专题14 期末新定义题型复习导学案及配套作业（解析版）

专题14期末新定义题型复习（解析版）类型一有理数中的新定义1．（2022秋•尤溪县）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．则(−3)⊕(−4⊕1A．﹣13 B．6 C．24 D．30思路引领：根据新定义先计算−4⊕12，再计算（﹣3）解：由题意得：(−3)⊕(−4⊕1＝（﹣3）⊕[﹣4×1＝（﹣3）⊕（﹣2﹣8）＝（﹣3）⊕（﹣10）＝﹣3×（﹣10）+2×（﹣3）＝30﹣6＝24．故选：C．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．2．（2022秋•新吴区期中）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab﹣ab，则﹣1※2022的值（）A．2023 B．2022 C．﹣2023 D．﹣2021思路引领：根据新运算得出﹣1※2022＝﹣（12022﹣1×2022），再根据有理数的运算法则进行计算即可．解：﹣1※2022＝（﹣1）2022﹣（﹣1）×2022＝1+2022＝2023，故选：A．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．3．（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k（其中k是使n2若n＝49，则第2022次“F运算”的结果是（）A．31 B．49 C．62 D．98思路引领：根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2022÷6＝337，则第2022次“F运算”的结果是49．故选：B．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．4．（2022秋•越秀区校级月考）已知a、b皆为有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣[（﹣2）※3]等于（）A．﹣2 B．5 C．﹣6 D．10思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得：3※2＝2×3＝6，（﹣2）※3＝2×3﹣（﹣2）＝6+2＝8，则原式＝6﹣8＝﹣2．故选：A．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（2022秋•靖江市校级月考）对于有理数a、b定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|，则（﹣2）⊙3的值是（）A．6 B．5 C．4 D．2思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得：原式＝|﹣2+3|+|﹣2﹣3|＝1+5＝6．故选：A．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．6．（2022秋•鄞州区校级期中）正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”．例如153，13+53+33＝153，因此“153”为“水仙花数”，则下列各数中：①370，②371，③407，④502，“水仙花数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4思路引领：根据正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”，分别判断得出答案即可．解：①∵33+73+03＝370，∴370为“水仙花数”，故此选项正确；②∵33+73+13＝371，∴371为“水仙花数”，故此选项正确；③∵43+03+73＝407，∴407为“水仙花数”，故此选项正确；④∵53+03+23≠502，∴546不是“水仙花数”，故此选项错误．故选：C．总结提升：此题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘方以及新定义，根据“水仙花数”的定义得出是解题关键．7．（2022秋•江阴市期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b=2a−b，a≥ba−2b，a＜b．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1=12−2×1A．4 B．11 C．4或11 D．1或11思路引领：分x≥3与x＜3两种情况求解．解：当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．即：若x*3＝5，则有理数x的值为4，故选：A．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序．类型二整式加减中的新定义8．（2022秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[3已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为．思路引领：根据定义的新运算可得a﹣1＝b+1+1，从而可得a﹣b＝3，然后利用整体的思想进行计算即可解答．解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，∴a﹣1＝b+1+1，∴a﹣b＝3，∴（b﹣a）3﹣3a+3b＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）＝﹣33﹣3×3＝﹣27﹣9＝﹣36，故答案为：﹣36．总结提升：本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．9．（2022秋•浦东新区期中）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则6x2﹣3x﹣9＝．思路引领：先根据新定义求出2x2﹣x＝6，再把6x2﹣3x﹣9化为3（2x2﹣x）﹣9的形式，整体代入计算即可．解：∵2x2﹣2与x+4互容，∴2x2﹣2﹣（x+4）＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x﹣9＝3（2x2﹣x）﹣9＝3×6﹣9＝9，故答案为：9．总结提升：本题考查了代数式的求值，掌握乘法分配律的逆运算，把（2x2﹣x）看做一个整体进行计算是解题关键．10．（2022秋•涪城区期中）定义如下运算程序，则输入a＝4，b＝﹣2时，输出的结果为．思路引领：由程序框图将a＝4，b＝﹣2代入a+b计算可得答案．解：∵a＝4，b＝﹣2，a＞b，∴输出结果为代入a+b＝4+（﹣2）＝2．故答案为：2．总结提升：此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022•三水区校级三模）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与x+4互为平衡数，则代数式6x2﹣3x﹣9＝．思路引领：根据题意，2x2﹣2与x+4互为平衡数，得2x2﹣2﹣x﹣4＝0，得到2x2﹣x＝6，即可求出答案．解：∵2x2﹣2与x+4互为平衡数，∴2x2﹣2﹣x﹣4＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x＝18，∴6x2﹣3x﹣9＝18﹣9＝9．故答案为：9．总结提升：本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．12．（2022秋•古田县期中）（1）先化简，后求值：−13x−2(x−13y（2）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．①请你想想：a*b＝；②若a≠b，那么a*bb*a（填“＝”或“≠”）；③先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣7．思路引领：（1）先利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，再将x，y值代入运算即可；（2）①利用题干中各式中的规律解答即可；②利用①中的规律解答即可；③利用①中的规律得到关于a，b的关系式，化简后将a，b的值代入运算即可．解：（1）原式=−13x﹣2x+＝（−13−2−23）x＝﹣3x+y2，当x＝﹣2，y=2原式＝﹣3×（﹣2）+(＝6+=58（2）①a*b＝3a+b，故答案为：3a+b；②∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a，又∵a≠b，∴3a+b≠3b+a，∴a*b≠b*a，故答案为：≠；③（a﹣b）*（a+2b）＝3（a﹣b）+（a+2b）＝3a﹣3b+a+2b＝4a﹣b．当a＝1，b＝﹣7时，原式＝4×1﹣（﹣7）＝4+7＝11．总结提升：本题主要考查了整式的加减，化简求值，本题是阅读型题目，寻找题干中各式的规律并熟练应用是解题的关键．类型四一元一次方程中的新定义13．（2021秋•河口区期末）如果规定“*”的意义为：a*b=a+2b2（其中a，b为有理数），那么方程3*x=52的解是x＝思路引领：分析题意，运用定义的新运算法则，可得3*x=3+2x2；不难得出解：由题意得：3*x=3+2x∵3*x=5∴3+2x2解得x＝1．故答案为：1．总结提升：本题考查的是一道定义新运算的题目，需结合题中定义的新运算法则进行求解．14．（2021秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x+9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x＝﹣3，则方程3x+9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，则b﹣a＝．思路引领：利用题中的新定义解答即可．解：解关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0，得x=b−a∵关于x的一元一次方程3x+a﹣b＝0是妙解方程，3﹣（a﹣b）＝2×b−a9+3（b﹣a）＝2（b﹣a），∴b﹣a＝﹣9．故答案为：﹣9．总结提升：此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．15．（2022秋•隆安县期中）我们将abcd这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是abcd（1）请你依此法则计算二阶行列式3−2（2）请化简二阶行列式2x−3x+224思路引领：（1）根据abcd=（2）根据abcd=ad﹣解：（1）由题意可得，3−2＝3×3﹣（﹣2）×4＝9+8＝17；（2）2x−3＝4（2x﹣3）﹣2（x+2）＝8x﹣12﹣2x﹣4＝6x﹣16，当x＝4时，原式＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．总结提升：本题考查整式的加减、有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会用新定义解答问题．16．（2022秋•西城区校级期中）定义如下：存在数a，b，使得等式a2+b4=a+b2+4成立，则称数a（1）若（1，b）是一对“互助数”，则b的值为；（2）若（﹣2，x）是一对“互助数”，求代数式（﹣x2+3x﹣1）−15（−52x（3）若（m，n）是一对“互助数”，满足等式m−14n﹣（6m+2n﹣2）＝0，求m和思路引领：（1）根据“互助数”的定义即可求得b的值；（2）根据“互助数”的定义求出x的值，再对所求代数式进行去括号，合并同类项，最后把x的值代入化简后的代数式中即可求解；（3）根据“互助数”的定义求得n＝﹣4m①，再将所求等式化简得−5m−94n+2=0②，将①解：（1）∵（1，b）是一对“互助数”，∴12解得：b＝﹣4，故答案为：﹣4；（2）∵（﹣2，x）是一对“互助数”，∴﹣1+x解得：x＝8，（﹣x2+3x﹣1）−15（−52x=−x=−1当x＝8时，原式=−1（3）∵（m，n）是一对“互助数”，∴m2化简得：n＝﹣4m①，由m−14n﹣（6m+2−5m−94把①代入②中得，−5m−9解得：m=−1则n=−4×(−1∴m=−12，总结提升：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（2022秋•邗江区期中）定义：若a+b＝6，则称a与b是关于6的实验数．（1）4与是关于6的实验数；与5﹣2x是关于6的实验数．（用含x的代数式表示）．（2）若a＝x2﹣4x+2，b＝x2﹣2（x2﹣2x﹣2），判断a与b是否是关于6的实验数，并说明理由．（3）若c＝6x2﹣8x+4，d＝﹣2（3x2﹣4x+k），且c与d是关于6的实验数，求k的值．思路引领：（1）由4+2＝6，6﹣（5﹣2x）可得答案；（2）列出算式a+b＝a+b＝x2﹣4x+2+x2﹣2（x2﹣2x﹣2）去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否等于3即可；（3）由c与d是关于6的实验数知c+d＝6，据此可得6x2﹣8x+4﹣2（3x2﹣4x+k）＝6，进一步求解可得答案．解：（1）∵4+2＝6，6﹣（5﹣2x）＝1+2x，∴4与2是关于6的实验数，1+2x与5﹣2x是关于6的实验数，故答案为：1+2x；（2）a与b是关于6的实验数，理由：∵a+b＝x2﹣4x+2+x2﹣2（x2﹣2x﹣2）＝x2﹣4x+2+x2﹣2x2+4x+4＝6，∴a与b是关于6的实验数；（3）∵c与d是关于6的实验数，c＝6x2﹣8x+4，d＝﹣2（3x2﹣4x+k），∴c+d＝6x2﹣8x+4﹣2（3x2﹣4x+k）＝6，解得k＝﹣1．∴k的值为﹣1．总结提升：本题主要考查整式的加减，解题的关键是理解并掌握实验数的定义及整式加减运算顺序和法则．18．（2022秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x，我们把[x]称作x的“⻘一值”．若x≥0，则有理数x的“⻘一值”[x]＝x﹣2；若x＜0，则有理数x的“⻘一值”[x]＝x+2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1．（1）求有理数﹣2和32（2）已知有理数a＞0，b＜0，且它们的“⻘一值”相等，则[a]＝[b]，试求代数式（b﹣a）2﹣2a+2b的值；（3）对于一个有理数x，满⾜⽅程：[2x]+[x+1]＝4，请直接写出满⾜⽅程的解x的值．思路引领：（1）根据定义：若x≥0，则有理数x的“青一值”[x]＝x+1；若x＜0，则有理数x的“青一值”[x]＝x﹣1，进行计算即可解答；（2）根据定义：若x≥0，则有理数x的“青一值”[x]＝x+1；若x＜0，则有理数x的“青一值”[x]＝x﹣1，可得a﹣b＝﹣2，然后代入式子中，进行计算即可解答；（3）分三种情况：当x≥0时，当﹣1≤x＜0时，当x＜﹣1时，然后分别进行计算即可解答．解：（1）[﹣2]＝﹣2﹣1＝﹣3；[32]=32∴[﹣2]＝﹣3；[32]=（2）∵a＞0，b＜0，∴[a]＝a+1，[b]＝b﹣1，∵[a]＝[b]，∴a+1＝b﹣1，∴a﹣b＝﹣2，∴（b﹣a）2﹣2a+2b＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝4+4＝8；（3）分三种情况：当x≥0时，[2x]＝2x+1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x+1+x+2＝4，解得：x=1当﹣1≤x＜0时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x+2＝4，解得：x＝1（舍去）；当x＜﹣1时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1﹣1＝x，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x＝4，解得：x=5综上所述：x=1总结提升：本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算﹣化简求值，解一元一次方程，理解定义中的[x]称作x的“青一值”是解题的关键．19．（2021秋•桃江县期末）阅读材料：在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点P．对于两个不同的点M和N，若点M、N到点P的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．如图7中，点M表示数﹣1，点N表示数3，它们与表示数1的点P的距离都是2个单位长度，则点M与点N互为基准变换点．解决问题：（1）若点A表示数a，点B表示数b，且点A与点B互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题：①画图说明，当a＝0、4、﹣3时，b的值分别是多少？②利用（1）中的结论，探索a与b的关系，并用含a的式子表示b；③当a＝2021时，求b的值．（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以52，再把所得的数表示的点沿数轴向左移动3个单位长度得到点B，若点A与点B互为基准变换点，求点A思路引领：（1）①根据互为基准变换点的定义画图，即可得到答案；②观察①可得a与b的关系；③结合②，把a＝2021代入即可；（2）表示出B表示的数，再由点A与点B互为基准变换点列方程可得答案．解：（1）①由图可得：a＝0时，b＝2，a＝4时，b＝﹣2，a＝﹣3时，b＝5；②a与b的关系为a+b＝2，∴b＝2﹣a；③a＝2021时，b＝2﹣2021＝﹣2019；（2）设点A表示的数为x，根据题意得：52a﹣3＝2﹣x解得：x=10∴点A表示的数是107总结提升：本题考查数轴及列代数式，解题的关键是读懂题意，理解互为基准变换点的定义．20．（2022秋•西城区校级期中）阅读下列材料：定义：已知点A，B，C为数轴上任意三点，若CB=12CA，则称点C是[A，例如：如图1，点C是[A，B]的相关点，点D不是[A，B]的相关点，但点D是[B，A]的相关点．根据这个定义解决下面问题：（1）如图2，M，N为数轴上两点，点M表示的数是﹣2，点N表示的数是4，若点G是[M，N]的相关点，则点G表示的数是；（2）数轴上点E所表示的数为﹣10，点F所表示的数为20．一动点P从点F出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，另一个动点Q从点E出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．问当t为何值时，P为[F，Q]的相关点？思路引领：（1）根据新定义列方程可得答案；（2）表示出P表示的数是20﹣2t，Q表示的数是﹣10+t，再根据新定义列方程可得答案．解：（1）设点G表示的数是x，根据题意得：GN=12GM，即|x﹣4|=1解得x＝10或x＝2，故答案为：10或2；（2）P表示的数是20﹣2t，Q表示的数是﹣10+t，∵P为[F，Q]的相关点，∴PQ=12PF，即|（20﹣2t）﹣（﹣10+t）|=1解得t＝10或t＝30，∴当t为10或30时，P为[F，Q]的相关点．总结提升：本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，能根据新定义列出方程解决问题．21．（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；（2）若关于x的方程x2+m=0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求（3）若关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．思路引领：（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；（2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m的方程解答即可；（3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n的方程解答即可．解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”，理由如下：由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2；由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1．∵﹣1+2＝1，∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”．（2）由3x﹣2＝x+4，解得x＝3；由x2+m=0解得x＝﹣2∵方程3x﹣2＝x+4与方程x2∴﹣2m+3＝1，解得m＝1．（3）由2x﹣n+3＝0，解得x=n−3由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n；∵关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，∴n−32+1﹣5解得n=−1总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键．22．（2022秋•大丰区期中）在数轴上有A、B两点，点B表示的数为b．对点A给出如下定义：当b≥0时，将点A向右移动2个单位长度，得到点P；当b＜0时，将点A向左移动|b|个单位长度，得到点P．称点P为点A关于点B的“伴侣点”．如图，点A表示的数为﹣1．（1）在图中画出当b＝6时，点A关于点B的“伴侣点”P；（2）当点P表示的数为﹣6，若点P为点A关于点B的“伴侣点”，则点B表示的数；（3）点A从数轴上表示﹣1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t秒．①点B表示的数为（用含t的式子表示）；②是否存在t，使得此时点A关于点B的“伴侣点”P恰好与原点重合？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）求出P表示的数，再画图即可；（2）根据已知可得B运动后表示的数；（3）①根据左减右加即可解答；②分两种情况：当8﹣2t≥0，P表示的数是﹣1+t+2＝t+1＝0，当8﹣2t＜0时，P表示的数是：﹣1+t﹣（2t﹣8）＝7﹣t＝0，即可得到答案．解：（1）∵b＝6＞0，∴将点A向右移动2个单位得到点p：﹣1+2＝1，∴点P表示的数为1，数轴表示如图：；（2）∵点P表示的数为﹣6，点P为点A关于点B的“伴侣点”P在点A的左边5个单位，∴|b|＝5，又∵b＜0，∴b＝﹣5，即点B表示的数为﹣5，故答案为：﹣5；（3）①点B表示的数为：8﹣2t，故答案为：8﹣2t；②存在，理由如下：根据题意得：点A表示的数为﹣1+t，当8﹣2t≥0时，解得t≤4，即将点A向右平移2个单位长度，得到点P，表示的数为：t+1，此时t+1＝0，解得：t＝﹣1，与t＞0不符，舍去；当8﹣2t＜0时，解得t＞4，即将A向左平移|b|个单位长度得点p为：﹣1+t﹣（2t﹣8）＝7﹣t，与原点重合，∴7﹣t＝0，解得：t＝7，即当t＝7时，点P与原点重合．总结提升：本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．23．（2022春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝；（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n＝；（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．思路引领：（1）根据“立信方程”的定义解答即可；（2）先求出x2+3x﹣4＝0的解，再把其中的解代入求解即可求n的解；（3）利用“立信方程”以及a和k为正整数求解．（1）∵2x+1＝1，解得x＝0；把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：1﹣2（0﹣m）＝3，∴1+2m＝3，解得：m＝1；（2）解方程x2+3x﹣4＝0，（x﹣1）（x+4）＝0，解得：x1＝1或x2＝﹣4，把x1＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×1+2×12﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；把x2＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；故满足条件的n的值为5．（3）因a为正整数，则a≠0，又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，∴x=2a∵两方程均为立信方程，∴x的值为整数，∴4a∴此时a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，同理9x﹣3＝kx+14，∴（9﹣k）x＝17，显然，此时k≠9，则x=17∴9﹣k可取8，﹣810，26，∴此时x＝17，1，﹣17，﹣1，∴两方程相同的解为x＝﹣1，此时对应的a＝2，k＝26，故符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．总结提升：本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．类型四几何图形初步中的新定义24．（2020秋•上城区期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC※AB＝n．甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC＝2BC；则dC※AB=2乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则dC※AB=1关于甲，乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（）A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确思路引领：根据题意，由点C在线段AB上，若AC＝2BC，可得AC=23AB，故可判断甲；点C是线段AB的三等分点，则AC=13AB或解：∵点C在线段AB上，若AC＝2BC，∴AC=23AB，即n∴dC※AB=2∵点C是线段AB的三等分点，∴AC=13AB或AC=∴dC※AB=13或故选：A．总结提升：本题考查新定义的题目，读懂题目并理解题意的解题关键．25．定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题所有角都是指大于0°且小于180°的角）．如果有一个角的垂角等于这个角的补角的45A．150° B．130° C．30°或130° D．30°或150°思路引领：根据题意需分类讨论，根据题意中数量关系列出方程，从而解决此题．解：设这个角度数为x．当这个角大于它的垂角，则这个角的垂角为x﹣90°．∴x﹣90°=4∴x＝130°．当这个角小于它的垂角，则这个角的垂角为90°+x．∴90°+x=4∴x＝30°．综上：这个角的度数为130°或30°．故选：C．总结提升：本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握解一元一次方程是解决本题的关键．26．（2021春•长宁区校级期末）同一直线上有A、B、C三点，若点C、A之间的距离与点C、B之间的距离之比是1：2，则称点C为点A和点B的牛点．如果点P是点M和点N的牛点，且PM＝1，则MN＝．思路引领：根据两点间的距离分两种情况求解即可．解：（1）如图，∵PM：PN＝1：2，∴PM＝MN，∵PM＝1，∴MN＝1；（2）如图，∵PM：PN＝1：2且PM＝1，∴PN＝1×2＝2，∴MN＝PM+PN＝2+1＝3．故MN的长为3或1．故答案为：1或3．总结提升：此题考查了两点间的距离，根据题意分两种情况求解是解题的关键．27．（2021秋•兰山区期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“正角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“正角”的共有对．思路引领：根据“正角”的定义解答即可．解：∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC=1∴∠AOB﹣∠AOC＝60°，∠AOB﹣∠BOC＝60°，又∵∠EOF＝60°，∴∠AOB﹣∠EOF＝60°，∵∠EOF＝∠AOC＝60°，∴∠AOF﹣∠AOE＝60°，∠AOF﹣∠COF＝60°，∠BOE﹣∠EOC＝60°，∠BOE﹣∠BOF＝60°，∴图中互为“正角”的共有∠AOB与∠AOC，∠AOB与∠BOC，∠AOB与∠EOF，∠AOF与∠AOE，∠AOF与∠COF，∠BOE与∠EOC，∠BOE与∠BOF共7对．故答案为：7总结提升：本题考查了角平分线的定义，理清题意是解答本题的关键．28．（2019秋•莆田期末）定义：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，则我们称β是α的差余角．例如：若α＝110°，则α的差余角β＝20°．（1）如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数；（2）如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系；（3）如图3，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，∠AOC−∠BOC∠COE思路引领：（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE=12∠BOC，根据题意得到∠AOC﹣∠COE＝∠AOC−（2）根据角的和差即可得到结论；（3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°+∠COE，∠BOC＝90°﹣∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°+∠COE，于是得到结论．解：（1）∵OE是∠BOC的角平分线，∴∠COE＝∠BOE=12∵∠COE是∠AOC的差余角，∴∠AOC﹣∠COE＝∠AOC−12∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝60°，∴∠BOE＝30°；（2）∵∠BOC是∠AOE的差余角，∴∠AOE﹣∠BOC＝∠AOC+∠COE﹣∠COE﹣∠BOE＝∠AOC﹣∠BOE＝90°，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC+∠BOE＝90°；（3）答：是，理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角，∴∠AOC﹣∠COE＝∠AOE＝90°，∴∠AOC＝90°+∠COE，∠BOC＝90°﹣∠COE，∴∠AOC−∠BOC∠COE如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角，∴∠AOC﹣∠COE＝90°，∴∠AOC＝90°+∠COE，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣（90°+∠COE）＝90°﹣∠COE，∴∠AOC−∠BOC∠COE综上所述，∠AOC−∠BOC∠COE总结提升：本题考查了余角和补角，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键．29．（2021秋•松滋市期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝．（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式60−α=60+α2，即可求出（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，∴∠COD=12∠AOB＝35°，∵∠∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；故答案为：20°．（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOC＝63°+α，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即63″﹣α=63°+α当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；（3）能，理由如下，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3°t；根据题意可分以下四种情况：①当射线OC在∠AOB内，如图4，此时，∠BOC＝30°﹣3°t，∠AOC＝30°+3°t，则∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即30°﹣3°t=1解得t=10②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6，如图5，此时，∠BOC＝3°t﹣30°，∠AOC＝30°+3°t，则∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即3°t﹣30°=1解得t＝30（秒）；如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3°t+30°，∠AOC＝360°﹣3°t﹣30°，则∠AOD是∠BOC的内半角，∴∠AOD=12∠BOC，即360°﹣3°t﹣30°=1解得t＝90（秒）；综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：103总结提升：本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．30．（2021秋•武侯区期末）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．【迁移运用】（1）如图1，射线PS（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；（2）如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．思路引领：（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；②由题意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．解：（1）∵PS平分∠RPT，∴∠RPS＝∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR＝2∠TPS．∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．故答案为：不是；是；（2）①由题意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°．∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，∴∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC．当∠AOC＝2∠AOB时，如图，则：90﹣4t＝2×40．解得：t=5当∠AOB＝2∠AOC时，如图，则：40＝2（90﹣4t）．解得：t=35综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为52或35②由题意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t．∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，∴此时∠AON＝∠CON．∴90+2t＝4t．∴t＝45．∴当t＝45秒时，运动停止，此时∠AON＝180°．∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，∴∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM．当∠COM＝2∠COD时，如图，即：180°﹣∠CON＝2（∠CON﹣∠DON），则：180﹣4t＝2（4t﹣70﹣2t）．解得：t＝40．∴∠CON＝4°×40＝160°．当∠COD＝2∠COM时，如图，即：∠CON﹣∠DON＝2（180°﹣∠CON）．则：4t﹣（70+2t）＝2（180﹣4t）．解得：t＝43．∴∠CON＝4°×43＝172°．综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．总结提升：本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．配套作业1．（2022秋•西城区校级期中）用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝a2x+ay﹣2（a为常数）．例如：4☆3＝a2×4+a•3﹣2＝4a2+3a﹣2．若1☆2＝3，则2☆4的值为（）A．6 B．10 C．8 D．12思路引领：根据x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，可以得到a2+2a的值，然后将所求式子变形，再将a2+2a的值代入计算即可．解：∵x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，∴a2×1+a×2﹣2＝3，∴a2+2a﹣2＝3，∴a2+2a＝5，∴2☆4＝a2×2+a×4﹣2＝2a2+4a﹣2＝2（a2+2a）﹣2＝2×5﹣2＝10﹣2＝8，故选：C．总结提升：本题考查有理数的混合运算、新定，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．2．（2022春•龙凤区期中）定义运算a⊗b=1a+1b①2⊗（﹣3）=−16；②此运算中的字母均不能取零；③a⊗b＝b⊗a；④a⊗（b+c）＝a⊗c+b⊗其中正确有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4思路引领：各选项利用题中的新定义判断即可．解：①根据题中的新定义得：2⊗（﹣3）=1②此运算中的字母均不能取零，符合题意；③a⊗b=1a+1b，故a⊗b＝b⊗a，符合题意；④a⊗（b+c）=1a+1b+c，a⊗c+故a⊗（b+c）与a⊗c+b⊗c不一定相等，不符合题意．故选：B．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2022秋•肇源县期中）将4个数a、b、c、d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abcd，定义abcd=adA．2 B．3 C．4 D．6思路引领：根据abcd=ad﹣解：∵abcd=ad﹣∴（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（x﹣1）＝12，∴x2+2x+1﹣x2+2x﹣1＝12，∴4x＝12，解得x＝3，故选：B．总结提升：本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确新定义，列出相应的方程．4．（2021秋•南丹县期末）在有理数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a+b−12，如：1☆（﹣3）＝1+−3−12=−1．如果2☆xA．﹣1 B．5 C．0 D．2思路引领：已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．解：根据题中的新定义化简2☆x＝x☆（﹣1）得：2+x−12去分母得：4+x﹣1＝2x﹣2，移项得：x﹣2x＝﹣2﹣4+1，合并得：﹣x＝﹣5，解得：x＝5．故选：B．总结提升：此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（2022秋•汉阳区期末）我们定义：如果两个角的差的绝对值等90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角），如图，OC⊥AB于点O，OE⊥OD，图中所有互为垂角的角有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．6对思路引领：由OC⊥AB，OE⊥OD，得出∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∠BOE﹣∠COE＝90°，∠BOE﹣∠BOD＝90°，即可得出结论．解：∵OC⊥AB，OE⊥OD，∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，∠BOE﹣∠COE＝90°，∠BOE﹣∠BOD＝90°，∴∠AOD和∠COD、∠AOD和∠AOE、∠BOE和∠COE，∠BOE和∠BOD互为垂角，故选：C．总结提升：本题考查了互为垂角，熟练掌握互为垂角的定义是解题的关键．6（2021秋•侯马市期末）定义：若a+b＝n，则称a与b是关于数n的“平衡数”．比如3与﹣4是关于﹣1的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”．现有a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是数n的“平衡数”，则它们是关于的“平衡数”．思路引领：利用“平衡数”的定义判断即可．解：∵a＝6x2﹣8kx+12与b＝﹣2（3x2﹣2x+k）（k为常数）始终是数n的“平衡数”，∴a+b＝6x2﹣8kx+12﹣2（3x2﹣2x+k）＝6x2﹣8kx+12﹣6x2+4x﹣2k＝（4﹣8k）x+12﹣2k＝n，即4﹣8k＝0，解得：k=1即n＝12﹣2×1故答案为：11．总结提升：此题考查了整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键．7．（2021秋•文登区期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x※y＝xy+2a（x+y）+2（a为常数），若2※（﹣3）的值为4，则a的值为．思路引领：根据x※y＝xy+2a（x+y）+2，2※（﹣3）的值为4，可以得到相应的方程，然后求解即可．解：∵x※y＝xy+2a（x+y）+2，2※（﹣3）的值为4，∴2×（﹣3）+2a（2﹣3）+2＝4，解得a＝﹣4，故答案为：﹣4．总结提升：本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．8．（2021秋•城固县期末）在数的学习中，我们会对其中一些具有某种特质的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等，现在我们来研究一种特殊的数﹣﹣巧数．定义：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为巧数．若一个巧数的个位数字比十位数字大2，则这个巧数是．思路引领：设这个数个位数字是x，则十位数字是x﹣2，这个两位数是10（x﹣2）+x，根据一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍得：10（x﹣2）+x＝4（x+x﹣2），即可解得答案．解：设这个两位数个位数字是x，则十位数字是x﹣2，这个两位数是10（x﹣2）+x，根据题意得：10（x﹣2）+x＝4（x+x﹣2），解得x＝4，∴10（x﹣2）+x＝10×（4﹣2）+4＝24，答：这个两位数是24．故答案为：24．总结提升：本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解巧数的定义，找到等量关系列方程．9．（2022秋•珠海期中）给出新定义如下：f（x）＝|2x﹣2|，g（y）＝|y+3|；例如：f（2）＝|2×2﹣2|＝2，g（﹣6）＝|﹣6+3|＝3；根据上述知识，解下列问题：（1）若x＝﹣2，y＝3，则f（x）+g（y）＝；（2）若f（x）+g（y）＝0，求2x﹣3y的值；（3）若x＜﹣3，化简：f（x）+g（x）．（结果用含x的代数式表示）思路引领：（1）把相应的值代入新定义的运算中，结合有理数的相应的运算法则进行求解即可；（2）由非负数的性质可求得x与y的值，代入所求的式子运算即可；（3）根据绝对值的定义进行求解即可．解：（1）当x＝﹣2，y＝3时，f（x）+g（y）＝|2×（﹣2）﹣2|+|3+3|＝|﹣4﹣2|+|6|＝6+6＝12，故答案为：12；（2）∵f（x）+g（y）＝0，∴|2x﹣2|+|y+3|＝0，∴2x﹣2＝0，y+3＝0，解得：x＝1，y＝﹣3，∴2x﹣3y＝2×1﹣3×（﹣3）＝2+9＝11；（3）当x＜﹣3时，2x﹣2＜0，x+3＜0，∴f（x）+g（x）＝|2x﹣2|+|x+3|＝﹣（2x﹣2）﹣（x+3）＝﹣2x+2﹣x﹣3＝﹣3x﹣1．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算，列代数式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．10．（2021秋•全南县期末）定义：对于一个有理数x，我们把{x}称作x的相伴数；若x≥0，则{x}=12x﹣1；若x＜0，则{x}=−12x+1．例：{1}（1）求{32（2）当a＞0，b＜0时，有{a}＝{b}，求下列代数式的值；①a+b；②（a+b）2﹣2a﹣2b．思路引领：（1）根据相伴数的定义求得即可；（2）由相伴数的定义化简，然后代入代数式确定即可．解：（1）{32}=12×3（2）①a＞0，b＜0，{a}＝{b}，即12a﹣1=−解得：a+b＝4．②（a+b）2﹣2a﹣2b＝（a+b）2﹣2（a+b），＝42﹣8，＝8．总结提升：本题考查了代数式求值，掌握相伴数的概念化简是解题的关键．11．（2022秋•丹徒区期中）定义一种新运算，观察下列各式：1⊙3＝1×2+3＝5；4⊙（﹣1）＝4×2﹣1＝7；（﹣2）⊙3＝（﹣2）×2+3＝﹣1；6⊙5＝6×2+5＝17；（1）请你想一想：用代数式表示a⊙b的结果为；（2）若a≠b，那么a⊙bb⊙a（填入“＝”或“≠”）；（3）若a⊙（﹣6b）＝4，请计算（a﹣5b）⊙（a+b）的值．思路引领：（1）根据题目中的式子，可以写出a⊙b的结果为2a+b；（2）根据（1）中的结果可以写出a⊙b和b⊙a的结果，再根据a≠b，即可判断它们的结果是否相等；（3）根据a⊙（﹣6b）＝4，可以得到2a+（﹣6b）＝4，然后将所求式子化简，再将2a+（﹣6b）＝4化简的结果整体代入计算即可．解：（1）由题目中的式子可得，a⊙b＝2a+b，故答案为：2a+b；（2）∵a≠b，a⊙b＝2a+b，b⊙a＝2b+a，∴a⊙b≠b⊙a，故答案为：≠；（3）∵a⊙（﹣6b）＝4，∴2a+（﹣6b）＝4，∴a﹣3b＝2，∴（a﹣5b）⊙（a+b）＝2（a﹣5b）+（a+b）＝2a﹣10b+a+b＝3a﹣9b＝3（a﹣3b）＝3×2＝6．总结提升：本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新运算解答．12．（2022秋•通州区期中）定义：已知M，N为关于x的多项式，若M﹣N＝k，其中k为大于0的常数，则称M是N的“友好式”，k叫做M关于N的“友好值”．例如：M＝x2+2x+3，N＝x2+2x﹣2，M﹣N＝（x2+2x+3）﹣（x2+2x﹣2）＝5，则称M是N的“友好式”，M关于N的“友好值”为5．（1）已知M＝（x+3）（x﹣1），N＝（x+1）2，则M是N的“友好式”吗？若是，请证明并求出M关于N的“友好值”；若不是，请说明理由；（2）已知M＝（2x﹣m）2，N＝4x2﹣6x+n，若M是N的“友好式”，且“友好值”为14求m，n思路引领：（1）读懂题意，利用新定义计算并判断；（2）利用新定义列等式求出m、n的值．解；（1）M﹣N＝（x+3）（x﹣1）﹣（x+1）2＝x2+2x﹣3﹣x2﹣2x﹣1＝﹣4，﹣4＜0，∴不符合定义，∴M不是N的”友好式“；（2）M﹣N＝（2x﹣m）2﹣（4x2﹣6x+n）＝4x2﹣4xm+m2﹣4x2+6x﹣n＝（6﹣4m）x+m2﹣n∵M是N的“友好式”，∴6﹣4m＝0，m=3∴M﹣N＝m2﹣n=1即（32）2﹣n=∴n＝2，∴m=32，总结提升：本题考查了整式的加减运算的新定义，解题的关键是读懂题意，熟练掌握新定义，利用新定义解决问题．13．（2022秋•咸安区期中）定义：若A﹣B＝n，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数，2x﹣3与2x是关于﹣3的伴随数．（1）填空：2022与是关于﹣1的伴随数，与﹣3x+5是关于2的伴随数．（2）若a与2b是关于3的伴随数，2b与c是关于﹣5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．（3）现有A＝8x2﹣6kx+13与B＝2（4x2﹣3x+k）（k为常数）始终是数n的伴随数，求n的值．思路引领：（1）根据新定义列式可得结论；（2）先根据伴随数的新定义可得：a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，再将所求式化简并整体代入可得结论；（3）先计算A﹣B的值，再由伴随数的新定义列等式可得k的值，从而得n的值．解：（1）∵2022﹣2023＝﹣1，2﹣（﹣3x+5）＝2+3x﹣5＝3x﹣3，∴2022与2023是关于﹣1的伴随数，3x﹣3与﹣3x+5是关于2的伴随数，故答案为：2023，3x﹣3；（2）∵a与2b是关于3的伴随数，2b与c是关于﹣5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，∴a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，∴（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）＝a﹣c+2b﹣d﹣2b+c＝（a﹣2b）+（2b﹣c）+（c﹣d）＝3﹣5+10＝8；（3）∵A＝8x2﹣6kx+13与B＝2（4x2﹣3x+k）（k为常数），∴A﹣B＝（8x2﹣6kx+13）﹣2（4x2﹣3x+k）＝8x2﹣6kx+13﹣8x2+6x﹣2k＝（6﹣6k）x+13﹣2k，∵A＝8x2﹣6kx+13与B＝2（4x2﹣3x+k）（k为常数）始终是数n的伴随数，∴n＝（6﹣6k）x+13﹣2k，∴6﹣6k＝0，∴k＝1，∴n＝13﹣2＝11．总结提升：本题考查了整式的混合运算和新定义﹣数n的伴随数，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键．14．（2022春•朝阳区校级期末）新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程2x＝6和3x+9＝0为“友好方程”．（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，求m的值．（2）若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．思路引领：（1）求得方程2x﹣6＝4解为x＝5，利用“友好方程”的定义得到方程3x+m＝0的解，利用方程解的定义解答即可；（2）利用“友好方程”的定义得到方程的另一个解为﹣n，再利用定义列出关于n的等式解答即可．解：（1）方程2x﹣6＝4解为x＝5，∵关于x的方程3x+m＝0与方程2x﹣6＝4是“友好方程”，∴关于x的方程3x+m＝0的解为x＝﹣5，∴3×（﹣5）+m＝0，∴m＝15；（2）∵某“友好方程”的一个解为n，∴“友好方程”的另一个解为﹣n，∴n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6，∴n＝3或n＝﹣3．∴n＝±3．总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练应用新定义解答是解题的关键．15．（2022秋•西城区校级期中）已知点P，点A，点B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的2倍，则称点P为点A和点B的“2倍点”．（1）已知点A表示1，点B表示﹣2，下列各数﹣6，﹣3，0，6在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“2倍点”的有；（2）已知点A表示32，点B表示m，点P为点A和点B的“2倍点”，且点P到原点的距离为10，求m（3）已知点A表示a（a＜0），将点A沿数轴负方向移动3个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“2倍点”时，直接写出点P与点A的距离（用含a的式子表示）．思路引领：（1）根据新定义进行解答便可；（2）根据新定义列出方程解答便可；（3）根据定义先求得P点表示的数，再根据两点距离公式求得结果．解：（1）∵点A表示1，点B表示﹣2，∴点A，点B到原点距离的和的2倍为：（1+|﹣2|）×2＝6，∵﹣6，﹣3，0，6在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，∴P1，P4到原点的距离为6，∴点A和点B的“2倍点”的有P1，P4，故答案为：P1，P4；（2）根据题意得2(3解得m＝±3.5；（3）设点P表示的数为x，根据题意得|x|＝2（|a|+|a﹣3|），∴|x|＝﹣4a+6，∴x＝﹣4a+6或4a﹣6，∴PA＝|（﹣4a+6）﹣a|＝|﹣5a+6|＝﹣5a+6或PA＝|a﹣（4a﹣6）|＝|﹣3a+6|＝﹣3a+6，∴点P与点A的距离为（﹣5a+6）或（﹣3a+6）．总结提升：本题考查了数轴，理解题目已知条件中点P为点A和点B的“2倍点”是解题的关键．16．（2022秋•天河区校级期中）已知|a+1|+（b﹣4）2＝0，c是−12的倒数，且a，b，c分别是点A，B，（1）直接写出a，b，c的值，并在数轴上标出点A，B，C；（2）定义：在数轴上，若点D到点E、F的距离之和为6，则点D叫做E和F的“幸福中心”．①若点G是B和C的“幸福中心”，且点G表示的数是整数，求所有满足条件的点G表示的数之和；②点Q表示7，点P从点Q出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点M，N分别从点A，B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P是M和N的“幸福中心”？思路引领：（1）由|a+1|+（b﹣4）2＝0，根据非负数的性质可求得a＝﹣1，b＝4，由c是−12的倒数，得−12c＝1，则c＝﹣2，所以点A，B，C对应的数分别为﹣1，4，﹣2，在数轴上标出点A、（2）①设点G表示的数是x，点G到点B、C的距离之和为m，先说明点G不能在点C的左侧和点B的右侧，而当点G在点B与点C之间时，m＝x+2+4﹣x＝6，此时﹣2≤x≤4，而x为整数，则x＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，即可求得所有满足条件的点G表示的数之和是7；②先说明点M和点N之间的距离保持不变，为4﹣（﹣1）＝5，则点P不能在点M与点N之间，再设运动的时间为t秒，则点P、M、N表示的数分别为7﹣2t、﹣1+t、4+t，当点P在点N的右侧时，则7﹣2t﹣（﹣1+t）+7﹣2t﹣（4+t）＝6；当点P在点M的左侧时，则﹣1+t﹣（7﹣2t）+4+t﹣（7﹣2t）＝6，解方程求出相应的t值即可．解：（1）∵|a+1|≥0，（b﹣4）2≥0，且|a+1|+（b﹣4）2＝0，∴|a+1|＝0，（b﹣4）2＝0，解得a＝﹣1，b＝4；∵c是−1∴−12∴c＝﹣2，∴点A，B，C对应的数分别为﹣1，4，﹣2，如图所示．（2）①设点G表示的数是x，点G到点B、C的距离之和为m，若点G在点C左侧，则x＜﹣2，∴m＝﹣2﹣x+4﹣x＝2﹣2x＞6，不符合题意；若点G在点B右侧，则x＞4，∴m＝x+2+x﹣4＝2x﹣2＞6，不符合题意；当点G在点B与点C之间，则m＝x+2+4﹣x＝6，∵﹣2≤x≤4，且x为整数，∴x＝﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴﹣2﹣1+0+1+2+3+4＝7，∴所有满足条件的点G表示的数之和是7．②∵点M和点N的速度相同，运动方向相同，∴点M和点N之间的距离保持不变，为4﹣（﹣1）＝5，若点P在点M与点N之间，由点P到点M、N的距离之和为5，不符合题意，设运动的时间为t秒，则点P、M、N表示的数分别为7﹣2t、﹣1+t、4+t，当点P在点N的右侧时，则7﹣2t﹣（﹣1+t）+7﹣2t﹣（4+t）＝6，解得t=5当点P在点M的左侧时，则﹣1+t﹣（7﹣2t）+4+t﹣（7﹣2t）＝6，解得t=17综上所述，经过56秒或176秒，点P是M和总结提升：此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、非负数的性质、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示运动过程中点所对应的数是解题的关键．17．（2022秋•宝安区校级期中）定义：数轴上有两点A，B，如果存在一点C，使得线段AC的长度是线段BC的长度的2倍，那么称点C为线段AB的“幸运点”．（1）如图①，若数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣2和4，点C为线段AB上一点，且点C为线段AB的“幸运点”，则点C表示的数为；（2）如图②，若数轴上A，B两点所表示的数分别是﹣4和﹣1，点C为数轴上一点，若点C为线段AB的“幸运点”，则点C表示的数为；（3）如果数轴上点A表示的数是2001，点B表示的数是2025，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度向右匀速运动，设运动的时间为t秒．当t为何值时，点P是线段AB的“幸运点”．思路引领：（1）根据点C为线段AB上一点，且点C为线段AB的“幸运点”，A，B两点所表示的数分别是﹣2，4，可得AC＝4，BC＝2，即得点C表示的数为2；（2）由点C为线段AB的“幸运点”，得AC＝2BC，分两种情况：当C在线段AB上时，C表示的数为﹣2，当C在B右侧时，点C表示的数为2；（3）P表示的数是2001+2t，可列方程2t＝2|24﹣2t|，即可解得答案．解：（1）∵点C为线段AB上一点，且点C为线段AB的“幸运点”，A，B两点所表示的数分别是﹣2，4，∴AC＝2BC，AC+BC＝4﹣（﹣2）＝6，∴AC＝4，BC＝2，∴点C表示的数为﹣2+4＝2，故答案为：2；（2）∵点C为线段AB的“幸运点”，∴AC＝2BC，当C在线段AB上时，AC+BC＝3，∴AC＝2，BC＝1，∴点C表示的数为﹣4+2＝﹣2，当C在B右侧时，AC﹣BC＝3，∴AC＝6，BC＝3，∴点C表示的数为﹣4+6＝2，故答案为：﹣2或2；（3）由已知得：P表示的数是2001+2t，∴PA＝2t，PB＝|2025﹣（2001+2t）|＝|24﹣2t|，∵点P是线段AB的“幸运点”，∴2t＝2|24﹣2t|，解得t＝8或t＝24，∴t＝8或t＝24时，点P是线段AB的“幸运点”．总结提升：本题考查一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，根据已知分类列方程．18．（2021秋•金华期末）定义：在一个已知角内部，一条线分已知角成两个新角，其中一个角度数为另一个角度数的两倍，我们把这条线叫做这个已知角的三等分线．（1）如图，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分线，求∠AOC的度数．（2）点O在线段AB上（不含端点A，B），在直线AB同侧作射线OC，OD．设∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．①当OC是∠AOD的三等分线时，求t的值．②当OC是∠BOD的三等分线时，求∠BOD的度数．思路引领：（1）分两种情况讨论，分别计算．（2）作出图形，用t表示图中的各个角，列出t的方程求解．注意t的取值范围，对解出的结果需要验证和取舍．解：（1）依题意，∠AOC+∠COB＝120°，且2∠AOC＝∠COB，或∠AOC＝2∠COB．当2∠AOC＝∠COB时，∠AOC=13∠当∠AOC＝2∠COB时，∠AOC=23∠（2）∵5t＜180°，∴t＜36°．①当∠AOC＝2∠COD时，∠AOC=23∠即3t=23（180°﹣5解得t=360°当2∠AOC＝∠COD时，∠AOC=13∠即3t=13（180°﹣5解得t=90°②当∠BOC＝2∠COD时，∠BOC=23∠即180°﹣3t=23×解得t=540°∴∠BOD＝5t=2700°当2∠BOC＝∠COD时，∠BOC=13∠即180°﹣3t=13×解得t=270°总结提升：本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论．19．（2021秋•薛城区期末）新定义：若∠α的度数是∠β的度数的n倍，则∠α叫做∠β的n倍角．（1）若∠M＝20°22′，请求出∠M的3倍角的度数；（2）如图1，若∠AOB＝∠BOC＝∠COD，请直接写出图中∠AOB的所有2倍角；（3）如图2，若∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，且∠BOD＝90°，求∠BOC的度数．思路引领：（1）根据∠M＝20°22′，直接得出∠M的3倍角的度数；（2）根据已知条件得出∠AOB的所有2倍角；（3）根据已知条件设∠AOB＝α，得出∠AOC＝3α，∠COD＝4α，根据∠BOD＝90°，求出a，再根据∠BOC＝90°﹣4α，从而得出答案．解：（1）∵∠M＝20°22′，∴3∠M＝3×20°22′＝61°6′；（2）∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD，∴∠AOC＝2∠AOB，∠BOD＝2∠AOB；（3）∵∠AOC是∠AOB的3倍角，∠COD是∠AOB的4倍角，∴设∠AOB＝α，则∠AOC＝3α，∠COD＝4α，∴∠AOD＝7α，∴∠BOD＝6α，∵∠BOD＝90°，∴α＝15°，∴∠BOC＝90°﹣4×15°＝30°．总结提升：此题主要考查了角的计算，度分秒的换算，本题是阅读型题目，准确理解并熟练应用题干中的定义是解题的关键．20．（2021秋•咸安区期末）新定义问题如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【阅读理解】（1）角的平分线这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）【初步应用】（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为；【解决问题】（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．思路引领：（1）根据幸运线定义即可求解；（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；（3）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可．解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；故答案为：是；（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，③设∠AOC＝x，则∠BOC=12由题意得，x+12x＝45°，解得故答