《高等数学下册 第3版》-刘金林 第10章（重积分）习题解答

PAGEPAGE15习题解答习题10.11．设一平面薄板占有面上的闭区域D，其上分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷Q．解由二重积分的定义可知，电荷．2.略．3.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1），其中；解区域的面积=，区域的面积=，因为，所以：；（2），其中D是圆周围成的闭区域；解对区域D上的任意点，都有：，，所以：；（3），其中D是由直线围成的闭区域．解对区域D上的任意点，都有：，，所以：．4.利用二重积分的性质，估计下列积分的值：（1）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（2）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（3）其中D是两坐标轴与直线围成的闭区域．解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得．习题10.21.计算下列二重积分：（1）其中；解；（2），其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解；（3），其中D是顶点分别为的三角形闭区域；解；(4)，其中．解．2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；解图略；（2），其中D是由所围成的闭区域；解图略；（3），其中；解图略；（4），其中D是由直线所围成的闭区域．解图略．3.化二重积分为二次积分（分别给出两种不同的积分次序），其中积分区域D分别为：（1）由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解图略或；（2）由及所围成的闭区域；解图略或（3）由及所围成的闭区域．解图略或4.略．5.交换下列二次积分的次序：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．6.通过交换积分次序计算下列二重积分：（1）；解；（2）．解．7.设连续，证明：．证：交换积分次序，得．8.利用“对称性”计算下列二重积分：（1），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重积分）习题解答.doc"OLE_LINK1\a\r解积分区域D关于y轴对称，且函数关于x是奇函数，故有；（2），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重积分）习题解答.doc"OLE_LINK1\a\r解积分区域D关于x轴对称，且函数关于y是偶函数，关于y是奇函数，故有；（3），其中．LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重积分）习题解答.doc"OLE_LINK1\a\r解积分区域D关于x轴和y轴都对称，且函数关于x和y是都偶函数，故有．9.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．10.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）．解图略．11.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略．（4）．解图略．12.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中D由圆周所围成的闭区域；解图略；（2），其中D由圆，直线和轴所围成的闭区域；解图略（3），其中D由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域；解图略；（4），其中解图略．13.选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中D是由直线所围成的闭区域；解图略；（2），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；解图略．（3）其中D是由直线及曲线所围成的闭区域；解图略；（4），其中；解图略．（5）其中．解图略原式．*14.作适当的变换，计算下列各题：（1）其中D由双曲线和，直线和及所围成的在第一象限内的闭区域；解令，即，xOy平面上的闭区域D变换为平面上的闭区域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．（2）其中D是以和为顶点的三角形闭区域；解令，即，闭区域D变换为闭区域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．*15.作适当的变换，证明等式：，其中闭区域．解令，即，闭区域D变换为闭区域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．习题10.31.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1）；解图略；（2）由锥面及平面所围成的闭区域；解图略；（3）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域；解图略．（4）由曲面及所围成的闭区域．解图略．2.略．3.计算下列三重积分：（1），其中为平面所围成的四面体；解．（2），其中是由平面与三个坐标面所围成的四面体；解；（3）其中为球面及三个坐标平面所围成的在第一卦限内的闭区域；解．（4）其中为曲面及平面所围成的闭区域；解．（5）其中是由圆锥面与平面所围成的闭区域；解：，．（6）其中是由抛物面与平面所围成的闭区域．解：，．4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）其中是由曲面及所围成的闭区域；解；（2）其中；解原三重积分；；另解由对称性得，所以原三重积分；（3）其中是由柱面及平面所围成的闭区域．解原三重积分．*5.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）其中是由球面所围成的闭区域；解原三重积分．（2）其中．解原三重积分．6.选用适当的坐标计算下列各题：（1）其中是由圆柱面与平面所围成的闭区域；解由对称性得，；另解；（2）其中是由圆锥面与平面所围成的闭区域；解；*（3）其中；解原三重积分．（4）其中；解：，．*（5）其中是由球面所围成的闭区域；解原三重积分．（6）其中．解：，．习题10.41.计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积．解记，则．2.计算圆柱面被平面及圆锥面所截得的立体的体积．解记，则．3.求由下列曲面所围成的立体的体积：（1）及；解；（2）及；解；（3）及；解．（4）及；解记，则．*（5）及（含有z轴的部分）．解．4.求抛物面在xOy平面上方部分的面积．解记，由得：．5.求半球面上部分的面积．解记，由得：．6.求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解记，由得：．7.求圆锥面被圆柱面所截得部分的曲面面积．解记，由得：．8.求柱面含在柱面内的那部分面积．解考虑第一卦限部分．记，由得：．9.设平面薄片所占的闭区域D由直线和x轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量．解所求薄片的质量．10.设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度，求该物体的质量．解物体的质量．11.求下列均匀薄板的质心，其中薄板所占的闭区域D如下：（1）D由围成；解闭区域关于x轴对称，所以质心必位于x轴上，于是．闭区域D的面积：；而，故薄板的质心为．（2）D由围成；解闭区域D的面积：；而，，，故薄板的质心为．（3）D是介于两个圆之间的闭区域．解闭区域关于x轴对称，所以质心必位于x轴上，于是．闭区域D的面积（两个圆面积之差）：；而，故薄板的质心为．12.设平面薄板所占的闭区域D是由所围成，在处的密度，求此薄板的质心．解，，，故薄板的质心为．13.利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度）：（1），；解显然，质心在z轴上，故．由于，所以，从而质心为．（2）；解显然，质心在x轴上，故．由于，，所以，从而质心为．*（3），，．解显然，质心在z轴上，故．由于，，所以，从而质心为．*14.设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方．求此球体的质心．解密度，，由对称性得：，，而所以，，从而质心为．15.设均匀薄片（面密度为常数1）所占的闭区域D如下，求指定的转动惯量：（1）D由围成，求和；解，．（2），求；解．（3）边长为a和b的矩形薄片对两条边的转动惯量．解建立图示坐标系，，．16.求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数1）对于直线的转动惯量．解对于直线的转动惯量为．17.一空间均匀物体（密度为常数）占有的闭区域是由曲面和平面，所围成，（1）求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于z轴的转动惯量．解（1）；（2）显然，质心在z轴上，故，因为，故，所以质心为．（3）．18.平面内的曲线绕z轴旋转得一旋转曲面，这个曲面与平面所围立体上点处的密度，求该立体关于z轴的转动惯量．解平面内的曲线绕z轴旋转所得旋转面的方程为，所求转动惯量．19.求半径为a，高为h的均匀圆柱体（密度）对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量．解建立空间直角坐标系，使圆柱体所占闭区域为，所求转动惯量即圆柱体对于z轴的转动惯量，故（是圆柱体的质量）．20.设均匀柱体密度为，占有的闭区域，求它对位于点处的单位质量的质点的引力．解由柱体的对称性及质量分布的均匀性，显然有，所求引力在z轴上的分量为，所求引力为总习题101.选择题（1）下列结论中正确的是（）．A.若闭区域D由圆周围成，则B.C.若，则D.若，则解由轮换对称性立得：；即选项B正确．（2）设，则（）．A.B.C.D.解由三重积分的极坐标计算法得，即选项D正确．（3）设平面区域，，则（）．A.B.C.D.解如图，D分成四个部分，由于区域关于y轴对称，；区域关于x轴对称，；故，即选项A正确．（4）设空间闭区域，，则有（）．A.B.C.D.解由于积分区域关于yOz平面、xOz平面都对称，而是关于x、y的偶函数，故两次利用对称性可知，选项C正确．（5）设函数连续，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于积分区域是由围成的，故；即选项C正确．（6）设函数连续，且，其中D是由所围成闭区域，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解记（常数），则，积分得即，因为，，所以，，从而，即选项C正确．2.填空题（1）设，则根据重积分的几何意义可得：．解表示以为底，以半球面为顶的曲顶柱体体积，故．（2）设，则根据重积分的几何意义可得：．解根据三重积分的几何意义，表示空间区域围成立体的体积，而此立体是底半径为，高也为的圆锥，故体积等于，即．（3）设函数连续，，若记，则．解交换积分次序，得，所以，．（4）将化为极坐标下的二次积分，得．解记，则．（5）三次积分．解．（6）设，则．解由于积分区域关于xOy平面对称，而是关于z的奇函数，故利用对称性可知，，所以．3.计算下列二重积分：（1），其中；解．（2），其中D是由圆周所围成闭区域；解．（3），其中D是由直线所围成闭区域；解．（4），其中D是由所围成闭区域，为连续函数；解