高等数学下册第3版刘金林习题答案

PAGEPAGE33习题解答习题8.11.设向量，，用表示．解：2.把的边四等分，分点依次是，再把各分点与点连接．如果，，试用表示向量、、．解：因为，所以，，，于是，同理，.3.用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半．证明：设，，则，，于是，，所以三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半．4.指出下列各点在直角坐标系中的哪个卦限；；；．解：Ⅱ；Ⅴ；Ⅷ；Ⅳ.5.指出下列各点在直角坐标系中的位置；；；．解：xOy面；yOz面；y轴；x轴.6.求点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．解：（1）各坐标面:xOy面，；yOz面，；zOx面，.（2）各坐标轴：x轴，；y轴，；z轴，.（3）坐标原点：.7.已知立方体的一个顶点在原点，三条棱在正的半坐标轴上，若棱长为，求它的其它各顶点的坐标．解：如图立方体在xOy面内的四个点的坐标分别为，，，；与xOy面平行的平面内的四个点的坐标分别为，，，；8.求平行于向量的单位向量．解：向量的单位向量为，故平行于向量的单位向量为其中.9.已知两点、，试用坐标表达式表示向量及．解：，10.求点到各坐标轴的距离．解：点到x轴的距离为；点到y轴的距离为；点到z轴的距离为.11.在面上，求与三点、、等距离的点．解：设该点为，根据题意，，解上述方程组，有，故所求点为：．12.试证明以三点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形．证明：利用两点间的距离公式计算，可得由于，，故是等腰直角三角形．13.设、，计算向量的模、方向余弦及方向角．解：向量，，所以；．14.设三个力分别是、、，它们都作用于点，合力为，求：（1）点的坐标；（2）的大小；（3）的方向余弦．解：合力为:设点的坐标为，则，因此的坐标为.(2),(3)，15.设向量的方向余弦分别满足（1）；（2）；（3），那么这些向量与坐标轴或坐标面有什么关系？解：（1）因为,所以，于是向量垂直于y轴，也就是向量平行于zOx面．（2）因为,所以.于是向量平行于z轴正向，垂直于xOy面．（3）因,所以.于是向量既垂直于y轴，又垂直于z轴，亦即垂直于yOz面，从而向量平行于x轴．16.设向量与轴的夹角为，且其模是6，求在轴上的投影．解：17.一向量的起点在点，它在轴，轴和轴上的投影依次为-2，4和6，求该向量的终点的坐标．解：设终点的坐标为，根据题意有，解得，故点为：.18.设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量．解：因为所以在轴上的投影为，在轴上的分向量为.习题8.2１．设，，求（1）和；（2）和；（3）、夹角的余弦．解：（1），.（2），.（3），2.设单位向量、、满足，求．解：因为、、为单位向量，所以，由有，所以.3.设向量，，求（1）在上的投影；（2）在上的投影．解：（1）,（2）.4.把质量为100kg重的物体从沿直线移动到，求重力所作的功（长度单位为m，重力方向为轴负方向）．解：物体移动的位移为，重力，于是重力所作的功.5.设向量，，若与轴垂直，求和的关系．解：因为,轴单位向量为.若与轴垂直，则有，因此.6.已知、和，求与、同时垂直的单位向量．解：，,,于是与、同时垂直的单位向量.7.已知向量，，求的面积．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积．又，于是.8.设向量、和，向量与均垂直，且在向量上的投影为14，求向量．解：，由题意可知，(其中为待定常数)，又，由此得所以.9.*向量，，是否共面？解：因为，所以三向量共面．10.利用向量证明不等式其中、、、、、为任意实数，并说明在何种条件下等号成立．证明：设、.由于，因此即.习题8.31.求过点且与平面平行于的平面方程．解：所求平面的法向量与平面一致为．根据平面的点法式方程，得，即.2.求过点且与连接坐标原点及点的线段垂直的平面方程．解：因为，于是可取，根据平面的点法式方程，得，即.3.求过、、三个点的平面方程．解：不妨假设分别为、、，因此所求平面的法向量可取=×，而，，所以根据平面的点法式方程，所求平面的方程为，即.4.指出下列各平面的特殊位置，并画出图形：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）解：（1）表示面；（2）平行于面的平面；（3）平行于轴的平面；（4）通过轴的平面；（5）平行于轴的平面；（6）通过轴的平面；（7）通过原点的平面．图形（略）.5.求平面与三个坐标面夹角的余弦．解：平面的法向量，而、、面的法向量分别为、、．因此与三个坐标面夹角的余弦分别为、、6.一平面平行于向量和且经过点，求这平面方程．解：所求平面的法向量可取=×，所以根据平面的点法式方程，所求平面的方程为，即.7.求三个平面，，的交点．解：三个平面的交点也就是下面方程组的解.解得，故交点为.8.求下列特殊位置的平面方程：（1）平行于面且经过点；解：（1）平行于面的平面可设为，由于平面通过点，故，即，把上式代人所设方程，得.（2）通过轴和点；解：（2）因为所求平面通过轴，必然平行于轴，故；又因为平面通过原点，所以．于是可设平面方程为，由于平面通过点，故，即，把上式代人所设方程，得.（3）平行于轴且经过两点和；解：（3）因为所求平面平行于轴，于是可设平面方程为，由于平面经过两点和，故，即，把上式代人所设方程，得.9.求两平面与之间的距离．解：在平面上取一点，利用点到平面的距离公式，得.习题8.41.求过点且平行于直线的直线方程．解：所求直线的方向向量可取为，故由对称式方程得到所求直线为.2.求过点和的直线方程．解：因为向量平行于所求直线，所以可取直线的方向向量为，故由对称式方程得到所求直线为.3.求直线的对称式方程和参数方程．解：先求出直线上的一点．不妨取，代入直线方程得解得、，即是所给直线上的一点．下面再求直线的方向向量．由于两平面的交线与这两平面的法向量、都垂直，所以可取直线的方向向量为．因此，所给直线的对称式方程为．令，得所给直线的参数方程为4.求过点且与两平面和平行的直线方程．解：因为所求直线与两平面平行，所以所求直线与两平面的法向量、都垂直，故直线的方向向量为因此，所给直线的对称式方程为.5.求直线：与：的夹角．解：直线的方向向量为，直线的方向向量为由两直线的夹角公式，得，.6.证明直线与直线平行．证明：直线的方向向量为；直线的方向向量为直线、的方向向量对应成比例，故两直线平行．7.求直线与平面的夹角．解：直线的方向向量为平面的法向量为．由直线与平面的夹角公式，得，故.8.求过点且与直线垂直的平面方程．解：直线的方向向量为可以看成平面的法向量，而因此所求平面的方程为，即.9.求过点且通过直线的平面方程．解：显然点为直线上的点，也为平面内的点，因此向量与向量均垂直于所求平面的法向量，而，因此所求平面的方程为，即.10.确定下列每一组直线与平面的关系：（1）和；解：（1）直线方向向量为，平面法向量，且，又直线上的点不在平面内，所以直线与平面平行．（2）和；解：（2）直线方向向量为，平面法向量，且所以直线与平面垂直．（3）和；解：（3）直线方向向量为，平面法向量，且，又直线上的点在平面内，所以直线在平面内．11.求过点且与两直线 和平行的平面方程．解：第一条直线的方向向量为，第二条直线的方向向量为.而平面法向量既垂直与又垂直与，故因此所求平面的方程为，即.12.设是直线 外一点，是直线上任意一点，且直线的方向向量为，证明：点到直线的距离是．证明：设点与直线垂直相交点为，则就为所求距离．注意到由向量、所构成的三角形，其面积有，故.13.求点到直线的距离．解１设点与直线的垂直相交点为，则，解得.又直线的方向向量为，向量垂直于，即，解得．于是，故点到直线的距离为.解2用上题的结论．14.求直线，在平面上的投影直线的方程．解：过直线的平面束方程为，即，其中为待定常数．又此平面与平面垂直的条件是，得到.代入得投影平面：所以投影直线的方程为.习题8.51.一动点到点的距离是到点距离的两倍，求动点的轨迹方程．解：设动点的坐标为，由题意有，，即，化简得.2.建立以点为球心，且过点的球面方程．解：球心到球面上点的距离为所以所求球面方程.3.方程表示什么曲面？解：通过配方，原方程可化为，与球面方程比较可知，此方程表示球心在点、半径为的球面．4.将坐标面上的椭圆绕轴旋转一周，求所形成的旋转曲面的方程．解：在方程中保持不变而将改写为，故所求旋转曲面的方程为.5.将坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，求所形成的旋转曲面的方程．解：在方程中保持不变而将改写为，故所求旋转曲面的方程为6.将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所形成的旋转曲面的方程．解：绕轴旋转所形成的旋转曲面方程为,绕轴旋转所形成的旋转曲面方程为.7.说明下列旋转曲面是如何形成的？（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）坐标面上的椭圆绕轴旋转一周；或者坐标面上的椭圆绕轴旋转一周.（2）坐标面上的双曲线绕轴旋转一周；或者坐标面上的双曲线绕轴旋转一周.（3）坐标面上的双曲线绕轴旋转一周；或者坐标面上的双曲线绕轴旋转一周.（4）坐标面上的直线绕轴旋转一周；或者坐标面上的直线绕轴旋转一周.8.下列方程在平面解析几何中与空间解析几何中分别表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）平面：平行于轴的一条直线；空间：平行于坐标面的一个平面．（2）平面：斜率为2，通过点的一条直线；空间：平行于轴的一个平面．（3）平面：实轴在轴上，虚轴在轴上的双曲线；空间：母线平行于轴的一双曲柱面．（4）平面：圆心在原点，半径为3的圆周；空间：母线平行于轴的一圆柱面．9.画出下列方程所表示的曲面（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：略.习题8.61.画出下列曲线的图形：（1）；（2）；（3）.解：略.2.下列方程组在平面解析几何中与空间解析几何中各表示什么图形：（1）；（2）．解：（1）平面：两条相交直线的交点；空间：平行于轴的两相交平面的交线．（2）平面：实轴在轴上，虚轴在轴上的双曲线的右支与一平行于轴直线的两相交点；空间：母线平行于轴的双曲柱面与平行于面平面的两相交直线．3.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）；解：（1）将代入，得，取，则，从而得到该曲线的参数方程为.（2）解：（2）将代入，得，取，则，从而得到该曲线的参数方程为.4.分别求母线平行于轴及轴且通过曲线的柱面方程．解：消去方程组中的变量，得，这就是母线平行于轴且通过曲线的柱面方程．同样消去方程组中的变量，得，这就是母线平行于轴且通过曲线的柱面方程．5.求旋转抛物面与平面的交线在面上的投影曲线的方程．解：旋转抛物面和平面的交线为：.由上述方程组消去变量，得到．因此交线在面上的投影曲线为.6.已知曲线（），求它在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程．解：由，得到，即．因此曲线在上的投影曲线直角坐标方程为.由，得到，即．因此曲线在面上的投影曲线直角坐标方程为.由，得到曲线在面上投影柱面方程包含于平面内，并且，因此曲线在面上投影曲线直角坐标方程为（）.7.求上半球与圆柱体的公共部分在面和面上的投影．解：由图可见，所求立体为圆柱体的一部分，其在面上的投影为在面上的投影为8.求抛物面()在三个坐标面上的投影．解：联立，得到，故抛物面在面上的投影为．联立，得到，故抛物面在面上的投影为．联立，得到，故抛物面在面上的投影为．习题8.71.指出下列各方程所表示的曲面：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：（1）椭球面；（2）椭圆锥面；（3）单叶双曲面；（4）双叶双曲面；（4）椭圆抛物面；2.画出下列方程所表示的二次曲面图形（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．解：略总习题81.选择题（1）设向量满足，则（）．A.0B.C.D.解：由，得，代人有.故选（C）.（2）设直线：及平面：，则直线（）．A.平行于B.在上C.垂直于D.与斜交．解：直线的方向向量，平面的法向量，因此，从而直线垂直于，故选（C）.（3）设有直线：与：，则与的夹角为（）．A.B.C.D.解：直线的方向向量，直线的方向向量，所以，得，故选（B）.（4）直线在面上的投影直线是（）．A.B.C.D.解：A和C在空间解析几何中为平面，B为面上的投影直线，故选（D）.（5）设向量与三个坐标平面的夹角分别为，则（）．A.2B.1C.0D.3解：设向量，则，，，因此，故选（A）.2.填空题（1）已知两直线：，：，则过且平行于的平面方程为．解：容易知直线与不平行，所求平面的法向量既垂直于，又垂直于，取，于是所求平面方程为，即.（2）已知向量，，，则满足条件时，的最小值为．解：设向量，则,因此有.又．当时，最小并且最小值为1.（3）设，，，满足，则．解：因为，所以组成一个三角形．又，，，因此这个三角形是直角三角形，并且为直角边．另一方面，从而.（4）直线与点的距离最近的点是.解：过点且垂直于直线的平面方程为即.令，代人平面方程得，因此直线和平面的交点为，此交点即为所求点．（5）母线平行于轴且通过曲线的柱面方程.解：消去方程组中的变量，得，这就是母线平行于轴且通过曲线的柱面方程．3.设向量⊥，⊥，求两向量和的夹角．解：由题意有，整理上述表达式，得，.进一步，注意到，可得，于是，两向量和的夹角.4.已知一平行四边形对角线为向量及，而，，，求此平行四边形的面积．解：设此平行四边形的两边向量分别为和，则有，得，根据向量积的定义，可知平行四边形的面积，而.所以平行四边形的面积为5.5.已知动点到平面的距离与点到点的距离相等，求动点的轨迹方程．解：由两点间的距离公式，得整理上述表达式，得.6.设一平面垂直于平面，并通过从点到直线的垂线，求此平面方程．解：直线的方向向量为，作过点且以为法向量的平面，即，联立方程组得垂足，又因为所求垂直于平面，故可设平面方程.平面过点和垂足，故有，得，代人平面方程有.7.求过点，且平行于平面，又与直线相交的直线方程．解：直线的参数式方程为，，，设两直线的交点为，则交点与点的连线垂直于平面的法向量，于是，解上述方程，得．从而所求直线方向向量为，根据直线方程的对称式可知，所求直线方程为.8.求锥面与柱面所围立体在三个坐标面上的投影．解：锥面与柱面的交线在面上投影为，即．故立体在面上的投影为.类似得，因此立体在面上的投影为；立体在面上的投影为.9.一架飞机速度为，向东北目标飞去，现遇到速度为的西风吹来，问飞行员应该朝什么方向飞行才能到达目的地？这时的实际速度是多少？是否任何情况下都能飞到目的地？解：（1）当，这时有化简得，即．朝东北偏北方向飞行即可到达目的地。这时的实际速度为．（2）当，这时容易知道，实际速度为．（3）当，分两种情况：（ⅰ），同（1）。（ⅱ），从而化简得：．实际速度为．（4）当，这时容易知道，实际速度为（5）当，这时从图形看不构成向量三角形，因此无法飞到目的地．10.设直线过，两点，（1）求直线的参数方程；（2）将绕轴旋转一周得到曲面，求的方程。解：（1）直线的方向向量为，所给直线的对称式方程为．令，所给直线的参数方程为（2）任取直线上一点，其绕轴旋转，转过角度后到点，的坐标为消去参数，得曲面的方程为.11.设、分别是过点、，方向向量分别为、的两条直线，如果直线、不平行，证明与之间的最短距离为并求直线与直线之间的最短距离．证明：设，则，最短距离是向量在向量上的投影的绝对值，即.对直线与直线而言，，，，所以.习题解答习题9.11．画出下列平面点集D的图形，指出它们的边界，说明它们是开区域还是闭区域，有界还是无界．（1）D：；解D的图形略．D的边界为．D为闭区域且为无界区域．（2）D：；解D的图形略．D的边界为．D为闭区域且为有界区域．（3）D：；解D的图形略．D的边界为．D既不是闭区域也不是开区域，但D为有界区域．（4）D：．解D的图形略．D的边界为．D为开区域，且为有界区域．2．用不等式组表示下列曲线围成的闭区域D：（1）D由围成；解D：．（2）D由围成．解D：．3．求下列各函数的定义域：（1）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（2）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（3）（）；解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为（4）．解要使表达式有意义，必须故所求函数的定义域为4．设，求、及．解由得，．．5．设，求．解设，则，，所以，从而．6．求下列函数极限：（1）；解由连续性，原式＝＝．（2）；解由连续性，原式＝＝．（3）；解令xy=t,则原式＝＝＝（4）；解令x2+y2=t,则原式＝＝（5）；解原式＝＝＝＝．（6）．解原式==(令x2+y2=t)=．7．证明下列极限不存在：（1）；证明因为当沿直线趋于时，，它是随的值的不同而改变的，所以极限不存在．（2）．证明因为当沿直线趋于时，，当沿直线趋于时，，由于，所以极限不存在．8．指出下列函数在何处间断：（1）；解函数在处间断．（2）．解函数在上每一个点处间断．习题9.21．求下列函数的偏导数：（1）；解，；（2）；解，；（3）；解，.（4）；解（5）；解，；（6）；解，；（7）；解，，；（8）．解，，．2．计算下列各题：（1）设，求和；解＝，＝，将点（1，2）代入上面结果，得，．（2）设，求；解取对数得,上式两边对y求导得，所以，将点（1，1）代入上面结果，得．（3）设，求；解∵，∴＝．（4）设，求及．解，，∴．．3．设，证明：．证明：，，．4．设，其中可导，证明：．证明即．5．曲线在点（，1，）处的切线对轴的倾角是多少？解设该切线与轴的倾角为，∴由偏导数的几何意义得，从而．6．证明：函数在点（0，0）处连续，但及不存在．证明∵∴在点（0，0）处连续．又=不存在，=不存在．7．求下列函数的二阶偏导数，，．（1）；解，∴，，；（2）；解，，，，．（3）；解，，∴，，；（4）．解，，∴，，．8．设，求，，．解，，，从而，，．9．设，试证：．证明：，，，由对称性得，，∴．原式得证．习题9.31．求下列函数的全微分：（1）；解，∴（2）；解，∴（3）（）；解，∴．（4）；解，∴；（5）；解，，∴；（6）．解，，，∴．2．计算下列函数在给定点处的全微分（1），；解，，∴（2），．解，，=+.3．求函数当的全增量和全微分．解，，全增量．4．设可导，求下列函数的全微分：（1）；解令，则，，∴．（2）．解令，则，∴．5．计算下列近似值：（1）；解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．6．设有边长为m与m的矩形，当边增加5cm而边减少10cm，求此矩形对角线增量的近似值．解设矩形对角线长为z，则有．把，，代入，得．即此矩形对角线增量的近似值约为-5cm．7．有一用水泥砌成的无盖长方体水池，它的外形长5m、宽4m、高3m，又它的四壁及底的厚度均为20cm，求所用水泥的近似值．解设长方体水池长、宽、高分别为x,y,z米，水池的体积．把，，代入，得．即所用水泥的近似值为14.8m3．8．利用函数证明：商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和．证明将，，的相对误差为．即商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和．习题9.41．设，而，求全导数．解．2．设，而，求全导数．解．3．设，而，求全导数．解．4．设，而，求和．解；．5．设，而，求和．解；．6．设，求和．解令则，；．7．设，其中及可导，求．解令，则，，，∴．8．求下列函数的一阶偏导数，其中具有一阶连续偏导数：（1）；解，．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．9．设，其中为可导函数，证明：．证明令，则，，所以．10．设，其中具有二阶导数，求，，．解令，则，所以，，．11．求下列函数的，，（其中具有二阶连续偏导数）：（1）；解由得，所以，，（2）．解由得，，所以，，．12．设函数具有二阶连续偏导数，在极坐标变换，下，证明二维拉普拉斯式：．证明由得,所以，将上述的表达式代入，得=．证毕．13．设，具有二阶连续偏导数，求．解由得，所以习题9.51．设由方程确定，求．解令，即，，所以，2．设由方程确定，求及．解令，则，所以，将x=0代入原方程得y=1.从而，∴．3．求下列方程所确定的隐函数的偏导数和：（1）；解令，则，，，所以，.（2）．解令，即,，，，所以，.4．设所确定的函数为，求．解令，则，，，所以，，所以．5．设函数由方程确定，求全微分．解令，则，，，所以，，因此．6．设是由方程所确定的函数，其中具有连续导数，证明：．解记，令，则，，，所以．7．设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足．证明令，则，，，所以．8．设函数由方程确定，求、．解令，则，，，所以，,注意到z是x、y的函数，将再对x求偏导，得.注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得9．设函数由方程确定，求．解解令，则，，，所以，,将x=0,y=0代入得z=2，点（0，0，2）处，注意到z是x、y的函数，将再对y求偏导，得,将x=0,y=0，z=2及代入得．10．设下列方程组确定了函数，，求和：（1）；解方程组的两端对求偏导，得当时，解得，；（2）．解在方程组中，等式两边取微分得，当时，解得，，所以，．11．设二元隐函数，由方程组确定，求，，和．解方程组两端分别对求偏导，得，当时，解得，，；方程组的两端分别对求偏导，得，当时，解得，．12．设，而，由方程组确定，求及．解方程组中各等式两端分别求全微分，得，当时，从上式中解出和，得，从而，，，．∴＝，＝．习题9.61．求下列空间曲线在指定点处的切线方程和法平面方程（1）曲线，点；解因为点对应参数，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；法平面方程为，即．（2）曲线，对应于的点；解参数对应曲线上的切点为，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；法平面方程为，即．（3）曲线，点；解因为曲面在点处的法向量为，曲面在点处的法向量为，所以，曲线在点处的切向量为．故所求切线方程为；法平面方程为，即；（4）曲线，点．解因为曲面在点处的法向量为，曲面在点处的法向量为，所以，曲线在点处的切向量为．故所求切线方程为；法平面方程为，即．2．求曲线上的点，使该点的切线平行于平面．解设所求的切点为P，该点对应的参数为，则，，，故点P处切线的方向向量为，平面的法向量为，由切线平行于平面得T；即，故所求的切点为．3．求下列曲面在指定点处的切平面方程和法线方程：（1），点；解（1）令，则，故曲面在点处的切平面的法向量为，切平面方程为，即；法线方程为．（2），点．解令，得，故曲面在点处的切平面的法向量为，切平面方程为，即；法线方程为．4．求曲面在点处的指向朝上的法向量的方向余弦．解令，得，故曲面在点处的指向朝上的法向量为方向余弦：，，．5．在曲面上求一点，使该点的切平面平行于平面．解令，设切点为，则切点处切平面的法向量为，由题意得，解上述方程组得，，，因此所求点为．6．求曲面上同时垂直于平面与的切平面方程．解令，设切点为，则切点处切平面的法向量为，又同时垂直于两已知平面的法向量为n1=(1,1,0)×（1，0，0）=（1，-1，0）由题意得，解上述方程组得，因此所求切平面为，即，亦即．7．证明：曲面在任一点处的切平面都平行于直线，其中F具有连续的偏导数．解令，任一点为P0，则，点P0处切平面的法向量为，∵∴该曲面任一点处的切平面都平行于已知直线．8．证明：曲面上任一点处切平面与三个坐标面围成的立体的体积为一定值．证由题意知，令，则点处切平面的法向量为，所求切平面为，即，此平面在三条坐标轴上的截距分别为体积习题9.71．求函数在点处的梯度．解；．．2．求函数在点处的梯度，并问该函数在哪一点处函数的梯度为．解点处．令＝0得，所求点为．3．设的各个偏导数存在且连续，为常数，证明：（1）；证明∵∴，证毕．（2）．证明∵∴，证毕．4．求函数在点处沿与轴正向成角的方向的方向导数．解的方向余弦为，．且，，所以．5．求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数．解的方向余弦为，．且，，所以．6．求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数．解两边对x求导得，点（3，4）处内法线方向的方向余弦为，．且，，所以．7．设函数，（1）求函数在点处沿函数在该点的梯度方向的方向导数；（2）问函数在点处沿什么方向的方向导数为最小？方向导数的最小值为多少？解（1）点(1,0)处＝,所求方向导数＝|gradz｜=.(2)沿方向的方向导数为最小,方向导数的最小值为．8．求在点A（1，1，2）处，沿从点A到点B（2，，1）的方向的方向导数．解，其方向余弦为，，．又点A（1，1，2）处，，，所以．9．求函数在点A（1，1，2）处，沿曲线在点A处的切线正方向（对应于增大的方向）的方向导数．解点A（对应t=1）处，其方向余弦为，，．又点A（1，1，2）处，，，所以．10．设为球面上点A处指向朝上的法向量，求在点A处沿的方向导数．解,令，则球面在点A处的法向量可取为，其方向余弦为，，．由于的指向向上，是锐角，，故应取，，．又点A处因为，所以．11．设，（1）求函数在点处沿梯度方向的方向导数；（2）问函数在点处沿什么方向的方向导数为最大？方向导数的最大值为多少？解（1）点处，所求方向导数为（2）沿方向的方向导数为最大，方向导数的最大值为．习题9.81．设函数在点的某个邻域内连续，且，试判断是否为函数的极值，为什么？解不是．由极限保号性，在（0，0）附近有>0,从而，由此不能推出或．2．求函数的驻点．解解方程组得驻点为（1，1），（0，0）．3．设函数由方程所确定，求的驻点．解令，则，．解方程组得驻点为（1，1）．4．求下列函数的极值：（1）；解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极小值．（2）；解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点有极大值；．在点处，，，，因为，不是极值．（3）；解解方程组得驻点为，（）．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，函数极大值．在点处，，，，，不是极值．（4）（）；解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，极小值．（5）（）．解解方程组得驻点为．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，因为，，所以函数在该点极大值．5．求函数在闭区域D：，，上的最大值与最小值．解先解方程组得函数在D内的驻点为，函数值．在闭区域D的边界及）上，函数．在闭区域D的边界（）上，函数令，得，．．最大值为M=，最小值．6．有一宽为24厘米的长方形铁板，把它两边折起来做成断面为等腰梯形的水槽，问怎样的折法才能使断面的面积最大？解设折起来的边长为xcm,倾角为，则断面的面积为，即（）令解得，根据题意可知，两边折起8厘米，边的倾斜角为时面积最大．7．在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小．解设所求点为,距离平方之和为，则，即，令得，由实际意义知，所求点为．8．用拉格朗日乘数法求下列条件极值的可能极值点：（1）目标函数，约束条件；解作拉格朗日函数，令，解之得：∴可能极值点为．（2）目标函数，约束条件，．解作拉格朗日函数，令，解之得：∴可能极值点为．9．求内接于半径为的球且体积最大的圆柱体的高．解设圆柱体的高为h,半径为r,则，圆柱体的体积．令，令，解之得：∴根据题意可知，所求圆柱体的高为．10．某厂要造一个无盖的长方体水箱，已知它的底部造价为每平方米18元，侧面造价均为每平方米6元，设计的总造价为216元，问如何选择它的尺寸，才能使水箱容积最大？解设长方体的长、宽、高分别为米，体积为米3，则．问题归结为求在条件下的极值．作拉格朗日函数，令，解之得：．由题意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一驻点取得，即当长、宽、高分别取2m、2m、3m时，长方体的体积最大．11．在曲线，上求一点，使该点到面的距离最短．解作拉格朗日函数，令，解之得：∴所求点为*12．在某次实验中测得五组数据如下表所示01240.511.523试用最小二乘法建立与之间的经验公式．解经验公式为，本题，，，，，，，所以和之间的经验公式为*13．根据实验测得变量和的组数据为（），假定与之间的经验公式为，试用最小二乘法求所满足的方程组．解对于，令，则得线性型经验公式为；记．由二元函数极值的必要条件得，整理得方程组．*习题9.91．求在点处的一阶和二阶泰勒公式．解因为，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函数的一阶泰勒公式为，其中函数的二阶泰勒公式为其中2．求在点的二阶泰勒公式．解因为，，，，，，，，，，，，，，，令，，，函数的二阶泰勒公式为其中．3．利用二阶泰勒公式，近似计算的值．解设，则，，，，，，，，令，，，，则有．即．总习题91.选择题（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴选D.（2）设函数，则①在（0，0）处连续．②在（0，0）处的偏导数存在．③在（0，0）处可微．上述三条结论中正确的是（）．A．①和②B．②和③C．①和③D．①、②和③解因为，所以，从而，在（0，0）处连续．又=，=，不存在，∴在（0，0）处不可微．∴选A.（3）设在点具有偏导数，且和在点都取得极值，则一定是的（）．A．极大值点B．极小值点C．驻点D．连续点解由极限必要条件得，∴选C．（4）函数有，且，则（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴选B.（5）下列结论中正确的是（）．A．若和存在，则B．若和存在，则C．若和存在，则在处不一定连续D．若沿轴正向的方向导数存在，则存在解A错，因为偏导数存在不能推到函数可微！，B错，因为由和存在，不能得到．D错，因为由沿轴正向的方向导数存在，不能得到存在．∴选C．2.填空题（1）设函数，且当时，则．解由时得，所以，∴．（2）曲线上点处的切线方程为．解曲线即为，而，，，故点处曲线切线的方向向量为，所求切线方程为；（3）设是函数的全微分，则．解由题意由得．（4）设曲面在点处的法线垂直于平面，则．解令，则点处的法向量为，由题意得，解得，，，因此所求点为．（5）设函数，，都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，则．解由利用隐函数求导法得，，．∴（）（）（＝－1.3.设,求．解,∴=．4.设，且可微，求．证令，则有，，因此．5.已知，其中由方程确定，求．解令，则，∴6.设由方程确定，求，．解令，则，，，所以．7.设方程组确定了函数，，求和．解方程组的两端对求偏导，得当时，解得，．8.设，其中具有二阶连续偏导数，求．解，∴9.设具有二阶连续偏导数，，，且，求常数，使．解，,∴(∵),∴,,将,,的结果代入到得,即,,，（舍去）．从而．10.求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.解设所求点为P，则到原点的距离为，令，由，得（4）当时。代入到（3）得，即，于是；当时，由（4）得从而（5）（5）代入到（1）得即，注意到，必有，但这与式（3）矛盾，又点在上，，所以最长距离为，最短距离为.11.设，①求在点处沿方向的方向导数；②问点处沿什么方向的方向导数最大？其值是多少？解（1）的方向余弦为，，．点处，，，所以（2）沿方向的方向导数最大，方向导数最大值为．12.在椭球面上求一点，使函数在该点处沿的方向导数最大.解设所求点为P，则，在该点处沿的方向导数为，令，由，解之得或（舍去，因为此时方向导数最小），所求为．13.设由方程确定，求的极值．解令，则，．解方程组得驻点为（1，－2）．将代入到原方程中，得或．函数的二阶偏导数为，，．在点处，，，，，所以函数有极小值．在点处，，，，，所以函数有极大值．14.已知平面上两定点和，试在椭圆（）求一点，使的面积最小，并求出的最小面积．解设点的坐标，方程：×=|×|，，令，解之得：，这是一个实际问题，最短距离一定存在，从而．15.设直线L：在平面上，而平面与曲面相切于点，求的值．解：令，法向量．点处．过L的平面可设为，即（*）依题意有，解得，将及点代入式（*）得．16.证明极限不存在．证明：当点沿趋于时，，当点沿趋于时，，所以不存在．17.设，其中可微，为常数，证明：．证明∵，∴；；；从而．18.设，其中可导且二阶可导，证明：．解记，则有，，∴．19.设具有连续偏导数，证明由方程所确定的函数满足．证明，令，则，，，，，∴．20.证明：曲面上任意点处的切平面与直线平行．证明记，则，，，该曲面上任意点处的法向量为∵，∴该曲面上任意点处的切平面都平行于直线．21.证明曲面在任一点处的切平面都通过原点．证明记，则，，，该曲面上任意点处的法向量为，切平面为，因为满足上述方程，所以该曲面上任意点处的切平面都通过原点．习题解答习题10.11．设一平面薄板占有面上的闭区域D，其上分布有面密度为的电荷，且在D上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷Q．解由二重积分的定义可知，电荷．2.略．3.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1），其中；解区域的面积=，区域的面积=，因为，所以：；（2），其中D是圆周围成的闭区域；解对区域D上的任意点，都有：，，所以：；（3），其中D是由直线围成的闭区域．解对区域D上的任意点，都有：，，所以：．4.利用二重积分的性质，估计下列积分的值：（1）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（2）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（3）其中D是两坐标轴与直线围成的闭区域．解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得．习题10.21.计算下列二重积分：（1）其中；解；（2），其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解；（3），其中D是顶点分别为的三角形闭区域；解；(4)，其中．解．2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；解图略；（2），其中D是由所围成的闭区域；解图略；（3），其中；解图略；（4），其中D是由直线所围成的闭区域．解图略．3.化二重积分为二次积分（分别给出两种不同的积分次序），其中积分区域D分别为：（1）由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解图略或；（2）由及所围成的闭区域；解图略或（3）由及所围成的闭区域．解图略或4.略．5.交换下列二次积分的次序：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．6.通过交换积分次序计算下列二重积分：（1）；解；（2）．解．7.设连续，证明：．证：交换积分次序，得．8.利用“对称性”计算下列二重积分：（1），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重积分）习题解答.doc"OLE_LINK1\a\r解积分区域D关于y轴对称，且函数关于x是奇函数，故有；（2），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重积分）习题解答.doc"OLE_LINK1\a\r解积分区域D关于x轴对称，且函数关于y是偶函数，关于y是奇函数，故有；（3），其中．LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\第10章（重积分）习题解答.doc"OLE_LINK1\a\r解积分区域D关于x轴和y轴都对称，且函数关于x和y是都偶函数，故有．9.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．10.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）．解图略．11.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略．（4）．解图略．12.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中D由圆周所围成的闭区域；解图略；（2），其中D由圆，直线和轴所围成的闭区域；解图略（3），其中D由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域；解图略；（4），其中解图略．13.选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中D是由直线所围成的闭区域；解图略；（2），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；解图略．（3）其中D是由直线及曲线所围成的闭区域；解图略；（4），其中；解图略．（5）其中．解图略原式．*14.作适当的变换，计算下列各题：（1）其中D由双曲线和，直线和及所围成的在第一象限内的闭区域；解令，即，xOy平面上的闭区域D变换为平面上的闭区域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．（2）其中D是以和为顶点的三角形闭区域；解令，即，闭区域D变换为闭区域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．*15.作适当的变换，证明等式：，其中闭区域．解令，即，闭区域D变换为闭区域．由于雅可比式，故由公式（10－7）得．习题10.31.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1）；解图略；（2）由锥面及平面所围成的闭区域；解图略；（3）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域；解图略．（4）由曲面及所围成的闭区域．解图略．2.略．3.计算下列三重积分：（1），其中为平面所围成的四面体；解．（2），其中是由平面与三个坐标面所围成的四面体；解；（3）其中为球面及三个坐标平面所围成的在第一卦限内的闭区域；解．（4）其中为曲面及平面所围成的闭区域；解．（5）其中是由圆锥面与平面所围成的闭区域；解：，．（6）其中是由抛物面与平面所围成的闭区域．解：，．4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）其中是由曲面及所围成的闭区域；解；（2）其中；解原三重积分；；另解由对称性得，所以原三重积分；（3）其中是由柱面及平面所围成的闭区域．解原三重积分．*5.利用球面坐标计算下列三重积分：（1）其中是由球面所围成的闭区域；解原三重积分．（2）其中．解原三重积分．6.选用适当的坐标计算下列各题：（1）其中是由圆柱面与平面所围成的闭区域；解由对称性得，；另解；（2）其中是由圆锥面与平面所围成的闭区域；解；*（3）其中；解原三重积分．（4）其中；解：，．*（5）其中是由球面所围成的闭区域；解原三重积分．（6）其中．解：，．习题10.41.计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积．解记，则．2.计算圆柱面被平面及圆锥面所截得的立体的体积．解记，则．3.求由下列曲面所围成的立体的体积：（1）及；解；（2）及；解；（3）及；解．（4）及；解记，则．*（5）及（含有z轴的部分）．解．4.求抛物面在xOy平面上方部分的面积．解记，由得：．5.求半球面上部分的面积．解记，由得：．6.求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解记，由得：．7.求圆锥面被圆柱面所截得部分的曲面面积．解记，由得：．8.求柱面含在柱面内的那部分面积．解考虑第一卦限部分．记，由得：．9.设平面薄片所占的闭区域D由直线和x轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量．解所求薄片的质量．10.设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度，求该物体的质量．解物体的质量．11.求下列均匀薄板的质心，其中薄板所占的闭区域D如下：（1）D由围成；解闭区域关于x轴对称，所以质心必位于x轴上，于是．闭区域D的面积：；而，故薄板的质心为．（2）D由围成；解闭区域D的面积：；而，，，故薄板的质心为．（3）D是介于两个圆之间的闭区域．解闭区域关于x轴对称，所以质心必位于x轴上，于是．闭区域D的面积（两个圆面积之差）：；而，故薄板的质心为．12.设平面薄板所占的闭区域D是由所围成，在处的密度，求此薄板的质心．解，，，故薄板的质心为．13.利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度）：（1），；解显然，质心在z轴上，故．由于，所以，从而质心为．（2）；解显然，质心在x轴上，故．由于，，所以，从而质心为．*（3），，．解显然，质心在z轴上，故．由于，，所以，从而质心为．*14.设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方．求此球体的质心．解密度，，由对称性得：，，而所以，，从而质心为．15.设均匀薄片（面密度为常数1）所占的闭区域D如下，求指定的转动惯量：（1）D由围成，求和；解，．（2），求；解．（3）边长为a和b的矩形薄片对两条边的转动惯量．解建立图示坐标系，，．16.求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数1）对于直线的转动惯量．解对于直线的转动惯量为．17.一空间均匀物体（密度为常数）占有的闭区域是由曲面和平面，所围成，（1）求物体的体积；（2）求物体的质心；（3）求物体关于z轴的转动惯量．解（1）；（2）显然，质心在z轴上，故，因为，故，所以质心为．（3）．18.平面内的曲线绕z轴旋转得一旋转曲面，这个曲面与平面所围立体上点处的密度，求该立体关于z轴的转动惯量．解平面内的曲线绕z轴旋转所得旋转面的方程为，所求转动惯量．19.求半径为a，高为h的均匀圆柱体（密度）对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量．解建立空间直角坐标系，使圆柱体所占闭区域为，所求转动惯量即圆柱体对于z轴的转动惯量，故（是圆柱体的质量）．20.设均匀柱体密度为，占有的闭区域，求它对位于点处的单位质量的质点的引力．解由柱体的对称性及质量分布的均匀性，显然有，所求引力在z轴上的分量为，所求引力为总习题101.选择题（1）下列结论中正确的是（）．A.若闭区域D由圆周围成，则B.C.若，则D.若，则解由轮换对称性立得：；即选项B正确．（2）设，则（）．A.B.C.D.解由三重积分的极坐标计算法得，即选项D正确．（3）设平面区域，，则（）．A.B.C.D.解如图，D分成四个部分，由于区域关于y轴对称，；区域关于x轴对称，；故，即选项A正确．（4）设空间闭区域，，则有（）．A.B.C.D.解由于积分区域关于yOz平面、xOz平面都对称，而是关于x、y的偶函数，故两次利用对称性可知，选项C正确．（5）设函数连续，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于积分区域是由围成的，故；即选项C正确．（6）设函数连续，且，其中D是由所围成闭区域，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解记（常数），则，积分得即，因为，，所以，，从而，即选项C正确．2.填空题（1）设，则根据重积分的几何意义可得：．解表示以为底，以半球面为顶的曲顶柱体体积，故．（2）设，则根据重积分的几何意义可得：．解根据三重积分的几何意义，表示空间区域围成立体的体积，而此立体是底半径为，高也为的圆锥，故体积等于，即．（3）设函数连续，，若记，则．解交换积分次序，得，所以，．（4）将化为极坐标下的二次积分，得．解记，则．（5）三次积分．解．（6）设，则．解由于积分区域关于xOy平面对称，而是关于z的奇函数，故利用对称性可知，，所以．3.计算下列二重积分：（1），其中；解．（2），其中D是由圆周所围成闭区域；解．（3），其中D是由直线所围成闭区域；解．（4），其中D是由所围成闭区域，为连续函数；解如图，D分成四个部分由于区域关于y轴对称，；区域关于x轴对称，．（5），其中D，．解．4.交换下列二次积分的次序：（1）；解；（2）；解．（3）．解．5.计算下列三重积分：（1），其中是由与所围成的区域；解．（2），其中是由曲线绕z轴旋转一周而成旋转面与平面所围成的闭区域．解绕z轴旋转一周而成旋转面的方程为，．*6.计算．解，．7.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积．解由得，．8.设，是连续函数，试证：．证：．9.设是连续函数且，利用二重积分证明：．证：记，则上述两式相加，所以．10.在底半径为R，高为H的圆柱体上面，拼加一个相同半径的半球体，使整个立体的质心位于球心处，求R与H的关系（设立体的密度）．解以圆柱体底面中心为原点作空间直角坐标系，使球心坐标为．由于，令，得，化简得．11.设面密度为常量的均匀半圆形薄片占有闭区域，求它对位于z轴上点处单位质量质点的引力．解由对称性及质量分布的均匀性，显然有，所求引力在y轴上的分量为；所求引力在z轴上的分量为，所求引力为．习题解答习题11.11.计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中L为圆周；解=；（2），其中L为直线段；解；（3），其中L为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界；解；（4），其中L为及y轴所围成的区域的整个边界；解；（5），其中L是以为顶点的三角形的周界．解；（6），其中为空间曲线上相应于t从0变到2的一段弧；解．（7），其中为点A（1，－1，2）到点B（2，1，3）的直线段．解直线段AB的参数方程为，．2.设圆周L：上任一点处的线密度等于该点纵坐标的平方，求圆周L的质量．解线密度，圆周L的质量为．3.设螺旋形弹簧一圈的方程为，它的线密度．求（1）它的质量；（2）它关于z轴的转动惯量；（3）它的质心．解（1）质量；（2）关于z轴的转动惯量；（3）因为，，，所以质心，，．习题11.21.设L为面内x轴上从点到的一段直线，证明：．证由于L的方程为，其中，故．2.计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中L为抛物线上从点到的一段弧；解；（2），其中L为抛物线及所围成的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解；（3），其中L为自点至点，再到点的折线段；解；（4），其中L为圆周（按逆时针方向绕行）；解；（5），其中L为从点到点的上半椭圆；解由于L的方程为，，其中，故．(6),其中L为摆线上从到的一段弧；解．（7），其中是上从点到点的一段弧；解．（8），其中是从点到点的一段直线．解直线段AB的参数方程为，．3.计算，其中L是：（1）曲线上从点到点的一段弧；（2）从点到点的直线段；（3）曲线上从点到点的一段弧．解（1）；（2）；（3）．4.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成．试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功．解，．5.一力场其力的大小等于质点到原点的距离，方向指向原点，试求当质点沿螺旋线从移动到时，该力场对质点所作的功．解，．6.把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中L为：（1）在面内沿直线从点到点；解在曲线L上，有，所以；（2）在面内沿抛物线从点到点．解在曲线L上，有，所以．7.把对坐标曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中是沿螺旋线从点到的一段弧．解在曲线上，有，所以．习题11.31.利用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中L是沿圆周，逆时针方向；解；（2），其中L是以点，为顶点的三角形区域的正向边界；解；（3），其中L是由方程所确定的闭区域的正向边界；解；（4），其中L是由点到点再到点的折线段；解补曲线，则;而，所以．（5），其中L是在曲线上由点到点的一段弧；解补曲线，则，而，所以．（6），其中L是从点沿到点的一段弧．解补曲线，，则，而，，所以．2.计算曲线积分，其中L为（1）圆周的正向；解由格林公式，立得；（2）椭圆的正向．解补曲线（逆时针方向），记，则，故．3.利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积：（1）圆；解面积；（2）椭圆．解将改写为参数式得：面积．4.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：（1）；证记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取有向折线计算．；（2）．证记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取有向折线计算．．5.计算下列曲线积分：（1），其中L是在曲线上由点到点的一段弧；解记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取直线段计算．．（2），其中L为在抛物线上由点到点的一段弧．解记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取有向折线段，计算．．6.验证下列在整个面内是某一函数的全微分，并求这样的一个：（1）；解记，则，故在面内是某一函数的全微分．取点，由公式（11－13）、（11－14），得；（2）；解记，则，故是某一函数的全微分．；（3）．解记，则，故是某一函数的全微分．．7.确定常数k，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，并求．解由题设可知，，记，则，令，得k；．习题11.41.计算下列对面积的曲面积分：（1），其中Σ为平面位于第一卦限的部分；解因为的方程可化为，在xOy面上的投影区域是：，故．（2），其中Σ为双曲抛物面被柱面截得的第一卦限部分；解因为的方程为，在xOy面上的投影区域是：，故．（3），其中Σ为抛物面被柱面截下的有限部分；解因为的方程为，在xOy面上的投影区域是：，故．（4），其中Σ为旋转抛物面位于面上方的部分；解的方程为，在xOy面上的投影区域是：，故．（5），其中Σ为锥面及平面所围成区域的整个边界曲面；解整个边界在、上的部分依次记为，则，在上，，记，；在上，，，所以，．（6），其中Σ为球面上的部分；解的方程可化为，在xOy面上的投影区域是：，故．（7），其中Σ为平面及三坐标面所围成的四面体的全部边界曲面．解整个边界在xOy面、yOz面、zOx面及上的部分依次记为和，于是．在上，z＝0，，其中是在xOy面上的投影区域，即由直线x＝0，y＝0及x＋y＝1所围成的三角形区域，故；在上，x＝0，；类似地，；在上，z＝1－x－y，，所以，．2.设抛物面壶上任意点处的密度为，求该壶的质量．解记，所求质量．3.求面密度为常数1的均匀半球壶对于z轴的转动惯量．解记，所求转动惯量．习题11.51.计算下列对坐标的曲面积分：（1），其中是上半球面的下侧；解记，则；（2），其中是平面位于第一卦限部分的上侧；解记，则；类似地，；；所以．（3），其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限部分的前侧；解由于平面，故；记，则；类似地，；所以