2024届重庆市巴南区高考仿真卷数学试卷含解析

2024届重庆市巴南区高考仿真卷数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知定义在R上的函数/00=2反那—1（“为实数）为偶函数，记。=/（log。­），/?=/（log25）,c=f（2+/7i）

则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

2.在三棱锥P—ABC中，AB=5C=5,AC=6,P在底面ABC内的射影。位于直线AC上，且A£>=2CD,PZ）=4.

设三棱锥P-ABC的每个顶点都在球Q的球面上，则球Q的半径为（）

人V689V689„5726「5726

A.--------B.--------C.--------D.--------

8686

3.已知三棱柱ABC-的所有棱长均相等，侧棱44,，平面ABC，过A用作平面a与8。平行，设平面a与

平面ACGA的交线为/，记直线/与直线ABB。，。所成锐角分别为圆B，Y，则这三个角的大小关系为（）

A.a>y>/3B.«=/?>/

C.%>/?>«D.a>/3=y

4.抛物线y=2x的焦点为尸，则经过点产与点〃（2,2）且与抛物线的准线相切的圆的个数有（）

A.1个B.2个C.0个D.无数个

5.已知函数/（x）=3x+2cos光，若。=/（3也），b=于⑵,。=/（1。827）,则“，儿c的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

1nx

6.已知函数/（x）=-—炉+2勿-a（其中e为自然对数的底数）有两个零点，则实数。的取值范围是（）

X

（11（1

A.2H—B.2H—

D.e2--,+oo

e

7.已知集合A=一2%一3<。}5={.^<2},则A5=()

A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)

8.已知向量：=(0,2),b=(2』,x),且a与人的夹角为则*=()

A.-2B.2C.1D.-1

9.点O在AABC所在的平面内，|OA|=|O3|=|oq,|AB|=2,|AC|=1,AO=XA3+〃AC(4〃eR),且

/、IUUDT|

44-〃=2(〃#0),则岫=()

A.-B.且C.7D.yfl

32

10.设集合4=何—2<x<a},B={0,2,4},若集合A8中有且仅有2个元素，则实数4的取值范围为

A.(0,2)B.(2,4]

C.[4,^o）D.（-oo,0）

11.在直角坐标系中，已知4（1,0）,B（4,0）,若直线-1=0上存在点P,使得|行|=2|尸5],则正实数机的最

小值是（）

1

A.-B.3

3

12.对于函数/（尤），若加%满足/（Xj+/（X2）=〃X+X2），则称斗，尤2为函数■/'（X）的一对“线性对称点若实数

。与b和4+6与。为函数/（X）=3,的两对“线性对称点”，则C的最大值为（）

4

A.log34B.log34+1C.-D.log34-1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式.如图所示，弧田是由圆弧

A3和其所对弦A3围成的图形，若弧田的弧A3长为4万，弧所在的圆的半径为6,则弧田的弦长是,

弧田的面积是.

b

14.对定义在［OH上的函数/(%),如果同时满足以下两个条件：

(1)对任意的无£。1］总有/(%)..。；

(2)%］..0,。1时，总有/(石+%2)-/(西)+/(%)成立.

则称函数以X)称为G函数.若h｛x｝=a-2x-\是定义在［0,1］上G函数，则实数a的取值范围为.

15.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学

习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为.

16.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、

丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)记S,为数列｛4｝的前〃项和,2s“-”击(〃—*).

⑴求4+%;

(2)令2=4+2-4,证明数列｛2｝是等比数列，并求其前“项和

18.(12分)已知函数/(x)=e£-ax2(a〉o)(其中e=2.718是自然对数的底数)

(1)若Ax)在R上单调递增，求正数a的取值范围；

(2)若/(x)/(x)在%=王<9)处导数相等，证明：玉+W<2In2a；

(3)当。=工时，证明：对于任意左<』+1,^b<~,则直线>=区+6与曲线y=/(x)有唯一公共点(注：当左>1

2e2

时，直线y=%+左与曲线丁=6工的交点在y轴两侧).

19.(12分)如图，直三棱柱ABC—AgC中，RE分别是A3,55］的中点，AA、=AC=CB=叵AB=6.

2

（1）证明：BCX平面AC。；

（2）求二面角。―AC—E的余弦值.

r2v21

20.（12分）已知椭圆。：=+2=1（。〉5〉0）的焦点为耳，F2,离心率为5,点尸为椭圆C上一动点，且APE8

的面积最大值为8，。为坐标原点.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设点MN（w，%）为椭圆C上的两个动点，当国々+%%为多少时，点。到直线拉N的距离为定值.

21.（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况，

采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生

参加问卷调查.各组人数统计如下：

小组甲乙丙T

人数12969

（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和

数学期望.

22.（10分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采

用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.

(1)应抽查男生与女生各多少人？

(2)根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表:

时间(小时)[0,1](1,2](2,31(3,4](4,5](5,6]

频率0.050.200.300.250.150.05

若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时,请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表,

并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？

男女总

生生计

每周平均体育锻炼时间不超过2小时

每周平均体育锻炼时间超过2小时

总计

n(ad-be)。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(昭沙0)0.1000.0500.0100.005

k。2.7063.8416.6357.879

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据/(x)为偶函数便可求出机=0,从而=2卜「1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.

【详解】

解：•••/(x)为偶函数;

/./(-x)=f(x)；

.・."-a时-i="*一时-1；

|-x-m\=\x-m\；

(-x-m)2=(x-m)2；

••/wx^O；

・,•加=0；

:・f(x)=州-1;

•V(x)在［0,+oo)上单调递增，并且。=/(llogoQI)=f(log23),

b=f(log25),c=f(2)；

V0<log23<2<log25；

:.a<c<b.

故选用

【点睛】

本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间［0,+00)

上，根据单调性去比较函数值大小.

2、A

【解析】

设AC的中点为O先求出AABC外接圆的半径，设Q"=a,利用加，平面A5C,得QM〃PD,在AMBQ及

ADMQ中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可

【详解】

设AC的中点为O,因为A5=5C,所以AA5C外接圆的圆心M在30上.设此圆的半径为r.

25

因为80=4,所以(4—「)2+3?=/，解得厂=一.

8

因为OD=OC—CD=3—2=1,所以CM=,F+(4_r)2

8

设易知平面ASG则。河〃PO.

因为QP=Q3,所以《(PD—a)?+DM?=+产,

即(4—a)2+坐=1+学，解得“=i.所以球。的半径R===

64648

故选：A

【点睛】

本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题

3、B

【解析】

利用图形作出空间中两直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.

【详解】

如图，〃G=CC1，a&=4G，设。为AG的中点，。1为G6的中点,

由图可知过ABt且与BCi平行的平面C为平面A与2,所以直线I即为直线AD,,

由题易知，NQABNQCB的补角，N，AC分别为必（3,7,

设三棱柱的棱长为2,

在ADiAB中，D[B=2瓜AB=2,AD[=2下,

cosND】AB=/.COSOf=也

1010

在AO]5C中，G>1B=V11,BC=2,O1C=5

A/5+4-A/H后后

cosZO.CB=_L--------\=—^~=cosJ3=—

,2x2x行1010

在AD/C中，CD]=4,AC=2,ADX=245,

cosZD1AC=-^==—,:.cosa=—

2逐55

cosa=cos/3<cosy,:.a=/3>y.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了空间中两直线所成角的计算，考查了学生的作图，用图能力，体现了学生直观想象的核心素养.

4、B

【解析】

圆心在的中垂线上，经过点尸，M且与/相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点产的距离相等，圆心在抛物线

上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆.

【详解】

因为点M(2,2)在抛物线y2=2x上，

又焦点0),

由抛物线的定义知，过点口、〃且与/相切的圆的圆心即为线段FN的垂直平分线与抛物线的交点，

这样的交点共有2个，

故过点尸、M且与/相切的圆的不同情况种数是2种.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上.

5、D

【解析】

根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得/Xx)在R上为增函数，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【详解】

解：根据题意，函数/O)=3x+2cos光，其导数函数/'(x)=3-2sinx,

则有f\x)=3-2sinx>0在R上恒成立,

则/(尤)在R上为增函数；

又由2=log24<log27v3<3袤,

则6<c<a；

故选：D.

【点睛】

本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数单调性的性质，属于基础题.

6、B

【解析】

求出导函数/'(x),确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围.

【详解】

/(x)=^^-2(x-e),当xe(O,e)时，尸(x)>0,f(x)单调递增，当xe(e,+a))时，尸(%)<0,单调

%

递减，...在(0,+s)上/'⑶只有一个极大值也是最大值F(e)='+e2-。，显然4―0时，%—”时,

e

fMf-oo,

11

因此要使函数有两个零点，则/(e)=—+/9—〃>0,.・・〃</9+—.

ee

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围.

7、C

【解析】

解不等式得出集合4,根据交集的定义写出AflB.

【详解】

^^•A={x|x2-2x-3<0}={x|-l<x<3},

B={x|x<2},/.AnB={x|-1<x<2}

故选C.

【点睛】

本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题.

8、B

【解析】

7Ca-b

由题意cosq=/,代入解方程即可得解.

3\a\\b\

【详解】

7ia-blx1

由题意c°丁第;后T5，

所以%>0,且2x=正+12，解得X=2.

故选：B.

【点睛】

本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.

9、D

【解析】

54

确定点。为AABC外心，代入化简得到彳=:，〃=—,再根据BC=AC-计算得到答案.

63

【详解】

由网=网=®可知,点。为AABC外心，

12121

则==2,AC-AO=—AC=—,又AO=XAB+〃AC,

’2

AO-AB=AAB+〃AC・AB=42+〃AC•A5=2,

所以21①

AO-AC=AAB-AC+/LLAC=AAB-AC+//=—,

因为42—〃=2,②

54

联立方程①②可得％4=彳，ABAC=-b因为3C=AC—A5，

63

所以BC?nAd+AB?—2ACAB=7,即^。卜近.

故选：D

【点睛】

本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.

10、B

【解析】

由题意知｛0,2｝1A且4史A,结合数轴即可求得a的取值范围.

【详解】

由题意知,AB=｛0,2],则｛0,2｝酎4,故a>2,

又则aW4,所以2<aW4,

所以本题答案为B.

【点睛】

本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定A3中的元素是解题的关键，属于基础

题.

11、D

【解析】

设点p(l—冲,y),由|K4|=2|PB],得关于y的方程.由题意，该方程有解，则A20,求出正实数，”的取值范围，

即求正实数机的最小值.

【详解】

由题意，设点一冲,y).

\PA\=2\PB\,:.\PAf=4\PBf,

即(l-my—I)-+y2=4(l-my-4)'+y2,

整理得("I?+1)丁+8冲+12=0,

则A=(8机4(疝+1卜12»0,解得〃出6或加<—JL

m>0,m>A/3,=百.

故选：D.

【点睛】

本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题.

12、D

【解析】

根据已知有3""+3c=3“+人，可得3'=1+：^>，只需求出3""的最小值，根据

3a+b-1

3"&=3"+3J利用基本不等式，得到3"”的最小值，即可得出结论.

【详解】

依题意知，。与沙为函数/(x)=3'的"线性对称点”,

所以3"+〃=3"+3"22,30-3'=2百不，

故(当且仅当a=6时取等号).

又4+力与c为函数/(x)=3'的"线性对称点,

所以3""+3c=3a+b+c

2a+b14

所以引=」一=1+—

3a+b-l3a+b-l3

从而c的最大值为log34-1.

故选:D.

【点睛】

本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出c的表达式是解题

的关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、673127r-9逝

【解析】

过。作OC，A3,交A3于。，先求得圆心角NAC石的弧度数，然后解解三角形求得A5的长.利用扇形面积减去三

角形的面积，求得弧田的面积.

【详解】

,如图，弧田的弧长为4兀，弧所在的圆的半径为6,过。作OC,A3,交A3于。，根据圆的几何性质可知，OC

垂直平分

.4〃In一，口,冗

.,.a=NA05=----=——,可得NAOD=—,OA=6,

633

：.AB=2AD=2OAsin-^2x6x—^6y/3，

32

二弧田的面积S=S扇形OAB-SAOAB=­x47tx6--X6A/3x3=12TI-9^/3.

22

故答案为:66,127r-9石.

【点睛】

本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.

14、{1}

【解析】

1（J—1

由不等式恒成立问题采用分离变量最值法：a对任意的xe［0,1］恒成立，解得a21,又——<

2Aa

〃一］

在占20,4»0,石+X,<1恒成立，即——<0,所以aWl,从而可得a=l.

a

【详解】

因为〃（x）=a•2,-1是定义在［0,1］上G函数,

所以对任意的xe［0,1］总有h（x）>0,

则a2士对任意的xe［0,1］恒成立，

解得a>l,

当aNl时，

又因为石..0,x2..O,%+%2”1时，

总有用（石+工2）-4（可）+”（9）成立，

即/?（%1+%）—［〃（玉）+〃（尤2）］=ct-2x'+X2-«-2T,-a-2X1+1

=fl（2X1-1）（2^—1）+1—a20恒成立，

即一《（2为一1乂2*—1）恒成立，

又此时（2为一1）（2为-1）的最小值为0,

a—1

即——V0恒成立，

a

又因为"21

解得a=l.

故答案为：{1}

【点睛】

本题是一道函数新定义题目，考查了不等式恒成立求参数的取值范围，考查了学生分析理解能力，属于中档题.

1

15、-

4

【解析】

采用列举法计算古典概型的概率.

【详解】

抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为

4

故答案为：一

4

【点睛】

本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

16、丙

【解析】

若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙.

考点：反证法在推理中的应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）an+an+l=-^;（2）证明见详解，一击

【解析】

（1）根据2S,「a“=击，可得2S〃M—然后作差，可得结果・

（2）根据（1）的结论，用〃+1取代”，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前〃项和公式,

可得结果.

【详解】

⑴由2S”一■①，则2sHi-=(■②

②-①可得：2%+]-an+l+an=*一。

所以a,+a,+i=一:

(2)由(1)可知：a〃+a〃+i=-荔③

则4+1+%+2=-④

则勿=击，且％+1=3

1

1b。〃+21

令〃=1,则4=1，”=2r=不

4bn12

而

11

所以数列｛〃｝是首项为1,公比为5的等比数列

2

【点睛】

本题主要考查递推公式以及S“,4之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题.

18、(1)0,|；(2)见解析；(3)见解析

【解析】

(1)需满足广(初.。恒成立，只需1ro)..o即可;⑵根据g(x)的单调性，构造新函数

h(x)=g(ln2a-rri)-g(ln2a+m)=z(m),并令玉=ln2a-m,根据i(m)的单调性即可得证;

(3)将问题转化为证明b=-日=j(x)有唯一实数解，对/(x)求导，判断其单调性，结合题目条件与不等

式的放缩，即可得证.

【详解】

ff(x)-ex-2ax；

令g(%)=/r(x)=ex-2ax,贝!|g(x)..。恒成立；

g\x)=ex-2a,g(x).=g(ln2a)=2a(l-ln2a)..0；

，。的取值范围是(0自；

(2)证明：由(1)知，g(x)在(―,加2〃)上单调递减，在(加2%内)上单调递增；

须<In2a<x2•

令h(x)=g(ln2a—rri)—g(ln2a+m)=2a(e~m—em—2m)=i(m),m>0；

贝!|Q)<，(。)=。；

令石=ln2a-m,贝!)g(x2)=g(x,)=g(ln2a-m)<g(ln2a+m)•

/.x2<ln2a+m•

xx+x2<21〃2a•

(3)证明：f(x)^kx+b,b=ex-^x2-kx=j{x},要证明b=/(尤)有唯一实数解;

当mT+QO时，em——m2—(1+—)mt-HO；

2e

当机一>_QO时，——m2—(1+—)m—>—oo；

2e

1

即对于任意实数b,b=ex—-Y9—&一定有解；

2

j\x)=ex-x-k；

当左>1时，，(x)有两个极值点m<0<〃；

函数，(x)在(-s,2(n,+s)上单调递增，在(加,〃)上单调递减；

X^<-；

2

191

•・只需5<j(几)=—n—kn,在鼠1+-时恒成立；

2e

只需人<——n2—(y+-)n；

2e

令(e"+=e"_〃_(1+工)=0(〃)=0,其中一个正解是人；

2ee

e

.•.P(〃)单调递增,77(0)<0,P(1)>0；

/.0<n0<1•

小12八1、12111111117

e%--n-(1+->=--^n+l+->--—_+l+-=->b；

20e02e0e2ee2

综上得证.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数证明不等式，考查了转化思想、不等式的放缩，属难题.

19、(1)证明见解析(2)B

3

【解析】

(1)连接AG交4。于点尸，由三角形中位线定理得Be"/。尸，由此能证明BC"/平面A。。.

(2)以C为坐标原点，C4的方向为x轴正方向，CB的方向为V轴正方向，CG的方向为z轴正方向，建立空间直

角坐标系孙Z.分别求出平面的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角。-4C-E的余

弦值.

【详解】

证明：证明：连接AC交4c于点口，

则r为AG的中点.又。是AB的中点，

连接则B£//O尸.

因为。尸u平面A。。，Bq/平面4。。，

所以3£//平面A。。.

(2)由惧=AC=C3=*A5=0,可得：AB=2,即AC?+=.2

所以AC_L3C

又因为ABC-A51cl直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线C4、CB、CQ为x轴、丁轴、z轴，建立空间直

角坐标系，则C(0,0,0)、4("0,0))、D与，号,0、E0,0,£),

CA=(V2,0,V2),CD=—,—,0,CE=0,V2,—

I22JI2?

设平面4。的法向量为"=(羽y,z),贝！|〃.CZ>=0且力4=0，可解得丁=一工=2,令％=1,得平面人。。的

一个法向量为n=

同理可得平面A〈E的一个法向量为加=(2,1，-2),

贝！Icos<n,m>-

3

所以二面角D-A.C-E的余弦值为

本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20、(1)—+^=1；(2)当占居+%%=0时，点。到直线MN的距离为定值哀

437

【解析】

(1)△尸耳耳的面积最大时，尸是短轴端点，由此可得灰=6,再由离心率及储=廿+°2可得。,心从而得椭圆

方程；

(2)在直线斜率存在时，设其方程为>=丘+小，现椭圆方程联立消元(V)后应用韦达定理得外+%2，再%2，

注意/>0,一是计算占%+%y2,二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论.

【详解】

(1)因为P在椭圆上，当P是短轴端点时，P到X轴距离最大，此时公尸耳区面积最大，所以gx2cxb=bc=JL

be=百

a=2

1

c,解得＜b=6,

~a~2

c-1

a2=b2+c2

22

所以椭圆方程为L+匕=i.

43

m2

(2)在时，设直线MN方程为>=依+山，原点到此直线的距离为〃=^^=,即m

-J1+421+左2

y—kx+m

由Ify2，得(3+4左2)f+8后〃氏+4疗—12=0，

—+—=1

143

22

A=64左2"-4(3+4V)(4m-12)>0,m<4P+3,

广…8km4m2-12

所以％1+%2=-3+4k2，X1X2

3+4/

2

xxx2+yxy2=玉9+(区i+m)(kx2+m)=(1++^m(x1+x2)+m

4m2-128/疗27m2-12(^2+l)

=(1+^2)------r+m=--------o---

3+4左23+4/3+4左2

所以当为x,+%%=0时，m2=—d+k2),d2=*f=U,4=其11为常数.

「「71+k277

1221

若玉二%,则X=-%，%i%2+X%=M—X=。，玉=M，%=,d=国=-----,

7117

综上所述，当玉々+%%=0时，点。到直线MN的距离为定值2叵.

--7

【点睛】

本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质,考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力.解题方法是“设而不求”法.在

直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式.

134

21、(1)—(2)见解析，-

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