2024年1月“七省联考”高考数学考前押题预测卷1（新高考地区专用）含答案

2024年1月“七省联考”押题预测卷01

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.若集合/={x1x-2<0},集合5={x2>l},则/5=（）

A.（2,+oo）B.（0,2）C.（-oo,2）D.R

2.已知i是虚数单位，若非零复数z满足（1-i）z=,「，贝4号=（）

A.1B.-1C.iD.-i

3.江南的周庄、同里、用直、西塘、鸟镇、南涪古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水

乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬

软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭

计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为（）

4.基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入。亿元进行基础建设，♦年后产生

/（/）=亿元社会经济效益.若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍,

且再过，年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，贝旷=（）

A.4B.8C.12D.16

5.已知平面向量/拉心杨满足同=3,且否与B—Z的夹角为30。，则W的最大值为（）

A.2B.4

C.6D.8

6.设一组样本数据X1，x2,•••,x”的极差为1,方差为0.1,若数据办1+6,ax2+b,

的极差为2,则数据办1+6,ax2+b,•••,的方差为（）

A.0.02B.0.04C.0.2D.0.4

7.在AASC中，已知4B=2,AC=4,ZBAC=60°,BC,/C边上的两条中线/BN相

交于点尸，则/的余弦值是（）.

4±RV70岳n3后

14141414

8.已知函数/(x)=；/+cosx-2,设a=/(log2().2),b=/(logo.30.2),c=/(0.2°3),则

()

Aa>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是（）

A.若随机变量金〃满足〃=2岁+1,则。⑺=2£）仁）+1

B.若随机变量GN。,/）,且尸仁＜6）=0.84,则尸（3＜《＜6）=034

C.若样本数据（玉,乂）（7=1,2,3,加线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线

经过该组数据的中心点（x,y）

D.根据分类变量才与y的成对样本数据，计算得到/=4.712.依据。=0.05的独立性检验

（x005=3.841）,可判断才与V有关

10.已知等差数列｛%｝的前“项和为S“，正项等比数列｛a｝的前”项积为7；,则（）

A.数列是等差数列B.数列｛3%｝是等比数列

C.数列｛In7；｝是等差数列D.数列;是等比数列

11.已知圆O：/+「=4与圆C:V+「-2x+4＞+4=0相交于A,8两点，直线

l:x-2y+5=0,点尸为直线/上一动点，过P作圆。的切线尸PN,（M,N为切点），

则说法正确的是（）

A.直线48的方程为x—2y+4=0B.线段4B的长为迪

5

C.直线"N过定点D.|尸闾的最小值是2.

12.直四棱柱44G0,所有棱长都相等，且/。48=60。，刊为台4的中点，尸为四

边形84cle内一点（包括边界），下列结论正确的是（）

A.平面截四棱柱ABCD-AiBCQi的截面为直角梯形

B.Cg,面2我

C.平面班cc内存在点尸，使得。尸

D.乙-皿M：^C-ADtM=1：3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知（2尸2一展开式的二项式系数之和为256,则其展开式中的系数为.

（用数字作答）

14.若函数/(x)=sinxcosx-gcos12x-高的图象在内恰有2条对称轴，则，的值可能为

3兀

15.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为石，侧面积分别为S甲和工,体积

分别为七和%.若m=2,则手=__________.

D乙/乙

22

16.如图，双曲线，-%■=1(凡6>0)的右顶点为A,左右焦点分别为耳，鸟，点尸是双曲线右支

上一点，尸片交左支于点。，交渐近线>=2x于点是尸。的中点，若RF2上PH，且

a

AMLPF1,则双曲线的离心率是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,(acosC+ccos/)coS]=asinB.

(1)求角A；

(2)若。为边8。上一点，且满足S“CD=2S“BD，证明：445c为直角三角形.

18.已知数列｛%｝的前"项的和为S,,数列1?，是公差为1的等差数列.

(1)证明：数列｛%｝是公差为2的等差数列；

(2)设数列的前〃项的和为4,若S3=9,证明

[anan+iJ2

19.如图，在四棱锥尸/加»中，底面/腼为菱形，£为棱四的中点，ACLPE,P归PD.

(1)证明：平面为2L平面ABCD-,

(2)若为=/〃/的炉60°,求二面角E-PZ>-Z的正弦值.

20.设椭圆C:「+==l(a〉b>0)的左右焦点分别为耳，F2.A,3是该椭圆。的右顶点和上顶

ab

点，且|/同=道，若该椭圆的离心率为1.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)直线/与椭圆。交于尸，。两点，且与x轴交于点。(无>。).若直线尸片与直线凿的倾斜

角互补，求△尸凿的面积的最大值.

21.为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问

23

卷调查.已知某单位有“名员工，其中I是男性，w是女性.

(1)当N=20时，求出3人中男性员工人数犬的分布列和数学期望；

(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市

范围内考虑.从"名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的

概率记作4；有二项分布中(即男性员工的人数X〜男性员工恰有2人的概率记作心

那么当“至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001(即々-鸟40.001)的前提下认为超几何

分布近似为二项分布.(参考数据：V578»24.04)

22.已知函数/(力=恁"一尸，(aeR).

(1)若/(x)为偶函数，求此时/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设函数g(x)=/(x)-(a+l)x,且存在%,3分别为g(x)的极大值点和极小值点.

(i)求实数。的取值范围；

(ii)若”(0,1),且g(xj+奴(々)〉0,求实数左的取值范围.

2024年1月“七省联考”押题预测卷01

数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

L若集合/={山-2<0},集合3=/2，>1},则/5=()

A.(2,+oo)B.(0,2)C.(-oo,2)D.R

【答案】B

【解析】由题意,集合4={x|x-2<0}={x|x<2},5={x|2x>l}={x|x>0},

根据集合交集的运算，可得/c3={x[0<x<2}.

故选：B.

2.已知i是虚数单位，若非零复数z满足(1-i)z=|z「，贝4备=()

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】A

【解析】设2=a+6i(a,6eR),则。一i)z=(1-i)(a+6i)=(a+6)+(6-a)i,

由(l—i)z=|z|2可得(a+6)+(6—a)i=矿+b2,

a+b—a1+b~z

所以，,，又因为ZHO,所以，a=b=l,则z=l+i,故；一=L

b-a=Ol+i

故选:A.

3.江南的周庄、同里、用直、西塘、鸟镇、南涪古镇，并称为“江南六大古镇”，是中国江南水

乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴、清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴侬

软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外.这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处.某家庭

计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则只选一个苏州古镇的概率为()

2314

A.—B.-C.—D.一

5555

【答案】B

【解析】从这6个古镇中挑选2个去旅游的可能情况有C；=15种情况，

1

只选一个苏州古镇的概率为尸=』r'C=士3.

155

故选：B

4.基础建设对社会经济效益产生巨大的作用，某市投入。亿元进行基础建设，/年后产生

/(0=亿元社会经济效益.若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍,

且再过;年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，贝旷=()

A.4B.8C.12D.16

【答案】B

In2Zln2

【解析】由条件得起4'=2°，.••2=丁，即/«)=皿丁.设投资/年后，产生的社会经济效

益是投资额的8倍，则有恁竽=8a，解得，7=12.所以再过12-4=8年，该项投资产生的社

会经济笑意是投资额的8倍.

故选：B.

5.已知平面向量满足同=3,且B与B—々的夹角为30。，则问的最大值为()

A.2B.4

C.6D.8

【答案】C

【解析】因为同=3,且B与B—Z的夹角为30。，

如图所示，设方=Z,㈤5=3,则应5=

由题意知NADB=30°，设ZADB=3,

■4B4D

因为a=3,在中，由正弦定理得------=——,解得NQ=6cos，W6,

11sin30°sin9

所以W的最大值为6.

故选:C.

6.设一组样本数据不，x2,•••,工〃的极差为1,方差为0.1,若数据。西+人，ax2+b,…,

的极差为2,则数据。%+人，ax2+b,-,的方差为()

A.0.02B.0.04C.0.2D.0.4

【答案】D

【解析】由题意可知，一组样本数据X[,x2,的极差为1,则k“-西|=1,

又数据+6,ax2+b,—,ax”+6的极差为2,

贝+b-(axi+Z?)|=|a(xn-%j)|=2,

所以同=2,

故数据Gq+b,ax,+b,…，ax,,+6的方差为2?xO.l=0.4，

故选：D

7.在AASC中，已知4B=2,AC=4,ZBAC=60°,BC,/C边上的两条中线/M,BN相

交于点尸，则的余弦值是().

4±RV7rV13口3标

14141414

【答案】B

［解析］由余弦定理得BC=V4+16-2x2x4xcos60°=273，

所以482+8。2=/。2,所以三角形/5C是直角三角形，且N48C=90。，

以3为原点建立如图所示平面直角坐标系，^(O,2),M(AO),C(2AO),7V(V3,1),

M4=(-V3,2),A®=(-V3,-1),ZMPN=ZAPB=^M4,NB),

所以()［立

cosNMPN=cosMA,NB1=竺；竺।==

"「以'\M^\NB\4X214-

故选：B

;

AfCx

8.已知函数/(x)=；/+cosx-2,设a=/(log20.2),b=/(logo3().2),c=/(0.2°3),则

()

Aa>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.b>c>a

【答案】B

11,

【解析】函数/(力=517+馍5彳一2的定义域为R,f(-x)=-(-%)2+cos(-x)-2=/(x),故

11

/(x)=jx+cosx-2为偶函数，

当xNO时，/'(x)=x-sinx,令g(x)=x-sinx,贝|g'(x)=1—cosx20,BPg(x)=x-sinx

在［0,+8)上单调递增,故g(x)〉g(0)=0,所以/'(x)20,则/(%)在［0,+与上单调递增，

由于log20.2=log2；=一log25G(-3,-2),2=log030.09>log030.2>log030.3=1,

0<0,203<B所以。>b>c.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是（）

A.若随机变量〃满足〃=2自+1,则。⑺=2。⑷+1

B.若随机变量且尸情<6）=0.84,则尸（3<4<6）=034

C.若样本数据（％,乂）（z=l,2,3,…，n）线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线

经过该组数据的中心点（阳田

D.根据分类变量才与V的成对样本数据，计算得到/=4.712.依据1=0.05的独立性检验

（=3.841）,可判断才与y有关

【答案】BCD

【解析】对A,由方差的性质可知，若随机变量77满足7/=24+1,贝IJ

D（/7）=22XD（^）=4D（^）,故A错误;

对B,根据正态分布的图象对称性可得尸（3<J<6）=尸传<6）-0.5=0.34,故B正确；

对C,根据回归直线方程过样本中心点可知C正确；

对D,由/=4.712>3.841可判断才与Y有关，故D正确.

故选：BCD.

10.已知等差数列｛%｝的前“项和为S“，正项等比数列｛a｝的前”项积为北，则（）

A.数列。^是等差数列B.数列"｝是等比数列

C.数列｛In?；｝是等差数列D.数列;警:是等比数列

【答案】ABD

【解析】设｛%｝的公差为d,也｝的公比为,

所以;-言=］（〃22）是常数，故A正确;

易知二=3"矶=3"2）是常数，故B正确；

由InT；-由心=1112（〃22）不是常数，故C错误；

恭+9=牛！=/（〃“）是常数，故D正确.

nn-\"n

故选:ABD

11.已知圆O：x?+「=4与圆C:/+/-2x+4>+4=0相交于A,B两点，直线

l:x-2y+5=0,点尸为直线/上一动点，过尸作圆。的切线尸PN,（M,N为切点），

则说法正确的是（）

线段48的长为生5

A.直线48的方程为x—2y+4=0B.

5

48

C.直线过定点D.|日图的最小值是2.

555

【答案】BC

x1+y2=4

【解析】由题知，联立

—+j?一2x+4y+4=0'

两式相减得了-2”4=0,

即直线的方程为x—2y一4=0,A错;

/+「=4

联立

/+/―2%+4y+4=0

8

x=一

x=05

解得《或＜

…6

y=—

5

、2,

所以I明1|一0+i-t+2I=¥，B正确;

对于C,设干（占,％）川（工2，%），

因为M,N为圆。的切点，

所以直线尸M■方程为啊+必=4,

直线PN的方程为xx2+yy2=4,

又设尸（x°，K），

工0七+%%=4

所以《，

［酒+%%=4

故直线MN的方程为xox+y0y=4,

又因为％-2%+5=0,

所以（2x+y）%-5x-4=0,

4

X=——

2x+y=05

由＜得〈

-5x-4=08

y=-

5

<_48

正确;

即直线"N过定点<-555.,C

因为92+0^2=。。2,

所以当|尸训最小时，|尸。|最小,

|0-0+5|厂

且因最小为kF近

=1,D错.

12.直四棱柱Z3CZ>-4瓦GA，所有棱长都相等，且2048=60。，刊为台片的中点，尸为四

边形区8℃内一点（包括边界），下列结论正确的是（）

A.平面2h以截四棱柱NBC。-/4GA的截面为直角梯形

B.s_1面。1我

C.平面88cle内存在点P,使得DP1AM

：

D.匕1]-肛"^C-ADtM=1：3

【答案】AB

[解析】对A,取司G的中点为N,ADJ/MN,AM©为截面,

因为/DAB=60°=ND£Bi,设AD=2,C；N=1,

2

在ANC[D[中,D.N-=CXN-+CXD;-2C]N•GAcos60°,得D^N=3,

则AN2+GN2=G。：，即4N_LC]N,

又BBX±平面&B£D[,D[Ncz平面AXB{CXDX,则D】N1BXB,

C[NcBiB=B[,qNu面38CC，u面BBiQC,

可知，NJ_面53CC，且面85clC,所以。A对

对B,因为Z\N1面BB[C[C,且C»u面BBgC,则DrN1CB1,

又MN1CB\,MNcD、N=N,MNu平面AMND1,'Nu平面ZACVD],

则CBJ平面町，B对；

对C,过。作因为8片，平面48。。，DEu平面48C。，

DE±BBX,BBXnAB=B,8片,ASu平面/5耳4,

所以平面/AB/一延长。P交面48K同于。，连接EQ交于户,

则EF为DP在面AAXBXB的射影，

若。尸_L/〃，又/Mu平面485/,则

DPcDE=D,DP,DEu平面DEP,则/MJ,平面DE尸，

E尸u平面。E尸，则有/〃，石户，

但当P在四边形班℃内运动时，产在8片上运动，此时E尸不可能与我垂直，C错;

对D：连接8G交5。于。，BC、交MN于S,连接交。陷于T,

CBJIA.D,因为C31_L平面血刃VQ,则4。J_平面血小@,

则4T为点4到面gM的距离，CS为点C到面AD.M的距离，

MNUBCX,则点B到面AD[M的距离即点。到面gM的距离，即OS,

则4T：OS=2:1,CS:OS=3:1,则4T:CS=2:3

4:V-=1•'皿〃•：；・,皿〃•CO=2:3,D错；

故选:AB

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知（2尸2一十）”展开式的二项式系数之和为256,则其展开式中/的系数为.

（用数字作答）

【答案】H20

【解析】由2"=256=2',得”=8.

（2x-2-x3）8展开式的通项&]=C；（2x-2p（-x3），=C；28T㈠丫”,

令5—16=4,得r=4,

则展开式中含/的项为笃=C：2%4X（-1）4/=1120/.

所以一的系数为1120.

故答案为：1120.

14.若函数/（x）=sinxcosx-；cos12x-W的图象在L内恰有2条对称轴，则6的值可能

为.

【答案】箸1771（答案不唯一）

【解析】f（x）=sinxcosjc--cosf2x--1=—sinlx--cos2x+—sin2x

八）2I6）2222

v7\7

i.0V3,i.叫

=—sm2x----cos2x=—sm2x——.

442I3）

.（兀/-\I.兀c兀c八兀

当x£1一,0时,一<2x—<2。—,

[4）633

因为函数/（无）的图象在内恰有2条对称轴，所以?<2，-

解得；二〈二丁，则，的值可能为

121212

故答案为：（答案不唯一）

15.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为3三兀，侧面积分别为S甲和%,体积

分别为心和无.若2,则要=.

【答案】

55

【解析】设母线长为/，甲圆锥底面半径为外，乙圆锥底面圆半径为马，

贝。券=卫|=人=2,所以。=2弓，

3乙仃r2

又学+干片，则号4所以【另二

CC乙II41-r

所以甲圆锥的高\=j/2_；/2=与,

乙圆锥的高〃2=J/2

164

%;叫2%1,2V3,

4ZXTZ-8^5

所以/=

乙§兀42a…5

8V5

故答案为:

-V

2i,2

16.如图，双曲线=l(a,b＞0)的右顶点为A,左右焦点分别为片，玛，点尸是双曲线右

支上一点，尸与交左支于点。，交渐近线＞=2尤于点民M是尸。的中点，若储，尸耳，且

a

AMLPF,,则双曲线的离心率是

%+Jo=X-Cl

【解析】设氏(%,%),则｛b,解得｛°,,即尺（a,6）,由题意所以

b

%二fJo=

a

2

\2

11

石-1

22

a+C所以2ac-b~b（a+c）a

AM-F2R,•).又设尸(国,%),0(马，32)，则＜2

22

2c2cx-1

口221

珀冲产（%+%）（%—%）=〃,_b2诉]"_b（2ac-b2）b

相减倚、/、2,即k°M,kPQ——$,所以kpo—2/、，又kpQ—^RF~

（国+了2）（国一了2）a°a/（a+c）qaya+c

化简得C=2Q,e=—=2.

a

故答案为：2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

4

17.已知AJLSC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,(^zcosC+ccos=asmB.

(1)求角A；

(2)若。为边5。上一点，且满足4D=C。，S“8=2S»m，证明：为直角三角形.

7T

【答案】(1)A=-(2)证明见解析

A

【解析】（1）在、45c中，由正弦定理得（sin/cosC+sinCeos/）cosm=sin/sin3,

A..A

所以sin（4+C）cos]=sin4sinB,BPsinBcos—=sin74sinB,

A

因为8£（0,兀）,「.sin3w0,所以sin/=cos—,

2

又因为/£(0,兀)，—^0,—.4△.444c

sinZ=2sin-cos一,cos-w0,

222

A1qr

所以sin]=g,所以4=5；

(2)证明：因为S“s=2S.ABD'所以。。=2助,

设N/CZ)=6,在A/C。中，AD=CD=2BD,则NG4Z)=6.

TT2兀

可得/胡。=——。，/ABC=——6,

33

BD_4D

在中，由正弦定理得，.「兀力一.「2兀小,

sm——0sm----0

U）u）

又因为40=2瓦？，所以Zsin[]—°]=sin]y—,

则V3COS6—sin6=——cos6+—sio6，

22

化简得tane=18,因为e/o,0,即e=2,则

3k3J62

所以。是直角三角形.

18.已知数列｛为｝的前〃项的和为S〃，数列]，1是公差为1的等差数列.

（1）证明：数列｛%｝是公差为2的等差数列；

（2）设数列,一1—的前，项的和为7；,若S3=9,证明/；＜!.

〔%%+iJ2

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】（1）因为数列是公差为1的等差数列，所以邑=必+〃-1=〃-1+%.

In\n11

从而可得=，/+（4—.

当“22时，an=Sn-S^=ax+2（w-l）.

即可得见,-4-1=2,所以数列｛aj是公差为2的等差数列；

（2）根据第（1）问数列｛%｝是公差为2的等差数列可得S3=34+3x2=3%+6=9,

从而可得6=1.

所以数列｛%｝的通项公式%=2〃-1.

所，%%+]（2〃一1乂2〃+1）212"-12«+1J-

,,,.“111111111

从而可得北=—|-----1-----1---1------------=----------.

"2（13352«-12M+1J24〃+2

所以■成立.

19.如图，在四棱锥及力中，底面4员》为菱形，£为棱的中点，ACVPE,PA=PD.

(1)证明：平面为〃_L平面力阅9；

(2)若PA=AD,NBAD=60°,求二面角£—尸。—/的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)三回.

13

【解析】(1)

如图，连接班，取40中点。，连接POOM因底面/阅9为菱形，故又£为棱的

中点，故0E11BD,则/CLQE,

已知AC_L尸£,。£,尸£u平面尸。及OEcPE=E,故ZC_L平面POE,因POu平面尸0E,

则4C_LP。，因P/=PZ>,则

又4D,NCu平面48cz),4Dc4C=4则尸。工平面48。。，又POu平面尸40,故平面

尸40,平面48CD

(2)

如图，连08,由（1）知尸01平面48CQ,且N阴氏60°,则△48。是正三角形，OB工AD,

故可以04,。5。尸分别为兀歹/轴正方向建立空间直角坐标系O-xyz.不妨设40=4,则

£（1,瓜0）,尸（0,0,26）,D（-2,0,0）,42,0,0）,

于是瓦=（3,6,0）,丽=（2,0,2百），设平面DEPD的法向量为3=（x,y,z）,则有

n•DE=3x+6y=0

,可取〃=(-V3,3,l).

n•DP=2x+2cz=0

因08d.4D,POLBO故可取平面PD4的法向量为m=(0,1,0).

设二面角£-尸。-/的平面角为。，则。为锐角，故《«。=m05〈加,〃〉|=-^="后,则

A/1313

sin0=A/1—cos2d=—Vo.

13

即二面角E-尸。-/的正弦值为马JH.

20.设椭圆。:=+3=1（。〉6>0）的左右焦点分别为与，F2.A,8是该椭圆,的右顶点和上顶

ab

点，且［48|=道，若该椭圆的离心率为白.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线，与椭圆。交于尸，。两点，且与x轴交于点。（无>。）.若直线尸耳与直线凿的倾斜

角互补，求△尸。鸟的面积的最大值.

f1

【答案】（1）—+/=1（2）-

4-4

【解析】（1）由题可得，\AB\^^a2+b2^45,

所以/+〃=5因为椭圆的离心率为立.所以e=£=@，结合椭圆中〃=/一。2可知,

2a2

a=2,6=1.所以椭圆。的标准方程为二+/=i.

4

（）F（）设尸（，）（和

22V3,0,Xi%,0J2）.

因为直线时与直线的倾斜角互补，

所以可知kPF2+kQFi=0,

pn----------1----------=0

X]-Gx2-V3，

化简得+%以一G(%+%)=0.

设直线尸。：x=如+〃(〃>2),

将x1=myx+n,x2=my2+n代入上式，

整理可得2掰以先+("-百)(必+%)=0・

x=my+n,

且由《八江=4消元化简可得

m2+4)y2+2mny+n2-4=0,

2mnM2-4

所以+y=-，代入上式

x2m2+4"%加2+4

2m(n2-4^

田------------…)4=0,

m2+4\，加+4

m=—

n3

4、h

所以PQ:x=myH——--.

1

，3+3川’

2—34/3加2_4

且归。l=J(l+m+%)2—4%％=V1

+加,~r~(—7--------\

V3(m2+4)

=-1d-\PQ\=~-.1—74yhm2一4273m2-4

所以见尸0「2-Vi+m,/—/—z----?=-------z------

2112出F73m2+43加之+4

.-------产44

令t=73m2-4，贝U加2二一--

2t1

所以S""=4^‘4'.

20

当且仅当/=4,加2=时取等号.

所以△尸。工的面积的最大值为:

21.为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革