2022年浙江省杭州八校联盟高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2.过双曲线］=0力〉0）的左焦点作倾斜角为30。的直线/,若/与V轴的交点坐标为（0力），则该双曲

线的标准方程可能为（）

X22_1X22_1「炉2_1n%2y2

AA.------y=1B•-------y-1C.-------y—1D.-------------1

23432

3.若集合A={xeN|x=a=2框,则下列结论正确的是（）

A.{a}口AB.a^AC.{a}eAD.a^A

4.已知i是虚数单位，则一•一=（）

□丁♦口

A.-j+jCB.卜:匚C.j+jCD.j-jE

5.已知命题P：若Q<1,则片<1,则下列说法正确的是（）

A.命题，是真命题

B.命题P的逆命题是真命题

C.命题。的否命题是“若a<1,则

D.命题0的逆否命题是“若/21,则

6.在复平面内，复数，(2+i)对应的点的坐标为()

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)

8.设等差数列｛4｝的前几项和为S,,,若S?=3,S4=10,则$6=()

A.21B.22C.11D.12

9.在ABC中，。为边上的中点，且|A5|=l,AC|=2,N84C=120。，贝U|AD|=()

10.已知函数的导函数为广(%),记工(力=/'(力，力(力=/'(%)，…,力+G)=力'(x)(〃cN*).若

f(x)=xsinx,贝"oi9(x)+力(m(x)=()

A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sin%

11.已知随机变量。满足「信=左)=或(1—p,广p>i=l,2,左=0,1,2.若;<2]<0<1，则()

A.E信)<E催)，。闾<*)B.E⑼<E闾,D㈤>叫)

C.E信)〉E体)，。信)但)D.E信)〉E催)，。信)>。仁)

12.已知角a的终边经过点(3,T),则sina+」一=

cosa

137

A.—B.—

515

3713

C.—D.——

2015

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.若双曲线c：l—当=1（。〉0力〉o）的离心率为W，则双曲线。的渐近线方程为

a2b2

14.等差数列｛0｝（公差不为0）,其中体,出，每成等比数列，则这个等比数列的公比为1

x>0

y>0

15.设羽V满足约束条件卜-y+l〉0,则z=2x—y的取值范围为.

x+y-3<0

16.抛物线丁=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在多面体A3CD所中，四边形ABC。是正方形，C/，平面ABC。，CFDE,AB=CF=2DE=2,

G为8尸的中点.

（1）求证：CG±AF；

（2）求平面8b与平面A防所成角的正弦值.

18.（12分）如图，在四棱锥P-A5CZ）中，底面ABC。是矩形，ABCD,且R4=AD,E,尸分别是棱A5,

PC的中点.求证：

(1)EF〃平面Ri。；

(2)平面PCE_L平面PCD.

19.（12分）在AABC中，内角A瓦。所对的边分别为a,"c,已知出b,且

cos2A-cos2B=sinAcosA-y/3sinBcosB.

（I）求角。的大小；

（II）若°=石，求AABC面积的取值范围.

20.（12分）自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来，武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏，全国各

地纷纷驰援.截至1月30日12时，湖北省累计接收捐赠物资615.43万件，包括医用防护服2.6万套N95口罩47.9万

个，医用一次性口罩172.87万个，护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务，该运输队有8辆载重

为6f的A型卡车，6辆载重为10f的5型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送720f物资.已知每辆卡车每

天往返的次数：A型卡车16次，3型卡车12次；每辆卡车每天往返的成本：A型卡车240元，5型卡车378元.求每

天派出A型卡车与3型卡车各多少辆，运输队所花的成本最低？

21.（12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班

随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.

（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.

(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.

(i)若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01)；

(ii)已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为“(0<p<l),若2020届高考

本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.

可能用到的参考数据：取0.364=0.0168，0.164=0,0007.

22.(10分)已知椭圆C：—+/=1,不与坐标轴垂直的直线/与椭圆C交于4，N两点.

4-

(I)若线段的中点坐标为求直线/的方程;

(II)若直线/过点(4,0),点P(/,0)满足七M+女网=0%v分别为直线PM，PN的斜率)，求/的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；

【详解】

解：依题意，=+I)?cos(r)=皿+/cosx=/⑶,故函数/(九)为偶函数，图象关于y轴

-x20x20

对称，排除C；

22

而/(〃)=—会<0,排除B；/(2〃)=^-〉0,排除D.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.

2.A

【解析】

直线/的方程为〉==§(%+°),令％=0,得y=#c，得到a,b的关系，结合选项求解即可

【详解】

直线/的方程为y=g(x+c),令x=0,得y=gc.因为gc=b,所以4=02—82=3〃2—82=2尸，只有选

项A满足条件.

故选：A

【点睛】

本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力.

3.D

【解析】

由题意A={xeN|x=J2O2O}=0,分析即得解

【详解】

由题意A={xeN[x=)2020}=。,故Ac{a}

故选:D

【点睛】

本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.

4.D

【解析】

利用复数的运算法则即可化简得出结果

【详解】

/十匚二-zu+Z)二u-n_二一二；

Z】十二-z-(/+□)(/-Z)1-T：

=­；二+.+三+:=7-；二1

故选

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。

5.B

【解析】

解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命题与否命题、

逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

解不等式/<1,解得-则命题。为假命题，A选项错误；

命题P的逆命题是“若a?<1,则。<1"，该命题为真命题，B选项正确；

命题P的否命题是“若a21,则/Nl”，C选项错误；

命题P的逆否命题是“若/21,则a21"，D选项错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.

6.C

【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出.

【详解】

解：复数i(2+i)=2i-l对应的点的坐标为(-1,2),

故选：C

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.A

【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算x=l时的函数值可排除三个选项.

【详解】

x>0时，函数为减函数，排除B,T<x<0时，函数也是减函数，排除D,又x=l时，y=l-ln2>0,排除C,

只有A可满足.

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过

特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项.

8.A

【解析】

由题意知$2,S’-$2,》-S4成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出其的值.

【详解】

解：由｛?｝为等差数列，可知52,54-52,56-54也成等差数列，

所以2（S「S2）=S2+S6—，即2*（10-3）=3+2-10,解得§6=21.

故选:A.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和

公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.

9.A

【解析】

由。为边上的中点，表示出AD=g（AB+AC）,然后用向量模的计算公式求模.

【详解】

解：。为边上的中点，

AD=^AB+AC）,

|AD|=1（A5+AC）=A（AB+AC『

=+AC+2AB-AC）

=J1（l2+22+2xlx2xCOS1200）

~2

故选：A

【点睛】

在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.

10.D

【解析】

通过计算工（X）,力（X）,力（X）,力（X）/（X）,可得京T（%），启一2（%），力1（X），Q（X），最后计算可得结果.

【详解】

由题可知：/（x）=xsinx

所以工(x)=sin%+xcosx,f2(x)=2cosx-xsinx

y3(x)=-3sinx-xcosx,y4(x)=-^l-cosx+xsinx

f5(%)=5sinx+xcos羽…

所以猜想可知：f4k_3(%)=(4^-3)sinx+xcosx

九一2(x)=(4k—2)cosx-xsinx

于Ag(%)=一(4左一1)sinx—％cosx

于4k(x)=Tkcosjr+xsinx

由2019=4x505—1,2021=4x506—3

所以力oi9(%)=一2019sinX—xcosx

于2021(犬)=202lsinx+xcosx

所以力109(x)+/021(x)=2sinx

故选:D

【点睛】

本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档

题.

11.B

【解析】

根据二项分布的性质可得：E(0)=p.,D(0)=p.(1-p.),再根据；<Pl<p]<1和二次函数的性质求解.

【详解】

因为随机变量。满足尸(《=左)=四(一己广万,)=1,2,左=0,1,2.

所以。服从二项分布，

由二项分布的性质可得：E低)=P1,D低)=p.(1-0,),

因为g<Pl<<1，

所以E侑)<E值),

由二次函数的性质可得：/（力=x（l—X）,在上单调递减，

所以。信）＞。（切.

故选：B

【点睛】

本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

12.D

【解析】

因为角a的终边经过点（3,T），所以r=乔+（-4）?=5，则sin«=-j,cos«=|,

113

即sin。+-----=—•故选D.

cosa15

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.y=±3x

【解析】

利用=10,得到的关系式，然后代入双曲线c的渐近线方程y=±：x即可求解.

【详解】

因为双曲线C的离心率为6=£=丽,°2=/+/,

a

所以。2=10/=〃2+/,即5=3小

b

因为双曲线C的渐近线方程为y=土一X,

a

所以双曲线C的渐近线方程为y=±3x.

故答案为:y=±3%

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.

14.4

【解析】

根据等差数列关系，用首项和公差表示出=64,解出首项和公差的关系，即可得解.

【详解】

设等差数列｛%,｝的公差为d,

由题意得：生、/4，则(％+d)2=%(。|+5d)整理得d=3q,a2-a1+d-4a1,所以；'=4

故答案为：4

【点睛】

此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.

15.(-1,6)

【解析】

由题意画出可行域，转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,数形结合即可得到z的最值，即可得解.

【详解】

由题意画出可行域，如图：

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

通过平移直线y=2x-z,数形结合可知：当直线y=2x-z过点A时，直线截距最大，z最小；当直线y=2x-z过

点C时，直线截距最小，z最大.

x=Q..y—0,.

由Ic可得4(0,1),由.。c可得C(3,o),

x-y+l=0、'[x+y-3=0、'

当直线过点4(0,1)时，z=—1；当直线过点。(3,0)时，z=6,

所以—l<z<6.

故答案为：(—1,6).

【点睛】

本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.

16.1

【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为(毛,%),根据抛物线的定义求得修，并求出对应的治，即可得出结果.

【详解】

设抛物线上任意一点的坐标为(九0,%)，

抛物线y2=4x的准线方程为I=—1,由抛物线的定义得%+1=1,解得%=0,此时为=0.

因此，抛物线/=4x上到其焦点的距离为1的点的个数为1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)叵

6

【解析】

(1)首先证明CG_LA5,CG±BF,ABM=3,二CGL平面AB厂•即可得到Mu平面AB尸，CG±AF.

(2)以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、二轴建立空间直角坐标系，分别求出平面

和平面尸的法向量，带入公式求解即可.

【详解】

(1)/，平面ABC。，ABI平面ABC。，：.CF±AB.

又,:四边形ABC。是正方形，•••AB±BC.

VBCCb=C,...平面

；CGu平面尸，ACG±AB.

又,：BC=CF=2,G为BE的中点，•••CGL3尸.

,：ABBF=B,...CG，平面AB厂.

；AFu平面AB产，CG.

(2)•••。/，平面ABC。，CFDE,：.DEl^ABCD.

以。为坐标原点，DA,DC,OE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

如图所示:

则。（0,0,0）,4（2,0,0）,C（0,2,0）,£（0,0,1）F（0,2,2）.

Z.AE=（-2,0,1）,EF=（0,2,1）,£>C=（0,2,0）.

设“=（九,y,z）为平面AEF的法向量,

n-AE=0,-2x+z=0

则,得《

n-EF=02y+z=0

令x=l,则〃=（1,-1,2）.

由题意知DC=（0,2,0）为平面BCF的一个法向量,

n-DC-2A/6

\n\\DCT46X2~6

平面BCF与平面AEF所成角的正弦值为

【点睛】

本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直时解题关键，第二问考查二面角，建立空间直角坐标系是解题关键，属于中

档题.

18.（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）取PD的中点G构造平行四边形但6,得到所//AG,从而证出所//平面上4D；

（2）先证平面PC。，再利用面面垂直的判定定理得到平面PC。，平面PCE.

【详解】

证明：（1）如图，取的中点G,连接AG,FG,

一E是棱A5的中点，底面ABC。是矩形，

:.AE//CD,且AE」CD,

2

又F,G分别是棱PC,的中点,

：.FG//CD,且PG=」AC,

2

.-.AE//FG,且AE=FG,

四边形AEFG为平行四边形，

:.EFHAG,

又EF仁平面R4£),AGu平面上4。，

:.EF//平面PAD；

(2)PA=AD,点G是棱P£)的中点，

:.AG±PD,

又EF//AG,:.EF±PD,

平面ABC。，COu平面ABC。，

:.PA±CD,

底面ABC。是矩形，.•.A。，CD,

PAu平面ABCD,ADu平面ABCD,且取AD=A,

\CDA平面PAD,

又AGu平面PAD,..CDLAG,

FEIIAG,:.CDLEF,

又CDu平面PCD,PDu平面PC。，且CD「=

.•.EFL平面PCD,

又EFu平面PCE,

•••平面PC。，平面PCE.

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的判定，首选判定定理，是中档题.

19.(I)C=|；(II)S…(0,苧

【解析】

(I)根据cos?A-cos?5=GsinAcosA-QsinBcos8，利用二倍角公式得到

1+cos2A1+cos2BJ3J3一,4⑴人八一加门•(小一3一―

-------------------------=——sin2A------sinIB,再由辅助角公式得到sin24A--=sin2B--,然后根据正

2222I6；<6；

弦函数的性质求解.

(II)根据⑴由余弦定理得到3=〃+/-"，再利用重要不等式得到腐3,然后由［击僦求解.

【详解】

(I)因为cos?A-cos2B=A/3sinAcosA-A/3sinBeosB，

1+cos2A1+cos2BJ3J3

所以--------------------=—sin2A--sin2B,

2222

A/3COS2AA/3.cos2B

——sin2A----------=——sin2B----------,

2222

sin^ZA-^=sin^2B-^,

2A-2=23-2或2A-2+23-工=»,

6666

27r

A=6或A+3造，

因为a】b,

27r

所以A+8=q

TT

所以c=§；

(II)由余弦定理得：c?=〃2+)22abeosC，

所以〃2+/=2+ab>2ab>

所以当且仅当〃=〃取等号,

又因为a】b9

所以＜3,

所以S.BC=—absinc=

2日…羊）

【点睛】

本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及余弦定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20.每天派出A型卡车8辆，派出3型卡车0辆,运输队所花成本最低

【解析】

设每天派出A型卡车X辆，则派出5型卡车y辆,由题意列出约束条件，作出可行域，求出使目标函数取最小值的整

数解，即可得解.

【详解】

设每天派出A型卡车X辆，则派出5型卡车y辆,运输队所花成本为Z元,

x<8

y<6

由题意可知，＜x+j<10

16.6x+12-10y>720

x,yeN

x<8

y<6

整理得x+y<10

4x+5y>30

x,yeN

目标函数Z=240x+378y,

由图可知，当直线z=240x+378y经过点A时,Z最小,

4x+5y=30x—7.5,、

解方程组八，解得八，A（7.5,0）,

b=o[y=0

然而％yeN,故点A（7.5,0）不是最优解.

因此在可行域的整点中，点（8,0）使得z取最小值,

BPzmin=240x8+378x0=1920,

故每天派出A型卡车8辆，派出3型卡车0辆，运输队所花成本最低.

【点睛】

本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题，考查了数形结合的思想，解题关键在于列出不等式组(方程组)寻求

约束条件，并就题目所述找出目标函数，同时注意整点的选取，属于中档题.

「2八

21.(1)60%；(2)(i)0.12(ii)-,1I

【解析】

(1)利用上线人数除以总人数求解；

(2)(i)利用二项分布求解；(ii)甲、乙两市上线人数分别记为X,Y,得X~6(40000,0.6),F~3(36000,。).,

利用期望公式列不等式求解

【详解】

(1)估计本科上线率为4+6+7+8+S=60%.

50

(2)(i)记“恰有8名学生达到本科线”为事件A,由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6,

824

则P(A)=Cfox0.6x(1-0.6)=QQx0.36x0.16=45x0.0168x0.16»0.12.

(ii)