2024年中考数学压轴题十大类型经典题目复习讲义

第一讲中考压轴题十大类型之动点问题.

1.（2008河北）如图，在RtZkABC中，NC=90°,45=50,4C=30,D,E,尸分别是

AC,AB,5c的中点.点P从点。出发沿折线。EER尸CCD以每秒7个单位长的

速度匀速运动；点。从点3出发沿&L方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点

。作射线QKLAB,交折线5CCA于点G.点P,。同时出发，当点尸绕行一周回到

点。时停止运动，点。也随之停止.设点P,。运动的时间是/秒（co）.

（1）A/两点间的距离是;

（2）射线QK能否把四边形CD所分成面积相等的两部分？若能，求出/的值.若不

能，说明理由；

（3）当点P运动到折线EF-NC上，且点尸又恰好落在射线QK上时，求才的值；

（4）连结PG,当PG〃AB时，请邕举写出/的值.

备用图

2.（2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形。45。是平行四边形.直线

/经过0、。两点.点A的坐标为（8,0）,点5的坐标为（11,4）,动点尸在线段

0A上从点0出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每

秒2个单位的速度沿A-5—。的方向向点。运动，过点尸作尸N垂直于入轴，与

折线O-C-5相交于点M.当P、。两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止

运动，设点尸、。运动的时间为1秒(，＞0),的面积为S.

(1)点。的坐标为,直线/的解析式为.

(2)试求点。与点"相遇前S与1的函数关系式，并写出相应的/的取值范围.

(3)试求题⑵中当才为何值时，S的值最大，并求出S的最大值.

(4)随着P、。两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PN的延长线与直

线,相交于点N.试探究：当才为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出才的

值.

3.(2011四川重庆)如图，矩形A5co中，AB=6,5。=2小，点。是A5的中点，

点尸在AB的延长线上，且5尸=3.一动点E从。点出发，以每秒1个单位长度的

速度沿。4匀速运动，到达4点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点尸从尸点

出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线B4匀速运动，点E、尸同时出发，当两点

相遇时停止运动.在点石、厂的运动过程中，以EF为边作等边八EFG,使AEFG

和矩形在射线B4的同侧，设运动的时间为/秒(仑0).

(1)当等边△"G的边尸G恰好经过点。时，求运动时间才的值；

(2)在整个运动过程中，设等边AE/G和矩形A5CD重叠部分的面积为S,请直

接写出S与彳之间的函数关系式和相应的自变量才的取值范围；

（3）设EG与矩形A5CD的对角线AC的交点为“，是否存在这样的b使△A0"

是等腰三角形？若存在,求出对应的力的值；若不存在,少请说明理由.C

备用图1备用图2

三、测试提高

1.（2011山东烟台）如图，在直角坐标系中，梯形A5CZ）的底边A5在％轴上，

底边CD的端点。在y轴上.直线的表达式为y=-点A、。的坐标分

别为（一4,0）,（0,4）.动点尸自4点出发，在A5上匀速运动.动点。自点5

出发，在折线5CD上匀速运动，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终

点时，它们同时停止运动.设点尸运动方（秒）时，尸。的面积为S（不能构成

△0尸。的动点除外）.

（1）求出点5、。的坐标；

（2）求S随才变化的函数关系式；

（3）当方为何值时S有最大值？并求出最大值.

备用图

第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题

1.（2011浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为（-4,

0）,点5的坐标为（0,b）S>0）.尸是直线A5上的一个动点，作PCXx轴，垂

足为C,记点尸关于y轴的对称点为PY点P不在y轴上），连结PP,P'A,P'C,

设点P的横坐标为a.

（1）当》=3时，

①直线AB的解析式;

②若点P的坐标是(T,m),求根的值;

(2)若点尸在第一象限,记直线A3与PC的交点为。.当尸7):。。=1:3时，求a

的值;

(3)是否同时存在mb,使△〃小为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足

要求的m8的值；若不存在，请说明理由.

2.(2010武汉)如图，抛物线％=以2_2以+"经过A(-1,0),C(2,|)两点，与

%轴交于另一点8

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若抛物线的顶点为点尸为线段05上一动点(不与点5重合)，点。在线

段MB上移动，且NMPQ=45。，设线段OP=x,MQ^y2,求刃与X的函数关系式,

并直接写出自变量％的取值范围；

(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线％=祖，分别与抛物线交于点E,G,

与(2)中的函数图象交于点尸，H.问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求m,

”之间的数量关系；若不能，请说明理由.

3.（2011江苏镇江）在平面直角坐标系％Oy中，直线4过点A（l,0）且与y轴平行，直线

4过点5（0，2）且与％轴平行，直线4与4相交于点尸.点石为直线6上一点，反比例

函数y=七（Q0）的图象过点E且与直线4相交于点F.

X

（1）若点E与点尸重合，求上的值；

（2）连接08、OF、EF.若k>2,且△0E尸的面积为△尸E尸的面积2倍，求点E

的坐标；

（3）是否存在点E及y轴上的点使得以点V、E、尸为顶点的三角形与APE尸

全等？若存在，求E点坐标；若不存在，请说明理由.

4.（2010浙江舟山）△人与。中，N4=N5=30。，AB=26.把△A5C放在平面直角坐标

系中，使A3的中点位于坐标原点O（如图），△A5C可以绕点。作任意角度的旋

转.

(1)当点5在第一象限，纵坐标是逅时，求点5的横坐标；

2

(2)如果抛物线丁=以2+法+。(存0)的对称轴经过点C,请你探究：

①当即好，b」,C一至时，A,5两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；

425

②设b=-2am,是否存在这样的加值，使A,5两点不可能同时在这条抛物线上?

若存在，直接写出机的值；若不存车，请说明理由.

5.(湖北黄冈)已知二次函数的图象如图所示.

(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点〃的坐标；

(2)若点N为线段上的一点，过点N作％轴的垂线，垂足为点。.当点N在

线段上运动时(点N不与点5,点"重合)，设0。的长为才，四边形NQAC面

积为S,求S与方之间的函数关系式及自变量力的取值范围；

(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△出€;为直角三角形？若存在，求

出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)将△04。补成矩形，使得△。4。的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三

个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过

程).

1.（2011山东东营）如图所示，四边形。4BC是矩形，点A、C的坐标分别为（-3,0）,

（0,1）,点。是线段5。上的动点（与端点5、。不重合），过点Z）作直线y=gx+b交

折线OAB于点E.

（1）记△ODE的面积为工求S与。的函数关系式；

（2）当点E在线段。4上时，_atanZDEO=-.若矩形。45。关于直线DE的对称图

2

形为四边形QABC.试探究四边形4G与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生

变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

第三讲中考压轴题十大类型之面积问题

1.(2011辽宁大连)如图，抛物线y=a%2+—+c经过A(—1,0)、B(3,0)、C(0,

3)三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线相交于点V,连接尸8

(1)求该抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在一点。，使与△PMB的面积相等，若存在，求点。

的坐标；若不存在，说明理由；

(3)在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点H,使与的

面积相等，若存在，直接写出有£的总标；若不存在，说明理由.

2.(2011湖北十堰)如图，己知抛物线y=%2+bx+c与X轴交于点A(1,0)和点B,

与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图(1),己知点”(0,-1).问在抛物线上是否存在点G(点G在y轴的

左侧)，使得&GHC=SAGHA?若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：

(3)如图(2),抛物线上点。在入轴上的正投影为点E(-2,0),尸是OC的中

点，连接。尸，尸为线段5。上的一点，若/EPF=NBDF,求线段尸E的长.

3.（2010天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-

+c与x轴交于点A、B（点A在点3的左侧），与y轴的正半轴交于点C,顶点为E.

（I）若b=2,c=3,求此时抛物线顶点E的坐标；

（II）将（I）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形A5EC中满足S

△BCE=S^ABC，求此时直线BC的解析式；

（III）将（I）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形A5EC中满足

=2&AOC,且顶点后恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式.

4.（2011山东聊城）如图，在矩形A5CD中，AB=12cm,5C=8cm.点E、F、G分别

从点4、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为2cm/s,

点户的速度为4cm/s,当点尸追上点G（即点尸与点G重合）时，三个点随之停止移

动.设移动开始后第ts时，/\EFG的面积为Sen?.

（1）当才=ls时，S的值是多少？

（2）写出S与力之间的函数解析式，并指出自变量力的取值范围；

（3）若点尸在矩形的边上移动，当才为何值时，以点B、E、尸为顶点的三角形

与以。、下、G为顶点的三角形相似？请说明理由.

5.(2011江苏淮安)如图，在RtZ\A5C中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点尸在A5上，

AP=2,点E、尸同时从点尸出发，分别沿B4、以每秒1个单位长度的速度向点

A、5匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点5运动，点下运动到点5

时停止，点E也随之停止.在点E、尸运动过程中，以E尸为边作正方形E/G”,使

它与△A5C在线段A5的同侧.设E、下运动的时间为方秒。＞0),正方形EFGH

与AABC重叠部分面积为S.

(1)当尸1时，正方形的边长是.当1=3时，正方形的边长是.

(2)当0＜，W2时，求S与彳的函数关系式；

(3)直接答出：在整个运动过程中，当彳为何值时，S最大？最大面积是多少?

备用图

三、测试提高

1.(2010山东东营)如图，在锐角三角形A5C中，BC=12,△A5C的面积为48,D,

E分别是边AbAC上的两个动点(O不与4,5重合)，且保持。石〃以DE

为边，在点A的异侧作正方形。及G.

(1)当正方形。EFG的边G尸在上时，求正方形。"G的边长；

(2)设。E=%,△A5C与正方形。EFG重叠部分的面积为y,试求y关于％的函数

关系式，写出工的取值范围，并求出y的最大值.

第四讲中考压轴题十大类型之

三角形存在性问题

板块一、等腰三角形存在性

1.（2011江苏盐城）如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=的图象交于点

A,且与X轴交于点8

（1）求点A和点5的坐标；

（2）过点A作AC_Ly轴于点C,过点5作直线/〃y轴.动点尸从点O出发，以

每秒1个单位长的速度，沿O—C—4的路线向点4运动；同时直线/从点5出发,

以相同速度向左平移，在平移过程中，直线/交工轴于点H,交线段BA或线段AO

于点。.当点尸到达点A时，点尸和直线/都停止运动.在运动过程中，设动点

产运动的时间为/秒.是否存在以4、尸、。为顶点的三角形是等腰三角形？若存

在，求才的值；若不存在，请说明理由.

（备用图）

2.（2009湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系X0y中，抛物线y=fY—[x—io与％轴

的交点为点A,与y轴的交点为点5,过点5作入轴的平行线交抛物线于点C,

连结AC现有两动点尸，。分别从0,。两点同时出发，点尸以每秒4个单位的速

度沿0A向终点A移动，点。以每秒1个单位的速度沿CB向点5移动，点尸停止

运动时，点。也同时停止运动，线段0C,尸。相交于点。，过点。作。石〃。4,

交CA于点E,射线。E交工轴于点足设动点尸，。移动的时间为《单位：秒）

⑴求A,B,。三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；

⑵当/为何值时，四边形尸。CA为平行四边形？请写出计算过程；

⑶当o时，^尸。尸的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说

明理由；

⑷当才为何值时，^尸。尸为等腰三角形？请写出解答过程.

板块二、直角三角形

3.（2009四川眉山）如图，已知直线y=gx+l与y轴交于点A,与％轴交于点。，抛

物线y=与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1,

0）.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点尸在入轴上移动，当△B4E是直角三角形时，求点尸的坐标.

4.(2010广东中山)如图所示，矩形的边长A5=6,BC=4,点尸在。。上，

DF=2.动点V、N分别从点。、5同时出发，沿射线线段向点A的方向

运动(点M可运动到D4的延长线上)，当动点N运动到点A时，M、N两点同时

停止运动.连接/N、FN,当下、N、"不在同一直线上时，可得4FMN,过AFMN

三边的中点作△PW。.设动点〃、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为

%秒.试解答下列问题：

(1)说明△尸脑VsZ\0WP；

(2)设0WxW4(即M从。到A运动的时间段).试问工为何值时，△PW。为直角

三角形？当％在何范围时，△PQW不为直角三角形？

(3)问当％为何值时，线段最短？求此时的值.

板块三、相似三角形存在性

5.(2011湖北天门)在平面直角坐标系中，抛物线>=以2+法

+3与x轴的两个交点分别为A(-3,0)、B(1,0),过顶点。作CH，入轴于点

(1)直接填写：a=,b=,顶点。的坐标为;

(2)在y轴上是否存在点。，使得△ACZ)是以4。为斜边的直角三角形？若存在，

求出点。的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若点尸为X轴上方的抛物线上一动点(点尸与顶点。不重合)，尸0LAC于点

Q,当△尸。。与△AC"相似时，求点尸的坐标.

（备用图）

三、测试提高

1.（2009广西钦州）如图，已知抛物线丁=3f+桁+。与坐标轴交于4、B、C三点、,A

4

点的坐标为（一1,0）,过点。的直线y=」x-3与％轴交于点0,点尸是线段5C

上的一个动点，过尸作尸于点若PB=5t,且0<r<l.

（1）填空：点。的坐标是,b=,c=；

（2）求线段。"的长（用含力的式子表示）；

（3）依点尸的变化，是否存在彳的值，使以尸、H、。为顶点的三角形与△CO。相

似？若存在，求出所有才的值；若不存在，说明理由.

第五讲中考压轴题十大类型之

四边形存在性问题

1.(2009黑龙江齐齐哈尔)直线y=-3x+6与坐标轴分别交于A、5两点，动点P、Q

4

同时从。点出发，同时到达A点，运动停止.点。沿线段。4运动，速度为每秒1

个单位长度，点尸沿路线。-5-A运动.

(1)直接写出A、5两点的坐标；

(2)设点。的运动时间为，秒，△。为2的面积为S,求出S与1之间的函数关系式;

(3)当S=F时，求出点。的坐标，并直接写出以点。、P、。为顶点的平行四边

形的第四个顶点”的坐标.

2.(2010河南)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(T,0),B(0,-4),C(2,0)

三点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点〃为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为机，的面积为

S.求S关于机的函数关系式，并求出S的最大值.

(3)若点尸是抛物线上的动点，点。是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能

够使得点尸、。、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点。的坐标.

3.（2011黑龙江鸡西）已知直线y=6x+46与％轴、y轴分别交于4、B两点，

ZABC=60°,BC与x轴交于点C.

（1）试确定直线的解析式；

（2）若动点尸从A点出发沿AC向点。运动（不与A、。重合），同时动点。从。

点出发沿CBA向点A运动（不与。、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位

长度，动点。的运动速度是每秒2个单位长度.设△A尸。的面积为S,尸点的运动

时间为方秒，求S与力的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)在(2)的条件下，当AAP。的面积最大时，y轴上有一点平面内是否存

在一点N,使以A、0、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的

坐标；若不存在，请说明理由.

7

4.(2007河南)如图，对称轴为直线x=5的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)设点石(％,y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形0必尸是以0A

为对角线的平行四边形，求四边形0E4方的面积S与％之间的函数关系式，并写出

自变量％的取值范围；

(3)①当四边形OEA厂的面积为24时，请判断0E4方是否为菱形？

②是否存在点E,使四边形OEAb为正方形？若存在，求出点E的坐标；若

不存在，请说明理由.

5.(2010黑龙江大兴安岭)如图，在平面直角坐标系中，函数丫=2%+12的图象分别交

x轴、y轴于A、B两点.过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB

的中点.

(1)求直线AM的解析式；

(2)试在直线AV上找一点尸，使得利=S"OB,请直接写出点尸的坐标；

(3)若点”为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点“，使以4、

B、M、”为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点”的坐标；若不存

在，请说明理由.

三、测试提高

1.(2009辽宁抚顺)已知：如图所示，关于％的抛物线

严加+x+c(“wo)与％轴交于点4(-2,0)、点B(6,0),与y轴交于点C

(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

(2)在抛物线上有一点。，使四边形A5OC为等腰梯形，写出点。的坐标，并求

出直线A。的解析式；

(3)在(2)中的直线4。交抛物线的对称轴于点抛物线上有一动点P,%轴

上有一动点。.是否存在以A、M、P、。为顶点的平行四边形？如果存在，请直

接写出点。的坐标；如果不存在，请说明理由.

第六讲中考压轴题十大类型之

线段之间的关系

1.（2010天津）在平面直角坐标系中，矩形。的顶点O在坐标原点，顶点A、B

分别在X轴、y轴的正半轴上，（M=3,05=4,。为边05的中点.

（I）若E为边。4上的一个动点，当的周长最小时，求点E的坐标;

温馨提示：如图，可以作点力关于X轴

的对称点£>',连接CD与X轴交于点E,

此时△CDE的周长是最小的.这样，你只需

求出OE的长，就可以确定点E的坐标了.

(II)若E、尸为边。4上的两个动点，且即=2,当四边形Q)所的周长最小时，

求点E、口的坐标.

2.(2011四川广安)四边形A5co是直角梯形，BC//AD,

ZBAD^90°,5。与y轴相交于点V,且M是5。的中点，A、B、。三点的坐标分

别是A(-1,0),5(-1,2),D(3,0).连接。并把线段。河沿D4方向平

移到ON.若抛物线y+Z?x+c经过点£)、M、N.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在点P,使得B4=PC,若存在，求出点尸的坐标；若不存在,

请说明理由；

(3)设抛物线与工轴的另一个交点为石，点。是抛物线的对称轴上的一个动点，

当点。在什么位置时有最大？并求出最大值.

3.（2011四川眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（O,1）,Bj4）,将点B

绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,顶点在坐标原点的抛物线经过点5.

（1）求抛物线的解析式和点。的坐标；

（2）抛物线上有一动点P,设点尸到％轴的距离为4,点尸到点A的距离为试

说明a=4+1；

（3）在⑵的条件下，请探究当点尸位于何处时，的周长有最小值，并求出

的周长的最小值.

4.（2011福建福州）已知，如图，二次函数y=&+2奴-3a（"0）图象的顶点为与

%轴交于A、5两点（5在A点右侧），点“、5关于直线/:尸gx+若对称.

（1）求A、5两点坐标，并证明点4在直线/上;

(2)求二次函数解析式；

(3)过点5作直线5K〃A“交直线/于K点，M、N分别为直线A"和直线/上的

两个动点，连接HN、NM、MK,求“N+MV什MK和的最小值.

5.(2009湖南郴州)如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点又(一2,

—1),且尸(一1,—2)为双曲线上的一点，。为坐标平面上一动点，垂直于工

轴，垂直于y轴，垂足分别是A、B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点Q在直线M0上运动时，原线M0上是否存在这样的点Q,使得△OBQ

与△04尸面积相等？如果存在，请求点。的坐标，如果不存在，请说明理由;

(3)如图2,当点。在第4吧动时，作以0尸、0。为邻边的平行

A

X

四边形0尸。。，求平行四边形州最小值.

P

图1图2

6.（2010江苏苏州）如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点氏已知4、5两点的

坐标分别为（3,0）、（0,4）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设”（必可是抛物线上的一点（加、〃为正整数），且它位于对称轴的右侧.若

以M、AO、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P,尸发+尸52+产河2>28

是否总成立？请说明理由.

三、测试提高

1.(2009浙江舟山)如图，已知点4(-4,8)和点5(2,八)在抛物线>=加上.

(1)求。的值及点B关于％轴对称点P的坐标，并在入轴上找一点。，使得AQ+QB

最短，求出点。的坐标；

(2)平移抛物线》=以2,记平移后点4的对应点为4,点5的对应点为Q，点C(-2,

0)和点。(-4,0)是入轴上的两个定点.

①当抛物线向左平移到某个位置时，最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A5CD的周长最短？

若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.

第七讲中考压轴题十大类型之定值问题

1.(2011天津)已知抛物线G：乂=32-X+1,点/(1,1).

(I)求抛物线G的顶点坐标；

(II)①若抛物线G与y轴的交点为A,连接AF并延长交抛物线q于点'求证:

11、

--------1---------2;

AFBF

②抛物线C上任意一点尸(与，力)(o<xp<i),连接尸尸，并延长交抛物线G

于点。(与，坨)，试判断-^+'=2是否成立？请说明理由；

QQPFQF

(III)将抛物线G作适当的平移，得抛物线。2：

%=g(x)2，若时，恒成立，求机的最大值.

2.(2009湖南株洲)如图，已知△ABC为直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,点A、

。在无轴上，点3坐标为(3,m)线段AB与y轴相交于点。，以P(1,0)

为顶点的抛物线过点3、D.

(1)求点A的坐标(用冽表示);

(2)求抛物线的解析式;

(3)设点。为抛物线上点尸至点3之间的一动点，连

结PQ并延长交于点E,连结3Q并延长交AC于点

F,试证明：FC(AC+EC)为定值.

3.（2008山东济南）已知：抛物线产底+法+“分0）,顶点。（1,-3）,与％轴交于A、

5两点，4-1,0）.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，以为直径作圆，与抛物线交于点。，与抛物线对称轴交于点E,依次

连接4D、B、E,点尸为线段4?上一个动点（尸与4、5两点不重合），过点尸作

PWL4E于胚PMLD5于N,请判断我+空是否为定值？若是，请求出此定值；若

BEAD

不是，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作尸GLE尸，尸G分别

与边4E、BE相交于点尸、G（尸与A、E不重合，G与E、5不重合），请判断尤="

•PBEG

是否成立.若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

4.（2011湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛

物线丁=以25<0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原

点。，两直角边与该抛物线交于A、3两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA=OB=2&（如图1）,求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点。旋转到如图2所示位置时，过3作取，x

轴于点人测得斯=1,写出此时点8的坐标，并求点A的横坐桥；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点。旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、5的

连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.

5.（2009湖北武汉）如图，抛物线丁=/+法—4a经过A（-l,0）、C（0,4）两点,与x轴交

于另一点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点或加，根+1)在第一象限的抛物线上，求点。关于直线对称的点的坐

标；

(3)在(2)的条件下，连接5。，点尸为抛物线上一点，且ZZ汨尸=45。，求点尸的

坐标.

三、测试提高

1.(2009湖南湘西)在直角坐标系％0y中，抛物线y=Y+bx+c

与％轴交于两点A、B,与y轴交于点C,其中4在5的左侧，B的坐标是(3,0).将

直线y="沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C.

(1)求人的值；

(2)求直线和抛物线的解析式；

(3)求△45。的面积；

(4)设抛物线顶点为。，点尸在抛物线的对称轴上，且

ZAPD^ZACB,求点尸的坐标.

“y

4,

3,

2

i

-4-3-2-11~~2~~34^

-1

-2(

-31

-41

第八讲中考压轴题十大类型之

几何三大变换问题

1.（2009山西太原）问题解决：如图（1）,将正方形纸片ABCD折叠，使点5落在

边上一点E（不与点C,。重合），压平后得到折痕MN.当名=」时，求4丝的值.

CD2BN

方法指导：

为了求得型的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2

类比归纳：在图（1）中，若则处的值等于

BN

若晋T则处的型CE1z

于—；右——=-（n

BNCDn

为整数），则处的于（用含〃的式

BN

子表示）

联系拓广：如图（2）,将矩形纸片ABCD折叠，使点3落在边上一点E（不与点

C,。重合），压平后得到折痕

BCm''CD~n

则4”的值等于.（用含m,〃的式子表示）

BN

2.（2011陕西）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，

使5落在边A。（含端点）上，落点记为E,这时折痕与

边或边8（含端点）交于点F,然后再展开铺平，

则以5、E、尸为顶点的△5EF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△5"”是一个

________三角形；

（2）如图②，在矩形A5CD中，AB^2,BC=4.当它的“折痕的顶点E位

于边A。的中点时，画出这个“折痕△5。"，并求出点尸的坐标；

（3）如图③，在矩形A5co中，A5=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折

痕ABEF”？若存在，说明理由，并求出此时点石的坐标；若不存在，为什么？

图

3.（2010江西南昌）课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形

成的有关问题.

实验与论证

设旋转角NAiAoS=a（a<N4AoA2）,仇，仇，仇，仇，仇，仇所表示的角如图所示.

（1）用含a的式子表示：03=

，仇=，05=；

（2）图1—图4中，连接4。”时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线

Ao"垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图给出证明；若不存在，

请说明理由；归纳与猜想

设正“边形AoAiAz-A"』与正〃边形AoB艮…即1重合（其中,Ai与3重合），现将

正n边形AoB^-Bn-i绕顶点Ao逆时针旋转a（o。＜a＜竺匕）.

n

（3）设仇与上述“仇，仇,…”的意义一样，请直接写出唠的度数；

（4）试猜想在n边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A0H垂直且

被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）;

若不存在，请说明理由.

4.（2009山东德州）已知正方形中，E为对角线5。上一点，过E点作石尸，

BD交BC于F,连接。尸，G为。尸中点，连接EG,CG.

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△5环绕B点逆时针旋转45°,如图②所示，取DF中点G,连接

EG,CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说

明理由.

（3）将图①中/绕5点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

图①图②图③

5.（2010江苏苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见

图①、②.图①中，ZB=90°,ZA=30°,5C=6cm；图②中，ZD=90°,ZE=45°,

。石=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△。跖的直角边OE与△ABC的斜

边AC重合在一起，并将△0EF沿AC方向移动.在移动过程中，D、E两点始终在

4。边上（移动开始时点。与点A重合）.

（1）在△0EF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐

.（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：当△。跖移动至什么位置，即4）的长为多少时，F、C的连线与平行？

问题②：当△DEF移动至什么位置，即A£＞的长为多少时，以线段AD、FC、5C的长

度为三边长的三角形是直角三角形？

问题③：在的移动过程中，是否存在某个位置，使得NFCD=15。?如果存在，

求出AD的长度；如果不存在，请说明理由.

请你分别完成上述三个问题的解答过程.

（图②）

三、测试提高

1.（2009湖南常德）如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别EB,CD

的中点，易证：CD=BE,AAAW是等边三角形.

(1)当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，是否仍然成立？若成立请证

明，若不成立请说明理由；

(2)当△APE绕A点旋转到图3的位置时，是否还是等边三角形？若是，

请给出证明，并求出当A8=2A。时，△ADE与△ABC及△AW的面积之比；若不是,

请说明理由.

中考压轴题十大类型之

实践操作、问题探究

1.(2009陕西)问题探究

(1)请在图①的正方形ABC。内，画出使NAP3=90°的：个点P,并说明理由.

(2)请在图②的正方形ABCD内(含边)，画出使NAP6=60°的所有的点尸，并说

明理由.

问题解决

(3)如图③，现在一块矩形钢板ABCD,A5=4,BC=3.工人师傅想用它裁出两块

全等的、面积最大的△4尸5和4

CPZ>钢板，且NAPB=NC尸Z>=60°.请你在图③中画出符合要求的点P和尸，，

并求出的面积(结果保留根号).

2.(2011江西)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下:

设(0°<0<90°).现把小棒依次摆放在两射线A5、AC之间，并使小棒两

端分别落在两射线上.

活动一：

如图甲所示，从点片开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，

44为第1根小棒.

图甲

数学思考:

(1)小棒能无限摆下去吗？答：.(填“能”或“不能”)

(2)设44]=44=44=1.

①6=度；

②若记小棒怎_怎的长度为明(八为正整数，如=44=出，...)，求出

此时的，生的值，并直接写出4(用含〃的式子表示).

活动二：

如图乙所示，从点A开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A4为第1根小棒，

且A4=AA].

数学思考：

(1)若已经向右摆放了3根小棒，则4=，%=，耳=；(用含

B

A.4

。的式子表示)

(2)若区熊摆放4根小棒,

人4A3C

图乙

求。的范围.

3.(2009浙江义乌)已知点A、5分别是入轴、y轴上的动点，点。、。是某个函数

图象上的点，当四边形ABC。(4、B、。、。各点依次排列)为正方形时，称这个

正方形为此函数图象的伴侣正方形.例如：如图，正方形A5co是一次函数y=x+l

图象的其中一个伴侣正方形.

(1)若某函数是一次函数y=x+l,求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

(2)若某函数是反比例函数丁=幺(左>0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D

X

(2,m)(m<2)在反比例函数图象上，求根的值及反比例函数解析式；

(3)若某函数是二次函数照加+腐功)，它的图象的伴侣正方形为A5CZ),C、D

中的一个点坐标为(3,4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标,

写出符合题意的其中一条抛物线解析式，并判断你写出的抛物线的伴侣正

方形的个数是奇数还是偶数？.（本小题只需直接写出答案）

4.（2011江苏南京）

问题情境

已知矩形的面积为Q（。为常数，。〉0）,当该矩形的长为多少时，它的周长最小？

最小值是多少？

数学模型

设该矩形的长为％,周长为》则y与％的函数关系式为尸2,+:］〉0）.

探索研究

（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+1（x>0）的图象性质.

X

②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；

③在求二次函数>=0x2+以+。（«#0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还

可以通过配方得到.请你通过配方求函数y=工+工（%>0）的最小值.

X

解决问题

（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接

写出答案.

4-

3-

2-

1-

—I--------1111

~\）12345x

5.（2011黑龙江哈尔滨）已知：在△ABC中，BC=2AC,NDBC=NACB,BD=BC,CD

交线段45于点E.

（1）如图1,当NAC5=90。时，则线段DE、CE之间的数量关系为；

（2）如图2,当NACB=120。时，求证：DE=3CE・,

（3）如图3,在（2）的条件下，点尸是5。边的中点，连接。尸，。尸与交于G,

D

△DKG和关于直线DG对称（点B的对称点是点K）,延长DK交AB于点

H.若BH=10,求CE的长.

三、测试提高

1.（2010北京）问题：已知△ABC中，ZBAO2/AC5,点。是△A5C内的一点，且

AD=CD,BD=BA.

探究NDBC与乙钻。度数的比值.

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

(1)当/BAO90。时，依问题中的条件补全下图.

观察图形，与AC的数量关系为；

当推出时，可进一步推出ND5c的度数为；

可得到与NA5C度数的比值为；

(2)当NR4CW90。时，请你画出图形，研究与/ABC

度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以

第十讲中考压轴题十大类型之圆

1.（2011湖南湘潭）已知，A5是。。的直径，A5=8,点。在。。的半径。4上

运动，PCLAB,垂足为C,PC=5,尸T为。O的切线，切点为♦

（1）如图（1）,当。点运动到O点时，求尸T的长;

（2）如图（2）,当。点运动到A点时，连结尸0、BT,求证：PO//BT-,

求y与尤的函数关系式及y的最小值.

图（3）

2.（2010广东广州）如图，。。的半径为1,点尸是。。上一点，弦A5垂直平分

线段。尸，点。是弧AP5上任一点（与端点A、5不重合），DELAB于点E,以点

。为圆心、DE长为半径作。。，分别过点A、5作。。的切线，两条切线相交于点

C.

（1）求弦A5的长；

（2）判断NACB是否为定值，若是，求出NACB的大小；否则，请说明理由；

（3）记△A5C的面积为S,若三=4百，求△A5C的周长.

DE2C

y/Pn\

O

3.(2011福建莆田)已知菱形A5CD的边长为1.