10.2-二重积分的计算（修改稿）

10.2二重积分的计算（thecomputeofdoubleintegral）《高等数学》课件(第十章第二节)

10.2.1二重积分在直角坐标系下的计算设二重积分的积分区域D

是矩形区域,讨论曲顶柱体的体积D

{(x,y)|a

x

b,c

y

d}

1.矩形区域上的积分S:z

f(x,y)zxODabcdy《高等数学》课件(第十章第二节)在[a,b]上任取一点x,曲顶柱体被平面x

x所截的截面A(x)是一个曲边梯形,其面积为所以,曲顶柱体的体积为以上积分称为偏积分.S:z

f(x,y)zxODabycdxA(x)《高等数学》课件(第十章第二节)所以,矩形区域上二重积分有同理有

上述积分称为累次积分或二次积分.

《高等数学》课件(第十章第二节)

解

例1

计算二重积分其中D

{(x,y)|3x2,0y1}.《高等数学》课件(第十章第二节)解

例2

计算其中D:0

x1,0y

注意：在上面计算中涉及到反常积分.若交换积分次序计算,则有显然更简便.《高等数学》课件(第十章第二节)

2.正规区域上的积分若二重积分的积分区域D

可以表示为D

{(x,y)|g1(x)y

g2(x),a

x

b},则称D是

y方向的正规区域.xyy

g2(x)y

g1(x)abODxOyy

g2(x)y

g1(x)abDxyy

g2(x)y

g1(x)abDO方向的正规区域其特点为：用平行于

轴的直线穿过区域内部与的边界至多只有两个交点.考虑y

方向的正规区域上曲顶柱体的体积.其面积为

在[a,b]上任取一点x,用平面x

x截曲顶柱体,得截面《高等数学》课件(第十章第二节)所以,曲顶柱体的体积为

由此可将

y

方向的正规区域上二重积分化为如下累次积分计算若积分区域D是x方向的正规区域

D

{(x,y)|h1(y)x

h

2(y),c

y

d},至多只有两个交点.其特点为：用平行于轴的直线穿过区域内部与边界因此

x

方向的正规区域上二重积分可化为如下累次积分：例3

求二重积分积分区域由直线及所围.解一先画出积分区域的图形所以解二区域也可以看成

方向正规区域：《高等数学》课件(第十章第二节)

解视

D为x方向的正规区域

例4

计算其中D是由曲线x

y2

和直线x

y2围成的区域.

x

y2x

2-y

(4,

2)Oxy(1,1)

D:y2

x2y,2y1.则《高等数学》课件(第十章第二节)视

D为y方向的正规区域,则将D

分为D1,D2

两个区域,则y

2-x(4,

2)(1,1)D1D2Oxy《高等数学》课件(第十章第二节)

例5

计算D:1x1,0y1.则有y

x21OD1D2xyD11

1解被积函数中带有绝对值,分解积分区域D

D1

D2,

D1:0y

x2,

1x1,D2:x2

y1,

1x1,《高等数学》课件(第十章第二节)

3.任意区域上的积分

将区域D

分解成有限个正规区域的并,然后积分.OD1D2xyD3如图,D

D1

D2

D

3,则

《高等数学》课件(第十章第二节)

例6化二重积分为累次积分,其中D:1

x2

y24.

x2

y2

4OD1D2xyx2

y2

1D4D3

解如图,把积分区域D划分为四个子区域,则《高等数学》课件(第十章第二节)

4.交换积分次序

二重积分有两个次序的累次积分,这两个累次积分次序可以相互交换,实际计算时交换积分次序有时是很有效的.例7

求二次积分解由于对的积分无法计算，

因此要交换积分次序，变成先后的积分.由可知写成型区域所以《高等数学》课件(第十章第二节)

例8计算积分

解积分区域如图.所求积分中关于y的偏积分是一概率积分,难以积出,交换积分次序,积分就容易了,即yxDOy

x22y

2《高等数学》课件(第十章第二节)解积分区域如图,交换积分次序时,将积分区域分解成两个区域D

1,D2,则

例9交换二次积分的次序.yxD2D1Oy

3-xy

2x132《高等数学》课件(第十章第二节)

例10交换积分的次序.OD1xyx

2-y11D22

解积分区域如图,将两个积分区域合并为一个区域,则《高等数学》课件(第十章第二节)

10.2.2二重积分在极坐标下的计算当积分区域D的边界曲线(如图),以及被积函数用极坐标方程表示比较方便时,可考虑用极坐标表示来计算二重积分.

Oxx2

y2

1yDxOx2

y2

4yDx2

y2

1《高等数学》课件(第十章第二节)直角坐标与极坐标之间的转换关系为x

r

cos

,y

rsin

,r2

x2

y2.由此得直角坐标下的二重积分变换为极坐标下的二重积分的变换公式：图10-13yxOrr

r

在极坐标系中,用两族曲线

=常数及r=常数分割积分区域,则子区域的面积近似等于

r

r

.由此得极坐标中的面积元素

d

rdr

d

.《高等数学》课件(第十章第二节)极坐标下二重积分的计算极点在区域D外,且关于坐标r为正规的,即如图,则yxOr

r2(

)

=

=

r

r1(

)《高等数学》课件(第十章第二节)极点在区域D外,且关于坐标

为正规的,即如图,则yxOr=br=a

=

1(r)

=

2(r)《高等数学》课件(第十章第二节)极点在区域D内部,且可表示为yxOr=r(

)如图,则《高等数学》课件(第十章第二节)解积分区域可表示为

例11化二重积分为极坐标下的累次积分,其中D:1

x2

y24.

OxyDr2r1则《高等数学》课件(第十章第二节)

例12

计算其中D是极坐标下,第一象限内,曲线r

2外,心脏线r2(1cos

)内的那部分区域.

ODxy224r

2(1

cos

)r=2

解积分区域可表示为所以《高等数学》课件(第十章第二节)

例13

计算积分

解这是一元反常积分,可用反常二重积分求解,所以例14

求半球面及抛物面所围立体的体积.解由方程组半球面及抛物面的交线消去后解得在面上的投影线为所围立体在面上的投影区域为设是以为底，为顶的曲顶柱体的体积，是以为底，为顶的曲顶柱体的体积，则例15

求球体在柱体内的部分的体积.解或《高等数学》课件(第十章第二节)

10.2.3二重积分的物理应用讨论面密度为已知的平面薄片之重心和转动惯量等物理问题.设平面薄片在xOy

平面上所占闭区域为D,其上任一点(x,y)处的面密度为

(x,y),设

(x,y)在D上连续.

平面薄片D上(x,y)处的微元d

的(微)质量为

dm

(x,y)d

,它关于y轴的一阶(微)静力矩为《高等数学》课件(第十章第二节)平