20-向量的概念、线性运算及向量的坐标表示

第20课向量的概念、线性运算及向量的坐标表示【教学目标】1、理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向量的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件3、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。4、培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。【教学重难点】理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算【考点分析】从近几年高考试题看，平面向量的概念、线性运算及坐标表示是向量的数量积及其应用的基础知识，在高考中直接考查以选择或填空题为主。【课前热身】1.O是正六边形ABCDE的中心，且，，，在以A，B，C，D，E，O为端点的向量中：（1）与相等的向量有；（2）与相等的向量有；（3）与相等的向量有。2.化简3．在中，，．若点满足，则_____（用，表示）．4．在四边形ABCD中，，那么四边形ABCD为__________。5．一架飞机向西飞行100km，然后改变方向向南飞行100km，则飞机两次位移的和为6.若、是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）A.+和—B.3—2和6—4C.+3和3+D.和+7.与向量平行的单位向量为8.已知O是坐标原点，A(2,-1)，B(-4,8)，且,则的坐标为.9．两向量共线是两向量相等的_______A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【知识点梳理】1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量，叫向量向量的大小叫做向量的（或）零向量长度为的向量；规定：零向量方向是任意的记作单位向量长度等于长度的向量平行向量方向或的非零向量与任一向量或共线共线向量向量又叫做共线向量相等向量长度且方向的向量相反向量长度且方向的向量的相反向量为2.向量的线性运算向量运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算法则法则法则（1）交换律：=（2）结合律：=减法与的差，记作法则数乘求实数λ与向量的积的运算（1）||=.（2）当λ＞0时，与的方向；当λ＜0时，与的方向；当λ=0时，=.λ（μ）=;（λ+μ）=;λ（）=.3.向量共线定理：对于两个向量,,（1）如果有一个实数λ，使，那么与是共线向量.（2）如果与（）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使.4.平面向量的坐标表示（1）平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ、μ，使=，不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组，λ+μ叫做向量关于基底，的分解式.当，所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的分解。（2）在直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个向量,作为基底，任作一个向量，由平面向量基本定理知，有一对实数,，使得：=+，（,）叫做向量的，记作（,y），显然=，=，=.（3）平面向量的坐标运算①若,，则=，=.②一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标，即如果,，则=,||=，这就是平面内两点间的距离公式.③若，则λ=;当λ=时，表示方向的单位向量.④如果，，则∥的充要条件是；若≠0,则亦可表示为.（4）如果,，，若P为AB中点时，P点的坐标为，若G为△ABC的重心时，G的坐标为【典型例题与变式练习】题型一平面向量线性运算【例1】平行四边形ABCD中，M,N分别是DC,BC的中点.已知，试用，表示，.＊【例2】设是两个不共线的非零向量.（1）若-，+2，-8-2，求证：A,C,D三点共线；（2）若-k和k-2共线，求实数k的值。【变式训练1】设是两个不共线的非零向量，为实数，若起点相同，为何值时，三向量的终点在同一直线上？【变式训练2】设、不共线，点P在AB上，求证：=+且，R.题型二平面向量的坐标运算【例4】平面内向量。（Ⅰ）求满足条件的实数；（Ⅱ）若⊥，求实数的值。【变式训练1】四边形中，若，，求的值及四边形的面积。【变式训练2】已知向量.（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值。【方法与技巧总结】1.向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；2.掌握向量的共线与垂直；【巩固练习】1．设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则______．2．在平行四边形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，则平行四边形ABCD的形状是_______．3.设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值等于。4．(2010·四川卷)设点是线段的中点，点在直线外，，，则______．5.在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为__________。6.已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)，若点P满足,当=，点P在直线y=x上；当=，点P在第四象限。7.已知点A(3，1)、B(-1，3)，若点C满足,其中,且则点C的轨迹方程是8.若，且，则向量与的夹角为.【拓展训练】1.（全国一5）在中，，．若点满足，则=（A）A． B． C． D．2.（安徽卷2）若，,则（B）A． （1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）3.（广东卷3）已知平面向量，，且//，则＝（B）A、B、C、D、4.（海南卷5）已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（A）A.－1 B.1 C.－2 D.25.（海南卷9）平面向量，共线的充要条件是（D）A.，方向相同 B.，两向量中至少有一个为零向量 C.， D.存在不全为零的实数，，6.（辽宁卷5）已知四边形的三个顶点，，，且，则顶点的坐标为（A）A． B．