3-8 最值问题模型

第八节最值问题模型

第三章

一、函数在闭区间上的最值二、函数在开区间上的最值问题三、最值问题模型举例一、函数在闭区间上的最值若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则

f(x)在[a,b]上必定存在着最大值和最小值；最大（最小）值可能在开区间(a,b)内取得，最大（最小）值可能在端点处取得;除有限个点外可导，且至多在有限个点处倒数为零，此时最大（最小）值必是f(x)的一个极大（极小）值，而且相应的点必是f(x)的驻点或不可导点；因此，求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤如下：(1)

求f(x)在（a,b）内的全部驻点和不可导点;(2)

计算区间端点及驻点和不可导点的函数值；(3)

比较这些函数值的大小，特别地，若f(x)在[a,b]上是单调函数，值和最小值分别在区间[a,b]的两个端点处取得.最大者即为f(x)在[a,b]上的最大值.最小者最小值.那么最大试求解例1又最大值为故所求的最小值为从而二、函数在开区间上的最值问题在开区间上求连续函数

f(x)的最值问题较为复杂,通常可利用的符号,的全局性态作大致分析,甚至有的时候开区间上的连续函数可以没有最大值和最小值.进而利用

f(x)的极值(即局部范围的最值)的充分条件来确定函数在这个区间上的最大值或最小值.即函数的单调性,对

f(x)设

f(x)在(a,b)内连续且可导(或至多在处不可导),为

f(x)在(a

,

b)内的唯一驻点(或不可导点),则(1)若对(2)若对定理3.14设f(x)在(a,b)具有连续导数,处具有二阶导数,为f(x)在(a

,

b)内的唯一驻点,则定理3.15(1)若(2)若解例2求证：三、最值问题模型举例在实际问题中,或最小值,则可以断言不再需要另行判定.必是f(x)在区间I

上的最大值或如果根据问题的性质可以判断目标函数f(x)在其定义区间I的内部确有最大值而f(x)在I内可导且只有唯一的驻点最小值,例3解例4解(方法1)(方法2)解例5内容小结1.注意最值与极值的区别最值是整体概念而极值是局部概念.最值点应在极值可疑点和边界点上找;应用题可根据问题的实际意义判别.2.连续函数的最值解思考题而所以此极大值就是最大值.

求函数上的最大值和最小值.解备用题

例1-1易知且又故函数在处取最小值0;在及处取最大值5.125yOx例2-1证求最小的A值,使得解f(x)的定义域为

这是开区间内唯一驻点.例2-2本题即为求A的值,使函数f(x)取得最小值24.

从中解得此时启发:利用最值可以证明一些不等式.内的最所以,是f(x)在小值.证例2-3另由题设得用反证法.从而推出矛盾，需为零.解例3-1设A,D分别是曲线梯形ABCD的面积为：得梯形ABCD面积最大.距墙多远处看图才最清楚?

观察者的眼睛1.8m,例3-2一张1.4m高的图片挂在墙上,它的底边高于设观察者与墙的距离为xm,则问观察者在解要看图最清楚,只要视角

最大.分析令得唯一驻点根据问题的实际意义,因此观察者站在距离墙2.4m

处视角

最大,从而看图最清楚.观察者最佳站位存在,例3-3

把一根直径为

d

的圆木锯成矩形梁,问矩形截面的高h

和

b

应如何选择才能使梁的抗弯截面由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为令得从而有即解截面模量最大?模量最大?由实际意义可知,所求最值存在,且驻点唯一,故所求结果就是最好的选择.例3-4铁路上AB段的距离为100km,工厂C距AAC⊥

AB,要在AB线上选定一点D向已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,D点应如何选取?

20解

设则总运费为使货物从B运到工厂C的运费最省,问处20

km,工厂修一条公路,

(k

为某一常数)令得又所以为唯一的极小点,