2024年高考押题预测数学（理）试题（全国卷1）含解析

绝密★启用前

2024年高考押题预测卷【全国卷】

理科.数学01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在木试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.已知集合A={x[—l<x<2},2={y|y=log3（4+3）},则A-8=（）

A.(-2,1)B.(fl)C.[1,2)D.(l,+oo)

3+4i

2，(3-i)2-1)

11.1.11.

A.—B.—1C.——iD.-+-i

22222

3.如图，在平行四边形A3CD中，E为线段3c的中点，AB=3,AD=2也,/BAD=45°,则AC.AE=（）

A.20B.22C.24D.25

4.在-吹]（〃eN+）的展开式中，所有的二项式系数之和为32,则所有项系数和为（）

A.32B.-32C.0D.1

则cos®+兀)Tin|

5.已知直线/：2x+3y-l=0的倾斜角为巴

99-66

A.—B.一C.—D.——

13131313

6.如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥A-E/G,且及£G分别为

棱A4A练AR靠近4的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为

()

A.273兀cn?B.3671cm3

2

厂125733n”3

C.--------兀cmD.7271cm3

2

15f

7.a=031,,/?=log312,c=log26,<7=则有（）

A.a>b>cB.b>a>d

C.c>a>bD.b>c>a

8.纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它

使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发

现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间，和放电电流

/之间关系的经验公式：C=I",其中几为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容

量不变的条件下，当放电电流为7.5A时，放电时间为60h；当放电电流为25A时，放电时间为15h,则

该蓄电池的Peukert常数％约为（参考数据：1g2«0.301,1g3«0.477）（）

A.1.12B.1.13

C.1.14D.1.15

\PA\

9.已知点A（3,0）,点尸是抛物线C:9=4x上任一点，尸为抛物线C的焦点，则含土的最小值为（）

PF+1

A2西口2a「后c屈

L.-----kJ.-----

17171717

11111

10.设S"为等比数列｛%｝的前〃项和，82023=200,6012=10，贝U—+——+—+…+------+-------=()

%。2〃3”2022”2023

A.20B.10C.5D.2

22

11.已知双曲线=1（。>0,6>0）的焦点恰好为矩形43。的长边中点，且该矩形的顶点都在双曲

ab

线上，矩形的长宽比为2:1,则双曲线的离心率为（）

A.2+272B.3+2&C.1+3D.20-2

12.己知函数〃尤)=2*-依-6恰有一个零点看,5.b>k>0,则％的取值范围为()

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.有5位大学生要分配到AB,C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位

学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有

种.(用数字作答)

14.定义在R上的函数的导函数为r(x),且有/(-3)=-12,〃_司+〃力=0,且对任意xeR都有

/⑺>3,则使得/(e*)-3e，—320成立的x的取值范围是.

15.在平面直角坐标系中，尸的坐标满足(fJ+2),feR,已知圆C:(x-3F+y2=1,过尸作圆C的两条切

线，切点分别为A,2,当NAP6最大时，圆C关于点尸对称的圆的方程为.

16.如图，在长方体ABCD-AqG。中，AB=3,BC=CCX=2,M,N分别为BC,CC；的中点，点P在

矩形BCC,B｝内运动(包括边界)，若4尸〃平面AMN,则4尸取最小值时,三棱锥P-MA.B的体积为

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.(12分)已知在四边形ABCD中，△姒)为锐角三角形，对角线AC与8。相交于点。,

AD=2,AC^4,BD=y/6,ZABD=-.

4

⑴求AB;

⑵求四边形ABC。面积的最大值.

18.(12分)远程桌面连接是一种常见的远程操作电脑的方法，除了windows系统中可以使用内置的应用程

序，通过输入IP地址等连接到他人电脑，也可以通过向日葵，anyviewer等远程桌面软件，双方一起打

开软件，通过软件随机产生的对接码，安全的远程访问和控制另一台电脑.某远程桌面软件的对接码是

一个由“1,2,3”这3个数字组成的五位数，每个数字至少出现一次.

(1)求满足条件的对接码的个数；

(2)若对接码中数字1出现的次数为X,求X的分布列和数学期望.

19.（12分）如图，在直角梯形A8CD中，AB//CD,ZABC=90°,AB=3DC=3BC,DEJ.AB于E,

沿。E将VADE折起，使得点A到点尸位置，ZPEB=90°,N是棱8C上的动点(与点8,C不重合).

(1)判断在棱尸3上是否存在一点M,使平面项平面P3C,若存在，求正;若不存在，说明理由;

(2)当点凡N分别是尸8,8C的中点时，求平面ERV和平面PDE的夹角的余弦值.

22

20.(12分)已知椭圆C:：+%=l(a>6>0)的左、右焦点分别为小鸟，抛物线「：9=4x的焦点与F?重

合，若点尸为椭圆C和抛物线「在第一象限的一个公共点，且,尸。鸟的面积为逅，其中。为坐标原点.

3

(1)求椭圆C的方程；

⑵过椭圆C的上顶点8作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点3E,求忸4+忸E|的最大值.

21.(12分)已知函数g(x)=g(x2+2alnx-4).

⑴讨论函数y=g(x)的单调性；

⑵设函数〃x)=g(x)-4x+2,若函数y=〃x)的导函数有两个不同的零点％x2(^<x2),证明：

/(^)+/(%)Ina

2>3.

2----2

(-)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.(10分)在直角坐标系xQy中，以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标

22,22)

方程为pcos0+2psin0-9A/2=0,曲线C的极坐标方程为yocos6+4/?sin6=4.

(1)求直线/的直角坐标方程和曲线C的参数方程；

(2)若点尸为曲线C上任意一点，点尸到直线/的距离为d,求d的取值范围.

选修4-5：不等式选讲

23.(10分)已知函数〃》)=,-。|+归-1|的最小值为3,其中a>0.

⑴求不等式的解集；

⑵若关于x的方程=云+1有实数根，求实数6的取值范围.

2024年高考押题预测卷【全国卷】

数学•（理科01）全解全析

第一部分（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

123456789101112

CBBDBBBDADCA

1.【答案】C

【解析】由五+3N3,故y=k>g3（«+3）Nl,故8=卜江训，

即AC3={M1（尤<2}.

故选：C.

2.【答案】B

刀3+4i_3+4i_（3+4i）（4+3i）25i1.

［角率析］（3-i）2-8-6i_2（4-3i）（4+3i）-50-21）

故选:B.

3.【答案】B

【解析】由题意可得AC=AB+AD，AE=AB+BE=AB+^AD,

所以AC•AE=（AB+A£>）•（AB+gADJ

-231-2

=AB+-ABAD+-AD

22

因为AB=3,AD=2&,ZBAD=45°,所以AB?=幺仞？=8,AT>=6，

所以AC-AE=22.

故选：B

4.【答案】D

【解析】依题，C；+C；+—+C：=2"=32,解得〃=5,则二项式信-五［的所有项系数之和为俏-%'1=1.

故选：D.

5.【答案】B

【解析】由题意可知，tanO=-|,北生兀

「2V13

sin6_2sin0=-------sm"=---------

1313

贝!J<cos63,解得<或,（舍）,

22a3岳'A3岳

sin0+cos0=1cos6=---------cose=-------

所以cos(8+兀)•sin—e]=-cos26=一1.

故选：B

6.【答案】B

3

【解析】由题意4石=4/=4G=E，设点A到平面石尸G的距离为d,

lfU£F=EG=FG=—

2

2“Y

c_13A/2(3。F18^

T~16

/

由瞑-AG/=〃-EFG，W—X—X—X—X—=—Xd,解得d=,

322223162

棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为3,

棱长为6的正方体体对角线的长度为6石,

因为36一且=也>3,

22

所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球,

则该球形饰品的体积的最大值为:兀X33=3671cm3.

故选：B.

7.【答案】B

【解析】a=0.3115<0.31°=l,所以0<a<l,d=n<0,

b=log312=1+log34>2,c=log26=1+log23>2,

(ln4+ln2Y

又因为log34In4/n212J(ln2⑸

2

log23ln3-ln3ln3-ln3(ln3)

所以h<c,d<a<b<c.

故选：B.

8.【答案】D

【解析】由题意知C=7.5'x60=25'xl5,

所以=［=4,两边取以10为底的对数，得21g5=2怆2,

21g22x0.301

所以八®1.15

l-lg31-0.477

故选：D.

9.【答案】A

【解析】由题意得/。,0),抛物线C的准线方程为尸-1,

设尸(x,y),则归典=x+l,|P川=耳一3)2+/=耳_3)2+4彳=&2_2式+9,

|PA|_VX2-2X+9

®|PF|+rx+2-

令x+2=〃，则x=〃-2,由％NO,得〃之2,

PA

所以，1i=J(〃-2)2—2(4—2)+9=J〃2_6〃+]7=/n__A+i,

|PF|+I〃jn[42〃

令，=2,则Ov/LV1，所以^L=J17储一6.+l=J17(O-』]+—,

〃2|PF|+1'I17)17

311Q

故当x即X=£时，向IP上AI取得最小值7A等/4.

故选：A.

10.【答案】D

【解析】法一：因为｛%｝是等比数列，设其公比为4,由题意得4*1,

所以数列,I是首项为工，公比为L的等比数列.

则邑期="产）="产7=200，=%产=10.

1-qq—1

设数列［1］的前”项和为1,

]一,]x2023~

则T1/(产7：1网产7=邑。23=200：2.

a

q-iioi2q-i娠)i2i。。

q

一

法二：设数列]'J的前〃项和为，，则《023+'+'+'+…+J-+」,

[J%”2〃3”4^2022”2023

2(%+外+/+包+…+%022+%023)=2$2023400_

-4,^23-2.

2即0

。1〃2023“1012

故选：D.

11.【答案】C

【解析】解法一：由题可得，矩形A3C。的宽为2c（c>0）,则长为4c,

双曲线E以矩形长边中点为焦点，过顶点A5CD,如图所示,

则C（c,2c）,代入双曲线E的方程，得=1，即。2（廿一4片）=//.

又因为c2=H+凡所以（标+⑹伊一叱六合洛即5+/—4//=o,

〃h1

等式两边同时除以片〃得_4-+勺-4=0.

ba

A21

设F=/>0,贝！|一4一+/—4=0,即，2一4/一4=0,

a2t

解得，=2+2A/^或，=2-2a（不合题意，舍去），即勺=2+2A/^,

a

所以e=£=Jl+勺=^/1+2+2A/2=1+A/2.

故选：C.

解法二：连接。；,由题意知C(c,2c),则|C词=2c,|耳阊=2c,\CF[\=2y/2c,

则由双曲线的定义知|WHC闾=2。，即2缶-2c=2°，。=(0-l)c,

所以双曲线的离心率e=-=V2+1.

12.【答案】A

【解析】由〃x)=。可得不="+6,要使外“恰有一个零点，只需函数g(x)=2'的图象与直线＞=履+6相

切.

设切点坐标为(内,2。由g(x)=2，，可得g'(x)=2，ln2,则切线方程为y-2%=2』ln2(x-x0),即

y=(2而In2)x+2』(1一/In2),

故需使％=2-ln2,6=2^(l-xoln2).

由b＞上＞0可得2%(1一玉出2)＞2%1112,解得与＜\^2.

故选：A

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13.【答案】50

【解析】根据特殊元素“甲同学”分类讨论，

当A单位只有甲时，其余四人分配到民C,不同分配方案有C：C；A；+C：C；=14种；

当A单位不只有甲时，其余四人分配到A氏C,不同分配方案有啖/A；=36种;

A2

合计有50种不同分配方案,

故答案为：50.

14.【答案】［ln3,+a))

【解析】由〃r)+〃x)=0知是奇函数，，〃3)=—〃-3)=12,

设g(x)=/(x)-3x,则g(3)=〃3)-3x3=12-9=3,g〈x)=r(x)-3>0,

二g(x)在R上单调递增，由/(e，)-3e*-3to得/(e，)-3e，23,

即g(e，"g⑶，得尤21n3,x的取值范围是［ln3,+e).

故答案为：［ln3,+e)

15.【答案】(x+2)2+(y-5『=l

【解析】依题意，点尸的轨迹为直线/：y=x+2上，显然NAP3=2NCP8,要/AP3最大，当且仅当NCP8

最大，

在Rt^C附中，sinZCPB=,而正弦函数y=sinx在(0谭)上单调递增，

III厂。I2

则只需sinNCP?最大，即圆心。到点尸的距离最小，因此CP，/,又圆心0(3,0),

此时直线CP的方程为y=-x+3,由-。解得点P*1)，

［y=-x+322

于是圆心C关于点尸对称的点的坐标为(-2,5),所以圆C关于点尸对称的圆的方程为(x+2)2+(y-5)2=l.

故答案为：(x+2『+(y-5)2=l

【解析】取8月的中点E,4G的中点尸，连接斯，\E,A.F,

则易得£F//AW,\FHAM,

因为E/U平面AW,MNu平面⑷W7V,故所〃平面AMN,

同理：〃平面AMN,又4尸£尸=尸,A尸,EFu平面A]EF,

所以平面AE///平面⑷VW,又4尸〃平面AMN,

所以APu平面AEF,即点尸在平面AXEF与平面BCCE的交线EF上,

当APLE尸时，A/取最小值.

易知4^=4/=8^=丽，故当AJ取最小值时，P为EF的中点，

133

此时一尸EW的面积ZPBM=-xlx-=--

133

=V=XX3=

则L-MABA,-PBM344,

3

故答案为：—.

4

三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试

题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.（12分）

【解析】(1)

JTAB2+8£）2-A£>24笈+6-4

由余弦定理可得cos厂

2ABBD2巫AB

化简为AB?-2括AB+2=0,解得43=退+1或6-1，

(A/3-1)2+4-6

2-2追

当AB=石-1时因为cos/BAD=<0,与△钿£»为锐角三角形不符合，故

2X2X(G—1)2X2X(73-1)

43=6+1.

（2）作AE,CF垂直8。于E,尸，设/AQB=/1,

S

贝IABCD=S^0+8CBD=^BDAE+^BDCF=^BD（AOsinZl+COsinZl）=^BDACsinZ1,当

sinZl=l^>Zl=90o^>AC±BD,四边形面积最大，最大面积为gx4x#=2#.

18.（12分）

【解析】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外两个数字各出现1次时，

代将小C3A53X5X4X3X2X1

种数为：1r3x2x1=6。,

当对接的中两个数字各出现2次，另外一个数字出现1次时,

种数为：［碧3x5x4x3x2xl“

--------------二90,

2xlx2xl

所有满足条件的对接码的个数为150.

（2）随机变量X的取值为1,2,3,其分布为:

—।C武C；A；

AAA武_6_2,

P(X=1)=3^"=；尸(X=2)=

ig150-15-5

A(

尸(x=3)=9=2'

')15015

故X的分布列为:

X123

722

p

15715

7775

故矶X)=lx石+2x1+3x石=§

19.(12分)

【解析】（1）存在，誓=：

DrJ

理由如下：由PE_L£B,PELED,EB\\ED=E,EB,EDu平面EBCD,

所以尸E_L平面£BCO,又3Cu平面EBCD,

故PE工BC,又BCLBE,PE\BE=E,PE,BEu平面PEB,故3C_Z平面P£B,

又3Cu平面PBC,故平面PBC_L平面尸EB,又平面PBC平面尸EB=P3,

平面PEB,作加,尸台，则EM_L平面PBC,又9u平面EW,

故平面矶W_L平面PBC,由题意，不妨设AB=3£)C=33C=3,

则HPEB中,PE=2,EB=l.BP=君，由等面积得出=石x所以EM=专,

22

则小卜㈢十所以软g

(2)以E为原点，EB,ED,EP分别为无，＞,z轴建立空间直角坐标系,

由⑴5(1,0,0),P(0,0,2),唱，。，1

硒=糙,。］‘g小可,

设平面EFN的法向量为m=(x,y,z),

m-EF=—x+z=0

2

由,,取机=(2,-4,-1),

mEN=x+—y=0

2

易知平面PDE的法向量为〃=(1,0,0),

22历

设平面E7W和平面PD£1的夹角为。，故cos6=cos{m,n)\=\—j==

v2121

20.(12分)

【解析】（1）设尸（如％）,由尸=4无,得焦点月（1,0）,则耳（-1,0）.

由以,%=半，得：xlx%=手，解得%=半，代入抛物线方程;/=4x，得，即称半

所以2a=|?引+|尸耳|==4,即〃=2,所以6=5/3，

22

所以椭圆C的方程为又+上=1.

43

（2）设直线OE的方程为＞=丘+"加片石），。（西,乂），\BD\=dlt\BE\=d2.

联立｛了<='消去y整理得（4左2+3）/+8切a+4%2-12=0,

y=kx+m,

8km4m2-12

所以再+%=-

4V+3，工也=442+3

因为5D_L瓦;，所以出^5后二。，又网0,百），所以5。=（%,乂-山）,5£1=（%2，%-/），

所以石工2+（%-6）卜2-6）=0,XyX2+（kxY+m-y[3^（kx2+根―6）=0,

即（1+产）Xi%+左（根+%）+（加_6）=0,

|2=0,化简得7根2—6百根—3=0.

即2）■空詈

因为mwA/3,所以加=—1.,此时x1+x2=576

7（4产+3），""—49（4左之+3），

7

所以|£）同=|百一司，J1+/=J（X[+々）2—4石%2，J1+左之

「~|2

8限4576卡_迪（49…（1+刊

---------+4-------------

V|_7（4）t2+3）J49（4产+3）7Y（g+3『

令叱+3=止3）,则|叶卓严萨5=手尸方

当且仅当r=3,即后=0时，等号成立.

因为力+/=0目2,所以4+d2V北可目」竺普,

当且仅当4=4#=。时，等号成立，

故怛。+忸目的最大值为史答.

21.(12分)

【解析】(1)由已知函数y=g(x)的定义域为(。,+8),又g，(x)=x+@=W^^

XX

当a20时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,+8)上是增函数;

当a<0时，g'(%)=x=\f--ax=-\/-a(舍去)，

所以当x>QT时g'(x)>0,函数g(x)在(G\+8)上是增函数；

当0<x<yj时g'(x)<。，函数g(x)在仅,^/工)上是减函数；

综上所述：当a"时，函数g(x)在(0,+。)上单调递增；

当a<0时，函数g(尤)在+(»)上单调递增，在仅，，可上单调递减.

(2)由已知/(x)=g(x)—4x+2,即/(x)=—+2«lnx-4)-4x+2=—x2+alnx-4x,

r”口\aX2-4x+4Z

可得/(x)=x+——4A=---------，

XX

函数/(%)有两个极值点石,%(%<%2)，即％2—4x+a=0在(。,+。)上有两个不等实根，

/、9[h(0]=a>0

令/z(x)=x-4x+a,只需4<0，故°<。<4，

又占+巧=4,xlx2=a,

所以/（%）+/（%）=+a\nx1-4x,+~x；+alnx2一

+ana

=—4（石+%）+a（inxj+lnx2）~（片+%；）=^-a—8,

要证“再）+“切>则-5,

22

即证alna-a-8>lna-10,a£（0,4）,

只需证（1—a）lna+a—2<0,a£（0,4）,

令加(〃)=—+a-2,〃«0,4),

\—a1

贝！Jm'(a)=—InaH-----F1=ln〃,

aa

令〃(a)=加