浙江省宁波市2023年中考三模数学试题

浙江省宁波市2023年中考三模数学试题

阅卷人

-------------------、单选题

得分

1.计算|—2|—3,结果正确的是（）

A.-5B.1C.5D.-1

2.下列计算正确的是（）

A.a2-a3=a6B.a2+a3=a6C.a8a4=a2D.（a3）2=a6

3.2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区

观看人数约316000000人.用科学记数法表示316000000是（）

A.3.16X107B.31.6X107C.3.16xl08D.0.316X109

4.如图，该几何体的主视图是（）

正面

5.小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取

1个，抽中数学题的概率是（）

A.：B.|C.4D.j

6.若分式备有意义，则x的取值应满足（）

A.x=-1B.x=3C.%W—1D.%W3

7.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=3,点P为△ABC外一点,连接AP、BP,点M、N分别为

AP、BP的中点，若MN=2,则BC的长为（）

A

1

C'B

A.2B.V5C.V7D.5

8.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有

三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人

共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘.问有多少人，多少辆车？设

共有x人，y辆车，可列方程组为（）

3(y—2)=x3(y+2)=x

.%=2y—9x=2y+9

3(y—2)=%3(y+2)=%

%=2y+9.%=2y—9

9.二次函数y=ax?+bx+c（a/））的图象如图所示，则下列结论不正确的是（

A.abc<0B.a+b>m(am+b)(m^l)

C.4a-2b+c<0D.3a+c=l

10.如图，正六边形4BCDEF,P点在EF上，记图中的面积为Si，S2,S3,S4,S5,S6,已知正六边形边

长，下列式子中不能确定的式子的是（）

A.S3+S6B.S4+S5C.S5+S6D.Si+S3+S5

阅卷人

二、填空题

得分

11.-64的立方根是»

12.分解因式：ab2—4a=-

13.某射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加射击比赛，在队内选拔赛中，每人射击10次，四人

成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示:

甲乙丙T

平均数8.58.28.58.2

方差1.72.321.8

根据表中数据选择其中一人参加比赛，最合适的人选是.

14.如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中此的圆心为点A,ABAC=60°.若AB=

1cm，则该三角形的周长是cm.

15.对于平面直角坐标系中的任意一点PQ,y）,我们把点Q（x+y,久-y）称为点P的“和差点如图，

RtAOAB的直角边。A在x轴上，点B（3,2）,若点P在反比例函数y=|（久＞0）的图象上，点Q为点P

的“和差点”，且点Q在Rt△O4B的直角边上，则4OBQ的面积为.

16.如图，在矩形ABCD中，BC=^AB.将矩形4BCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的E处，得到四边

形FEPG,连接ZE,PC,若tan乙CGP=掾,GF=4V10,贝1噌=，S^PEC=.

阅卷人三、解答题

得分

17.计算：

(1)%(1-%)+(%-2)(%+2)

(4%—7<1

(2)解不等式组〃

18.如图，在6x8的网格图中，A,B,C三点都在格点上，按照如下要求找格点,

(1)在图1中画出四边形ABCD为中心对称图形；

(2)在图2中画出四边形ABCE为轴对称图形.

19.如图，葡萄园大棚支架的顶部形如等腰△ABC.经测量，钢条ADLBC,BC=600cm,/B=38。.(精

确到1cm,参考数据：sin38°~0.616,cos38。乜).788,tan38°~0.781)

(1)求钢条AB的长.

(2)为了加固支架，现在顶部加两根钢条DE和DF,已知DELAB于点E,DFLAC于点F,求DE

的长.

20.垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源.某城市环保部门抽样调查了某居民小区一

段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如图两幅不完整的统计图.(注：A为厨余垃

圾，B为可回收垃圾，C为其它垃圾，D为有害垃圾)

垃圾分类情况各类垃圾分类情况各类

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）在这次抽样调查中，一共有▲吨的牛活垃圾:并补全条形统计图；

（2）扇形统计图中，B所对应的百分比是,D所对应的圆心角度数是；

（3）假设该城市每月产生的生活垃圾为400吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾有多

少吨？

21.如图，已知二次函数y=—久+c的图象经过点p（—3,6）.

（2）求该二次函数图象的顶点坐标.

（3）点Q（m,n）在该二次函数的图象上，若nN6,试根据图象直接写出m的取值范围.

22.“戴口罩、勤洗手、常通风”已成为当下人们的生活习惯，某校为做好校园防护工作.计划采购一批

洗手液，已知某超市推出以下两种优惠方案：

方案一：一律打八折.

方案二：购买量不超过200瓶时，按原价销售；超过200瓶时，超过的部分打六折.

设学校计划从该超市购买x瓶洗手液，方案一的费用为以元，方案二的费用为巧元.%、关于x的

函数图象如图所示.

(1)该洗手液的标价为元/瓶；

(2)若%2200,求丫2关于x的函数解析式；

(3)若该校计划购买420瓶洗手液.则选择哪种方案更省钱？请说明理由.

(1)【问题发现】如图1,P是半径为2的。。上一点，直线m是。O外一直线，圆心O到直线m的

距离为3,PQLm于点Q,则PQ的最大值为；

(2)【问题探究】如图2,将两个含有30。角的直角三角板的60。角的顶点重合(其中NA=zA=30。，

ZC=ZC'=90°),绕点B旋转△LAB,当旋转至CC=4时，求AA的长；

(3)【问题解决】如图3,点O为等腰Rt^ABC的斜边AB的中点，AC=BC=5奁，OE=2,连接

BE,作R3BEF,其中/BEF=90。，tanNEBF=^,连接AF,求四边形ACBF的面积的最大值.

24.如图，AZBC内接于圆O,AB=ZC,点D为劣弧上动点，延长AC,BC交于点E,作OF||AB交圆

。于点E连接CF.

(1)如图1,当点D为弧4c的中点时，求证：DF=BC；

(2)如图2,若CF=C4LABC=a,试用含有a的代数式表示zE；

(3)在(2)的条件下，若BC=CE.

①求证：AC+AD=DE；

②求tanE的值.

答案解析部分

L【答案】D

【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的减法法则

【解析】【解答】解：卜2卜3=2-3=-1.

故答案为：D.

【分析】根据绝对值的性质可得原式=2-3,然后利用有理数的减法法则进行计算.

2.【答案】D

【知识点】同底数塞的乘法；同底数塞的除法；同类项的概念；幕的乘方

【解析】【解答】解：A、a2.a3=a5,故A错误;

B、a?与a3不是同类项，不能合并，故B错误;

C、a8-a4=a4,故C错误;

D、(a3)2=a6,故D正确.

故答案为：D.

【分析】同底数基相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；根据同类项是字母相同且相同字母的指数

也相同的项可判断B；同底数嘉相除，底数不变，指数相减，据此判断C；幕的乘方，底数不变，指数

相乘，据此判断D.

3.【答案】C

【知识点】科学记数法表示大于10的数

【解析】【解答】解：316000000=3.16xl08.

故答案为：C.

【分析】科学记数法的表示形式为axl(P的形式，其中上间＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数

变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正

数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.

4.【答案】A

【知识点】简单几何体的三视图

【解析】【解答】解：几何体的主视图为:

故答案为：A.

【分析】主视图是从几何体正面观察所得到的平面图形，据此判断.

5.【答案】A

【知识点】可能性的大小；概率公式

【解析】【解答】抽中数学题的概率是：鼠中=品=A・

6+5+9zU4

故答案为：A.

【分析】根据题意得出一共由20道题，可知一共由20种可能数，但抽中数学题的可能数是5种，根据

概率公式计算即可。

6.【答案】C

【知识点】分式有意义的条件

【解析】【解答】解：:•分式事有意义，

Ax+1^0,

/.X^-l.

故答案为：C.

【分析】分式有意义的条件：分母不为0,则X+1用，求解即可.

7.【答案】C

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：：M、N分别为AP、BP的中点，

APB的中位线，

；.AB=2MN.

VMN=2,

；.AB=4,

AB2-AC2="_32=V7-

故答案为：C.

【分析】由题意可得：MN为△APB的中位线，贝(]AB=2MN,结合MN的值可得AB的值，然后利用勾

股定理进行计算.

8.【答案】C

【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题

【解析】【解答】解：由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得：3(y-2)=尤

由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：x=2y+9.

该二元一次方程组为:『匕".

故答案为：C.

【分析】由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得3(y-2)=久；由由每2人共乘一车，最终剩余9个人

无车可乘可得：x=2y+9,联立两方程即可.

9.【答案】D

【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：•••图象开口向下，对称轴为直线x=—3=1,与y轴的交点在正半轴，

2a

/.a<0,b=-2a>0,c>0,

Aabc<0,故A正确；

函数在x=l处取得最大值a+b+c,

「・当n#l时，有a+b+c>am2+bm+c,

a+b>m(am+b),故B正确；

由图象可得：当x=-2时，y<0,

A4a-2b+c<0,故C正确；

・・,对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点的横坐标大于-1,

・••与X轴的另一个交点的横坐标在2与3之间，

・•・当x=3时，y<0,

9a+3b+c<0.

Vb=-2a,

/.9a-6a+c<0,

A3a+c<0,故D错误.

故答案为：D.

【分析】由图象可得：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-?=l,与y轴的交点在正半轴，据此可得

2a

a、b、c的符号，进而判断A；函数在x=l处取得最大值a+b+c,据此判断B；由图象可得：当x=-2

时，y<0,据此判断C；根据对称性可得与x轴的另一个交点的横坐标在2与3之间，则当x=3时，

y<0,

即9a+3b+c<0,结合b=-2a可判断D.

10.【答案】C

【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质；正多边形的性质

【解析】【解答】解：连接BD、AD、FD、CE,AD与BF交于点M

设正六边形ABCDEF的边长为2a,

•・・ZFAB=ZAFE=(6-2)xl80°^6=120°,

.\ZAFB=ZABF=30°,ZBFE=90°,

AAM=|AB=a,易得四边形BCEF为矩形,

AD=4a,MD=3a,

BM=7/1B2-71M2-V3a,

.\BF=2BM=2V3a,

••SAABF=SABCD=SADEF=^-X2-\/3axa='\/3^a-.

设BP=x,贝I]FP=BF-BP=2ga-x,

/.Si=1FP-AM=1(2V3a-x)a=V3a2-^,

NN4

S2=1BP-AM=|ax,

2

S3=1BPBC=ax,S4=SABCD+SApBD-S3=V3a+^,

2

S6=1FP-EF=2V3a-ax,

S5—SADEF+SADMF-S6—2V3a2-^,

2222

.,.S3+S6=2V3a,S4+S5=3V3a,S5+S6=4V3a-^x,Si+S3+S5=3V3a.

故答案为：C.

【分析】连接BD、AD、FD、CE,AD与BF交于点M,设正六边形ABCDEF的边长为2a,根据你结

婚的公式以及正多边形的性质可得/FAB=/AFE=(6-2)xl8(r+6=120。，则NAFB=NABF=30。，

ZBFE=90°,由含30。角的直角三角形的性质可得AM=；AB=a,根据矩形的性质可得AD=4a,MD=3a,

由勾股定理可得BM,然后表示出BF,根据三角形的面积公式可得SAABF=SABCD=SADEF=V^I2,设

BP=x,则FP=BF-BP=2V3a-x,分别表示出Si、S2、S3、S4、S5、S6,据此判断.

11.【答案】-4

【知识点】立方根及开立方

【解析】【解答】V(-4)»=-64,

/--64的立方根是-4.

【分析】根据立方根的定义进行解答即可.

12.【答案】a(b+2)(b—2).

【知识点】因式分解-综合运用提公因式与公式法

【解析】【解答】ab2-4a=a(b2-4)=a(b+2)(b-2).

【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出

来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式.因此，先提取

公因式a后继续应用平方差公式分解即可：

13•【答案】甲

【知识点】方差

【解析】【解答】解：•.•甲、丙的平均数相同且最大，甲的方差〈丙的方差，

二应选择甲.

故答案为：甲.

【分析】平均数越大，方差越小，对应的成绩越好且稳定，据此解答.

14.【答案】7T

【知识点】弧长的计算

【解析】【解答】解：图中阮所在的圆的半径AB=lcm,相应的圆心角的度数为60。，

.•・品的长为黑翳=等(cm),

loll3

...该莱洛三角形的周长是JX3=7T(cm),

故答案为：71.

【分析】求出品的长，再乘以3即可.

15.【答案】|或2金

【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积

【解析】【解答】解：设P(a,0则Q(a+金寺.

♦.•点Q在RtAOAB的直角边上，且RtAOAB的直角边OA在x轴上，

；.a-Qo,解得aN鱼.

①当点Q在线段AB上时，有a+触，解得a=2,

此时Q（3,1）,

；.BQ=2-1=1,

；.△OBQ的面积=}<3xl=|.

②当点Q在线段0A上时，有a[=0,解得a=a

此时Q（2V2,0）,

AOQ=2V2,

；.△OBQ的面积=}<2V^x2=2V^.

故答案为：W或2企.

【分析】设P（a,力，则Q（a+羡，a1）,由题意可得a-Qo,求出a的范围，①当点Q在线段AB上

时，有a+宗3,求出a的值，得到点Q的坐标，然后求出BQ的值，再利用三角形的面积公式进行计

算；②当点Q在线段OA上时，有a-90,同理可得△OBQ的面积.

16.【答案】另

【知识点】三角形的面积；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定

义

【解析】【解答】解：过G作GMJ_AB于点M,过P作PNJ_BC于点N

矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的E处,

；.AE_LGF,

ZAOF=ZGMF=ZABE=90°,

・・・ZBAE+ZAFO=ZAFO+ZFGM=90°,

・・・NBAE=NFGM,

・・・△ABE^AGMF,

.GF_GM

^AE=~AB'

NAMG=ND=NDAM=90。，

J四边形AMGD为矩形，

・・・GM=AD=BC,

.GF_BC_2

^AE=AB=3f

.AE_3

,,而=7

♦・,折叠矩形ABCD,

・・・ZGPE=ZADG=ZFAD二ZFEP=NBCD=NB=90。，

.,.ZCGP=90o-ZGHP=90°-ZEHC=ZHEC=90o-ZFEB=ZBFE,

VtanZCGP=1,

4

tanZBFE=tanNCGP='=器.

设BE=3x,贝!jBF=4x,EF=AF=5x,

AB=AF+FB=9x,

AE=7/1B2+BF2=3V10X.

VGF=4V10,

.4国_2

"3V10x一父

.\x=2,

2

・・・BE=6,EF=10,AB=18,BC=AB=12=AD=EP,

・・・EC=BC-BE=6,

sinZPEN=sinZBFE=|p=|,

.PN_3

••丽'=5'

；.PN=等，

SAPEC=|EC-PN=1X6X^=11§.

故答案为：I，108

【分析】过G作GMLAB于点M,过P作PNJ_BC于点N,由折叠的性质可得AE_LGF,根据同角的

余角相等可得NBAE=NFGM,利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABEs/iGMF,根据矩形的

性质以及相似三角形的性质可得强的值，由折叠可得/GPE=/ADG=NFAD=NFEP=/BCD=/B=90。，

FG

则

ZCGP=ZHEC=ZBFE,结合三角函数的概念设BE=3x,则BF=4x,EF=AF=5x,AB=AF+FB=9x,由勾

股定理可得AE=3V1UX,结合GF的值可得x的值，进而可得BE、EF、AB、BC、EC的值，利用三角函

数的概念可得PN,然后根据三角形的面积公式进行计算.

17.【答案】⑴解:x(l-%)+(%-2)(%+2)

=x—x2+x2—4

=x—4；

(2)解：解4久一7<1,

得：x<2,

得：%>-3,

故不等式组的解集为：-33%<2

【知识点】整式的混合运算；解一元一次不等式组

【解析】【分析】(1)根据单项式与多项式的乘法法则、平方差公式以及合并同类项法则进行化简;

(2)分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.

18.【答案】(1)解：如图，四边形ABCD即为所求作的四边形，

(2)解：如图，四边形ABCE是所求作的四边形.

【知识点】平行四边形的性质；轴对称的性质；作图-轴对称

【解析】【分析】(1)根据平行四边形的对边平行且相等并结合网格图的特征可求解；

(2)根据轴对称的性质和网格图的特征可求解.

19.【答案】(1)解：...在等腰△ABC中，AD1BC.

ABC=2BD=600,

ABD=300.

：NABC=38。，

BD300、

•*B=颊=由〜381(cm>

答：钢条AB的长为381cm；

(2)解：：DE，AB于点E.BD=300.

：.DE=BDsmB=300x0,616,185(cm).

答：钢条DE的长为185cm.

【知识点】解直角三角形的其他实际应用

【解析】【分析】(1)在RtAZBD中，利用乙8的余弦值cosNB=^，代入相关数据计算即可;

(2)在RtABDE中,利用乙8的正弦值sinNB=^，代入相关数据计算即可.

20.【答案】(1)解：12；

补全统计图如下：

垃圾分类情况各类

(3)解：400=48吨,

答：每月产生的有害垃圾有48吨.

【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图

【解析】【解答］解：(1)24+48%=50；B类别的数量为50-24—8—6=12吨;

(2)12+50xl00%=24%,6^50x360°=43.2°.

故答案为:24%,43.2°.

【分析】(1)利用A的数量除以所占的比例可得总吨数，然后求出B类的吨数，据此可补全条形统计

图；

(2)利用B的吨数除以总吨数，然后乘以100%可得所占的比例，利用D的吨数除以总人数，然后乘以

360。可得所占扇形圆心角的度数；

(3)利用D的吨数除以总吨数，然后乘以400即可.

21.【答案】(1)解：二次函数y=*/—%+c的图象经过点p(_3,6),

1°

•，.6=2X(—3)—(-3)+c,

解得：c=―^

123

・•・y=2x~x

(2)解：由(1)可知，

函数y=^x2-x-|对称轴即顶点横坐标为：％=一信=1，

当久=1时y=^xl2—1—1=—2»

故顶点坐标为：(1,-2)

(3)解：m<-3或m>5时

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式(组)的综合应用；二次函数y=ax八2+bx+c的图

象

【解析】【解答］解：(3)令y=6,可得g2_x-|=6,

解得x=-3或5,

当n>6时，m<-3或m>5.

【分析】(1)将P(-3,6)代入进行计算可得c的值，据此可得二次函数的表达式；

(2)根据函数解析式可得对称轴为直线x=l,将x=2代入求出y的值，据此可得顶点坐标；

(3)令y=6,求出x的值，结合图象可得m的范围.

22.【答案】(1)15

(2)解：由(1)及题意得：当=15X0,8久=12%,

当％>200时，J/2=15x200+15X0.6(%—200)=9%+1200

(3)解：由题意可把％=420分别代入(2)中函数解析式得：

^=12x420=5040,

y2=9x420+1200=4980,

V4980<5040,

...选择方案二更省钱.

【知识点】一次函数的实际应用

【解析】【解答】解：(1)由图象可得：200瓶洗手液打八折后的价格为2400元，；.洗手液的标价为

2400+200+80%=15元/瓶.故答案为：15.

【分析】(1)由图象可得：200瓶洗手液打八折后的价格为2400元，据此不难求出洗手液的标价；

(2)超过200瓶的部分的单价为15x0.6,然后根据标价X200+超过200瓶的部分，即(x-200)瓶的价格可

得y2与x的关系式；

(3)根据标价可得yi=15x0.8x=12x,分别将420代入yi、y2中求出yi、y2的值，然后进行比较即可.

23.【答案】(1)5

(2)解：如图2,由已知可得：

BC=BC',BA=BA\ZCBA=ZC,BA,=60°.

CBBA

—=-------7.

CBBA

TNCBA=NC'BA'=60。，

・・・NCBA+NABC=NCBA%NABC.

即NCBC=NABA=

・・・△CBC-△ABA\

・CC_CB

丁西.

..CB._1

•BA=sinz.L2iD=2，

.CC_1

•,----7=T-

AAz

.•.AA，=2CC'=2x4=8.

(3)解：•.•四边形ACBF的面积=SAABC+SAFAB,

△ABC的面积为定值，

；.△ABF面积最大时，四边形ACBF的面积最大.

：AB=5应且位置不变，

.•.点F距离AB最大时，△ABF面积最大.

VOE=2,

...点E在以。为圆心，半径为2的圆上，如下图所示：

VZBEF=90°,

.•.当O,E,F三点在一条直线上，即BE与该圆相切时，AABF面积最大.

过F作FDJ_OB于D,

VAC=BC=5V2,

AAB=V2AC=10.

为AB的中点，

；.B0=5.

VBEXOF,

-'-BE=-JOB2-OE2=V21.

VtanZEBF=^,

4

.EF_3

••踮=1

AEF=1V2T.

.,.OF=OE+EF=2+1TH.

在RSBEO中，sin/EOB=gf=争.

在R3ODF中，sinzFOB=^=^.

,,DF—OF•5•(2+v21)=­g----F

/.△ABF面积最大值为：XABXDF=2V21+竽.

，四边形ACBF的面积的最大值=5&ABC+SAFAB

=卜皿8。+2怎+苧=2同+163

/44

【知识点】三角形的面积；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义

【解析】【解答］解：（1）当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心。时，PQ

最大，最大值为2+3=5.

故答案为：5.

【分析】(1)当点P距离直线m最远时，即过点P且垂直于m的直线经过圆心O时，PQ最大，据此求

解；

DA

(2)由已知条件可得—=-ZCBA=ZC,BA,=60°,根据角的和差关系可得NCBC=NABA，，利用

CBBA

对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△CBC-AABA\结合三角函数的概念就可求出AA，的

长；

(3)根据面积间的和差关系可得：四边形ACBF的面积=SAABC+SAFAB,则当点F距离AB最大时，

△ABF面积最大，四边形ACBF的面积最大，过F作FDLOB于D,易得AB、BE的值，根据三角函数

的概念可得EF,由OF=OE+EF可得OF,利用三角函数的概念可得DF,据此求解.

24.【答案】(1)证明：如图，连接BD,

•••DF||AB,

•••Z.ABD=乙BDF,

・•・AD=附

点D为片C的中点，

・,・他=⑦，

・•・/=⑶，

•・•CF=CF,

仃+CD=CF+附

即加=阮，

・・.DF=BC

(2)解：・・•CF=CA,AB=AC,

・•.CF=AB,

・・・CF=

・•・仃+肝=脑+附

・•・阮=AF,

••・Z-BAC=Z-ADF,

•・•Z.ABC-a,AB—AC,

・•.Z.ACB=a,

・•・4BAC=180°-(Z/ICB+z^BC)=180°-2a,

・・.匕BAC=^ADF=180°-2a,

・・・DF||AB,

・・・^BAD=180°-^ADF=180°-(180°-2a)=2a,

•••乙CAE=^BAD-Z-BAC=2a-(180°-2a)=4a-180°,

•・•Z-CAE+Z-E=Z.ACB,

・•・ZE=^ACB一乙CAE=a-(4a-180°)=180°-3a

(3)解：①如图，在E4的延长线上截取AM=4C,连接CD,

则力M=AB,

・•・Z-AMB=乙ABM,

Z-BAM—乙ABE+乙E=a+180°—3a=180°—2a,

1

・・・Z.AMB=Z.ABM=4(180。-Z.BAM}=a,

是圆的内接四边形，

••・Z-ABC+/LADC=180°,

・・・乙CDE+^ADC=180°,

•••Z-CDM—乙ABC-a,

・•・Z-AMB=Z-CDE,

・・・CD||BM,

.DE_CE

MD=~BC9

•••BC=CE,

・•.DE=MD,

.・.DE=MD=AD+AM=AD+AC,

即：AC+AD=DE；

②过4作AH1BC于H,

■■■ABCD是圆的内接四边形，

AADC=180°-/.ABC=180°-a,

■■■^ACE=180°-LACB=180°-a,

・•・Z-ADC=Z.ACE,

Z-DAC=乙CAE,

・•・△DAC—△CAE,

AD_AC

'AC=AE9

个AD_AC_1

^AC-AE-kf

设4。=x,贝！=AB-kx,

由①可知ZM=AC=kx,

・•.ED=MD—AM+AD=x+kx,

・•.AE=AD+ED=2%+kx,

._x__kx

"kx~2x+kx'

即(/c%)2=x(2x+k%)，

解得：k=2或k=-1(不合题意，舍去),

•・•Z.CDE—Z.ABE-a,乙CED—乙AEB,

CDE—△ABE,

DE_CE

BE=AE9

即x+k久=1BE,

BE—2x+kx

•：k=2,

则网=四，

BE4x

^BE2=12x2,

解得：BE=2V6x,

贝IJBC=2BE=V6x,

vAB=AC,

BH=3BC=警,

EH=BE-BH=

在Rt△力中,

vAH2=AB2-BH2,

•••AH=y/AB2-BH2

2

?3x

4xT

=-V--lO--x-9

2

在Rt△AEH中:

710%一

AH生;

tan£,二

丽—3瓜一方

2

【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角

函数的定义

【解析】【分析】(1)连接BD,由平行线的性质可得NABD=NBDF,则疝)=诵，根据中点的概念可得

AD=CD＜贝1JBF=C。，进而推出DF=8C，据此可得结论；

(2)易得CF=AB,由圆周角定理可得/BAC=NADF,根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得

ZBAC=180°-2a,由平行线的性质可得/BAD=18(r-NADF=2a,则/CAE=/BAD-/BAC=4a-180。，由

外角的性质可得NCAE+NE=NACB,据此解答；

(3)①在EA的延长线上截取AM=AC,连接CD,则NAMB=NABM,由外角的性质可得

ZBAM=ZABE+ZE=180°-a,结合等腰三角形的性质以及内角和定理可得/AMB=NABM=a,根据圆内

接四边形的性质以及邻补角的性质可得NCDM=NABC=a,进而推出CD〃:BM,由平行线分线段成比例

的性质可得DE=MD,据此证明；

②过A作AHLBC于H,由圆内接四边形的性质可得NADC=180O-a,由邻补角的性质可得

ZACE=180°-a,则/ADC=NACE,利用两角对应相等的两个三角形相似可得△DACsaCAE,根据相

似三角形的性质可设AD=x,则AC=kx,由①可知AM=AC=kx,然后表示出ED、AE,进而可求出k的

值，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CDEs^ABE,由相似三角形的性质可得BE,然后表示

出BC、BH、EH,利用勾股定理可得AH,再根据三角函数的概念进行计算.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：43分

客观题（占比）21.0(48.8%)

分值分布

主观题（占比）22.0(51.2%)

客观题（占比）11(45.8%)

题量分布

主观题（占比）13(54.2%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题6(25.0%)7.0(16.3%)

解答题8(33.3%)16.0(37.2%)

单选题10(41.7%)20.0(46.5%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(70.8%)

2容易(16.7%)

3困难(12.5%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1分式有意义的条件2.0(47%)6

2立方根及开立方1.0(2.3%)11

二次函数与不等式（组）的综合应

32.0(47%)21

用

4科学记数法表示大于10的数2.0(47%)3

5同类项的概念2.0(4.7%)2

6二次函数图象上点的坐标特征2.0(47%)9

7弧长的计算1.0(2.3%)14

8轴对称的性质2.0(47%)18

9三角形的中位线定理2.0(4.7%)7

10解一元一次不等式组2.0(47%)17

11有理数的减法法则2.0(4.7%)1

12,二次函数图象与系数的关系2.0(4.7%)9

13用样本估计总体2.0(47%)20

14圆内接四边形的性质2.0(47%)24

15矩形的性质