2023-2024学年浙江省台州市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

2023-2024学年浙江省台州市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图所示是第19届杭州亚运会的运动图标，属于轴对称图形的是（）

2.已知一个三角形两边长分别为2,6,则第三边长可以为（

A.3B.4C.7D.9

3.从〃边形一个顶点引出的对角线条数是（）

A.nB.it—1C.71—2D.Xi—3

4.下列运算结果正确的是（）

A.a2-a4=a8B.（a4）2=a8C.a6a2=a3D.(6a2)2=6a4

5.如图，AD是△ABC的角平分线，DELAC,垂足为E,

S^ABD=3,则AB的长为（）

A.1

B.1.5

C.2

D.3

6.下列数据不能确定△ABC形状和大小的是（)

A.AB=6,Z.C=60°,Z-B—40°B.AB=5BC=3,"=90°

C.ZC=60°,乙B=70°,LA=50°D.AB=7,BC=5,AC=10

7.下列分式变形从左到右一定成立的是（)

Abb+ccbb—cbbe八beb

A.-=——B.-=——C—=—D.———

aa+caa—caetcQ.CCL

8.P是△ABC内一点，PD1BC,PELAB,PF1AC,垂足分别为DE,F,且PD=PE=PF,则点尸

是）

A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点

C.三条高所在直线的交点D.三条中线的交点

9.面积相等的正方形ABC。与长方形AHGE按如图叠放，已知=DC

a,DE=b,BH=c,则下列等式成立的是()

F

A.ab+be=ac

B.ac+be=ab

C.ab+be=a2ABH

D.ac+be=a2

10.如图，在△ABC中，AB=AOBC,作高线CE,角平分线BP,中线AD,三者

两两相交于点G,H,/,则下列说法正确的是()

A.zlACE一定为等腰三角形

B.A48F一定为等腰三角形

C.ACFG一定为等腰三角形

D.AGH1一定为等腰三角形

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.计算：2-1=.

12.在平面直角坐标系中，点P(l,-7)关于x轴对称的点的坐标是.

13.分式方程2；的解为____.

x+52%

14.如图，把长方形ABCO沿对角线8。折叠，点C和点C是对应点，若

AABC=36°,贝

15.若(％+a)(x+b)=/+血％-5对任意尤恒成立，其中a,6,机均为整数，则〃?的值为.

16.一副三角板如图叠放，ZC=^DFE=90°,乙4=30。，ZD=45°,AC=DE,AC,DE互相平分于点

。，点尸在边AB上，边AC,EP交于点H,边AB,OE交于点G.

(l)zXF£=；

(2)若GF=a,则2”=(用含a的代数式表示).

E

三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

(1)计算：(x+3)(%—3)+9；

（2）因式分解：2/+4x+2.

18.（本小题6分）

如图，在AaBC中，AB=AC,BD=CD,点尸为射线AD上一点，连接PB,PC.

（1）求证：AP1BC；

(2)求证：PB=PC.

19.（本小题6分）

先化简，再求值：（1-2）一出二，请你从-2,-1,0,I中选取适当的数代入求值.

a+2，（a+2）z

20.（本小题8分）

如图，在正方形网格中，点A,B,C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保

留作图痕迹，无需说明理由.

（1）如图1,作出AABC关于直线对称的图形；

（2）如图2,在直线AW上求作点尸，使得乙4PM=NBPN.

21.（本小题8分）

2023年台州马拉松比赛于12月3日举行，各位跑友齐聚山海水城、和合圣地，以跑者之势再现力量之美.

小明参与“半程马拉松”（约21国n）项目，前以平均速度流m/h完成，之后身体竞技状态提升，以

的平均速度完成剩下赛程，最终比原计划提前llmin到达目的地.求小明前10k7n的平均速度.

22.（本小题10分）

如图1,一款液压橱柜支撑杆可以将柜门停在任意角度，取物更方便.图2为示意图，为柜壁，ON为柜

门，点A,B为支撑杆摆臂固定点，点尸为滚轮，PA,P8均为支撑杆摆臂，且PA=PB=15cm,为使滚轮

受力均匀，保障其使用寿命，安装时只需保证02=OB即可.

（1）求证：0P平分乙4OB；

（2）因空间受限，在摆臂夹角（乙4PB）任意角度下，柜门展开角（4M0N）均不能大于60。，则安装支撑杆时,

OA长度至少为何值才能实现?

多角度

图1图2备用图

23.（本小题10分）

为探究“十位上的数和为10,个位上的数相同”的两个数乘积的规律，现得到如下等式:

26x86=22x100+36,

37x77=28x100+49,

45x65=29x100+25,

53x53=28x100+9,

64x44=28x100+16,

(1)55X55结果的后两位为；

(2)设其中一个数的十位上的数为°,个位上的数为b(a,b均为小于10的正整数)，请用含a,。的代数式分

别表示上述两个数，并说明两个数乘积的后两位等于匕2；

(3)若两个数的十位上的数相同，个位上的数和为10,设其中一个数的个位上的数为c(c为小于10的正整

数)，则这两个数乘积的后两位等于(用含c的代数式表示).

24.(本小题12分)

如图1,在△ABC中，AB=AC,在边AB上取点。，连接C。，在边AC延长线上取点E,使得4E=AD+

CD.

(1)若BD=2,CE=1,则CD=；

(2)如图2,当CD14B,CD=a时，求四边形BDCE的面积(用含。的代数式表示)；

(3)设NA=a,^ACD=/?,

①乙BCD=(用含a,S的代数式表示)；

②求证：乙CBE=与

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：B,C,。选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称

图形.

故选：A.

根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.

本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形就叫做轴对称图形.

2.【答案】C

【解析】解：设第三边长是X,

**•6—2<%<6+2,

•••4V%<8,

.••第三边长可以为7.

故选：C.

三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三边长是x,由此

得到4<久<8,即可得到答案.

本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理.

3.【答案】D

【解析】解：从〃边形一个顶点引出的对角线条数是0-3).

故选：D.

w边形从一个顶点出发可引出O-3)条对角线，由此即可得到答案.

本题考查多边形的对角线，关键是掌握：〃边形从一个顶点出发可引出0-3)条对角线.

4.【答案】B

【解析】解：A「a2.a4=a6,...此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

(a，2=。8,...此选项的计算正确，故此选项符合题意；

C.「a6+a2=a3...此选项的计算错误，故此选项不符合题意;

Dy(6a2)2=36a3.•.此选项的计算错误，故此选项不符合题意；

故选：B.

A根据同底数幕相乘法则进行计算，然后判断即可；

3.根据幕的乘方法则进行计算，然后判断即可；

C.根据同底数幕相除法则进行计算，然后判断即可；

D根据积的乘方和累的乘方法则进行计算，然后判断即可.

本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幕相乘除法则、幕的乘方和积的乘方法则.

5.【答案】D

【解析】解：过点。作于点几力、

•••4D是△ABC的角平分线，DE1AC,/\

DE=DF,

•••DE=2,BD

：.DF=2,

S^ABD=3,

1

：.-AB-DF=3,

1

-ABX2=3,

解得28=3.

故选：D.

过点。作DFLAB于点孔根据角平分线的性质得DE=DF=2,根据三角形的面积公式计算AB即可.

本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：当28=6,ZC=60°,NB=40。时，根据A4S,可以得到△ABC是确定的，故选项A不符合

题意；

当4B=5,BC=3,NC=90。时，根据HL可以得到△28C是确定的，故选项3不符合题意；

当4c=60。，Z.B=70°,乙4=50。时，无法确定△2BC,故选项C符合题意；

当4B=7,BC=5,4c=10。时，根据SSS,可以得到△ABC是确定的，故选项。不符合题意；

故选：C.

根据各个选项中的条件和全等三角形的判定方法，可以解答本题.

本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答.

7.【答案】D

【解析】解：A、空，原变形错误，故此选项不符合题意；

aa+c

B,原变形错误，故此选项不符合题意；

aa—c

C、当c=0时，原变形错误，故此选项不符合题意；

D、"原变形正确，故此选项符合题意•

故选：D.

分别根据分式的基本性质判断即可.

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

8.【答案】B

【解析】解：P到三条距离相等，即PO=PE=PF,

著

BDC

连接尸A、PB、PC,

・.・PD—PE,

PB是4BC的角平分线，

同理PA、PC分另ij是NB4C,N&C8的角平分线，

故尸是△ABC角平分线交点，

故选：B.

根据角平分线性质推出即可.

本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解答本题的关键，注意：在角的内部，到角的两

边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等.

9.【答案】A

【解析】解：•••四边形是正方形，AB=a,

AB=BC=CD=AD=a,

•••四边形AHGE是长方形，BH=c,DE=b,

AE=HG=AD-DE=a-b,AH=AB+BH=a+c,

・•・正方形ABCD的面积=AB2=a2,

长方形AHGE的面积=AE•AH=(a—b)(a+c')=a2+ac—ab—be,

•.•正方形ABCD的面积=长方形AHGE的面积,

a2=a2+ac—ab—be,

ab+be=ac.

故选：A.

根据正方形和矩形的性质得到AB=BC=CD=4D=a,AE=a-b,AH=a+c,进而求出正方形

ABCD的面积和长方形AHGE的面积，根据正方形ABC。的面积=长方形AHGE的面积列出等式，化简即

可得到答案.

本题考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：如图，

牍：\

BDC

・・•CE是高线，

・•・乙AEC=90°,

若△ACE为等腰三角形，则瓦4=EC,

・•・乙EAC=Z.ECA=45°,

而题设中心44c并不一'定是45。，

故选项A不符合题意；

AB=AC>BC,

若△ABF为等腰三角形，贝IJF/=FB,

・•.Z,FAB=4FBA=Z.1,

・・・角平分线BF,

z.1=Z.2,Z.ABC=Z.ACB=2Z1,

・・・5Z1=180°,

・•.Z.1=36°=^BAC,

而题设中心44c并不一定是36。,

故选项3不符合题意，同理选项C不符合题意；

•••AB=AC,中线AO,

AD1BC,

•••角平分线8尸，CE是高线，

Z/GH=/.EGB=90°-zl,Z.GIH=90°-Z2=90°-zl,

即N/G”=乙GIH,

IH=HG,

■•.AGH/一定为等腰三角形，

故选项。符合题意.

故选：D.

根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得N/G”=NEGB=9(T—N1,4GH=

90°-Z2=90--zl,推出N/GH=NG/H,即可判断选项。符合题意.

本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义.

11.【答案】j

【解析】【分析】

本题考查负整数指数幕的运算.幕的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幕当成正

的进行计算.

【解答】

解：2-1=与另.故答案为之

根据塞的负整数指数运算法则进行计算即可.

12.【答案】(1,7)

【解析】解：点PQ,-7)关于无轴对称的点的坐标是(1,7),

故答案为：(1,7).

根据关于尤轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案.

本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关

键.

13.【答案】x=1

【解析】解：原方程去分母得：6%=%+5,

解得：x=1,

检验：将久=1代入2x(%+5)得2x1X6=120,

故原方程的解为久=1,

故答案为：x=1.

利用去分母将原方程化为整式方程，解得X的值后进行检验即可.

本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.

14.【答案】63°

【解析】解：由折叠的性质可知，

乙C'BD=/LCBD,乙C'DB=(CDB,

•・•^ABCf=36°,^ABCr+乙C'BD+Z.CBD=90°,

・•・乙C'BD=Z.CBD=27°,

•・•Z.C=90°,

・•・乙CBD+乙CDB=90°,

・•・乙CDB=63°,

・•・乙BDC'=63°,

故答案为：63°.

根据折叠的性质和直角三角形的性质，可以计算出的度数，从而可以得到4BDC'的度数.

本题考查折叠的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

15.【答案】±4

【解析】解：(%+a)(%+b)

=x2+bx+ax+ab

=x2+(a+b)x+ab,

(%+a)(%+b)=/+mx—5,

a+b=m,ab=—5,

va,匕均为整数，

(Z—1,b————1,b=5,

・•・a+b=±4,

va+h=m,

••・m=±4,

故答案为：±4.

先根据多项式乘多项式法则进行计算得Q+b=m,ab=-5,然后根据a,b,机均为整数，分类讨论,

求出m的值即可.

本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则，并能够分情况进行讨论.

16.【答案】75°|a

【解析】解：(1)连接。尸，

•••^DFE=90°,4=45。，

NE=ND=45°,

DF=EF,

■：AC=DE,AC,OE互相平分于点O,

11

OD=OE=OA=OC=豺C,

・•.OD=OA,OF=OD=OE=^DE,Z.OFE=乙OFD="DFE=

45°,

OF=OA,

•••Z.OFA=NA=30°,

・•・乙AFE=^LOFA+AOFE=30°+45°=75°,

故答案为：75°.

(2)•・•DF=EF,OD=OE,

••・OF1DE,

・•・乙GOF=90°,

•・•Z.OFG=30°,

1i

・•.OG=^GF=^a,(OGF=90°-Z.OFG=60°,

・•・/.GOA=乙OGF一=60°-30°=30°,

・•.Z.GOA=Zi4,

•••AG=OG=1a,

v^AFE=75°,24=30°,

・•.AAHF=180°-^AFE-AA=180°-75°-30°=75°,

・•・^AHF=4/FE,

13

・•.AH=AF=AG-VGF=^a+a=^a,

3

a

故答案为:2-

(1)连接OR由4OFE=90°,4。=45°,得乙E=4D=45°,则DF=EF,由AC=OE,AC,DE互相平

分于点O,推导出。。=。4OF=OD=OE=^DE,^OFE=^OFD=^DFE=45",则。F=。4所

以4。凡4=乙4=30°,求得乙4FE=4。凡4+乙OFE=75。，于是得到问题的答案；

(2)由DF=EF,OD=OE,证明。Fd.DE,则NGOF=90。，而NOFG=30。，所以。G=；GF=；a,再证

1

a

明4G04==30°,则AG=OG2-由乙4FE=75°,乙4=30°,求得乙4HF=75°,贝I」乙4HF二

3

a

2LAFE,所以4H=AF2-于是得到问题的答案.

此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、等腰三角

形的判定与性质等知识，连接。忆并且证明。F=。4是解题的关键.

17.【答案】解：(1)(%+3)(%-3)+9

=——9+9

二产；

(2)2/+4%+2

=2(/+2%+1)

=2(%+1产

【解析】(1)先利用平方差公式，再合并同类项即可求出答案；

(2)先提取公因式，再利用完全平方公式即可.

本题考查了平方差公式和提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则和这些公式是关键.

18.【答案】证明:(1)在和△4CD中,

AB=AC

BD=CD,

AD=AD

・•.△ABD怂△ACD(SSS),

•••Z-ADB=乙ADC,

•・•乙ADB+乙ADC=180°,

・•・^ADB=90°,

・••AD1BC,

WAP1BC；

(2)■■-^ABD^hACD,

・•・(BAD=Z.CAD,

在△ABP和△ACP中，

AB=AC

乙BAD=/-CAD,

AP=AP

••.△ABP怂△ACP(S/S),

・•.PB=PC.

【解析】(1)利用SSS证明△aBDgAACD,根据全等三角形的性质及平角定义求出N4DB=90。，根据垂

直定义即可得解；

(2)根据全等三角形的性质得出NBAD=ACAD,利用SAS即可证明4ABP^^ACP,根据全等三角形的性

质即可得解.

此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键.

19.【答案】解：(1一言尸悬

a+2-3(Q+2)2

a+2(a+l)(a—1)

a—1(Q+2)2

a+2(a+1)(Q—1)

a+2

=a+1"

。+1。0,CL—1。0,

:•a丰—2,-1,1j

二当a=0时，原式=鲁|=2.

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的。的值代入进行计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.

20.【答案】解:(1)如图所示，△4B'C即为所求；

(2)如图所示，点尸即为所求.

【解析】(1)分别作出点A、B关于直线MN的对称点，再与点C首尾顺次连接即可；

(2)作点A关于直线的对称点A',连接A'B,与直线MV的交点即为所求点P.

本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应

点.

21.【答案】解：•.•小明前10b"的平均速度为川m//i,

二小明原计划所用的时间为：4(%),

V

依题意得：至+昔=4-巳，

解这个方程得：V=10,

检验后知道。=10是原方程的根.

••・小明前10hw的平均速度是10km/h.

答：小明前10加7的平均速度是lOkm/h.

【解析】根据小明前10碗的平均速度为Mm",可得原计划所用的时间为§(%),依题意可知前10批所

用的时间为¥(八)，后iihw所用的时间为£(八)，最终比原计划提前的时间为葛(%),然后根据“前10切7

所用的时间+后llhw所用的时间=原计划所用的时间-比原计划提前的时间”列出方程，再解方程求出v即

可.

此题主要考查了分式方程的应用，理解题意，找出等量关系“前10历篦所用的时间+后llhw所用的时间=原

计划所用的时间-比原计划提前的时间”，并列出方程是解决问题的关键.

22.【答案】(1)证明：OAP^WLOBPdp,

PA=PB

OA=OB,

OP=OP

・•・△OAP^AOBP(SSS),

••・Z-AOP=(BOP,

...。尸平分乙4。氏

(2)解：由题意，当4P_L0P时，NMON的度数最大,

••・柜门展开角乙MON不能大于60。,

・•・/MON最大为60。，

当4MON=60°,APIOP时，如图：

M

由(1)知OP平分N20B,

AAOP=30°,

OA=2PA=30cm,

•••。4长度至少为30c机才能实现.

【解析】(1)由sss可证明△oapgAOBP,由全等三角形的性质可得出结论；

(2)由⑴知0尸平分乙408,证出乙4OP=30。，则可得出答案.

本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质及定理是

解题的关键.

23.【答案】302510c-02

【解析】解:(1)55X55=(5X5+5)X100+5X5=3025,

故答案为：3025.

(2)•••十位上的数为a,个位上的数为b,

这个两位数表示为(10a+b),

则另一个两位数为10(10-a)+b=(100-10a+b),

.■.这两个两位数的乘积为(10a+6)(100—10a+b)=100(10a—a2+b)+b2,

两个数乘积的后两位等于廿.

(3)设十位上的数为m,

二这个两位数表示为(10m+c),

则另一个两位数为10m+(10—c)=(10m+10—c),

.•.这两个两位数的乘积为(106+c)(10m+10—c)=100(m2+m)+10c—c2,

两个数乘积的后两位等于(10c-c2),

故答案为：(10c-c2).

(1)55x55=(5x5+5)x100+5x5=3025.

(2)由十位上的数为a,个位上的数为6,得这个两位数表示为(10a+b),则另一个两位数为10(10-a)+

b=(100—10a+力)，故这两个两位数的乘积为(10a+d)(100—10a+b)=100(10a—a2+b)+h2,所

以两个数乘积的后两位等于

(3)设十位上的数为相，得这个两位数表示为(lOnz+c),则另一个两位数为10m+(10-c)=(10m+

10-c),故这两个两位数的乘积为(10zn+c)(10m+10