2023-2024学年山东省滕州市第一中学高二年级上册期末数学试题 答案解析(附后)

2023-2024学年山东省滕州市第一中学高二上学期期末数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知三棱锥。-八。「中，点M,N分别为AB,0c的中点，且刃=下，加=了，历=/，则

=()

A.B.fe+e)C.；(万一»+。D.|(«+h-(^

2.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案：如

图1,把三片这样的达,芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体.若图3中每个正

方体的棱长为1,则点A到平面QGC的距离是()

」1M；4G

骸热11，…炉厂夕

'以B

E

图1图2图3

A.；B,C,D.受

2

3.已知P是抛物线力—J.r上的一点，过点P作直线工=-3的垂线，垂足为H,若Q是圆C：

(1+3)?+(#-30=1上任意一点,贝HPQI・的最小值是()

A.3后_1B.4C.5D.6

2斯":为鲁西，则下列说法正

4.数列｛"“｝满足：首项"1=1,«„+1=<

a

A.该数列的奇数项〃・〃，•“1•一成等比数列，偶数项…一成等差数列

B.该数列的奇数项山，“：卜内.一成等差数列，偶数项"2,a一•成等比数列

第1页，共24页

C.该数列的奇数项"I，一.分别加4后构成一个公比为2的等比数列

D.该数列的偶数项，孙”|.』.一分别加4后构成一个公比为2的等比数列

5.已知等差数列｛”“｝的公差为2,前"项和为S”,且Si，S2，S,成等比数列.令瓦=」一，则数列｛九｝

%斯+1

的前50项和屋()

AA5_()CR1-9Cc-1-(-)-0-Dc-5-0--

■51,50i101'101

6.已知圆O]:l'+//2-1//+3—0与圆()2:+!/2-t2.r-Ay+1=(),则两圆的位置关系是()

A,相离B.外切C,相交D.内切

7.已知直线/的方程为《rsiiia+g?/-1=(),a€/?,则直线/的倾斜角范围是()

8.设Q,B分别为双曲线C：/丫=1(〃>()/>>())的左口右焦点，A为双曲线的左顶点，以为

a2b2

直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点，且/A/AV=135°,如图所示，则该双曲线的离心率为

C.2D.逐

二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得。分。

9.设是等差数列，S”为其前。项和，且S?<S8,SR=&>S„),则下列结论正确的是()

A.</<0B.a。=0

C.Sn>S7D.S,、S9均为S“的最大值

10.已知曲线C的方程为工+士=1(卜£/?),贝1()

9—£—1

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A.当卜一5时，曲线C是半径为2的圆

B.当k—0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为=

C,存在实数k,使得曲线C为离心率为g的双曲线

D.“卜＞1”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件

11.“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体.如图，“脸谱”图形

可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线「.半圆G的方程为/+/=9（//》0）,半椭圆的方程为

匚+[=1（#W0）.则下列说法正确的是（）

A.点A在半圆G上，点8在半椭圆上，。为坐标原点，OA\013,则△。八〃面积的最大值为6

B.曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7

C.若4（0,-，7）,8（0,、/7）,P是半椭圆（、上的一个动点，则cosN4PB的最小值为1

D.画法几何的创始人加斯帕尔,蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的

圆上.称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆心扩充为整个椭圆「'：b+d=1（一4（,/（4）后，椭圆

916

的蒙日圆方程为.尸+/=25

12.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，在堑堵.4〃。一小丛（1中，P

是8囱的中点，AAi=4。=8。=2,若平面。过点P,且与A3平行，贝）

B.三棱锥--ALP的体积是该“堑堵”体积的1

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C.当平面。截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于上

2

D.当平面八截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于2/2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若数列为等比数列，且ai=2,q=苧，则S+。5+•••++—・=.1其中。

为正整数।

14.如图，在棱长为2的正方体4的CD-4BQQ]中,M,N分别为棱Q。1，的中点，则△.U.ID

的重心到直线BN的距离为

15.已知空间向量N=(LL0),了-(-2,1.2),则向量方在向量了上的投影向量的坐标是.

16.已知椭圆1+4=〉b〉0)上一点八关于原点的对称点为8,F为其右焦点，若/IP，/?”,设

屋br

£ABF=n,且。€[，:，则该椭圆离心率e的最大值为

64

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

已知各项均不相等的等差数列｛〃“｝的前4项和为10,且川Jn」"是等比数列｛，，“｝的前3项.

(1)求；

⑵设c”=6„+[]।,求｛「”｝的前。项和

18.(本小题12分)

如图,在三棱锥P-ABC中，PA1底面ABC.AC=90。.点D,E.N分别为棱PJPC,卜。的中点，M

是线段A。的中点，PA=AC=A.AI3=2.

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p

ill求证：A/.V〃平面BDE；

,求直线AC与平面EMN的夹角的正弦值；

(3)求点A到平面EMN的距离.

19.(本小题12分)

已知直线/：(m+2)x+(1-2m)tj+4m—2=0与圆。：M—2工+/=。交于N两点.

UI求出直线/恒过定点的坐标；

②用点斜式写出直线方程，并求直线/的斜率k的取值范围；

若。为坐标原点，直线的斜率分别为/小包，试问卜「+儿是否为定值？若是，求出该定值:

若不是，请说明理由.

20.(本小题12分)

如图，在三棱柱一Q"('中，侧面ABCD为正方形，-48=4,

P4=PD=述,4BL4P.DC_LDP,点M在线段P8上，/平面

(3)在线段AC上是否存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为30?若存在，求出三的值；若

/1C

不存在，请说明理由.

21.(本小题12分)

已知数列5」的前。项和为、、，数列｛:｝是以」)为首项，1为公差的等差数列.

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111求数列M”｝的通项公式；

2求数列｛〃“｝的前。项和/:.

22.（本小题12分）

221

已知椭圆E:W+%=1（。>6〉0）的左、右焦点分别为FI.EI,离心率为5，动点P在椭圆E上，；'、/「此

a£tr/

的周长为6.

n求椭圆E的方程；

⑵设直线/V；与椭圆E的另一个交点为Q,过P.Q分别作直线/：x=t（t>2）的垂线，垂足为W..\与

x轴的交点为T.若四边形PMNQ的面积是面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围.

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答案和解析

L【答案】。

【解析】【分析】

本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.

根据题意得'耘=配+两，再将历，5/分别用示，加，。厂,表示，最后利用空间向量线性运

算计算即可.

【解答】

解：在三棱锥O-ABC中，点M,N分别为AB,0c的中点，

NSI=i^d+（ni

=_；丸+*+；加

=；（寸+了一下）,

故选：

2.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查利用空间向量求点到面的距离，属于基础题.

建立空间直角坐标系，求平面QGC的法向量，用点到平面的距离公式计算即可.

【解答】

解：建立空间直角坐标系，如图所示：

c

V二

则C(0,2,0),Q(l,0,2),G((M).2),.4(1.1.((),Q?=(-1.2,-2),

Qd=(-1,0,0),-4?=(-1.1,0),

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设平面QGC的法向量为万=（，，.：），

1•充=0

则（J，m即

9

n-QG=0一/+2//-2z=0

令U：1,则二=1,

则平面QGC的一个法向量为五*=（（）,L1）,

忖•充

则点A到平面QGC的距离d=I”.

2

故选：C.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了与抛物线有关的最值问题，属于中档题.

画出抛物线y2-lx的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将|PQ+PH\转化为C,P,F之间的距离

之和，根据三点共线求得最小值.

【解答】

解：抛物线y2l.r的焦点是/•（1.（））,准线方程是1,PH与准线的交点是小，

圆C的半径为r=l,圆心为C（-3.3）,

\PQ\+\PH\>\PC\-1+\PHi\+\HHi\=\PC\+\PF\+2-1=|PC|+|PF|+1,

当C,P,F三点共线，且P在线段CF上时，（1PC|+|PQ）mr,3?+#5,

|PQ|+\PH\的最小值是6.

故选：D.

4.【答案】D

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【解析】【分析】

本题考查等差和等比数列的判定和证明，考查转换与化归思想，属于中档题.

根据题意写出数列的前6项，根据数列等差中项和等比中项的性质，即可判断ABC,令，,="»,+4,然

后通过题意可证明空为一个定值，即可判断D.

【解答】

2a”.n为奇数

解：已知数列｛«»｝满足。”+1=<心口物，

an+2,n为1由数

则。2=2al=2,a?=“2+2=4,«|=2。：]=8,=«(4-2=10,。6=2。5=20,

对于A,-.-4V1x10,即嫉#〃「小,所以该数列的奇数项成等比数列不成立，

/2x8/2+20,即2a#a2+a«,所以该数列的偶数项a2,ai，ae...成等差数列不成立，A选项错误；

对于B,/2x4/1+10,即2as/ai+a5,所以该数列的奇数项01,的,佻…成等差数列不成立,

•.•8242x2(),即a；#。？。/，所以该数列的偶数项“~川”…成等比数列不成立，B选项错误；

对于C,“1+4=5./+4=8,“3+4=14,

；82壬5*11,所以该数列的奇数项臼,分别加4后构成一个公比为2的等比数列不成立，C选

项错误；

对于D,令b„-a>„4-4,

由«„+i=<2"'：：为2%可得a2n+2=2a2用=2(a2n+2)=2a如+4,

(i„+2,n为仙数

所以6^1=«2n+2+4=2«2„+8=2,所以｛.J即｛。2“+4｝是公比为2的等比数列，

bna2n+4a-2n+4

则该数列的偶数项〃2，“卜。6•一分别加4后构成一个公比为2的等比数列，D选项正确.

故选：D.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，属于中档题.

根据S,S2,S*成等比数列结合公差为2,求得“，，得到公，再利用裂项相消法求解.

【解答】

2x14x3

解：因为Si=«1,S2=2o,H----X2=2«!4-2,=la]4-—^―x2=+12,

由题意得(24+2产=+12),

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解得川1,

所以册一2〃I,

则_1______=ip_______,

人”(2n-l)(2n+l)2\2n-12n+1J'

则

T1八1111111、

间2、3355799lOF

50

=--.

101

故选：D

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题.

分别将两圆化成标准方程，求出圆心距并和两半径差与和相比较即可求解.

【解答】

解：因为圆5：/+y2一句+3=0可化为：/+(y-2)2=1,

圆心5坐标为(0,2),半径n=1；

圆O,:J-2+y2-2z-Ay+1=()可化为：(x-1)2+(y-2)2=4,

圆心Q坐标为(1,2),半径9=2；

圆心距。。力=\/(1-0)2+(2-2)2=1,因为|。1。2|=「2—n=1,

所以圆与圆(人内切，

故选：D.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于中档题.

计算卜e-4.、?，再考虑分别卜e0,，和ke—4，。)两种情况，得到倾斜角范围.

JJJJ，

【解答】

解：Tsinn-F-1=(),则直线/的斜率卜二一4sin°W—,

JJJ

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设直线/的倾斜角为仇0We<”)，故人=tan。e

JJ

，[阔rTri

所以当0，f时，直线/的倾斜角。e0.7；

J()

当k€--.0I时，直线/的倾斜角0G[■于；

综上所述：直线/的倾斜角oeoqu,m)

故选：B.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了求双曲线的离心率，属于中档题.

联立M+/=/与y=h.r求出.W(</,6),进而AMAO的正切可求，得出a与b的关系，从而进一

a

步解出答案.

【解答】

解：依题意得，以线段为直径的圆的方程为/+/=",

双曲线C的一条渐近线的方程为y=-x.

a

_b

由《"J'以及M+fe2=c2,

x=a.fT=-a,

{g=b或

不妨取Af(a,6),则AT(-a,-6).

因为4(-a,0),ZAMiV=135°,

所以Z.MAO=45°,

又tanZ.MAO=—,

2«

所以1

la

所以力=2〃，

所以该双曲线的离心率e=J1+与=.

故选：D.

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9.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查等差数列前。项和的最值问题，属于较易题.

由题意可得数列的前8项为正数，第9项为0,从第10项开始为负数，各个选项验证可得答案.

【解答】

解=Ss-57>0,

S、=>S'!|,u<i=0,

则a。—="v0,

故选项A,8正确；

Su-S=(Hai+":吗)-(7R+

7

=11〃]+55J—7fij—2h/=4nj+34d,

*/ag=a\+8d=0,/.=-8d,

.・.+34d=-32(1+34d=2d<0,

/.Sn<<S>7,故C错误；

•••S8=&>&",易知数列的前8项为正数，第9项为0,从第10项开始为负数，故选项D正确.

故选：ABD.

10.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题主要考查曲线与方程，双曲线的性质，属于中档题.

A由上=5得到曲线方程判断；B,由人•=()得到曲线方程判断；(•根据曲线C为离心率为的双曲

线，得9-k+k—1=0判断；/).利用充分和必要条件的定义，以及椭圆的标准方程来判断.

【解答】

解：」.当卜=：>时，曲线方程为/+/=』，所以是半径为2的圆，故正确；

8当卜二口时，曲线方程为1—/=],所以是双曲线，且其渐近线方程为,/-1；「，故正确；

C若曲线C为离心率为鼻的双曲线，则9一k+k-l=0,方程无解，故错误；

。.当曲线C为焦点在x轴上的椭圆时，则[£一]>?,，解得I<£<5,故正确.

I9-卜>a-1

故选：ABD

1L【答案】ABD

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【解析】【分析】

本题考查圆锥曲线中的新定义问题，椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系及其应用，属于中档题.

选项A,易得\OA\=3,\OB\<4,从而判断；选项B,根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题;

选项C,由椭圆定义可得到|尸川、|尸8|之和为定值，由基本不等式可以得到|P周、乘积的最大值，

结合余弦定理即可求出cos/RPB的最小值；选项。中，分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特

殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程.

【解答】

解：对于A,因为点A在半圆G上，点8在半椭圆。2上，O为坐标原点，

则|0川=3,\（）B\&4,

13

则Sd=o\OA\\（）B\="。阴46,当B位于椭圆的下顶点时取等号，

所以△O4B面积的最大值为6,故人正确；

对于B,半圆G上的点到。点的距离都是3,

半椭圆上的点到0点的距离的最小值为3,最大值为4,

所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7,故B正确；

对于C,v^）是椭圆.+（=1的两个焦点，

则/周+\PB\=8,

痣aMB中，\AB\=2\/7,由余弦定理知：

222川+即明川

/APN\P^\+\PB\-\AB\（|P|P2_|2_2|P

COS£APB=-2\PA\.\PB\-=--------------2\PA\.\PB\----------------

1

2

_8-28-2|P4|-|PB|_1818=-

2\PA\T\PB\"\PA\T\PB\~"(|P4|+|PB|)28

-T~

当且仅当\PA\=\PH时取等号，

所以cos/.APB的最小值为1,故C错误；

99

T-1J-

对于D,由题意知：蒙日圆的圆心。坐标为原点（（）,（）），在椭圆C：K+%=1(-4W?44)中取两条

916

切线：「一3和“=」，它们交点为（3.II,

该点在蒙日圆上，半径为,3?+4?=5，

此时蒙日圆方程为：/+/=25,故。正确.

故选：ABD.

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12.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查异面直线所成角，空间几何体的截面问题，棱锥的体积，是较难题.

利用坐标法及线线角的向量求法可判断A,根据锥体的体积公式可判断B,作出平面八截棱柱的截面图形结

合条件可得截面的面积判断

【解答】

解：对于A,由题可知\两两垂直，如图以C为原点，CB为y轴，C4为x轴，为z轴

建立空间直角坐标系，

M'].4(2.0.0).Ci(0.0.2),C(0.0.0),P(0.2.1),

所以AC\=(-2,0.2),C?=(0.2.1),

所以以co、ste.C?/)=|老初卜曰可1瓜瓜=尊1。，

所以异面直线*与CP所成角的余弦值为:U,故A正确；

1()

B选项："/,=(\(,\=卜，「1'-1,一仙=：x2x2x2=4,

二3'/“「='Wi,故B正确；

C选项：如图，E,F,G分别为1h..l/i.C/；,的中点，

则EF//AQ,FG//AlBhFG=^AlBl,A.BJ/PE,AXBX=PE,

EF=FG=GP=x/2，PE=，

所以FG//PE,FG=ipE,P,E.F.G共面，又EF/fACt,,4GC平面PEFG,EFU平面

PEFG,

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ACi//平面PEFG,

则四边形PEFG为平面。截棱柱的截面图形,

所以四边形PEFG是等腰梯形，且高为一，

2

当E不是」一\中点时，PE不平行平面为小S,不满足题意则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一

个，

S梯形PEFC=；x(\/2+2\/2)x苧=>故0正确;

D选项：如图，Q.RS分别为AI3.AC.CC\的中点，

则RS//ACi,QH//BC.QR=,BC//PS,BC=PS,QR=LRS=>/2.PS=2,

所以QRj/PS,QR二PS,

可得四边形PQRS为平面。截棱柱的截面图形，

由题可知CBLAC,CBlCChACDCC\=C,ACC平面AC(\A},C(\c平面ACS4,

所以BC［平面.W'34,所以PSI平面ACSd，又/?SC平面AC(\AX,

所以PS」RS,

故四边形PQRS是直角梯形，当S不是「3中点时，PS不平行平面43C,

1Q

则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为S=2><(l+2)xe=,故。错误.

故选：ABC.

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13.【答案】4

【解析】【分析】

本题考查等比数列的前。项和公式，属于基础题.

求出新等比数列的公比代入求和公式即可.

【解答】

解：因为数列卜八｝为等比数列，山2y=警，所以/=；.

2

则川+«3+劭---+«2n-l+，•，=------1=4

1----

2

故答案为：I.

14.【答案】：

【解析】【分析】

本题考查用空间向量研究距离、夹角问题，属于中档题.

以DA.DC.DD\为心见：轴建立空间直角坐标系，由重心坐标公式求得△.IDA/的重心G的坐标，用

空间向量法求点到直线的距离.

【解答】

解：以DA.DC.DD\为J-.y.z轴建立空间直角坐标系，如图,

因为M,N分别为棱3Q,CG的中点，

则4(2,0,。)，"(2,2,0),JV(0,2,l),W(0.1.2),D{0,0,0),设\.\DM的重心是G(x,j/,,

0+2+020+1+010+0+22^.212.

则1=————=-,II---------=-,;=---------=_，即mG(-,

人'33'33'33'।’333

反)..=：+()+：=学，|说|=,(一:尸+(4?+($2=瓜，\B^\-y(-2)24-I2=\/5>

第16页，共24页

—>-=—tBGBNV2

cos<BC!,BN>=l.<一=厂立广=n，

|诙.前］6X瓜3

则<或，前>是锐角，sin<诟，前>=Jl-(1)2='，

所以G到直线8/V的距离为h=|ad|sin<B3,^>=X/5X^=1.

故答案为：彳.

212

15.【答案】3)

【解析】【分析】

本题考查空间向量的投影向量，属于中档题.

根据投影向量的定义，应用空间向量夹角的坐标运算求夹角余弦值，进而求|才|88<京，了〉•刍即可.

\h\

【解答】

5.7万•了-1\/2

解：cos<a.I)>=----==—=---=一一—,

国||了|四x36

所以向量S在向量T上的投影向量为

同cos<昧了>裔=⑶卜用X广=寺=(>泊).

212

故答案为：(§._§,一§)

16.【答案】73-1

【解析】【分析】

本题考查了椭圆的离心率和利用三角函数的值域求解问题，属于一般题.

利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，则ZANF=ZABF-a,再根据

1

椭圆的定义|4尸|+|4N|=%,由离心率的公式得到"=gsin(a+E)，即可求解答案.

【解答】

解:已知椭圆二+《=l(a>6〉0)上一点A关于原点的对称点为点8,F为其右焦点,

设椭圆的左焦点为N,连接.44A./?/••./<¥,根据题意及椭圆对称性可知四边形AFBN为长方形,

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根据椭圆的定义|4尸|+|AN|=2〃，且/AHF(\,则.「l.VF=c,

所以2a=2ccosa+2csina,

2c11

又由离心率的公式得'=2a=sina+cosa=i/2sin（o+-），

,一r7r7rl57T7T7T

由。€h，则RW。+彳W5，

us1242

凡1/w、

所以9-W松.川。+£）W<3_1'即椭圆的离心率的最大值为v/3-1.

故答案为：\/3-1.

17.【答案】解：（1）设等差数列｛“”｝的公差为d,前。项和为T,,,且“〃），

因为T4=10,则4勺+彳二/=1（）,即2«!+3d=5,

又因为川9，。|成等比数列，所以"j="m,即（"1+d）2="]（"]+3”），整理得/=a7,

又因为，/川，所以“1=”,

联立（2仰+3d=5|y1

[a\=a[（/=1

所以a”=1・（〃-1）x1=〃，

又仇G1,与-。2-2,｛6｝是等比数列，

11

所以4=^=2,则bn=b｛q"-=2".

（2）由（1）得G,=2"-*+\=2"-'+---47,

n（n4-1）nn4-1

1

所以SH=204-2d-----F2"T+（1-；+；-；+—+，----r）

223nn4-1

=lx（l-2-）1=2M1

1-2n4-1n+1

所以数列｛a｝的前。项和s=r-.

Hn+1

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【解析】本题考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，分组法求和，属于中档

题.

3)利用等差数列的通项公式与等比中项求得基本量«1.</,从而利用公式法依次求得；

2结合I”中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.

18.【答案】(1)证明：取AB中点F,连接MF、NF,

M是线段八。的中点，

MF//BD,

DDc平面BDE,0平面BDE,

.MF//平面BDE.

・二点D.E.N分别为棱PA,PC,BC的中点，

NF//AC//DE,DEC平面BDE,VF色平面BDE,

NF//平面BDE.

■：MFDNI-=F,1/F、.Vfu平面MNF,

二.平面"NF//平面面DE,

MNc平面MNF,

...U.V/平面BDE.

(2)解：:PAL底面ABC,^BAC=90°,以A为原点建立如图所示空间直角坐标系.4-xyz,

则有4(0,0,0).B(2,0,0),C(0,4,0).；U(0.0,1),N(l,2,0),E(0,2.2),

ITT=(1,2,-1).I7£=(0,2,1),充=(0.4.0),

=1+2t/-z=0

设平面EMN的法向量为n*=(r.y.二)，则〈_—.'.一，令y•1,则有

ii-ME=2y+z=0

T?=(-4tl,-2),

设AC与平面EMN所成角为9,则直线AC与平面EMN的夹角9的正弦值为sin0=|cos(右,我)

回,充I_4_历

|宿西一庖x4一才

(3)解：由(2)得，=(().(一】)，设MA与平面EMN所成角为a,

|7T-AL1|_2_2A/21

则点A到平面EMN的距离为c=|TcosI司=质=万~

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【解析】本题考查线面平行，直线与平面所成角的向量求法，点面距离的向量求法，属于中档题.

(1)先证时尸〃平面BDE、NFH平面BDE,即可证明平面A/NF〃平面BDE,可得MN〃平面

BDE；

(，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系二一工”：，由向量法求线面角；

HI由向量法求点A到平面EMN的距离.

19.【答案】解：(1)将直线/方程整理为：(r-2iz+4)m+(2r+.v-2)=0,

令［2^-2:0,解得：｛,所以直线/恒过定点.

,直线/斜率为k,由U得，直线/的点斜式方程为：y-2=fc(x-0),即kr-〃+2=0,

圆C:"―1『+『=1的圆心C(l.O),半径,•=1,

A+2|

因为直线/与圆C交于U..V两点，则圆心c到直线/距离</<r,即<1,解得：k<

+1

所以直线/斜率的取值范围为.

(3)设A/3.M,N(T2，w),当〃?=；时，/：/=()与圆C仅有一个交点，不合题意，即有，7号；，

则直线I：y=/+2,令直线/方程为U-行+2,

2m—二1

〃=〃+2,,32—4/

由(14-«2)T2+(4*-2)Z+4=0

，-2i+y2=0得:由(2)知：/<,h+J~2=I+,2，

1+件

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期上2+才酒1_幽+2)12+(52+2)力

因此&+殳=方

4+皿助X\X2

2-4f

2tzi12+2(11+k2)c*1+拦—_

———————-=2£+——产-=2f+1—2f=1,

W2

1+#

所以A-1卜灯是定值，定值为1

【解析】本题考查直线过定点问题，考查直线与圆的位置关系判断及求参问题，考查转换与化归思想，属

于中档题.

川将直线方程整理后可得方程组｛2r7y-2:0J解方程组可求得定点坐标•

口由UI结合直线的点斜式写出/方程，再利用圆心到直线距离小于半径求解即可.

（3）设出直线/的方程，与圆方程联立，结合根与系数关系及斜率坐标公式求解作答.

20.【答案】证明：（“设AC。/"），连接0M,

因为侧面A8CD为正方形，

所以。为B。的中点，

因为PD//平面MAC,U平面PBD,平面PBD平面MACOM,

所以PD//OM,又。为BD的中点，

所以M为PB的中点；

解：?因为AB//DC.DC1DP,

所以，又八31八P.，1。。。「=只/1/（：平面4。「，。厂_平面八。「，

所以.1/3.平面ADP,

取A。的中点G,则PG_L/D,

由AB1平面ADP,PG平面ADP,可得AB.PG,

又A8n.lO=平面ABCD,.1。。平面ABC。，

所以PGL平面ABCD,

如图，以G为原点建立空间直角坐标系，

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则。(2.().0).P((M),⑸B(-2,4.0),^/(-1,2,

所以胡=（4,一4.0）,对=（2,0,-松），

设平面PBD的法向量为用=（，”•；），

m-Bli=4z-4y=0

令/=I则m=(1.1,,

,m-Pb=2x-\/2z=0

又平面ADP的一个法向量可取n=（0.1.0）,

ttnnI1

所以83"'苗=所同=E=5'

所以二面角13-PD-A的大小为tin；

（3）假设在线段AC上存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为：«）

设加=》而，因为4(一2,0.()).('(2.4,0),玄=(4.4.0),

所以A!'}=(4A.4A.0),iV(4A—2.4A,0),又A/1—1.2.

所以G=又平面PB。的一个法向量为用=（1.L&）,

整理可得64A2-80A+21=0,

解得入=2或入=:

OO

4VQ7

所以在线段AC上存在点N,使得直线MN与平面BDP所成的角为3。,4C的值为8或8

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【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，直线与平面所成角的向量求法，属于中档题.

Ui设ABH