2024年中考数学训练-半角模型综合应用（专项训练）（原卷版+解析）

06半角模型综合应用(专项训练)

;考点1等■■角三角形角含半角■型;

1.如图，在△A8C中，ZC=90°,AC=BC,M、N是斜边AB上的两点，且NMCN=45

AM=3,BN=5,则MN=.

2.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,A8=AC=15“历，点M、N在边BC

上，且NMAN=45°,CN=5,MN=____.

3.如图1,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。、E是BC边上的任意两点，且

NZME=45°.

(1)将绕点A逆时针旋转90°,得到△ACF,请在图(1)中画出△ACF.

(2)在(1)中，连接ER探究线段2。，EC和。E之间有怎样的数量关系？写出猜想，

并说明理由.

(3)如图2,M、N分别是正方形ABCD的边8C、CD上一点,且BM+DN=MN,试求

/AMN的大小.

图1图2

4.(1)如图①，正方形48CD①中，点E、尸分别在边8C、CD上，ZEAF=45°,延长

到点C,使DG=BE,连接ERAG,求证：EF=FG；

(2)如图②，在△ABC中，ZBAC=90°,点加、N在边8c上，且NMAN=45°,若

BM=2,AB=AC,CN=3,求MN的长.

5.已知：正方形A2CD中，ZMAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.

(1)当NM4N绕点A旋转到(如图1)时，求证：BM+DN=MN；

(2)当NMAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段ON和之间又有怎样

的数量关系呢？请直接写出你的猜想.(不需要证明)

6.把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABC。的顶点A重合，然后把三角板绕点A

顺时针旋转，它的两边分别交直线a、OC于点M、N.

（1）当三角板绕点A旋转到图（1）的位置时，求证：MN=BM+DN.

（2）当三角板绕点A旋转到图（2）的位置时，试判断线段MN、BM、0V之间具有怎

样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明.

7.如图，在△ABC中，/ft4c=120°,AB=AC,点M、N在边上，且/MA7V=6O°.若

BM=2,CN=3,则MN的长为.

8.ZkABC中，ZBAC=a,AB=AC,点。、E在直线BC上.

（1）如图1,D、E在BC边上，若a=120°,且AD2+AC2=£）C2,求证：BD=AD.

（2）如图2,。、E在8C边上，若a=150°,ZDAE=15°,且石。2+8。2=*,求

/BAD的度数.

(3)如图3,。在CB的延长线上，E在BC边上，若N8AC=a,Z£)AE=180°-1.a,

2

ZADB=15°,BE=4,BD=2,则CO的值为

c

图2

06半角模型综合应用（专项训练）

;考点1等■■角三角形角含半角♦型;

1.如图，在△A8C中，ZC=90°，AC=BC,M、N是斜边AB上的两点，且NMCN=45

【答案】V34

【解答】解：将△CBN逆时针旋转90度，得到三角形ACR,连接

则4g△CNB全等，4M是直角三角形

：.AR=BN=5,

：.MN=RM=^32+52=V34

故答案是：V34

若i今

2.如图，在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90°,4B=AC=15圾，点M、N在边BC

上，且/AMN=45°,CN=5,MN=.

【答案】13

【解答】解：：等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=15&,

ZABC=ZC=45°,BC=V2AB=30,

把AACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD,连接如图所示：

则NABO=NC=45°,BD=CN=5,ZDAN=90°,AD=AN,

：.ZDBM=450+45°=90°,

/MAN=45

：.ZMAD=90°-45°=45

J.ZMAD^ZMAN,

，AD=AN

在△AM。和中，，NMAD=/MAN，

AB=AC

：.4AM"4AMN(SAS),

；.MD=MN,

设MD=MN=x,

则BM=BC-MN-CN=25-x,

在RtADBM中，由勾股定理得：BD2+BM2=MD2,

即52+(25-x)2=/,解得：x—13,

；.MN=13；

故答案为：13.

3.如图1,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。、E是BC边上的任意两点，且

ZDAE=45°.

(1)将△ABD绕点A逆时针旋转90°,得到△ACP,请在图(1)中画出△ACB.

(2)在(1)中，连接ER探究线段BZ),EC和OE之间有怎样的数量关系？写出猜想，

并说明理由.

(3)如图2,M、N分别是正方形A2CD的边BC、CD上一点，旦BM+DN=MN,试求

/MAN的大小.

(2)连接EF,

由旋转可知，AF=AD,CF=BD,ZDAF==9Q°,

；/D4E=45°,

：.ZDAE=ZFAE=45

在△ZME'和■中，

(SAS),

：.EF=DE,

"：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB^ZACB=45°,

AZACF=45°,

：.ZECF=ZACB+ZACF^9Q°,

:.EF2=EC2+FC2,

:.DE1=EC2+BD2；

(3)将绕点A逆时针旋转，得到△ABE,如图:

由旋转得：NNAE=90°,AN=AE,ND=90°,

：.E,B,Af三点共线,

■:BM+DN=MN,

：.ME=MN,

在△AEM和△ANM中，

，AN=AE

<EM=MN-

AM=AM

:.AAEM%AANMCSSS),

：.ZMAE=ZMAN=45°.

4.(1)如图①，正方形ABC。①中，点E、F分别在边8C、。上，ZEAF=45°,延长

CD到点C,使。G=BE,连接ERAG,求证：EF=FG；

(2)如图②，在△ABC中，ZBAC=90°,点M、N在边BC上,且/AMN=45°,若

BM=2,AB=AC,CN=3,求MN的长.

【解答】（1）证明：在正方形A2CZ）中，ZABE^ZADG,AD^AB,,在△42月和4

ADG中，

.♦.△ABEg△AUG(SAS),

/.ZBAE=ZDAG,AE=AG,

：.ZEAG=90°,

在△£4E和AGA尸中，

.,.△ME^AAMG(SAS),

:.EF=FG；

（2）解：如图，过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE.EN.

"：AB=AC,ZBAC=90",：.ZB=ZACB=45°.

,:CELBC,：.ZAC£=ZB=45°.

在△ABM和aACE中，

ZCAN=45°.

于是，由NBAMM/CAE,得NMAN=/EAN=45°.

在△MAN和△EAN中,

'AM=AE

，ZMAN=ZEAN-

AN=AN

MMANWAEAN(SAS).

：.MN=EN.

在RtzXENC中，由勾股定理，得EM=EC2+NC2.

:.MN2=BM2+NC2.

;BM=2,CN=3,

.\AW2=22+32,

:.MN=413-

5.已知：正方形ABC。中，/MAN=45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交

CB,DC(或它们的延长线)于点N.

(1)当NMAN绕点A旋转到(如图1)时，求证：BM+DN=MN；

(2)当/MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段DN和之间又有怎样

证明如下：

如图1,在Affi的延长线上，截取BE=IW,连接AE,

'AB=AD

在△ABE和△AZW中，.ZABE=ZD>

BE=DN

」.△ABE丝"ON(SAS),

：.AE=AN,ZEAB=ZNAD,

'：ZBAD=90°,ZMAN=45°,

：.ZEAB+ZBAM=45°,

：.ZEAM=ZNAM,

rAE=AN

在△AEM和△AMW中，ZEAM=ZNAM>

AM=AM

AAA£M^AAMW(SAS)，

:.ME=MN,

又ME=BE+BM=BM+DN,

：.BM+DN=MN；

(2)DN-BM=MN.

证明如下：

如图2,在。C上截取D尸=BAL连接AR

：.AM^AF,ZBAM^ZDAF,

：.ZBAM+ZBAF=ZBAF+ZDAF=9Q°,即/&4£)=90°,

:NMAN=45°,

:./MAN=NFAN=45°,

rAM=AF

在△MAN和△胡N中，，ZMAN=ZFAN

AN=AN

A/\MAN^/\FAN(SAS),

：.MN=NF,

：.MN=DN-DF=DN-BM,

：.DN-BM=MN

6.把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABC。的顶点A重合，然后把三角板绕点A

顺时针旋转，它的两边分别交直线C8、0c于点M、N.

(1)当三角板绕点A旋转到图(1)的位置时，求证：MN=BM+DN.

(2)当三角板绕点A旋转到图(2)的位置时，试判断线段MN、BM、Z5N之间具有怎

样的等量关系？请写出你的猜想，并给予证明.

(1)证明：延长M3到X,使BH=DN,连接AH,如图(1),

•四边形ABC。为正方形，

：.ZD=ZABC=90°,AD=AB,

在△A8/Z和中，

:.XABgXADN(SAS),

：.AH^AN,ZHAB=NNAD,

VZMAN=45°,

：.ZDAN+ZBAM^45°,

：.ZHAB+ZBAM=45°,

NHAM=ZNAM,

在△AMH和△AWN中，

rAH=AN

,ZHAM=ZNAM>

AM=AI

：.AAMH乌AAMN(SAS),

：.MH=MN,即

：.MN=BM+DN；

(2)解：MN=DN-BM.理由如下:

在。N上截取如图（2）,

与（1）一样可证明之△ABM,

：.AH=AM,ZDAH=ABAM,

:/MAN=45°,

：.ZDAH+ZBAN=45°,

：.ZHAN=45°,

NHAN=ZNAM,

在△ANH和中,

fAH=AM

<ZHAN=ZMAN>

AN=AN

：.AANHQ△AMN（SAS）,

：.NH=MN,

而DN=DH+HN,

：.BM+MN=DN,

即MN=DN-BM.

7.如图，在△ABC中，/ft4c=120°,AB=AC,点M、N在边2C上，且NAMN=60°.若

BM=2,CN=3,则MN的长为.

【答案】V7

【解答】解：如图，绕点A逆时针旋转120°至连接PN,过点P作BC

的垂线，垂足为。，

VZBAC=120°,AB=AC,

.,./B=NACB=30°

△ABM/△APC,

.•./B=/ACP=30°,PC=BM=2,NBAM=NCAP,

：.ZNCP=60°,

\'ZMAN=60°,

ZBAM+ZNAC=ZNAC+ZCAP=6O°=NMAN,

5L'：AM=AP,AN=AN,

：.△MAN和△B4N中，

M=AP

，ZMAN=ZPAN

AN=AN

.♦.△MAN丝△BAN(SAS),

：.MN=PN,

■:PDLCN,ZNCP=60°,

：.CD=-^PC=1,PD=yf3CD=y/3

：.DN=CN-CD=3-1=2,

PN=V(V3)2+22=小

故答案为：VV.

8.△ABC中，ZBAC=a,AB=AC,点。、E在直线BC上.

(1)如图1,D、E在3c边上，若a=120°,S.AD2+AC2^DC2,求证：BD=AD；

(2)如图2,。、E在BC边上，若a=150°,ZDAE=15°,且ED?+BD2=CE2,求

/BAD的度数.

(3)如图3,。在C8的延长线上，E在8C边上，若/8AC=a,ZDAE=180°-,

2

ZADB^15°,BE=4,BD=2,则CD的值为.

图3

【解答】(1)证明：•..Ar>2+Ac2=£)c2,

：.ZDAC^9Q°,

VZBAC=a=120°,

・•・ZBAD=a-ND4c=30°,

NA5=AC,

：.ZB=ZC=30°,

：.ZBAD=ZB=30°,

：.BD=AD.

(2)解：如图(2