全等与相似模型-一线三等角（K字）模型（解析版）-2024年中考数学常见几何模型

全等与超假模型—一线三等角（K字）模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综

合题的形式呈现，其变化很多,难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法,熟练掌握基本解题

模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K型图）模型

【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°,证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】

同侧型一线三等角：

异侧型一线三等角:

锐角一线三等角钝角一线三等角

条件：ZFAC=/ABD=AGED+任意一边相等

证明思路：ZA=ZB,ZC=ABED+任一边相等nABED=4ACE

血（2021.山东日照.中考真题）如图,在矩形48cp中，4B=8cm,A。=12cm,点P从点B出发，以2cm/s

的速度沿5。边向点。运动，到达点。停止，同时，点Q从点。出发，以vcm/s的速度沿CD边向点。运

动，到达点。停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当级为时，

△4BP与△PCQ全等.

【分析】可分两种情况:①^ABP=^PCQ得到BP=CQ,AB=PC,②^ABP=\QCP^到BA=CQ,

P8=P。，然后分别计算出力的值，进而得到o的值.

【详解】解：①当BP=CQ,AB=P。时，AABP会APCQ,

AB=8cm,/.PC=8cm,BP=12—8=4（cm）,/.2t=4,解得:t=2,

CQ—BP—4cm,，ux2=4,解得:o=2;

②当a4=CQ,PB=P。时，AABP与AQC?,・・・PB=PC,・,•6P=PC=6cm,・・.21=6,解得：3=3,

*.*CQ=AB=8cm,x3=8,解得：0,

o

综上所述，当”=2或1■时，"BP与APQC全等，故答案为：2或普.

OO

【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

刷2（2022.黑龙江.九年级期末）（1）如图（1），已知:在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,

直线直线m,垂足分别为点。、区证明：DE=BD+CE.

（2）如图（2）,将（1）中的条件改为:在△ABC中，AB=力。，。、A、E三点都在直线m上,并且有NBDA

=/AEC=/BAC=a，其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给

出证明；若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3）,。、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点

（。、A、E三点互不重合），点F为/BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接

BD、CE,若ABDA=ZAEC=ABAC,试判断4DEF的形状.

【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）ADEF为等边三角形，证明见解析

【分析】（1）因为DE=ZX4+故由全等三角形的判定AAS证AADB星ACEA,得出DA=EC,AE

=BD,从而证得DE=BD+CE;（2）成立，仍然通过证明△ADB星△CE4,得出BD=AB,AD=CE,所

以DE=DA+AE=EC+BD;

（3）由△ADB空△CEL4得=/LDBA=/CAE,由aABF和△ACF均等边三角形，得乙4BF=

ACAF=60°,FB=FA,所以ADBA+NABF=NCAE+2CAF,即ADBF=ZFAE，所以^DBF空

AEAF，所以FD=FE,ABFD=/AFE,再根据ADFE=ZDFA+NAFE=NDFA+ABFD=60°得到

△DEF是等边三角形.

【详解】解：（1）证明：直线m,CE_L直线m,/.ABDA=ACEA=90°.

•/ZBAC=90°,/./BAD+/CAE=90°.•/zLBAD+AABD=9Q°,：.2cAE=NABD.

又AB=AC,...△ADB空△C£L4（＞L4S）.：.AE=BD,AD=CE.：.DE=AE+AD=BD+CE-,

（2）成立.证明如下：•.•/BD4=/BAC=a,

/DBA+ABAD=ABAD+ACAE=180°—a././DBA=ZCAE.

•/ABDA=ZAEC=a,AB=AC,：./\ADBn^CEA（AAS）.

：.AE=BD,AD=CE.：.DE=AE+AD=BD+CE-,

（3）ADEF为等边三角形.理由如下：由（2）知，AADB第△CE/,BD=AB,/DBA=4CAE,

■：A4BF和△力CF均为等边三角形，NABF=ACAF=60°.

/DBA+NABF=ACAE+ACAF.：.NDBF=NFAE.

BF=AF,；.ADBF星AEAF(SAS).：.DF=EF,ABFD=AAFE.

ZDFE=ADFA+NAFE=ADFA+ZBFD=60°.ADEF为等边三角形.

【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三

角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定.

吼3（2022.广东.汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1,等腰直角三角形48。中，乙4cB=90°,CB=

G4,直线ED经过点。，过A作AD_LED于。，过3作BE_L即于E.求证："EC笃△CD4；

（2）模型应用:①已知直线AB与？/轴交于A点，与立轴交于B点，sinZABO=,OB=4,将线段AB绕

点B逆时针旋转90度,得到线段BC,过点A,。作直线,求直线AC的解析式；

②如图3,矩形ABC。，。为坐标原点，B的坐标为（8,6）,A,。分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，

已知点。在第一象限，且是直线^=20；-5上的一点，若△力PD是以。为直角顶点的等腰直角三角形，请

求出所有符合条件的点。的坐标.

【详解】(1)解：由题意可得，ZACB=/ADC=ZBEC=90°,

：.ZEBC+ZBCE=4BCE+AACD=90°，,NEBC=AACD,

(AEBC=ZACD

在△BEC和△CDA中,/.ACDA(AAS),

[BC=AC

(2)解:①如图，过点。作CD±x轴于点。，在TttZYABO中sin乙4BO=g,OB=4,

5

设AO=3m,AB=5m，:.OB=4m=4,m=1,/.AO=3,

同(1)可证得ACDB空△/CL4,・・.CD=BO=4,60=40=3,.・.00=4+3=7,.・・。(一7,4),

•••A(O,3),设直线AC解析式为y=fcr+3，把。点坐标代入可得-7k+3=4,解得七=一],

直线AC解析式为沙=一/劣+3;

②设。坐标为Q,2x-5),•M

当。在AB的下方时，过。作。石_L9轴于E,交于F,

同（1）可证得△ADE法4DPF,OF=AE1=6—（2二-5）=11—2必，DE=，，，11-2c+工=8,二c=

3,"（3,1）,

当。在的上方时，如图，过。作。E_L9轴于E,交8。的延长线于巴

同（1）^ii.^/\ADE^/\DPF,：.DF^AE^（2x-5）-6^2x-ll,DE^x,：.2rr—11+,=8,

.・.，=?,AD（f,f）,综上述D（3,1）或

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法一次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等

腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键.

刷4（2023・湖南岳阳•统考一模）如图，在ABC中，4B=AC=2,/B=40°,点。在线段8。上运动（点D不

与点B、。重合），连接AD,作2ADE=40°,DE交线段AC于点E.

（1）当ABDA=115°时，NEDC=°,NAED=°；

（2）线段OC的长度为何值时,AABD空ADCE，请说明理由；

（3）在点。的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求/BDA的度数;若不可以，请

说明理由.

【答案】⑴25。,65°;（2）2,理由见详解；（3）可以，110°或80°.

【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当。。=2时，利用NDEC+NEDC=140°,

乙4。8+/即。=140°,求出乙再利用AB=ZX7=2,即可得出4ABD咨/\DCE.

⑶当NBDA的度数为110°或80°时，ZYADE的形状是等腰三角形.

【详解】解：（I）；/B=40°,ZADB=115°,/.ABAD=180°-ZB-AADB=180°-115°-40°=25°,

•：ABAC,：./C=/B=40°,^EDC=180°-^ADB-AADE=25°,

4DEC=180°-AEDC-/C=115°,/.AAED=180°—4DEC=180°-115°=65°;

(2)当。。=2时，△AB。笃ADCE,理由：•.•/C=40°,/.ADEC+AEDC^140°,

又：=40°,ZADB+4EDC=140°,/.NADB=4DEC,

(AADB=ADEC

又AB=DC=2,在△ABD和ADCE中，^ABD/XDCE^AAS);

[AB^DC

(3)当ABDA的度数为110°或80°时，ZXADE的形状是等腰三角形，•M

ABDA=110°时，二70°,/C=40°,/.乙DAC=70°,/./XADE的形状是等腰三角形；

•/当ABDA的度数为80°时，J.2ADC=100°,

•••/C=40°,AADAC=40°,/.△ADE的形状是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等

知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题.

题5（2022•浙江杭州•一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：

“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF，AE于F,请问图中是否存在一组全等三角形?”

小杰同学经过思考发现：/\ADF^AEAB.

理由如下：因为ABCD是正方形（已知）所以=90°且AD=和AD//BC

又因为（已知）即/DPA=90°（垂直的意义）

所以ADFA=（等量代换）

5LAD//BC所以/1=/2（两直线平行，内错角相等）

（ADFA=ZB

在△ADF和△EAB中（/1=/2所以△ADF空AEABG4AS）

[AD=AB

小胖却说这题是错误的,这两个三角形根本不全等.

你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△AD尸全等的三角形，请能说出此

线段的做法吗？并说明理由.

【答案】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了；线段为作

B8_LAE于点玄,证明见详解；

【分析】根据小杰的证明方法，可以发现，在证明两个三角形全等时，出现了问题，然后说出出错的原因即

可，然后添加合适的辅助线段，说明与△ADF全等的三角形成立的理由即可解答本题；

【详解】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，作

于X,则ZXADF笃^BAH;

•.•四边形ABCD是正方形，.•.AD=BA,乙DAB=90°,二+/FAD=90°,

■：DF±AE,BH±AE,：./DE4=/AHB=90°,

AAHAB+AHBA=90°，,AFAD=ZHBA,

（ADFA=2AHB

在△ADF和"AH中//FAD=AHBA：./\ADF笃/\BAH（AAS）;

[AD^BA

DC

【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答;

网］6（2022・山东•九年级课时练习）（1）课本习题回放："如图①,ZACB=90°,AC^BC,AD±CE,BE1.

CE,垂足分别为O,E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求BE的长”，请直接写出此题答案：BE的长为

⑵探索证明：如图②，点B,。在的边AM、4V上，=点在内部的射线AD

上,且ABED=NCFD=ABAC.求证：^ABE空bCAF.

（3）拓展应用：如图③，在AABC中，AB=AC,AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段

AD上，ABED=ACFD=ABAC.若AABC的面积为15，则AACF与ABDE的面积之和为.

（直接填写结果，不需要写解答过程）

【答案】⑴0.8cm;⑵见解析(3)5

【分析】(1)利用力4s定理证明△CEB笃△AD。,根据全等三角形的性质解答即可；

(2)由条件可得ZBEA=NAFC,Z4=乙4BE,根据AAS可证明4ABEW4CAF;

(3)先证明△4BEn△G4F,得到AAC歹与ABDE的面积之和为△48。的面积，再根据CD=2BD故可

求解.

【详解】解：(1)；BE_LCE,AD_LCE,/.AE=AADC=9Q°,：./EBC+NBCE=90°.

(AE=AADC

NBCE+/4CD=90°,J.NEBC=ADCA.在△CEB和△ADC中，(NEBC=ADCA

[BC=AC

：./\CEBn△ADC(AAS),：.BE=DC,CE=AD=2.5cm.

DC—CE—DE,DE=1.7cm,DC—2.5—1.7=0.8cm,/.BE=0.8cm故答案为：0.8cm;

(2)证明：・・・Z1=Z2,/./.BEA=/AFC.

・・・/l=/ABE+/3,Z3+Z4=ZBAC,Al=ABAC,

：.ZBAC=AABE+Z3,/.Z4=/ABE.

・・•ZAEB=/AFC,/ABE=Z4：AB=AC：./XABE空/XCAF(AAS).

ff•••

A

（3）VABED=ACFD=ABAC：.NABE+ZBAE=AFAC+2BAE=AFAC+AACF

AABE=ZCAF,/BAE=ZACF又AB=ACAABE岂ACAF,：.S^ABE=S^CAF

：.XACF与ABDE的面积之和等于XABE与ABDE的面积之和，即为&ABD的面积，

•/CD=2BD,△ABO与△ACD的高相同则S^D=卷S△曲=5

故AACF与ABDE的面积之和为5故答案为：5.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质

定理是解题的关键.

回工（2023•贵州遵义•八年级统考期末）过正方形ABCD（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直

线MN.

（1）当上W不与正方形任何一边相交时，过点B作BE_LMN于点E,过点。作DF_LMN于点F如图⑴，

请写出EF,BE,DF之间的数量关系，并证明你的结论.

（2）若改变直线上W的位置，使上W与CD边相交如图⑵，其它条件不变，EF,BE,DF的关系会发生变

化，请直接写出EF,BE,。尸的数量关系，不必证明；

（3）若继续改变直线MN的位置，使与边相交如图（3）,其它条件不变，EF,BE,OF的关系又会

发生变化,请直接写出EF,BE,DF的数量关系,不必证明.

图（1）图（2）图。）

【答案】（1）EF=BE+DF,证明见解析；（2）£尸=跳；一。尸；⑶EF=DF—BE

【分析】（1）根据同角的余角相等可证NBAE=/ADF,再证AABEwADAF,根据全等三角形的对应边

相等进行代换即可；（2）根据同角的余角相等可证/ADF,再证AABEwADAF,根据全等三角

形的对应边相等进行代换即可；⑶根据同角的余角相等可证NBAE=ZADF,再证&ABE会ADAF,根

据全等三角形的对应边相等进行代换即可.

【详解】（1）EF=BE+DF,证明：•M

•/四边形ABCD是正方形AB=DA,/LEAD=90°：.ABAE+ZDAF=90°

入；BE工MN,DF工MN："BEA=ZDFA=90°ADAF+AADF=90°ABAE=AADF

(ABEA=ZDFA

在^ABE和XDAF中(ABAE=NADF'ABE^DAF{AAS')

[AB=DA

：.AF=BE,AE=DF：.EF=AF+AE=BE+DF

(2)EF=BE—DF,理由是：•.•四边形ABCD是正方形：.AB=DA,ZBAD=90°/.ZBAE+ADAF=

90°

火•；BE_LMN,DF_LMN："BEA=NDFA=9Q°ADAF+AADF=90°：.ABAE=ZADF

(ABEA=ADFA

在^ABE和^DAF中{ABAE=ZADF^ABE=^DAF<<AAS)：.AF=BE,AE=DF：.EF=AF-

[AB^DA

AE=BE—DF

包^^二^^一跳^理由是：:四边形在^⑺是正方形：.AB^DA,ABAD^90°：.ABAE+ADAF^

90°

叉；BE_LMN,DF1_MN：.NBEA=ZDFA=90°ZDAF+AADF=90°/BAE=ZADF

(ZBEA=ADFA

在AABE和ADAF中(ABAE=4ADFAABE会AJDAF(AAS)AAF=BE,AE=DFEF=AE—

[AB=DA

AF=DF—BE

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明

乙BAE=/4DF是关键.

模型2.一线三等角模型（相似模型）

【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对

角相等”，再利用平角为180°,三角形的内角和为180°,就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到

两个三角形相似.

1）一线三等角模型（同侧型）

（锐角型）（直角型）（钝角型）

如图，/1=/2=/3,结论：△力CE〜ABED.

2）一线三等角模型（异例型）

霜:如图，/］=/2=/3,结论：△ADE〜△BEC.

3）一线三等角模型（变异型）

①N除中点型:条件:如图1，若。为48的中点,结论:△ACE〜ABED〜岫CD.

②一线三直角变异型1：条件:如图2,NABD=AAFE=ABDE=90°.结论：4ABC〜/\BDE〜ABFC〜

/\AFB.

③一线三直角变异型2:条件:如图3,NABD=/ACE=4BDE=90°.结婚：&ABM〜A2VDE〜4NCM.

血］1（2023•山东东营・统考中考真题）如图，ZVIBC为等边三角形，点D,E分别在边BC,AB上，/ADE=

60°,若8。=4_0。，。£=2.4,则40的长为（）

HADC

A.1.8B.2.4C.3D.3.2

【答案】。

［分析］证明△4D。〜ADE8,根据题意得出=-上8。,进而即可求解.

【详解】解：△ABC为等边三角形，.•.乙8=/。=60°,

•/NADB=NADE+ABDE=AC+ADAC,/ADE=60°,

A4BDE=ADAC,：./XADC〜ADEB/.架=4s

Dh/JDL)

.._._4.AD_AC_BC_5

-BRDn—4DnCr…BRnD[BCr…例—可—小一工

5

•.•OE=2.4；.AD=/xDE=3,故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质,，熟练掌握相似三角形的性质与判定是

解题的关键.•M

回2（2023•黑龙江牡丹江•统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操

作:第一步：将矩形纸片的一端,利用图①的方法折出一个正方形ABEF,然后把纸片展平：

第二步:将图①中的矩形纸片折叠，使点。恰好落在点F处,得到折痕如图②.

根据以上的操作，若AB=8,4。=12,则线段的长是（）

【答案】。

【分析】根据折叠的性质得：AB=AF=BE=8,FD=夙7=4,FN=CN,设DN=x，则CN=FN=8-

力，利用勾股定理求出DN,FN,再证明AMFII〜AFND,得MF=MC,求解即可.

【详解】解:如图，过点M作AD,交AD于点

•/ZDFN+ZDNF=90°ZMFH+ZDFN=90°ZMFH=ZDNF

//D=/AfflD=90°

,:ND=NMHD=90°在/\MFH和/\FND中，(NMFH=NDNF:AMFH〜4FND

\^FMH=ADFN

.MF_MH_FH.._,.MF_FH_8_

••而「转一访“nFp-4JW-8..万厂方厂「2

设ON=c,则CN=FN=8-x,

：.FN2=DN2+DF2,^-.(8—为2="+42,解得：r=3,

:.DN=3,CN=FN=5,==：.MF^10,：.MC^MF^1Q,

•••AD=BC=12.1■=3。一优=12-10=2,故选：C.

【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能

熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键.

吼3（2022.河南新乡.九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时,发现了下面这种典型的基本图形.

（1）如图1,在△ABC中，/氏4。=90°,碧=心,直线，经过点4,30,直线1,CE上直线Z,垂足分别为

D、E.求证：挈=%.

AE

（2）组员小刘想,如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2,将（1）中的条件做以下修改：

在△ABC中，需=卜，D、A、E三点都在直线I上,并且有ABDA=/AEC==&,其中a为任意

AC/

锐角或钝角.请问⑴中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明;若不成立,请说明理由.

⑶数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如图3,在AABC中,沿

△48。的边AB.AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，第=至=白，4H■是边上的高,延长HA

交EG于点I.①求证：/是EG的中点.②直接写出线段与A1之间的数量关系:.

【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②AI

【分析】（1）由条件可证明△ABD〜△CAB,可得嚅=需=k;

AH/

⑵由条件可知ABAD+ZCAE=180°-a,且/DBA+/BAD=180°一々，可得/DBA=NCAE，结合条

件可证明AABD〜△0!£,同⑴可得出结论;（3）①过点G作GM〃AE交⑷■的延长线于点河，连接

EM,证明△48。〜△GAM,再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解;②由①得到再

根据四边形AGAiE是平行四边形得到BC=AT,故可求解.

【详解】（1）如图1,直线/,CE_L直线Z,ABDA=ACEA=90°,

■：ABAC=90°,/.ABAD+NCAE=90°：ABAD+/ABD=90°，二ACAE=/ABD□

•//ABD=Z.CAE,ABDA=ACEA,：./\ADB〜ACEA,/.里=倏=k；

AEAC

（2）成立，证明如下：如图2,

•・・ABDA=ABAC=0,.•./DBA+ABAD=ABAD+ZCAE=180°一。，:./DBA=/CAE,

NABD=4CAE,ABDA=ACEA：./XADB〜ACEA,/.用=笑=M

AEAC

⑶①过点G作GM〃AE交4Z的延长线于点M,连接EM

•.•四边形AGFC是矩形，/.AGAC=90°

又AH_LBC：.NAHC=90°Z5+/CAH=Z4+ZCAH=90°Z5=Z4

•/NBDE=NAHB=90°Z2+NBAH=Z1+ZBAH=90°/.Z2=Z1

又GM//AE：.Z3=Z2AZ3=Z1AAABC〜4GMA

.AC_BC_ABAB_AC_1.AC_BC_AB_AB_1.„

====GM=A4E

・•雷厂西又.廿运=2-~GAAMGMAE^-

又1/GM//AE四边形AGAiE是平行四边形/.EI=IG故/为EG的中点；

②由①知BCACAB_AB^：.BC=^AM

AMAGGM-AE

四边形AGME是平行四边形/.AI=IM：.A/=^-AM：.BC=AI

线段BC与4Z'之间的数量关系为BC=4/故答案为：BC=AT.

【点睛】此题考查相似三角形的判断与性质综合，解题关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解.

刷4（2023・湖北武汉・统考中考真题）问题提出：如图（1）,E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角

形，AE=EF,AAEF=ZABC=a（a>90°）,AF交CD于点G,探究NGCF与a的数量关系.

问题探究：（1）先将问题特殊化，如图（2）,当a=90°时,直接写出AGCF的大小；

（2）再探究一般情形，如图（1）,求NGCF与a的数量关系.

问题拓展：（3）将图（1）特殊化，如图（3）,当a=120°时，若黑=J,求萼的值.

CGr20/5

【答案】⑴45。⑵4GCF=-90。⑶等=与

【分析】（1）延长BC过点F作EH_LBC,证明/\ABE空ABHF即可得出结论.（2）在AB上截取AN,使

AN=EC,连接NE,证明A4NE空△SCF,通过边和角的关系即可证明.（3）过点A作CD的垂线交CD

的延长线于点P,设菱形的边长为3小，由⑵知，/GCF=,a-90°=90°,通过相似求出CF=^-m,

即可解出.

【详解】（1）延长BC过点F作

/BAE+NAEB=90°,NFEH+ZAEB=90°,/.NBAE=AFEH,

（ZABE=ZEHF

在岫BA和4FHE中14BAE=ZFEH：.4ABE畛岫HF,：.AB=EH,BE=FH,：.BC=EH,

[AE=EF

：.BE=CH=FH,：.4GCF=2FCH=45°.故答案为：45°.

⑵解:在AB上截取AN，使AN=EC,连接NE.

•：AABC+ABAE+/AEB=/AEF+ZFEC+180°,4ABe=NAEF,：.ZEAN=AFEC.

•：AE=EF,；./\ANEZ/\ECF.：.ZANE=NECF.

•/AB=BC,：.BN=BE•：AEBN=a，二ZBNE=90°—呆

ZGCF=AECF-ABCD=/LANE-ABCD=(90°+*a)-(180°—a)=ya-90°.

(3)解：过点人作CD的垂线交CD的延长线于点P,设菱形的边长为3m,

•/=春".DG=m,CG=2m.在Rt/\ADP中，•：NADC=ZABC=120°,

GGr2

・・.AADP=60°,PD=-|-m,AF=1-V3m.丁。=120°,由⑵知，AGCF=-90°=90°.

Ap6人尺

•/AAGP=AFGC,：.^APG-AFCG.・・.慈=兴,.・.Z=4~,：.CF=^-m,

CFCGCF2m5

在AB上截取AN,使AN=EC,连搂NE,作BO_LNE于点O.

由⑵知，/\ANE^^ECF,：,NE=CF「：AB=BC,：.BN=BE,OE=EF=JEN=华小.

乙0

BE_2

••ZBC=12。。，："BNE=』BEN=3S：c°s3"器,=触,./.CE=/.

5~CE~1

【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相

似.

吼g（2023.湖北荆州.统考中考真题）如图1,点P是线段上与点4点B不重合的任意一点，在的同

侧分别以A,P,B为顶点作/I=/2=/3,其中/I与/3的一边分别是射线和射线R4,Z2的两边

不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角,点P为等联点，线段为等联线.

（1）如图2,在5X3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,AB为端点在格点的已知线段.

请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保

留作图痕迹；（2）如图3,在RtZXAPC中，乙4=90°,AO4P,延长AP至点b使AB=AC,作乙4的等

联角4CPD和APBD.将△APC沿PC折叠，使点A落在点”处,得到^MPC,再延长PM交BD的延

长线于E,连接CE并延长交PD的延长线于F,连接BF.①确定APCF的形状，并说明理由；

②若AP：PB=1:2,BF=2机求等联线AB和线段PE的长（用含k的式子表示）.

图2图3

【答案】⑴见解析⑵①等腰直角三角形，见解析;②713=3%;。£；=电

【分析】（1）根据新定义，画出等联角；

（2）①△PCF是等腰直角三角形，过点。作CN_LBE交BE的延长线于N.由折叠得AC=CM,

4cMp=4CME=乙4=90°,Z1=/2,证明四边形ABNC为正方形，进而证明Rt^CMERt/\CNE,

得出/PCR=45°即可求解;②过点?作FQ_LBE于Q,FR_LPB交PB的延长线于R,则4?=乙4=

90°.证明AAPC咨ARFP，得出4P==尸A,在Rt/^BRF中，B&+F&=BF?,BF=，^；,进而证明

四边形BRFQ为正方形,则BQ=QF=k,由FQ〃C7V,得出△ABF〜△NEC,根据相似三角形的性质得

出帖="根据抬=。凶+皿后即可求解.

【详解】（1）解:如图所示（方法不唯一）

由折叠得ZCMP=ACME=ZA=90°,Z1=Z2

VAC=AB,ZA=ZPBD=AN=90°,四边形ABAC为正方形：.CN=AC=CM

又•：CE=CE,：.Rt^CME笃R心CNE(HL)/3=/4,而/I+/2+/3+/4=90°,ACPF=90°

APCF=Z2+Z3=ZCFP=45°^PCF是等腰直角三角形.

②过点F作FQ_LBE于Q,FK_LPB交PB的延长线于五，则ZR=AA=90°.

•：Zl+Z5=Z5+Z6=90°,.\Z1=Z6,

由AFCF是等腰直角三角形知：PC=PF,AAPC空ARFP(AAS),

：.AP=FR,4。=?五，而4。=>18,.・.>1。=访=的，

在Rt/\BRF中，BB：+FB?=BF2,BF=V2k,

AP=BR=FR=k,：.PB=2AP=2k,：.AB=AP+PB=BN=3k,

由BR=FR,AQBR=ZR=/LFQB=90°,

二.四边形BRFQ为正方形，BQ=QF=k,

由FQ_LBN,CN±BN得:FQ//CN,：.4QEF〜△NEC,

:.黑=然:，而QE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE,

即2k~^E=M=W，解得:NE=

N尸/o/vO/

由①知：PAf=AP=A;,ME=A®=PE=PM+ME=A;+决=%

【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形

的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键.

画色（2022.山西晋中.一模）阅读材料：

我们知道:一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂

直模型”如图①,在4ABC中，ZACB=90°,AC=BC,分别过A、B向经过点。直线作垂线,垂足分别

为。、E,我们很容易发现结论：△ADC空△CEB.

（1）探究问题:如果其他条件不变，如图②,可得到结论；△ADC〜△CEB.请你说明理由.

（2）学以致用：如图③,在平面直角坐标系中，直线y=/力与直线CD交于点M（2,l）,且两直线夹角为a,

且tana=-1,请你求出直线CD的解析式.⑶拓展应用:如图④,在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,

点E为BC边上一个动点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90°,点A落在点P处，当点P在矩形

488外部时,连接_?。,尸0.若人。。。为直角三角形时,请你探究并直接写出BE的长.

【答案】（1）理由见解析；（2加=—+与；（3）BE长为3或

【分析】（1）根据同角的余角相等得到乙BCE=/DAC,然后利用4A定理判定三角形相似；

（2）过点O作ON_L0Al交直线CD于点、N,分别过M、N作Affi；_L2轴，N?_Lc轴，由⑴得/\NFO〜

△OEM，从而得到骞=尊=柴;，然后结合相似三角形的性质和锐角三角函数求出NF=3,OF=

OEMEMO

得，从而确定N点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；

⑶分两种情形讨论:①如图1中，当/PDC=90°时.②如图2中，当/DPC=90°时，作PF_LB。于F,

PH_LCD于H,设BE=：I：.分别求解即可.

【详解】解：（1）VZACB=90°,AZACD+ZBCE=90°

又•//ADC=90°/.AACD+NDAC=90°NBCE=ADAC

•：AADC=ZBEC=90°.A/\ADC〜△CEB

（2）如图，过点。作ON_LOM交直线CD于点N,

分别过“、N作ME_Lc轴，NF_Lc轴

If

由⑴得ZWE。〜△OEM.•.釜=送=器

•••M坐标（2,1）：.OE=2,ME=1

•”0=9••,普:年解得:NF=3,OF=**（一*3）

设直线CD表达式为？/=far+6,代入必2,1）,N（—1,3）

得［、3,解得I；］/，二直线CD表达式为V=-、+-y

（3）解:①如图1中，当4PDC=90°时，

•.•AADC^90°,/.AADC+4PDC=180°,/.4、D、P共线,

■：EA=EP,ZAEP=90°,ANEAP=45°,VABAD=90°,

ABAE=45°,VZB=90°NBAE=NBEA=45°,，BE=AB=3.

②如图2中，当/。？。=90°时，作爪_1反7于凡刊？_1。0于8,设跳；=3；,

•.•AAEB+/PEF=90°,AAEB+/BAE=90°,二NBAE=NPEF,

14BAE=NPEF

在AABE和AEFP中，｛=/F=90°/.△ABE空/XEFP,

［AE^EP

EF—AB—3,PF—HC—BE—x,CF—3—（5—x）—x—2,

•：ADPH+4cpH=90°,ACPH+4PCH=90°,

ZDPH=APCH,•：2DHP=NPHC,

：.4PHDs4CHP,：.PH?=DH,CH,：.8一2丫=或3—x）,

•••工=笑"或心产（舍弃），••・比=y，

综上所述，当APDC是直角三角形时，BE的值为3或立产.

【点睛】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考常考题型.

回工（2023•江苏南京•校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如

下探究：

图4

【观察与猜想】⑴如图1,在正方形ABCD中，E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,若DE1_

CF,则券的值为；⑵如图2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,H是AD上的一点，连接

您，80,若您，口。,则蜜_的值为；

JDD

【类比探究】（3）如图3,在四边形ABCD中，乙4=/B=90°,H为AB上一点，连接DE,过。作DE的垂

线交砒）的延长线于G,交入。的延长线于F,求证：DE-AB=CF-AD；

【拓展延伸】⑷如图4,在Rt/XABD中，/历1。=90°,AO=15,将/X