《高等数学下册 第2版》-蒋国强 教案大纲

《高等数学》课程教学大纲英文名称：AdvancedMathematics课程类别：通识公共必修课适用专业：应用型本科理工及经管类各相关专业总学分：8总学时：128（第一学期64，第二学期64）一、课程简介高等数学课程是应用型本科高等学校理工及经管类相关专业的一门重要的必修基础理论课。高等数学课程是以处理微分和积分这一对矛盾为主要内容的一门学科，它主要包括一元函数的极限与连续、一元函数微积分学、二元函数微积分学、无穷级数、微分方程等内容。通过开设本课程，不仅可以使学生实现从“常量数学”到“变量数学”的转变，而且能培养学生抽象概括问题能力、逻辑推理能力、熟练运算能力和自学能力，为学习其它后续基础课程和专业课程打下必要的数学基础。同时，本课程更是一门关于思维模式的课程，对提高大学生综合素质、加强分析问题能力、启迪创新意识都有至关重要的作用。（注：可根据不同专业的具体要求，对教学内容作适当调整。）二、教学目标（一）总体目标《高等数学》课堂的教学目标是帮助学生正确理解和系统掌握一元及二元函数微积分、无穷级数和微分方程的基本概念、基本理论和方法，逐步培养学生熟练地运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力；培养学生学会用数学思维方式去观察生活中遇到的实际问题，特别是能综合运用所学知识分析问题、解决问题，提高学生在数学方面的素质和修养，也为学生学习后续课程以及进一步获得新知识打下扎实的数学基础。本课程的教学应具有传授知识和思想政治教育双重功能。在教学过程中，教师通过巧妙地融入与高等数学课程直接相关的数学史、高等数学理论方法中蕴含的哲学思想等内容，使学生在学习高等数学知识的同时能树立正确的世界观、人生观、价值观，坚定“四个自信”。（二）课程目标通过《高等数学》课程的学习，使学生达到下述四个方面的目标：课程目标1：思政教育目标通过高等数学课程相关中国数学史的引入，激发学生的民族自豪感和爱国主义情怀；(2)体会微积分中的有限与无限、曲与直、连续与间断等辩证法原理，帮助学生树立辩证唯物主义世界观；(3)通过对一些重难点内容的引入、分析与解决激发学生的学习兴趣，培养学生优良的道德品质、坚强的意志品质；并使学生能正确对待人生发展中的顺境与逆境；(4)数学既来源于实际又服务于实际，通过对自然界、国民经济建设中与高等数学原理、知识相关案例的讲解，激发学生的科学探索精神，巩固辩证思维，培养学生敢于创新、勇于探索的思想意识和团结协作精神。课程目标2：知识技能目标通过本课程的学习，学生应理解和掌握一元函数微积分及其应用、无穷级数等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，为今后进一步学习其他数学课程后续课程和专业课程奠定扎实的数学基础。课程目标3：思想能力目标通过本课程的学习，学生应具备如下能力：熟练的运算能力、逻辑推理能力、抽象概括能力；综合运用高等数学的知识和思想方法进行分析和解决问题的能力；较强的自主学习能力；主动探索和独立思考的能力；将数学思想扩展到其它领域的创新能力。课程目标4：综合素养目标通过本课程的学习，提高学好数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成良好的数学学习习惯；主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质；善于用数学的手段对现实世界中的复杂现象进行合理的简化和量化，建立数学模型；树立善于思考、敢于质疑、勇于探索、严谨求实的作风和团队合作精神，认识数学课程的科学价值、应用价值、文化价值。三、教学内容和学时分配表1课程教学安排表章节/单元主要教学内容讲课时数章节/单元主要教学内容讲课时数第1章函数与极限16第8章12第2章导数与微分12第9章积分学8第3章微分中值定理及导数的应用12第10章无穷级数14第4章不定积分12第11章微分方程10第5章定积分12第6章定积分的应用8第7章12合计128第1章函数与极限教学要求：理解极限的概念，掌握极限的运算、性质，掌握两个重要极限；理解函数连续的概念。理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；了解闭区间上连续函数的性质及其应用。教学内容：（1）函数与极限（2）无穷小与无穷大，无穷小的比较（3）极限运算法则，极限存在准则，两个重要极限（4）函数的连续性和间断点（5）闭区间上连续函数的性质重点难点：重点：极限运算法则，极限存在准则，两个重要极限，函数的连续性和间断点。难点：函数与极限，函数的连续性和间断点，闭区间上连续函数的性质。思政元素：从庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”到刘徽的割圆术，无不体现了我国古代朴素的极限思想，从而激发学生的文化自信与民族自豪感；让学生从辩证思维的角度体会从有限到无限、量变到质变的规律。无穷小和无穷大两者概念虽然不同，但可以通过倒数运算实现转化，反映了矛盾的对立与统一，在一定条件下，矛盾的双方可以相互转化。第2章导数与微分教学要求：理解导数、微分的概念和几何意义，了解导数的物理意义，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的高阶导数。会求分段函数的导数。会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。教学内容：（1）导数的概念，导数的几何意义，可导与连续的关系（2）基本导数公式与函数的求导法则（3）函数的和、差、积、商的求导法则（4）反函数的求导法则，复合函数的求导法则（5）高阶导数，隐函数及由参数方程所确定函数的导数（6）函数的微分，微分在近似计算中的应用（7）导数概念在经济学中的应用重点难点：重点：导数的概念，反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数及由参数方程所确定函数的导数，函数的微分，微分在近似计算中的应用。难点：反函数的求导法则，复合函数的求导法则，高阶导数。思政元素：通过回溯导数和微分思想的历史发展，让学生充分认识数学对于社会的作用，能初步体会到微分思想对于近似计算以及局部逼近技术等方面的重要性，激励学生学以致用、挑战创新，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。第3章微分中值定理及导数的应用教学要求：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理。掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。会判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直渐近线。教学内容：（1）微分中值定理（2）洛必达法则（3）函数的单调性、极值、最大值与最小值（4）曲线的凹凸性与拐点、渐近线、函数图形的描绘重点难点：重点：微分中值定理，洛必达法则，函数的单调性、极值、最大值与最小值。难点：利用中值定理作证明。思政元素：通过学习微分中值定理，使学生了解到认识事物从简单到复杂，从特殊到一般的过程，培养学生的逻辑归纳等能力。函数曲线上的极值点和最值点好比人生，让学生明白人生不可能都是一帆风顺的，遇到困难是正常的，只要调整好心态，不悲观、不气馁，坚持努力，柳暗花明的胜景就在前方。在讲解曲率的概念和计算方法时，可以给学生展示曲率在实际工程中的应用，如高架桥的弧度、火车缓冲轨道的设计等，激励学生运用所学知识和科学的思想方法，提高分析和解决问题的能力。第4章不定积分教学要求：理解原函数概念、不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握两类换元积分法与分部积分法。会求简单有理函数、三角函数有理式和无理函数的积分。教学内容：（1）不定积分的概念与性质（2）换元积分法（3）分部积分法（4）有理函数的积分、可化为有理函数的积分举例重点难点：重点：换元积分法，分部积分法。难点：换元积分法。思政元素：不定积分的计算有利于培养学生思维的敏捷性、灵活性、广阔性，反映到平常生活中我们要多角度思考、灵活处理实际问题。第5章定积分教学要求：理解定积分的概念。掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。理解变上限定积分定义的函数及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。了解反常积分的概念并会计算反常积分（主要是无穷限的反常积分）。教学内容：（1）定积分的概念与性质（2）积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式（3）定积分的换元积分法和分部积分法（4）反常积分重点难点：重点：定积分的概念与性质，积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式。难点：积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式，反常积分。思政元素：在讲解定积分概念时，从几何和物理的角度，使学生认识到“分割(化整为小)”、“近似代替”、“求和(积小为整)”、“取极限(精确化)”这一过程中的数学思想，体会从“有限”到“无限”、从量变到质变的辩证思想。延伸出我们平常处理复杂问题时，可以把复杂问题分解为一系列简单的小问题，从而各个击破。不积跬步，无以至千里，做好简单的小事方能成就复杂的大事。第6章定积分的应用教学要求：理解微元法的基本思想；掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积）。用定积分表达和计算一些物理量及经济量。教学内容：（1）定积分的微元法（2）定积分在几何学上的应用（面积、体积、弧长）（3）定积分在物理学及经济学上的简单应用。重点难点：重点：定积分的微元法，定积分在几何学上的应用。难点：定积分在几何学上的应用，定积分在物理学上的应用。思政元素：从“元素法”（局部、微观）入手，将实际问题（几何，物理，经济）转化为定积分（宏观），有助于提高学生应用定积分解决实际问题的能力,训练学生的辩证思维能力。第7章教学要求：理解向量的概念及其表示。掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），掌握两个向量垂直和平行的条件。理解空间直角坐标系，理解曲面方程的概念，了解常用曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。了解空间曲线的参数方程和一般方程。掌握平面方程和直线方程及其求法。了解空间曲线在坐标平面上的投影。教学内容：（1）向量及其线性运算（2）向量的数量积向量积（3）曲面及其方程（4）空间曲线及其方程（5）平面及其方程（6）空间直线及其方程重点难点：重点：向量的数量积向量积，空间平面、直线及其方程难点：方程与空间图形的对应，空间曲线及其方程思政元素：在学习旋转曲面时，通过播放神舟飞船的发射视频或展示图文资料，引导学生注意航天器的外表面形状，使学生对旋转曲面有直观感受的同时，也可帮助学生学习中国航天人的奉献精神，激发学生的爱国主义情怀。通过多媒体手段给学生展示二次曲面的一个重要应用--透镜的设计（主要用于望远镜、显微镜等光学仪器的制作），从而激发学生学习高等数学的积极性及学以致用的动力。第8章教学要求：理解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续性的概念，理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分。掌握多元复合函数偏导数的求法。会求隐函数的偏导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学内容：（1）多元函数的基本概念、多元函数的极限与连续性（2）偏导数、高阶偏导数（3）全微分（4）多元复合函数的求导法则（5）隐函数的求导公式（6）微分法在几何上的应用（曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）（7）多元函数的极值求法，条件极值的拉格朗日乘数法重点难点：重点：偏导数、高阶偏导数，多元复合函数的求导法则，多元函数的极值，条件极值的拉格朗日乘数法。难点：多元复合函数的求导法则，隐函数的求导公式，条件极值问题。思政元素：通过对一元函数与多元函数的定义、极限、连续性概念及性质的比较，深刻领会世界的多样性与类似性，激发学生认识世界的主动性。结合几何实例帮助学生理解偏导数、全微分的含义，让学生掌握抽象问题具体化、具体问题抽象化的思考方法。第9章多元函数积分学教学要求：理解二重积分的概念，了解重积分的性质。掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。理解二重积分的几何意义。教学内容：（1）二重积分的概念与性质（2）二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）（3）二重积分的应用（主要是曲顶柱体的体积）重点难点：重点：二重积分的计算法（直角坐标、极坐标）。难点：积分次序的交换，极坐标下二重积分的计算。思政元素：重积分是将定积分推广至平面点集或空间立体上的积分，而其计算又必须转换为一元定积分来计算，这充分说明世间万物总是相互作用、相互影响的辩证思想。第10章无穷级数教学要求：理解数项级数敛散性的概念，掌握级数的基本性质。掌握几何级数与P-级数的收敛与发散的条件。掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法。掌握交错级数的莱布尼茨判别法。了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数。会将一些简单函数间接展开成幂级数。教学内容：（1）常数项级数的概念和性质（2）正项级数、交错级数的审敛法（3）绝对收敛与条件收敛（4）幂级数及其收敛性、幂级数的运算（5）函数展开成幂级数及其应用重点难点：重点：正项级数、交错级数的审敛法，幂级数及其收敛性、幂级数的运算，函数展开成幂级数。难点：绝对收敛与条件收敛。幂级数及其收敛性、幂级数的运算。思政元素：介绍无穷级数的历史与起源时，特别介绍我国古代数学家的卓越贡献，从而培养学生科学的历史观，增强学生的文化自信和民族自豪感。在讨论正项级数敛散性时，让学生明白虽然调和级数的通项趋近于0，但调和级数本身却发散到无穷大。这个数学事实蕴含着一个深刻的道理：不要小看少量的积累，很多小量的和可以很大。不以恶小而为之，不以善小而不为。第11章微分方程教学要求：了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特解等概念。熟练掌握几种常见类型一阶微分方程的解法。理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。会解决一些简单的应用问题。教学内容：（1）微分方程的基本概念（2）一阶微分方程（3）二线性微分方程解的结构（4）二阶常系数线性齐次微分方程（5）二阶常系数线性非齐次微分方程重点难点：重点：一阶微分方程，二阶常系数线性非齐次微分方程。难点：二阶常系数线性非齐次微分方程。思政元素：微分方程是对自然科学和工程技术中各种不同系统的数学描述，是数学理论联系实际的一个重要桥梁。通过介绍生物经济、航空航天、物理化学等学科中的一些微分方程的实例，促使学生深刻领会数学建模思想方法，提高解决实际问题的能力。通过学习常数变易法，让学生体会到这种方法简单明了的同时，也让学生了解到这是数学家拉格朗日十余年的研究成果，体现了科学家们在追求真理、探求知识过程中的宝贵工匠精神。由此鼓励学生在学习过程中要有持之以恒、坚持不懈的品质精神。四、教学方法本课程以极限为主线组织教学，课堂教学与研究性教学相结合，引导学生自主探究获取知识。以课堂讲授、黑板板书、ppt演示为主，课后