人教版高中数学选修二专题4.5 数学归纳法（A卷基础篇）【解析版】

专题4.5数学归纳法（A卷基础篇）（人教A版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·吉林吉林市·高二期末（理））用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.2．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，∴所取的第一个正整数为2，又，故第一步应验证．故选：B3．（2020·上海市新场中学高二月考）用数学归纳法证明等式时，当时，左边等于（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】用数学归纳法证明：，在验证时，令代入左边的代数式，得到左边.故选：C4．（2020·陕西宝鸡市·高二期末（理））用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，等式左端，当时，等式左端，增加了项．故选：C．5．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）用数学归纳法证明，成立.那么，“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“当时，命题成立”不能推出“对时，命题成立”，“对时，命题成立”可以推出“当时，命题成立”，所以“当时，命题成立”是“对时，命题成立”的必要不充分/故选：B6．（2020·吉林白城市·白城一中高二期末（理））用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，所假设的不等式为，当时，要证明的不等式为，故需添加的项为：，故选：B.7．（2020·全国高三专题练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时，不等式左边（）A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了A中的一项，但又减少了另一项D．增加了B中的两项，但又减少了另一项【答案】D【解析】当时，左边，当时，左边，所以，由递推到时，不等式左边增加了，；减少了；故选D8．（2020·梧州高级中学高二期中（理））已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）时等式成立（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立.、故选B.9．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明命题“当n为奇数时，能被整除”，在证明正确后，归纳假设应写成（）．A．假设时命题成立B．假设时命题成立C．假设时命题成立D．假设时命题成立【答案】D【解析】此题所成立的数是所有的正奇数，根据数学归纳法的证题步骤要求，第二步所取的值的范围应从开始取值所有奇数，即．故选：D．10．（2020·上海高二课时练习）在用数学归纳法求证：的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，左边，当时，左边，则.故选：D.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________.【答案】【解析】因为n≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+.故答案为：12．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.【答案】【解析】当时，表达式左侧为：，表达式右侧为：，则当时，表达式为.故答案为：.13．（2020·全国高二课时练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．【答案】【解析】由题知等式的左边有项，右边有项，且，因此第一步应验证时的等式，此时左边，右边，故答案为：．14．（2020·浙江高三其他模拟）用数学归纳法证明：，第一步应验证的等式是__________；从“”到“”左边需增加的等式是_________.【答案】【解析】当时，应当验证的第一个式子是，从“”到“”左边需增加的式子是15．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题成立”时，第二步论证应该是假设______命题成立，再证______时，命题也成立.【答案】【解析】依题意用数学归纳法证明：“对任意奇数n，命题成立”，由于为奇数，所以第二步论证应该是假设命题成立，再证时命题也成立.故答案为：；16．（2018·浙江宁波市·余姚中学高二期中）已知为正偶数，用数学归纳法证明“”时，第一步的验证为________________________；若已假设（且为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设证________时等式成立.【答案】当时，左边，右边，等式成立；【解析】对在为正偶数，用数学归纳法证明归纳基础，因为为正偶数，则基础，当时，左边，右边，等式成立；归纳假设，当（且为偶数）时，成立由于是所有正偶数，则归纳推广，应到下一个数为时，等式成立故答案为：(1).当时，左边，右边，等式成立；(2).17．（2020·江苏苏州市·高二期中）在数列中，a1=1，，则a3=______，an=_______.【答案】【解析】第一空：因为，，所以，；第二空：由第一空可知：，所以可得，因为，，，，所以猜想，数学归纳法证明如下：（1）当时，显然；（2）假设当时成立，即，当时，综合（1）（2），所以，故答案为：；三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·上海高二课时练习）在证明，由到的变化过程中，左边增加的部分是什么，右边增加的部分是什么？【答案】；【解析】时，左边为，时，变为，故由到的变化过程中，左边增加的都分是；时，右边为，时，变为，右边增加的部分是.故答案为：；.19．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：对任意正整数能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：（1）当时，，能被9整除，故当时，能被9整除．（2）假设当时，命题成立，即能被9整除，则当时，也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数能被9整除．20．（2020·旬邑县中学高二月考（理））已知数列满足，.（1）求、；（2）猜想数列通项公式，并用数学归纳法给出证明.【答案】（1），；（2）,证明见解析.【解析】（1），；（2）猜想数列通项公式，证明如下：当时，，，所以成立；假设时成立，即，当时，，∴时，成立，综上，由①②得：.21．（2016·广东揭阳市·高二月考）设数列的前项和为，并且满足．猜想的通项公式，并用数学归纳法加以证明．【答案】【解析】（1）解：分别令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，当时②①-②得，即当时∵，∴，（ii）假设当时，，那么当时，,∵，∴，∴，即当时也成立．∴，显然时，也成立，故对于一切，均有．22．（2016·广西桂林市·高二期中）在数列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）归纳出数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明