高三年级下册年3月摸底考试数学试题（含答案解析）

江西省赣州市2024届高三下学期年3月摸底考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

2

1.已知集合力={乂X-4.X>01,5={X|y=log2(2-x)},则&Z)cB=

A.[0,2)B.(-多2)C.[0,4]D.(-8,4]

已知i为虚数单位.学+则w+河=（

2.)

1-1

A.1B.V2C.2D.4

3.在“BC中,AB=5,AC=2,C=120。,贝Usiib4=()

B.叵「5s3^/21

.----D.

14141414

4.在棱长为1的正方体ABCD-4月GA中，石为棱的中点，过鸟且平行于平面A.BE

的平面截正方体所得截面面积为（）

A.当B-|C.旗

D.276

5.在平行四边形中，45=3,40=4,方•同=—6,友=3万面，则凉.标=（）

A.16B.14C.12D.10

8

6.若一组样本数据为,x?,…，%的方差为2,£(-1)%=-2,%=x,+(-l)'(z=1,2,-,8),则

Z=1

样本数据…，%的方差为()

A.1B.2C.2.5D.2.75

e3

7.已知。=,b=—=ln3,则(

e-1e

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

8.在边长为4的正方体/5CD-44GA中，点£是5。的中点，点尸是侧面45A4内

的动点（含四条边），且tan/"0=4tan/£尸8,则尸的轨迹长度为（）

7127r_4兀8兀

A.-B.-C.—D.—

9999

二、多选题

9.已知等比数列｛%｝的前"项和为，,%=18,邑=26,则（）

试卷第1页，共4页

A.“〃>0B.S”>0

C.数列｛I。/｝为单调数列D.数列｛|s』｝为单调数列

10.已知函数/(x)=sinx+；sin2x+gsin3x,贝!]()

A.2兀是/(无)的一个周期

B./(x)的图象关于原点对称

C.“X)的图象过点(&0)

D.〃尤)为R上的单调函数

11.曲线。是平面内与两个定点片乙的距离的积等于:的点P的轨迹，给

出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是()

A.曲线C关于坐标轴对称；

B.△片尸耳周长的最小值为2+逐；

c.点p到了轴距离的最大值为走

2

D.点尸到原点距离的最小值为在.

2

三、填空题

12.求值：sin—+sin—=.

1212----------------

13.卜+了+%「展开式中的常数项为.

14.已知尸是抛物线上异于顶点的点，石在尸处的切线/分别交x轴、V轴于点

S,T,过户作/的垂线分别交无轴、了轴于点监N,分别记APMS与JNT的面积为几$2,

C2

则g的最小值为.

四、解答题

15.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面/BCD为直角梯形，ZABC=ZBCD=90°,PA1

平面ABCD,PA=AB=BC=4,CD=3,M为侧棱尸C的中点.

试卷第2页，共4页

p,

AB

⑴求点D到平面PBC的距离；

(2)求二面角M-4D-5的正切值.

16.某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进

行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项

专业技能测试通过的概率均为;，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率

依次为55，I2，m,其中0＜根＜1,技能测试是否通过相互独立.

05

2

(1)若机=(.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；

(2)已知甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以

专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技

能测试，求加的取值范围.

17.己知椭圆。：=+，=1(4＞方＞0)过点,乎］,椭圆C的右焦点与点。(2,-2)所在

直线的斜率为-2.

⑴求椭圆C的方程；

⑵若过Q的直线/与椭圆C交于48两点.点尸(3,0).直线PA,PB分别交椭圆C于点

M,N,直线九W的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

18.已知函数/(x)=ei-lux.

⑴求的单调区间，

⑵已如用＞0.若函数g(x)=/(x)-有唯一的零点%.证明，1＜/＜2.

19.设数列/：%,电，322).如果对小于畸少VN)的每个正整数上都有%＞%.

则称n是数列A的一个“。时刻”.记D(A)是数列A的所有“D时刻”组成的集合，D(A)

的元素个数记为card

⑴对数列A:-l,l,-2,2,-3,3,写出。(/)的所有元素；

试卷第3页，共4页

(2)数列…,。6满足{%，&，…，4}={1，2,3,4,5,6},若card(£>,/)=4.求数列A的种

数.

(3)证明：若数列A满足%11(〃=2,3,4,…,N),则card(Z),.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.A

【分析】化简集合即可利用集合的交并补运算求解.

2

【详解】={x|x-4x<o1=|0<x<4},5=|x|y=log2（2-={x卜<2},

故8⑷cB=［0,2）,

故选：A

2.B

【分析】根据题意，由复数的运算以及复数相等的概念即可求得。再由复数的模长公式

即可得到结果.

【详解】由三竺=2+〃可得3+山=（2+附（1-1）=（2+6）+0-2）,

1—1

则［It；'解得］I'贝加+6i|=H+i卜也.

故选：B

3.B

【分析】由已知利用余弦定理可求5c的值，根据正弦定理可求sin/的值.

【详解】••,/B=V7,/C=2,C=120。，

...由余弦定理AS?=3C2+/C2-2BC-/CCOSC可得：SC2+2SC-3=0,

解得：3c=1,或-3（舍去），

二由正弦定理可得：sin^=5C，sin<?=—.

AB14

故选:B

4.A

【分析】根据给定条件，作出并证明过点耳，且与平面48E平行的正方体的截面，再求出

面积.

【详解】在棱长为1的正方体在co-4月GA中，取8。中点尸，42中点G,

连结DF,B{F,DBX,DG,GBX,GF,EF,而£为棱中点，

答案第1页，共15页

显然BFIIDE11AS，BF=DE=AXG,得四边形瓦明£,四边形4EDG都是平行四边形，

则BE//DF,A.E//GD,4瓦BEu平面,OG,。尸（Z平面,

于是DG//平面&BE,。尸//平面又DGCDF=D,Z）G,。尸u平面。G厅，

因此平面DG尸〃平面4BE,又EFHABHA禺,EF=AB=A}BX,即四边形同耳/右是平行

四边形，

则BFHA.EHDG,显然平面DFBfi//平面AtBE,

从而过耳且平行于平面ABE的平面截正方体所得截面为四边形次为G,

又。尸=做=80=。6=a二=字，即四边形。郎G为菱形，

而DBt=Jl+1+1=y/3,GF=21；-1=\!1,

所以四边形DFB、G的面积为S=：DB1.GF。.

故选：A

5.A

【分析】选取屈，友为基向量，将疝,砺用基向量表示后，再利用平面向量数量积的运

算法则求解数量积血.话.

【详解】因为48=3,/。=4,益・而=-6,皮=3面，

DMC

AB

：AD-fC

---►21----►----►2----k2---*11----►---►2---►2

=AD——ADDC--DC=AD--ADAB--AB=1&2-2=16.

答案第2页，共15页

故选：A

6.C

【分析】根据题意，结合方差的定义以及性质代入计算，即可得到结果.

18_2

【详解】设样本数据看,吃,…，%的平均数为，则£卜,一叶=2,

Oi=\

设样本数据九%，…，%的平均数为亍，由%=七+(-以。=1,2,…,8),

181

=3+Z*(T)'X,=3+IX(-2)=2.5.

4i=\"

故选：C

7.D

【分析】构造函数/(x)=—(x>0),对/(x)求导可得f(x)在(e,+“)上单调递减，可得

/(e)>/(3),即6>c,再由作差法比较。,6的大小，即可得出答案.

【详解】令/■3=/鼠>0)了3；xTnx—nx,

x2x2

当X£(o,e)时，/r(x)>0,当X£(e,+e)时，/r(x)<0,

所以/(x)在(O,e)上单调递增，在(e,+。)上单调递减，

因为e<3,所以/(e)>〃3),即色〉华，

e3

所以可得独£=3>ln3,故6>c,

ee

e-1ee(e-1)eQ-l)e^-1)

所以。>6,

i^a>b>c.

故选：D.

8.D

【分析】根据121144尸。=41211/瓦有，求出产N=即可利用坐标法求解轨迹方程，即可

由弧长公式求解.

答案第3页，共15页

在长方体ABCD-4B£Di中，由于.，平面&ABB],CB±平面A,ABBt,

ADRp

在RtZ\E4。和Rt^PBC中，tanZAPD=——,tanNE尸8=—,

APPB

'：tanZAPD=4tanZ.EPB,BE=—BC=—AD,PA=—PB,

222

在平面N8耳4，以A为坐标原点，以为x,y轴的正方向，建立平面直角坐标系,

设尸(x,y)，则/(0,0),8(4,0),

则由=可得J/+下=卜卜_盯+丁,化简可得\+野+y2=g，由于

XNO/NO,故尸的轨迹表示圆心在半径为厂=|的圆在第一象限的弧长，

由于。卜呼],

故，因此轨迹为NQ龙〃=；所对的弧长，故长度为：x|=T，

故选：D

9.BC

「一af_3

【分析】根据条件得到c或4,再对各个选项逐一分析判断，即可求出结果.

1=2[…2

【详解】设数列｛%｝的首项为外,公比为0,

答案第4页，共15页

a〔q—18

由题有<,解得

2

q+aiq+aiq=26

3

a——

对于选项A,当/4,〃为奇数时，an<0,所以选项A错误,

%=32

对于选项B,因为邑二%,一""),当"=-4,显然有S“>0,当["=:时,

171%=323=2

l-q<0,l-q"<0,所以S">0,故选项B正确,

对于选项C,当0=3时，数列｛|。』是首项为2,公比为3的递增数列，

当《=-：时，数列｛|。」｝是首项为32,公比为'的递减数列，所以选项C正确,

对于选项D,由选项B知S">0,所以|S,J=S,，

。=一>32(1-(-；)”)

当"4时，S„=----------4=〒口-GR"],此时S”不具有单调性，所以选项D错误,

4=321+-74

114

故选：BC.

10.ABC

【分析】直接利用三角函数的性质，函数的周期性和对称性判断ABC,举反例排除D.

【详解】函数/(x)=sinx+；sin2x+/in3x,

对于A：/(x+27i)=sin(x+

=sinx+-sin2x+-sin3x=/(x),

23

故2兀是函数的一个周期，故A正确;

对于B：函数/(-x)=sin(-x)+；sin(-2x)+^sin(-3x)

=-sinx--^-sin2x-^-sin3x=-f(x),

故函数的图像关于原点对称，故B正确；

对于C：当工=兀时，/(7i)=sin7i+；sin27i+gsin37i=0,故C正确；

对于D：因为/(%)=sinx+工sin2x+，sin3x,

答案第5页，共15页

所以/⑼=sin0+gsin0+^sin0=02

3-

即"。）＜/口，（扑〃兀），

所以函数〃x）在R上不是单调函数，故D错误.

故选：ABC.

11.ABD

【分析】先根据题意求出曲线C的方程，对于A,由对称的性质判断，对于B,表示出三角

形的周长后利用基本不等式可求出其最小值，对于C,将曲线C的方程化为「的一元二次

方程，然后由A20可求出x的范围，从而可求出点P到了轴距离的最大值，对于D,将方程

化为关于V+1的一元二次方程，由A20可得yeR,再把曲线方程变形可求出结果.

【详解】解:设尸（x,力得:412+/-2了+1炉+必+2尸1）=9,得4#+y2+i）2_i6「=9,

由于方程中x/的次数均为偶数，故其图象关于坐标轴对称，故A正确；

因为△取岑的周长为2+|尸川+|尸用22+2眄皿西=2+痛，故B正确；

展开方程得：412+1）2+8（/-1）/+4/_9=0关于/的一元二次方程有解，

A=64（X2-1）--64（X2+1）-+16X9>0,所以16fv9,所以|小1,故C错误；

将方程化为关于x2+1的一元二次方程4（/+1）2+8（/+1）产+4/-16/一9=0有解，

公=64_/-64丁+256/+16、920,恒成立yeR,

因为4（/+/+日=]6/+9,所以.+=+1=；36了2+9）

所以

所以|0可=/2+/2年,所以点P到原点距离的最小值为孝，故D成立.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：此题考查曲线与方程的综合应用，解题的关键是根据题意求出曲线C

的方程，然后逐个分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.

12.逅

2

【分析】根据诱导公式及辅助角公式求解即可.

答案第6页，共15页

【详解】sin—+sin—=sin—+cos—=A^sin-^-+—=忠in工——.

121212124J32

故答案为：逅.

2

13.630

【分析】]/+〉+：+；!表示7个]+（+相乘，再结合组合即可得解.

【详解】“2+了+!+3表示7个卜+了+：+；|相乘,

则常数项，应为1个f,2个工，2个V,2个,相乘，

%y

所以卜2+＞+：+曰展开式中的常数项为C1C2C2C2=63（）

故答案为：630.

14.1

【分析】由抛物线的对称性，设P（%苏）（加＞0）,根据导数的几何意义分别求出直线/和直

线的方程，进而求出S,T,M,N四点的坐标，再分别求出两个三角形的面积，化简进而

可得出答案.

【详解】由抛物线的对称性，不妨设点尸在第一象限，设尸（外加2）（机＞（））,

由歹二%2,得了=2x,当工=冽时，yf=2m,

所以切线/的方程为加2=2次（x—加），即y=2加％_%2,

2

令>=0,贝=令x=0,则^=—加2,gpsfp0U(0,-m),

由题意直线W的方程为J—加2即）=_+]+加2,

2m2m2

令>=0,贝>Jx=2冽加，令x=0,贝!]>=；+加2BPM(2m3+冽，0）,N[o,；+加2

c1(212)1(^21)

=—\mH-----\-m\m=—7mH——\m,

22l22{2

2—zm\mI--------

故工='>----乂-=m+—>2jm--=1,当且仅当机=3，即机=2时取等号,

S.1，2113物N4n4m2

1-2m+—\m

212)

答案第7页，共15页

C2

所以U的最小值为1.

【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义分别求出直线/和直线的方程，是解决本题

的关键.

15.⑴速

2

⑵平.

【分析】（1）根据嚏棱版—P5C=唯棱锥尸—5CD利用等体积法计算可得；

（2）设。为/C的中点，过。作交/。于连接。M、HM,即可证明（W_L平

面48CD,从而得到4D_L平面MOH,则/MHO为二面角M-40-8的一个平面角，再求

出OH、0M,即可得解.

【详解】（1）由P/工平面N8C。，可得Q棱黜常0=:$.88¥/，

令点。到平面PBC的距离为d,则嚏棱曲“sc=1S-Bc-d,

由G棱锥O-PBC=G棱锥P-BC0，可得3S4PBC,d=]S&BCD,P4，

.S•PA.

贝！|d=箕2—，

、△PBC

由ZABC=90。,8C=4,C。=3,可得S^BCD=；BC-CD=6,

由P/_L平面/BCD,尸/u平面尸N8,所以平面尸/8_L平面/BCD,

又NN3C=90°,平面尸48c平面48co=48,3Cu平面48cZ）,

所以平面P4B,又尸Bu平面P43,

所以BC_LP3,又PB=44。+4?=4后，则1PBC=g尸"Bens也，

所以"=与=52,即点。到平面尸3c的距离为逑

8V222

答案第8页，共15页

(2)设。为/C的中点，过。作。H_L4D交NO于H,连接。M、HM,

,•又是尸C的中点，.•.(W〃尸区,又尸/，平面48cD,所以(W,平面48CD,

又4Du平面N3C。，OMLAD,

又OHCOM=O,。〃,。“<=平面乂011,

40_L平面MOH,HMu平面M0H,AD1MH,

ZMHO为二面角M-AD-B的一个平面角，

又23c=；xgc0BC=3,

且4D=j42+(4-3)2=如，所以。灯=奈，

所以tan/MHO==—,

0H3

即二面角的正切值为姮.

3

(2)|<m<l.

【分析】(1)根据相互独立事件的乘法公式即可求解，

(2)根据二项分布的期望公式求解去甲公司的期望，根据相互独立事件的概率乘法公式可

求解去乙公式通过项目的概率，即可求解期望，进而比较两者的期望即可求解.

【详解】(1)记“该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项”为事件A

由题设P(/)=*xC；xML+Lx亡x

6336

(2)分别记“该应聘者应聘甲、乙公司三项专业技能测试中通过的项目数为

由题设知：4~43,3,所以E(/=3xg=2

〃的所有可能取值为0」,2,3

答案第9页，共15页

P(r)=0)=—x—x(l-m)=-~~—

v763v718

7-6m

尸何=1)=9xk(i)+L2x(i)+\_x小

63v763v7618

10-3m

18

故"的分布列为

70123

1-m7-6m10-3m5m

P

181818~9~

n.L/、八1-m«7-6m八10-3m「5m2m+3

从而£(77)=Ox----+lx------+2x-------i-3x——

v718181892

2m+3.

£(〃)>£©，得,----->2,,1

由2解得；<加<1,

0<m<1,2

0A<m<1,

故”?的范围为：-<m<1

2

17.呜+卜1；

（2）是定值，定值为2.

【分析】（1）根据题意，列出关于。/,c的方程，即可得到结果；

（2）根据题意，设/的方程为x="?5+2）+2,联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理代入

计算，表示出&JV，即可得到结果.

【详解】（1）由题意可设椭圆的半焦距为。，且椭圆C的右焦点为（。,0）,

141

~r—r-L

a23H

由题意得：［a2=b2+c\

-2-0c

-----=—2

l2-c

解得c=l,a2=3,/-2,

所以c的方程为：—+^=1.

32

答案第10页，共15页

设/的方程为x=m（y+2）+2,设/（再,必）,8（如必）,人（%3，%）山（》4，居），则直线尸/的方程

为x-1y+3,

%

$.3

X=y+3,

由2M,可得[2（为一3）2-卜3M2]j?+i2（西一3）办了+12必2=0,

土+匕=1,'

132

22

结合?+^=1,可得（2-为）/+（玉-3）必了+弁=0,

2

可得必•%—-,解得力

2—X12—a

x—2x-—■^—+3=—^—+2,

代入x=1y+2,解得七二1

必必2-$Xj—2

同理可得”=「2，匕=+2

2-X2x2-2

%必

痂1.-乂一%_2f22f

惧％MN——11

%-%3L_

X2-2X]—2

X]-x2

y2[2-（my1+2m+2]一%[2-（my2+2m+2

2俏（%一%）=之

"心-%）

故直线九W的斜率是定值，且定值为2

【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆与直线相交问题，难度较大，解答本题的关键在于

联立直线与椭圆方程，结合韦达定理计算.

18.⑴减区间为（0,1）,增区间为（1,+8）；

答案第11页，共15页

(2)证明见解析.

【分析】(1)求出/'(x),求得了"(尤)>0在x>0上恒成立，可得/■'(X)为增函数，由/'⑴=0,

结合定义域可得单调递增区间；

(2)由已知可得g(x),求导，由(1)可知g'(x)在(0,+。)单调递增，

且g'⑴=一加<0,及g'(l+m)>0，则存在唯一的te(1,1+⑼使得g'«)=0,

分析g(x)单调性，得到gGLn=g")，再通过函数g(x)有唯一的零点%,即

化简可得(2-f)e'1—In?+1—=0,构造函数=-Inf+1—(t>V),

分析单调性，再分别判断"(1)4(2)的正负，即可求解.

【详解】(1)V/(x)=e^1-lux,.'.f'(x)=e'-'

二/"(#=产+：>0

.,.当x>0时，/'(x)=ei-：为增函数

又•••/'(i)=o

.•.当X€(0,1)时，T(X)<0,/(x)单调递减；

当xe(l,+8)时，/'(x)>0J(x)单调递增.

.•■/W的减区间为(0,1),增区间为(1,+8)

(2)；g(x)=/(%)-(x-1)=ex~l-\nx-mx+m(m>0)

g'(x)=ex-1---m(x>Q,m>0)

由⑴可知g'(x)在(0,+s)单调递增，且g'(l)=-洸<0,

又g'(l+加)=e"-------m>em-(m+1)>0

1+m

•••存在唯一的/€(1,1+切)=(1,+8)使得g'(t)=0

.•.当xe(0,/)时g'。)<0,g(x)单调递减;当Xe&+8)时g'(f)>o,g(x)单调递增；

11

g(x)1mli=g«)=e'-Int-mt+m

答案第12页，共15页

若方程g(x)=e"TTnx-加x+冽=0有唯一的实数不，则%=%>1

g'«)=e/-1---m=0,

g=e'T-]nt-mt+m=0

消去加可得(2-7)e'T-lm+l->=0(/>l)

4/?(f)=(2-f)e,-1-ln/+l-y(?>1),

则〃a)=(lT)e"—+g=(1-/)卜1+

〃G)在/e(1,+<»)上为减函数

且/?(l)=l>0,〃(2)=g_ln2<0

.,.当〃(。=0时te(l,2),即1cx。<2

19.⑴。(，)={3,5}；

(2)15种;

(3)证