《高等数学上册 第3版》 课件 D2-1 导数与微分

第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家Newton机动目录上页下页返回结束第一节

导数的概念一、引例二、导数的定义三、由定义求导数举例四、导数的几何意义五、可导与连续的关系第二章一、引例1.变速直线运动的瞬时速度设质点运动的位置函数为则在内的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.切线的斜率切线——割线的极限位置播放如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.设则割线MN的斜率为切线MT的斜率为二、导数的定义定义11.函数在某点处导数的定义注2．左导数与右导数的定义定义2注20

左导数与右导数统称为单侧导数．3．导函数的定义定义3注10（＊＊）式称为导函数的定义式．20

导数与导函数的关系：

30

在不至于引起混淆的场合，导函数通常简称为导数．三、按定义求导数举例例1

按定义求函数的导数．解解一般地例如,例2

按定义求函数的导数．例3

设按定义求．解例4解例5

设求解例6

设求解四、导数的几何意义注法线方程为切线方程为30

解切线方程为法线方程为即即五、可导与连续的关系【简言之，可导一定连续.】证定理注连续不一定可导，不连续一定不可导．例8解（１）连续性在x=０处连续．（２）可导性在x=０处不可导．例9解（１）连续性函数y

在x=０处不连续．（２）可导性但函数y

在x=０处不可导．由（1）知，2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置2.切线的斜率切线——割线的极限位置思考与练习1.

函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数机动目录上页下页返回结束2.

设存在,则3.

已知则4.

若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且机动目录上页下页返回结束5.

设,问a

取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.机动目录上页下页返回结束备用题

解:

因为1.设存在,且求所以机动目录上页下页返回结束在处连续,且存在，证明:在处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故机动目录上页下页返回结束牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家,物理学家,天文学家和自然科学家.他在数学上的卓越贡献是创立了微积分.1665年他提出正流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术，并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版).他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等.机动目录上页下页返回结束莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿