人教版高中数学选修二专题4.3 等比数列（解析版）

专题4.3等比数列知识储备知识点一等比数列的概念思考1观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.①1,2,4,8,16，…；②1，，，，，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，…【答案】从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.思考2类比等差数列，归纳出等比数列的概念和特点.(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0).(2)递推公式形式的定义＝q(n>1).(或＝q，n∈N*)(3)等比数列各项均不能为0；故只有非零常数列才是等比数列.知识点二等比中项的概念思考1在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？【答案】设这个数为G.则，G2＝16，G＝±4.这样的数有2个.思考2对比等差中项与等比中项的异同，完成表格对比项等差中项等比中项定义若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项定义式A－a＝b－A公式A＝G＝±个数a与b的等差中项唯一a与b的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a与b都有等差中项只有当ab＞0时，a与b才有等比中项知识点三等比数列的通项公式思考类比等差数列通项公式的推导过程，推导首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式.【答案】根据等比数列的定义得：＝q，＝q，＝q，…，＝q(n≥2).将上面n－1个等式的左、右两边分别相乘，得···…·＝qn－1，化简得＝qn－1，即an＝a1qn－1(n≥2).当n＝1时，上面的等式也成立.∴an＝a1qn－1(n∈N*).知识点四等比数列通项公式的推广思考1我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比数列也有类似变形吗？【答案】在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N*).思考2我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；你能用等比数列的通项公式研究其单调性吗？【答案】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.则an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)，差的正负由a1，q，q－1的正负共同决定.当或时，{an}是递增数列；当或时，{an}是递减数列；q＜0时，{an}是摆动数列，q＝1时，{an}是常数列.知识点五由等比数列衍生的等比数列思考1等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是：(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3){}是等比数列；(4){a2n}是等比数列.【答案】由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.思考2试把思考1推广到一般的等比数列.【答案】(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列.(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{|an|}仍是等比数列.知识点六等比数列的性质思考1在等比数列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a1a9是否成立？aeq\o\al(2,5)＝a3a7是否成立？aeq\o\al(2,n)＝an－2an＋2(n>2)是否成立？【答案】∵a5＝a1q4，a9＝a1q8，∴a1a9＝aeq\o\al(2,1)q8＝(a1q4)2＝aeq\o\al(2,5)，aeq\o\al(2,5)＝a1a9成立.同理aeq\o\al(2,5)＝a3a7成立，aeq\o\al(2,n)＝an－2·an＋2也成立.思考2由思考1你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？【答案】一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*).若m＋n＝2k，则am·an＝aeq\o\al(2,k)(m，n，k∈N*).证明：∵am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，∴am·an＝aeq\o\al(2,1)qm＋n－2，同理，as·at＝aeq\o\al(2,1)qs＋t－2，∵m＋n＝s＋t，∴am·an＝as·at.若m＋n＝2k，则am·an＝aeq\o\al(2,k).知识点七等比数列的前n项和公式的推导思考1对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?【答案】比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝＝264－1≈1.84×1019.思考2类比思考1中求和的方法，如何求等比数列{an}的前n项和Sn?【答案】设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn.Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn.②由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn.当q≠1时，Sn＝.当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.思考3等比数列前n项和公式：Sn＝知识点八等比数列的前n项和公式的应用思考1怎样求等比数列前8项的和：(1)若已知前三项，，，用哪个公式比较合适？(2)若已知a1＝27，a9＝，q＝－.用哪个公式比较合适？【答案】(1)用Sn＝；(2)用Sn＝.思考2一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？【答案】(1)一定不要忽略q＝1的情况；(2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1、an和q，可以用；(3)在通项公式和前n项和公式中共出现了5个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余.知识点九等比数列前n项和公式的函数特征思考1若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？【答案】当Sn＝2n－1时，an＝＝n∈N*，是等比数列；当Sn＝2n＋1－1时，an＝＝不是等比数列.思考2对于一般的等比数列，前n项和有什么特征？【答案】当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝＝.设A＝，则上式可以写为Sn＝A(qn－1).当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.知识点十错位相减法思考1在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an的？【答案】在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.思考2如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，上述方法还能不能用？【答案】能用.Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，①qSn＝a1b1q＋a2b2q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋…＋anbn＋1，②①－②：(1－q)Sn＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1，＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d－anbn＋1，∴Sn＝能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24 B．0C．12 D．24【答案】A【解析】由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于()A. D．C. D．【答案】D【解析】公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.解得q＝，∴＝＝＝.3．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100 B．－100C．10000 D．－10000【答案】C【解析】∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴lg(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故选C.4．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1 B．a3＝1C．a4＝1 D．a5＝1【答案】B【解析】由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因为a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.5．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2 B．4C．8 D．16【答案】C【解析】等比数列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.6．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是()A．190 B．191C．192 D．193【答案】C【解析】设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝，n＝7，由＝381，解得a1＝192.7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，且8a2＋a5＝0，则等于()A．11 B．5C．－8 D．－11【答案】D【解析】设{an}的公比为q.因为8a2＋a5＝0.所以8a2＋a2·q3＝0.所以a2(8＋q3)＝0.因为a2≠0，所以q3＝－8.所以q＝－2.所以＝＝＝＝＝－11.故选D.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于()A．8 B．12C．16 D．24【解析】选C设等比数列{an}的公比为q，因为S2n－Sn＝qnSn，所以S10－S5＝q5S5，所以6－2＝2q5，所以q5＝2，所以a16＋a17＋a18＋a19＋a20＝a1q15＋a2q15＋a3q15＋a4q15＋a5q15＝q15(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q15S5＝23×2＝16.二、多选题9．设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是()A．0<q<1 B．a7a9<1C．Tn的最大值为T7 D．Sn的最大值为S7【答案】ABC【解析】∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1,0<a8<1，∴0<q<1，故A正确．a7a9＝aeq\o\al(2,8)<1，故B正确；T7是数列{Tn}中的最大项，故C正确；因为a7>1，0<a8<1，Sn的最大值不是S7，故D不正确；故选A、B、C.10．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则()A．数列{an}的公比为2 B．数列{an}的公比为8C.＝8 D．＝9【答案】AD【解析】因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以＝＝1＋q3＝9，故选A、D.11．下列说法正确的是（）A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列C．若为等差数列，，，则前项和有最大值D．若数列满足，则【答案】ACD【解析】对于A中，设数列的公差为，因为，，，，可得，所以，，，构成等差数列，故A正确；对于B中，设数列的公比为，当时，取，此时，此时不成等比数列，故B错误；对于C中，当，时，等差数列为递减数列，此时所有正数项的和为的最大值，故C正确；对于D中，由，可得，所以或，则，所以，所以.因为，所以，可得，所以，故D正确.故选：ACD12．在数列中，和是关于的一元二次方程的两个根，下列说法正确的是（）A．实数的取值范围是或B．若数列为等差数列，则数列的前7项和为C．若数列为等比数列且，则D．若数列为等比数列且，则的最小值为4【答案】AD【解析】对A，有两个根，，解得：或，故A正确；对B，若数列为等差数列，和是关于的一元二次方程的两个根，，则，故B错误；对C，若数列为等比数列且，由韦达定理得：，可得：，，，由等比数列的性质得：，即，故C错误；对D，由C可知：，且，，，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选AD.三、填空题13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．【答案】3或27【解析】设此三数为3，a，b，则解得或所以这个未知数为3或27.14．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.【答案】18【解析】由题意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．【答案】2048【解析】这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝aeq\o\al(2,10)＝＝211＝2048.16．等比数列{an}中，若a1＋a3＋…＋a99＝150，且公比q＝2，则数列{an}的前100项和为________．【答案】450【解析】由＝q，q＝2，得＝2⇒a2＋a4＋…＋a100＝300，则数列{an}的前100项的和S100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝150＋300＝450.四、解答题17．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.(1)Sn为数列{an}的前n项和，证明：Sn＝；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．【解析】(1)证明：因为an＝×n－1＝，Sn＝，所以Sn＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以{bn}的通项公式为bn＝－.18．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a>b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?【解析】设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.b1＝(a0＋4b0)，a1＝a