湖南省宁乡一中等部分中学2024届高三六校第一次联考数学试卷含解析

湖南省宁乡一中等部分中学2024届高三六校第一次联考数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

7T

1.已知函数/'（x）=cos（2x+§）,则下列结论错误的是（）

A.函数/（龙）的最小正周期为兀

B.函数/（九）的图象关于点1,0对称

C.函数/（%）在］4,菖］上单调递增

D.函数/（光）的图象可由y=sin2x的图象向左平移/个单位长度得到

2.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要

求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样.马吃了牛的一半，羊吃了马的一半.”请问各畜赔多少？它的大意

是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升）,

三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同.马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半.问羊、

马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（）

255010025255010020040050100200

A.B.—,—.__r______.D・—，-----，-----

T,T,—147777777

3.设a=10g23,b=log46,c二=5-°\则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

已知复数z满足三下=2-，

4.（其中1为Z的共朝复数）,贝!l|z|的值为（）

1-Z

A.1B.2C.73D.75

5.记“个两两无交集的区间的并集为〃阶区间如（-8』U［2,3］为2阶区间，设函数/（幻=丽，则不等式

/•［〃x）］+3W0的解集为（）

A.2阶区间B.3阶区间C.4阶区间D.5阶区间

13

6.曲线丁=§丁+2111X上任意一点处的切线斜率的最小值为（）

3

A.3B.2C.-D.1

2

7.设函数〃x）=£-小nx+x+恰有两个极值点，则实数f的取值范围是（）

,+00

1A

2jA3

8.一个四面体所有棱长都是4,四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（）

A.24〃B.8而rC.生叵三D.127t

3

9.设尸为双曲线C：当=1（a>0,6>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆*2+9=层交于产、Q

ab

两点.若|PQ=|O为,则。的离心率为

A.72B.73

C.2D.亚

22

10.已知丹、居是双曲线5-与=1（。>0,6>0）的左右焦点，过点居与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另

ab

一条渐近线于点若点M在以线段可鸟为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）

A.（2,+oo）B.（/⑵C.（逝,百）D.（1,72）

11.下列四个图象可能是函数丁=或鼠叵士u图象的是（）

X+1

12.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,^2(/?cosA+acosB)=c2,b=3,3cosA=l,则。=

()

A.75B.3C.V10D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知i为虚数单位，复数z=L,贝!||z|=

1+1

14.若正实数二，二满足二_二-5）则***■fl的最大值是.

三+手

口U

15.已知圆柱的上下底面的中心分别为Q,。②，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形，则该

圆柱的体积为__

_JT

16.在AABC中，（A3—若角A的最大值为工，则实数;I的值是.

O

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱锥尸—A5CD中，底面ABC。为矩形，侧面？底面ABC。，X为棱A5的中点，E

为棱。C上任意一点，且不与。点、。点重合.AB=2,AD=PA=1,PH=42-

（1）求证：平面APE_L平面ABC。；

（2）是否存在点E使得平面APE与平面PHC所成的角的余弦值为亚？若存在，求出点E的位置；若不存在，请

3

说明理由.

18.（12分）已知抛物线C:J=4y与直线/：x—2y—2=0.

（1）求抛物线C上的点到直线/距离的最小值；

（2）设点P（尤0,%）是直线/上的动点，Q（L1）是定点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点为A,B,求证A,Q,

3共线；并在AQ=3Q3时求点P坐标.

19.（12分）如图，在四棱锥尸-A3CD中，四边形ABC。为正方形，平面ABCD,点"是棱PC的中点,

AB=2,PD=t（t>0）.

（1）若t=2,证明：平面平面「5C；

4

（2）若三棱锥C-。断的体积为求二面角B—DM—C的余弦值.

20.（12分）如图，焦点在x轴上的椭圆G与焦点在y轴上的椭圆。2都过点M（O,1）,中心都在坐标原点，且椭圆G

与C,的离心率均为*L.

2

（I）求椭圆G与椭圆Q的标准方程；

（n）过点M的互相垂直的两直线分别与G，Q交于点A,B（点A、B不同于点M）,当AM4B的面积取最大值

时，求两直线M4,M3斜率的比值.

M

,百、

21.（12分）在极坐标系中，曲线。的极坐标方程为夕=<2sin]'十%,2

\,-<0<Tl.

12

（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；

（2）设曲线C与曲线0sind=g交于A,B两点,求

22.（10分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCZ）为等腰梯形，AB//CD,AB=2BC,点。为AE

的中点.

E

(1)求证：AC//平面OQF；

(2)若NABC=60。，ACLFB,求BC与平面OQ尸所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

2冗TTTTTT

由7=—可判断选项A；当％=一时，2x+—=—可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；

。1232

y=sin2(x+力]=cos^2x--1-^丰f(x)可判断选项D.

【详解】

由题知〃x)=cos[2x+m],最小正周期7=5=兀，所以A正确；当x=\时，

-n71一-,(7127T),-71{5兀

2x+—=-,所以B正确；当时，2x+—eI所以C正确；由、=5皿2%

的图象向左平移击个单位，得丁=sin2[x+Aj=sin[2x+Wj=sin[2x+'-m

cosj2x-|U/(x),所以D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题.

2、D

【解析】

设羊户赔粮4升，马户赔粮的升，牛户赔粮升，易知，。2，%成等比数列,9=2,+g+%=50,结合等比数列的性质

可求出答案.

【详解】

设羊户赔粮4升，马户赔粮的升，牛户赔粮升，则，。2，%成等比数列，且公比4=2,+/+%=50,则

“2\S.5050100C2200

a\(1++4)=50,故/=J+2+22=~~j~，&=2"i=,q=2q=—^―.

故选:D.

【点睛】

本题考查数列与数学文化，考查了等比数列的性质，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

3、A

【解析】

先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较。力，再由中间值1可得三者的大小关系.

【详解】

a=log23e(1,2),b=log46=log276e(1,log23),0=5。«0,1),因此a>b>c,故选：A.

【点睛】

本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.

4、D

【解析】

按照复数的运算法则先求出再写出z,进而求出国.

【详解】

1+Z_(l+i)2_2i__.

1^7-(l-z)(l+0一万一’'

1I,。.

/.——--z=2-i=i”=2-i=2=----=-i(2-i)=-l-2z,

1-ii

z=—1+2in|z|=^(—I)2+22=y/5・

故选：D

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共甄复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

5、D

【解析】

可判断函数为奇函数，先讨论当％>0且XW1时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应

常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解

【详解】

当x>0且xw1时，/⑴=器）•令/'（%）=0得X=e.可得/'（X）和"力的变化情况如下表：

Xx—0(0,1)(Le)e(e,+8)

/’(%)/——0+

/（X）/(无)—0e1|

令/⑺一，则原不等式变为/⑺<-3,由图像知/⑺v-3的解集为re（-8闻（r2,-l）上3」），再次由图像得到

〃尤）e（-8,幻也，T）,」）的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D

【点睛】

本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想,

属于难题

6、A

【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率％23,即可得出答案.

【详解】

1a

解：由于y=—d+21n%,根据导数的几何意义得:

3

k=f()=x2+-=x2+-+->33x2~~=3(x>0)

xXXXVXXf

即切线斜率左23,

当且仅当x=l等号成立，

1«

所以V=§x+21nx上任意一点处的切线斜率的最小值为3.

故选：A.

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.

7、C

【解析】

/(x)恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出光)可确定x=l是它的一个解，另一个解由方程

三T=0确定，令g(x)=>0)通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.

【详解】

x-l)ex

由题意知函数/(X)的定义域为(0,+?),/(%)=

x2

(x-l)(x+2)T

x+2

X27

%2

因为/(九)恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然x=l是它的一个解，另一个解由方程

——-f=0确定，且这个解不等于1.

x+2

，/、(X+1)ex

令g(x)=57(x>0),贝!|g(^)=-—->0,所以函数g(x)在(0,+?)上单调递增，从而g(x)〉g@=j

人I乙x+2)2

£>ipe”-彳Inx+x+恰有两个极值点，即实数f的取值范围是

且g(l)=q.所以，当。〉5且/7鼻时，/(%)=—

故选：c

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.

8、A

【解析】

将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可.

【详解】

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同,

•••四面体所有棱长都是4,

.•.正方体的棱长为2起，

设球的半径为厂，

则2r=J(20『+42,解得r=«,

所以S=4万r=24万，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对

角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题.

9、A

【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.

【详解】

设PQ与X轴交于点A,由对称性可知轴，

又归@=|。/|=。，.1241=1，「.24为以OF为直径的圆的半径，

.•.4为圆心|。4|=—.

2

又P点在圆“2+'2="2上'

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，

运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半

功倍，信手拈来.

10、A

【解析】

22

双曲线AV--V4=1的渐近线方程为y=±b^x,

aba

b

不妨设过点Fi与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=-(x-c),

a

hche

与丫=-一x联立，可得交点M(不，-—),

a22a

•.•点M在以线段FiFi为直径的圆外，

2

c〃2

r.|OM|>|OFi|,即有——+—->€*,

44a2

.•.—>3,即b，3ai,

a

/.c1-a1>3a1,即c>la.

则e=—>1.

a

，双曲线离心率的取值范围是(1,+oo).

故选：A.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,

c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的

坐标的范围等.

11、C

【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由y=配空网的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，因为丁=辿鼠区为

XX

奇函数，即可得到函数图象关于(-1,0)对称，即可排除A、D,再根据x>0时函数值，排除8,即可得解.

【详解】

•••y=5吧；+”的定义域为{xIx。—1},

其图象可由丁=或鼠区的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，

X

...y=51Og3|x|为奇函数,图象关于原点对称，

X

y=型鼠学U的图象关于点(-1,0)成中心对称.

X+1

可排除4、。项.

当%>0时，y=51og3-+l|>0,...5项不正确.

x+1

故选：C

【点睛】

本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档

题.

12、B

【解析】

由正弦定理及条件可得2(sin8cosA+sinAcos5)=csinC,

即2sin(A+6)=2sinC=csinC.

QsinC>0,

c=2,

2222

由余弦定理得"=Z?+c—2bccosA=2+3—2x2x3x—=9o

3

a=3.i&Bo

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、克

2

【解析】

先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.

【详解】

111.II72

1+i22112

故答案为：县.

2

【点睛】

本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为a+初的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

14、,

【解析】

分析：将题中的式子进行整理，将.•当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的

最值的问题的求解方法，即可求得结果.

号一3=二一二1+—+:一(E+与=2I+2Z-J-

详解：…'…_…-，当且仅当

+勺(二+i+=)="+台+芋)44v0+:

-..等号成立，故答案是.

Uv<)g

点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后

注意此类问题的求解方法……相乘，即可得结果.

15、54"

【解析】

由轴截面是正方形，易求底面半径和高，则圆柱的体积易求.

【详解】

解：因为轴截面是正方形，且面积是36,

所以圆柱的底面直径和高都是6

V=兀户h=%x32x6=54万

故答案为：54"

【点睛】

考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.

16、1

【解析】

把向量进行转化，用彳表示cosA,利用基本不等式可求实数彳的值.

【详解】

(Afi-2AC)(-AS+AC)=-c2-Ab2+(2+l)Z?ccosA=0

.1.Abc、、2^2A/3初归),

cosA=----(一+-)2-^-=J,解得;1=1.

2+1cb2+12

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)证明见解析(2)存在，E为。C中点

【解析】

(1)证明AP上面ABC。，即证明平面APE，平面ABC。；(2)以A为坐标原点，AO为犬轴正方向，A3为丁轴

\n\-n\11+221瓜1

正方向，AP为z轴正方向,建立空间直角坐标系.利用向量方法得COS6==一，解得力=

阿.网V3-V422+l32

所以E为。C中点.

【详解】

(1)由于“为A5中点，AH=~AB=1.

2

又PH=母，故PH?=转2+曲,

所以_9/为直角三角形且ZPAH=90°,

即？ALAB.

又因为K4u面MB,面RLB面A3CD=AB,面？AB,面ABCD,

故”，面回。。，

又？Au面Q4E,所以面巳4£_1_面438.

(2)由(1)知AP上面ABC。，又四边形ABC。为矩形，则AP,AD,两两垂直.

以A为坐标原点，AO为*轴正方向，A3为了轴正方向，AP为z轴正方向，建立空间直角坐标系.

则A(O,O,O),P(O,O,1),H(O,1,O),C(1,2,0),设E(l,22,0),2e(0,l),

则AP=(O,O,l),AE=(l,22,0),PH=(0,1,-1),HC=(1,1,0),

设平面APE的法向量为加=(尤，y,z),

,m-AP=0(z=0

则有<c,c，令x=-2X,则y=l,

m-AE=0[x+2Ay=0

则平面APE的一个法向量为班=(-22,1,0),

同理可得平面PHC的一个法向量为勺=(-1,1,1)，

设平面APE与平面PHC所成角为0,

1ml11+221瓜1

则由题意可得cos6=%^=匚=一,解得2=:，

网同""aI32

所以点E为。C中点.

【点睛】

本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间二面角的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18、(1)之6；(2)证明见解析，P(0,-l)或P(2,0)

10

【解析】

(1)根据点到直线的公式结合二次函数的性质即可求出；(2))设4区，％),B(X2,%)，表示出直线B4,心的

方程，利用尤0表示出X1,x2,即可求定点P的坐标.

【详解】

⑴设抛物线C上点的坐标为”)，

一

则心ST_2r+4),,拽，0=1时取等号)，

10

则抛物线C上的点到直线I距离的最小值上叵；

10

（2）设4（%，%）,3（尤2，%），

Qy=>

,1

y=-x,

二直线Q4,的方程为分别为y—%=］（X—%），y_y2=^-（X-X2）,

由两条直线都经过点P点得再，了2为方程炉-2%%+4%=0的两根%+々=2%,占％=4%,

直线A3的方程为〉一%==五（》一西），>一%=受产（无一%），

%2一西4

「X一七）=1一七+苧=甘+%=0,

A,Q,3共线.

又石—1=3（1—x2）,

二.菁=4-3X2,

玉=3x0-2

<X2=2-X0,

xrx2=2XQ-4

解=0,x0—2,

点P（x（>，%）是直线/上的动点，

=0时，yo=—1,=2时，y0—0,

••.m-D,或P（2,O）.

【点睛】

本题考查抛物线的方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线过定点的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平和分析推理能力.

2

19、（1）见解析（2）-

3

【解析】

⑴由已知可证得AO，平面PDC,则有A。J_PC,在APDC中，由已知可得DM±PC,即可证得PC±平面ADM,

进而证得结论.

⑵过M作脑V//P。交。。于N,由M为PC的中点，结合已知有“N，平面ABCD

j4i

则VC-DBM=VM-DBC=-SADBC-MN=-，可求得t=4.建立坐标系分别求得面DBM的法向量"=(2,-2,1)，平面

DMC的一个法向量为m=(1,0,0)，利用公式即可求得结果.

【详解】

(1)证明：平面ABC。，ADu平面ABC。，

AD±PD，又四边形ABC。为正方形，

:.AD±DC.

又PD、£)Cu平面PDC,且PDcDC=D,

..AZ)，平面PDC.二AD，PC.

△PDC中,t=PD=DC=2,〃为PC的中点，

：.DM±PC.

又AD、OWu平面ADAf,ADDM=D,

」.PC，平面AZW.

PCu平面尸5C,...平面DM4，平面「5c.

(2)解：过M作MNIIPD交DC于N,如图

M为PC的中尽，：.MN比'PD,:.MN=Lt.

一22

又P£)_L平面ABC。，平面ABC。.

VjDBM=VM-DBC=&DBC，MN=]义3X2X=>-'-1=^.

所以P£)=4,又P£)、DA、。。两两互相垂直，以DP、DA.DC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标

系.0(0,0,0),5(2,2,1),C(0,2,0),M(0,l,2)

设平面QBM的法向量〃=(x,y,z),贝1]

2x+2y=0

\n-DB=0,即<

DMDM=0y+2z=0

令z=l,贝！lx=2,y=-2.：.n=(2,—2,1).

平面DMC的一个法向量为加=(1,0,0)

/\m-n22

cos(m,n)—•；—j-i~~r=-----=一

、/7."1x33-

2

二•二面角5—DM—C的余弦值为一.

3

/»\

【点睛】

本题考查面面垂直的证明方法，考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法，难度一般.

2

六千T⑵9-质

20、（1）—+y2=1,

4-

【解析】

分析：（1）根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得

相应的参数，从而求得椭圆的方程；

⑵设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S

表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得结果.

详解：（I）依题意得对G：b=l,e=，得G：—+y2=1；

24a-4-

2

2%i

同理y+T=1.

4

（II）设直线MA,MB的斜率分别为冗,k2,则MA：y=左逮+1,与椭圆方程联立得：

222

<4+'x+4（^x+l）-4=0,得（4左2+1）x+8^x=0,得4二一力？2】1，VA二f；S,所以

4kl+14K.+1

［丁=幻+111

A防-嵋+1、

4婷+1，4始+1

同理可得8.所以必=（一访='诟1）’.=

从而可以求得s=g事」.y_二^.上因为左左一_1

4婷+14+44+/4婷+12（4婷+1）（4+4）

8（尢+匕3）-p(i\—4短—9左J+1

‘不1妨n设㈤=(4婷+1)4

所以s=2

/'（左）=0,二—4短—9婷+1=0,卜：=回-9,所以当S最大时，婷二历一9,此时两直线MA,MB斜率的比

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点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点

即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在

研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.

21、⑴%+小

【解