8.7 曲面及其方程

8.7

曲面及其方程curvedsurfaceanditsequation

1.曲面方程的概念《高等数学》课件(第八章第七节)

8.7.1一般曲面如果曲面S与三元方程F(x,y,z)0有下述关系:

曲面是空间直角坐标系中具有某种几何性质的点的轨迹.

(1)曲面

S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)0;

(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)0,则,称曲面

S为方程F(x,y,z)0的图形,称F(x,y,z)0为曲面S

的方程.要解决两个基本问题:

《高等数学》课件(第八章第七节)建立了空间曲面与其方程的联系,就可以通过方程的解析性质研究曲面的几何性质,也可以通过图形直观理解方程.

(1)已知曲面S上的点所满足的几何条件,建立曲面的方程.

(2)已知曲面的方程,研究曲面的几何形状.

解

在球面上任取一点

M(x,y,z),则

|M0

M|

R,由于《高等数学》课件(第八章第七节)

例

1

设一球面的半径为R,球心在点M0(x0,y0,z0).求此球面的方程.所以两边平方,得球面上的点的坐标所满足此方程,不在球面上的点的坐标都不满足此方程,所以这个方程就是所求的球面方程.

例如,从《高等数学》课件(第八章第七节)

如果能从曲面方程

F(x,y,z)0

中解出

z(或y,x),则得到曲面的显式表示

z

f(x,y)(或y

g(z,x),x

h(y,z)).解出表示中心在(x0,y0,z0)半径为R的上(下)半球面.

设C是yOz

坐标面上的曲线,其方程为

f(y,z)0,把这曲线绕z轴旋转一周,得到一个以z轴为轴的旋转曲面,求此旋转曲面的方程.《高等数学》课件(第八章第七节)

2.旋转曲面平面上一条曲线绕着同一平面上的一条定直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面,这条定直线称为旋转曲面的轴.

设

M1(0,y1,z1)为曲线

C上任意一点,则有

f(y1,z1)0,曲线绕z轴旋转时,M1点随曲线绕z轴转到的位置

M

(x,y,z).在旋转过程中,动点M的z坐标等于z1,且M到z轴的距离等于M1到z轴的距离,即代入f(y

1,z

1)0,得《高等数学》课件(第八章第七节)xyzOMM1C

z

z1,

这就是所求的旋转曲面的方程.

同理,曲线

C绕

y轴旋转所成的旋转曲面的方程为对zOx

坐标面上的曲线g(z,x)0绕

z轴和x

轴旋转所成的旋转曲面,以及

xOy

坐标面上的曲线h(x,y)0绕

x轴和y

轴旋转所成的旋转曲面,可类似讨论其方程.

解

绕

x轴旋转所生成的旋转曲面的方程为《高等数学》课件(第八章第七节)

例

2

将

xOz

坐标面上的椭圆

分别绕

x轴和

z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.绕

z轴旋转所生成的旋转曲面的方程为

这两种曲面都称为旋转椭球面.或

z2

k2(x2

y2),其中kcot

.《高等数学》课件(第八章第七节)

例3

直线L绕另一条与L相交的定直线旋转一周,所得的旋转曲面叫做圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,两直线的夹角

(0<

<)称为圆锥面的半顶角.建立顶点在坐标原点,旋转轴为z轴,半顶角为

的圆锥面的方程.xyzO

解

在

yOz

坐标面上,直线

L的方程为此直线绕z轴旋转所生成的圆锥面方程为

不含z的方程F(x,y)0,表示一个母线平行于z轴,以xOy

平面上曲线F(x,y)0为准线的柱面.《高等数学》课件(第八章第七节)

3.柱面平行于定直线并沿定曲线C移动的动直线L形成的轨迹叫做柱面,定曲线C叫做柱面的准线,动直线L叫做柱面的母线.xyzOCL

不含

x

的方程

H(y,z)0表示母线平行于

x轴,以yOz

平面上曲线H(y,z)0为准线的柱面.不含

y的方程G(z,x)0表示母线平行于

y轴,以zOx

平面上曲线G(z,

x)0为准线的柱面．《高等数学》课件(第八章第七节)

例如,方程y2

2x表示母线平行于

z轴的柱面,xOy

坐标面上的抛物线是它的一条准线.称这个柱面为抛物柱面.xyzOy2

2x

表示母线平行于

z轴的椭圆柱面.

表示母线平行于

z轴的双曲柱面.

圆柱面,抛物柱面,椭圆柱面和双曲柱面的方程都是二次的,所以这些柱面统称为二次柱面.

x2

y2

R2

表示母线平行于

z轴的圆柱面.

当方程F(x,y,z)0的左边是关于x,y,z

的多项式时,称由方程F(x,y,z)0表示的曲面为代数曲面,多项式的次数称为代数曲面的次数.一次方程表示的曲面叫一次曲面,二次方程表示的曲面叫二次曲面.

《高等数学》课件(第八章第七节)

8.7.2二次曲面

1.曲面的分类

常见的二次曲面有:

椭球面

:(a,b,c为正数).称a,b,c为椭球面的半轴.

《高等数学》课件(第八章第七节)

双叶双曲面

:

(a,b,c为正数).

双曲抛物面

(马鞍面):

(p,q为正数).

椭圆抛物面

:

(p,q同号).

二次锥面

:(a,b,c为正数).

单叶双曲面

:

(a,b,c为正数).

用坐标面和平行于坐标面的三组平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌.这种方法叫做截痕法.《高等数学》课件(第八章第七节)

2.二次曲面的图形例4画出椭球面

即|x|

a,|y|b,|z|c.的图形.

解先确定

x,y,z

的取值范围,由方程可知《高等数学》课件(第八章第七节)说明椭球面包含在一个以原点为中心的长方体内,这个长方体的六个面分别落在x

a,y

b,z

c平面上.

椭球面与三个坐标面的交线为椭圆xyz《高等数学》课件(第八章第七节)当|z1|由0逐渐增大到c时,椭圆截面由大到小,最后缩成一点.

用平行于

xOy

面的平面

z

z1(|z1|c)截椭球面,截痕为这是z

z1

平面上的椭圆,它的中心在z轴上,两个半轴分别为

以平面

y

y1(|y1|b)或

x

x1(|x1|a)截椭球面,可得与上述类似的结果.《高等数学》课件(第八章第七节)它可以看成yOz

平面上的椭圆绕z轴旋转而成的旋转曲面,称其为旋转椭球面.

当两个半轴相等,例如

a

b,方程成为

当三个半轴都相等时,得球面方程《高等数学》课件(第八章第七节)的图形.

例5

画出单叶双曲面xyz

解

(1)用平面z

z1

截曲面,截痕为这是z

z1

平面上的椭圆,其中心位于z轴上,两个半轴分别为

z1

0时,截得的椭圆最小,随着

|z1|的增大,椭圆也在增大.《高等数学》课件(第八章第七节)当|y1|<b时,截痕是平面y

y1上的双曲线,其实轴平行于x轴,虚轴平行于z轴,实半轴和虚半轴分别为

(2)用平面y

y1

截曲面,截痕为当|y1|>b时,截痕仍是y

y1平面上的双曲线,实轴平行于z轴,虚轴平行于x轴,实半轴和虚半轴分别为《高等数学》课件(第八章第七节)

(3)用平面x

x1

截曲面,得到的结果与(2)相似.

当

y1

b时,截痕是一对相交直线《高等数学》课件(第八章第七节)一般,曲面的参数方程为含两个参数

u,v的方程组

:

3.二次曲面的参数方程用参数方程表示曲面在应用和作图上有一定的优势.

其中u,v属于uOv

平面上区域D.

《高等数学》课件(第八章第七节)称上式为球面x2

y2

z2

R2的参数方程.xyzMPO

考查球面方程x2

y2

z2

R2.

设M(x,y,z)是球面上一点,以

(0

)表示从z轴正向到的转角,设P

是M在xOy平面上投影,以

(0