《高等数学上册 第2版》习题及答案 蒋国强 第6章习题解答

PAGEPAGE1习题解答习题6－21．求由下列各组曲线或直线所围成的平面图形的面积：（1）与；解，得交点为，，；（2）与及；解；（3）与、及；解；（4）与；解，得交点为，，；（5）摆线,与；解；（6）阿基米德螺线与极轴．解．2．求由抛物线及其在点和处的切线所围成的平面图形的面积．解，在点处，，切线方程：，在点处，，切线方程：，，得交点为，；．3．求由抛物线及其的法线所围成的平面图形的面积．解，在点处，，法线方程：，，解得，．4．求由下列各组曲线所围成的图形公共部分的面积（1）及；解；（2）及．解，解得，．5．问为何值时，由曲线、直线及所围成的图形面积为最小．解，解得，，令，解得，由，得时，图中阴影部分面积最小．6．求由下列各组曲线或直线所围成的平面图形，绕指定的轴旋转所构成的旋转体的体积：（1）、及，分别绕轴、轴；解，；（2）及，绕轴；解；（3），绕轴；解；（4）、、及，绕轴．解．7．求位于曲线下方，轴右方以及轴上方之间的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积．解．8．求以抛物线与直线所围成的图形为底，而垂直于抛物线轴的截面都是等边三角形的立体的体积．解，．9．求以半长轴、半短轴的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形的立体的体积．解椭圆的方程为：，，．10．求下列曲线在指定范围内的一段弧的长度：（1），；解；（2），；解，令，则，，由，得，由，得，所以；（3）摆线，；解；（4）求心形线的全长．解．习题6－31．设有一弹簧原长为m，每压缩cm需要N的力，若将弹簧自cm压缩至cm，求克服弹性力所作的功．解，，，，取弹簧所在直线为轴，原长的端点为原点，则（J）；2．直径为cm、高为cm的圆筒内充满压强为N／cm2的蒸汽．设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问要作多少功？解设压强为，体积为，由，，（Ncm）（Nm），取圆筒母线为轴，为积分变量，则积分区间为，（J）；3．一物体按规律作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，求物体由移至时，克服介质阻力所作的功．解速度，阻力，（J）；4．设有截面面积m2、深m的水池，用水泵把水池中的水全部抽到m高的水塔顶上去，问要作多少功？解（J）；5．水坝中有一直立的矩形闸门，宽m，高m，闸门的上边平行于水面，当水面在闸门顶上m时，求闸门所受的压力．解（N）；6．洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体，已知椭圆的长轴为m、短轴为m，柱体的长为m，当水箱装满水时，求水箱的一个端面所受的压力．解以椭圆中心为坐标系原点，铅直向下为轴正向，则椭圆方程为（N）；7．设有一铅直倒立的等腰三角形水闸，其底为，高为，且底与水面相齐，求水闸所受的压力；若把等腰三角形倒放，且顶点与水面相齐，而底与水面平行，求水闸所受的压力．解当三角形底与水面相齐放置时，；当三角形顶与水面相齐，底与水面平行放置时，．习题6－41.已知某产品总产量（单位：件）的变化率是时间t（单位：年）的函数，求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少？解第一个五年的总产量为（件）；第二个五年的总产量为（件）．2.若某厂产品的边际收益为（元／个），且销售量为零时，总收益为零．求（1）总收益函数；（2）当销售量由50个增加到60个时增加的收益．解（1）；（2）（元）．3.每天生产某产品单位时，固定成本为20元，边际成本为（元／单位）．（1）求总成本函数；（2）如果该产品销售价为18元／单位且产品可以全部售出，求利润函数．（3）每天生产多少单位产品时，总利润最大？最大总利润为多少？解（1）；（2）；（3），令，得，，所以，单位产品时，总利润最大，（元）．总习题61．选择题：（1）由连续曲线，直线、及轴所围成的图形面积（）；（A）（B）（C）（D）解选项C正确；（2）曲线，轴及轴所围成的图形被曲线分为面积相等的两部分，其中，则常数（）；（A）（B）（C）（D）解，解得，，，由，解得，即选项C正确；（3）设，在上连续，且（为常数），则由曲线，及直线、所围成的平面图形绕直线旋转而成的旋转体体积（）；（A）（B）（C）（D）解，即选项B正确；（4）曲线从到的一段弧长（）．（A）（B）（C）（D）解，，即选项A正确．2．填空题：（1）由曲线、及直线所围成的图形面积为；解；（2）由对数螺线及射线所围成的平面图形面积为；解；（3）由曲线及直线所围成的平面图形绕轴旋转所得旋转体体积为；解；（4）底为cm、高为cm的等腰三角形薄片，铅直地沉没在水中，顶在上距水面cm，底在下且与水面平行，则三角形薄片的一侧所受的压力为．解（N）．3．求曲线在区间内的一条切线，使该切线与直线，及曲线所围成的图形面积为最小．解设切点为，，则切线方程为，即，，令，解得，且，所以时面积最小，所求切线方程：．4．设有曲线，在原点与之间求一点，使该点左右两边阴影部分的面积相等，并写出的表达式．解，由，得，．5．求由曲线，直线及所围成的第一象限内的图形绕轴旋转所得旋转体的体积．解．6．求由星形线所围成的图形绕轴旋转所得旋转体的体积．解．7．过单位圆外一点作该圆的切线，交圆于．图中扇形和阴影部分分别绕轴旋转一周得到两个旋转体，问为何值时，这两个旋转体体积相等．解设圆的方程为：，切点，斜率，切线方程：，即，由切线过点，得，切线方程：；直线的方程：；，由，即，，解得，（舍去）．8．求曲线被抛物线所截一段弧的长度．解，得，交点横坐标，曲线关于轴对称，且与轴交点为，，即，．9．设有一半径为、高为的金属正圆柱体（密度为）沉入水中，上底与水面相齐，现将圆柱铅直地打捞出水面，求所作的功．解取轴铅直向上，圆柱下底面位置为坐标原点，则积分区间，．10．设有一平面薄板，上半部分是底为m、高为m的等腰三角形，下半部分是直径为m的半圆．将该薄板垂直地沉没在水中，且等腰三角形的顶点与水面相齐，底与水平面平行，求薄板一侧所受到的水压力．解取轴铅直向下，轴为水面位置，则计算三角形上压力的积分区间是，，取轴铅直向下，轴为半圆直径位置，则计算半圆上压力的积分区间是，（N）．11.某种产品的总成本C（万元）的变化率是产量（百台）的函数，总收入R（万元）的变化率是产量的函数．（1）求产量由