押浙江卷第6-8题（方程（组）的实际应用、圆周角、图形与坐标变换、基本作图与三角形）-备战2024年中考数学临考题号押题（浙江专用）（全解全析）

第第页押浙江卷第6-8题押题方向一：方程（组）、不等式（组）的实际应用2013年浙江真题考点命题趋势2023年湖州、衢州卷第8题由实际问题抽象出一元二次方程从近年浙江各地中考来看，列方程（组）、不等式（组）解决实际问题主要涵盖了一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，分式方程，一元一次不等式（组）等相关的应用题。浙江卷以选填题呈现，只需要列方程（组）即可，难度中等。预计2024年浙江卷必考方程（组）、不等式（组）的实际应用。2023年温州卷第7题由实际问题抽象出二元一次方程2023年宁波卷第8题、绍兴卷第6题由实际问题抽象出二元一次方程组2023年丽水卷第6题由实际问题抽象出一元一次不等式1．（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（）A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36【答案】C【思路点拨】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36．【解析】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36，故选：C．【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．2．（2023•湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（）A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2 C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2【答案】D【思路点拨】根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解．【解析】解：由题意得：20（1+x）2﹣20＝31.2，故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象处一元二次方程，找到相等关系是解题的关键．3．（2023•丽水）小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（）A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n【答案】A【思路点拨】利用小霞原来存款数+15×月数n＞小明原来存款数+12×月数n，求出即可．【解析】解：由题意可得：52+15n＞70+12n．故选：A．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键．4．（2023•宁波）茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为（）A．B． C．D．【答案】B【思路点拨】根据“茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷”和“茶园的面积与种粮食面积的和为54公顷”列方程组求解．【解析】解：设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，由题意得：，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．5．（2023•温州）一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g．设蛋白质、脂肪的含量分别为x（g），y（g），可列出方程为（）A．x+y＝30 B．x+y＝30 C．x+y＝30 D．x+y＝30【答案】A【思路点拨】由碳水化合物和蛋白质含量间的关系，可得出碳水化合物含量是1.5xg，结合碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．【解析】解：∵碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，且蛋白质的含量为xg，∴碳水化合物含量是1.5xg．根据题意得：1.5x+x+y＝30，∴x+y＝30．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．1．列方程（组）解应用题的复习，同学们只要掌握解应用题的解题步骤，然后再根据每个类型的应用题进行逐一突破，我们主要要强调的是这些应用题涉及的数量关系，是解题的关键，直接影响了你解题的思路的形成和最终的学习效果，大家一定要分清主次，学习的效果才能得到保证。行程（工程）问题等量关系：工作时间＝工作总量÷工作效率；时间=路程÷速度。增长率等量关系：设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有。利润等量关系：1）利润=售价－成本；2）利润率=×100％；3）总利润=单位利润×数量。碰面问题（单循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m；则m=n（n－1）。碰面问题（双循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次m。则m=n（n－1）。平均增长率(下降率)问题：如果基数用a表示，末数用b表示，增长率(下降率)用x表示，时间间隔用n表示，那么可用等量关系表示为a(1±x)n＝b．利润问题：利润＝售价－成本，利润率＝eq\f(利润,成本)×100%，销售价＝(1＋利润率)×进货价．利息问题：利息＝本金×利率×时间，本息和＝本金＋利息．面积问题：如图，对于矩形中有条形通道的求面积问题，通常把图①中的通道平移转化为如图②的形状，再求面积．设通道的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)．2．列不等式解应用题的一般步骤：(1)审题．(2)设未知数．(3)找出能够包含未知数的不等量关系．(4)列出不等式．(5)求出不等式的解．(6)在不等式的解中找出符合题意的未知数的值．(7)写出答案(包括单位名称)．1．今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？（选自《孙子算经》）现假设有x辆车，则有方程（）A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3x﹣2＝2x+9 C．3x﹣2＝2（x+9） D．3（x﹣2）＝2（x+9）【答案】A【思路点拨】设有x辆车，根据每三人共乘一辆车，则剩余两辆车是空的，可知共有3（x﹣2）人，根据每两人共乘一辆车，则剩余九个人无车可乘，可知共有（2x+9）人，据此列出方程即可．【解析】解：由题意得，3（x﹣2）＝2x+9，故选：A．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，2．“践行垃圾分类•助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（）A．B． C． D．【答案】A【思路点拨】根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】解：∵米乐比琪琪多收集了7节废电池，∴x﹣y＝7；∵若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍，∴2（x﹣8）＝y+8．∴根据题意可列方程组为．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（）A．每尺绫布比每尺罗布贵120文 B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D．绫布的总价比罗布总价便宜120文【答案】C【思路点拨】绫布有x尺，则罗布有（30﹣x）尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；根据方程得到绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文即可．【解析】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，设绫布有x尺，则可得方程为，∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文故选：C．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．4．一部电梯的额定限载量为1000千克．两人要用电梯把一批重物从底层搬到顶层，这两人的身体质量分别为60千克和80千克，每箱货物的质量为50千克，设每次搬x箱重物，则下面所列关系正确的是（）A．50x+60+80＝1000B．50x+60+80≤1000 C．50x+60+80＜1000 D．50x+60+80≥1000【答案】B【思路点拨】根据“额定限载量为1000千克”列出不等式即可．【解析】解：设每次搬x箱重物，根据题意得，50x+60+80≤1000，故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．5．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有里长值月议云每里科出银五钱依帐买物以辨酒席多银三两五钱每里科出四钱亦多五钱问合用银并里数若干”．意为：里长们（“里”是指古代的一种基层行政单位）在月度会上商议出银子购买物资办酒席之事．若每里出5钱，则多出35钱；若每里出4钱，则多出5钱．问办酒席需多少银子，里的数量有多少个？若设里的数量有x个，办酒席需要用y钱银子，则可列方程组为（）A．B． C． D．【答案】D【思路点拨】根据每里出5钱，则多出35钱；若每里出4钱，则多出5钱，列二元一次方程组即可．【解析】解：根据题意，得．故选：D．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找等量关系列出方程组是解决问题的关键．押题方向二：圆周角2023年浙江真题考点命题趋势2023年湖州卷、杭州卷第6题，温州卷第9题圆周角定理从近几年浙江中考来看，考查圆周角定理的试题经常以选择题形式呈现，整体难度较低；预计2024年浙江卷还将继续重视圆周角定理的考查。1．（2023•湖州）如图，点A，B，C在⊙O上，连结AB，AC，OB，OC．若∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是（）A．80° B．90° C．100° D．110°【思路点拨】直接利用圆周角定理求解即可求得∠BOC的度数．【解析】解：∵∠BAC＝50°，∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝100°．故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2．（2023•杭州）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（）A．23° B．24° C．25° D．26°【思路点拨】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC的度数，再利用圆周角定理可求解．【解析】解：连接OC，∵∠ABC＝19°，∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，∵半径OA，OB互相垂直，∴∠AOB＝90°，∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，∴∠BAC＝∠BOC＝26°，故选：D．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．3．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为（）A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，【思路点拨】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，求出∠BOC＝60°，得到△BOC是等边三角形，得到BC＝OB，由等腰三角形的性质求出圆的半径长，求出∠OAD的度数，即可得到BC的长，∠CAO的度数．【解析】解：连接OB，OC，∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB，∴＝，∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，∵DB⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠CAD＝∠BDA＝45°，∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°，∴AD＝OA＝，∴OA＝1，∴BC＝1，∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由圆周角定理推出∠AOB＝∠COD＝90°，∠CAD＝∠BDA＝45°，证明△OBC是等边三角形．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（）A．68° B．64° C．58° D．32°【思路点拨】先由圆周角定理可知∠ACB＝90°，再求出∠ADC＝58°，然后由圆周角定理求解即可．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC+∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝58°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若所对圆心角的度数为80°，则∠C＝（）A．110° B．120° C．135° D．140°【思路点拨】连接OD，根据题意求出∠BOD＝80°，根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠C．【解析】解：如图，连接OD，∵所对圆心角的度数为80°，∴∠BOD＝80°，由圆周角定理得：∠A＝∠BOD＝40°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，AB＝CD．若∠BOC＝120°，则∠ACO的度数为（）A．10° B．15° C．20° D．30°【思路点拨】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠OCB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，关根据圆周角定理得到∠ACB＝∠DCB，根据等腰直角三角形的性质求出∠ACB＝45°，计算即可．【解析】解：∵OB＝OC，∠BOC＝120°，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣120°）＝30°，∵AB＝CD，∴＝，∴∠ACB＝∠DCB，∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠DCB＝45°，∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝45°﹣30°＝15°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟记在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等是解题的关键．4．如图，点A、B、C在⊙O上，BC∥OA，连接BO并延长，交⊙O于点D，连接AC、DC，若∠A＝16°，则∠D的大小为（）A．48° B．32° C．58° D．54°【思路点拨】由平行线的性质推出∠ACB＝∠A＝16°，∠B＝∠AOB，由圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝32°，∠BCD＝90°，因此∠B＝32°，即可求出∠D＝90°﹣32°＝58°．【解析】解：∵OA∥BC，∴∠ACB＝∠A＝16°，∠B＝∠AOB，∴∠AOB＝2∠ACB＝32°，∴∠B＝32°，∵BD是圆的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠D＝90°﹣32°＝58°．故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB．5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝41°，则∠BCD的大小为（）A．41° B．45° C．49° D．59°【思路点拨】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB的度数，继而求得∠A的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解析】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝41°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝49°；∴∠BCD＝∠BAD＝49°．故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．押题方向三：坐标与图形变化2023年浙江真题考点命题趋势2023年成都卷第7题、杭州卷第5题坐标与图形变化-平移从近几年浙江中考来看，图形与坐标主要考查图形的平移、对称、旋转中的坐标变换，位似变换，试题以选择题形式呈现，整体难度中等；预计2024年浙江卷还将重视坐标与图形变化相关问题的考查。2023年舟山卷第5题位似变换2023年金华卷第8题关于x轴、y轴对称的点的坐标1．（2023•绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（）A．（m﹣2，n﹣1） B．（m﹣2，n+1） C．（m+2，n﹣1） D．（m+2，n+1）【思路点拨】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．【解析】解：将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（m+2，n+1），故选：D．【点睛】本题主要考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．2．（2023•杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B（m+1，2+3），再根据点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．【解析】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．∴点B（m+1，2+3），∵点B的横坐标和纵坐标相等，∴m+1＝5，∴m＝4．故选：C．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．3．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）【思路点拨】根据位似变换的性质解答即可．【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，∵点C的坐标为（3，2），∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．4．（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）【思路点拨】直接利用“車”位于点（﹣2，2），得出原点的位置，进而得出答案．【解析】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．故选：A．【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．5．（2023•金华）如图，两盏灯笼的位置A，B的坐标分别是（﹣3，3），（1，2），将点B向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B′，则关于点A，B′的位置描述正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点O对称D．关于直线y＝x对称【思路点拨】根据平移规律确定B′的坐标即可得出结论．【解析】解：∵点B′由点B（1，2）向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到∴此时B′坐标为（3，3）．∴A与B′关于y轴对称．故选：B．【点睛】本题考查了点的平移规律以及点的对称性，掌握规律轻松解答，属于基础题型．1.关于轴、轴或原点对称的点的坐标的特征：（1）点与点关于轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）点与点关于轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数；（3）点与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数；2.平移变换与坐标（1）平移变换与坐标变化

①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）

②向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x-a，y）

③向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）

④向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y-b）

（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）3.位似图形与坐标

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．1．在平面直角坐标系中，若点A先向右平移4个单位，再向上平移6个单位后得到点B（2，4），则点A的坐标是（）A．（8，8） B．（6，10） C．（﹣4，0） D．（﹣2，﹣2）【思路点拨】根据向右平移，横坐标加，纵坐标不变，向上平移，横坐标不变，纵坐标加，求出点B的横坐标与纵坐标，再根据各象限内点的坐标特征即可求解．【解析】解：将若点A先向右平移4个单位，再向上平移6个单位后得到点B（2，4），则点A的坐标为（2﹣4，4﹣6），即（﹣2，﹣2），故选：D．【点睛】本题考查了平移与坐标与图形的变化的关系，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系内各象限点的坐标特征．2．如图，已知A，B的坐标分别为（1，2），（3，0），将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE＝4，则点C的坐标为（）A．（2，2） B．（3，2） C．（1，3） D．（1，4）【思路点拨】由B（3，0）可得OB＝3，进而得到BE＝1，即将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．【解析】解：∵B（3，0），∴OB＝3，∵OE＝4，∴BE＝OE﹣OB＝1，∴将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，∴点C是将A向右平移1个单位得到的，∴点C是的坐标是（1+1，2），即（2，2）．故选：A．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换﹣平移，根据题意得到将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE是解答本题的关键．3．在平面直角坐标系中，将点A（a，﹣2）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若B的横纵坐标相等，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解析】解：将点A（a，﹣2）先向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B，即点B的坐标是为（a﹣1，﹣2+3）．∵点B的横纵坐标相等，∴a﹣1＝1，∴a＝2，故选：C．【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．4．在平面直角坐标系中，点Q（﹣1，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，6） C．（2，3） D．（2，6）【思路点拨】把点Q（﹣1，3）向右平移3个单位长度后，所得点的纵坐标不变，横坐标加上3即可．【解析】解：点Q（﹣1，3）向右平移3个单位长度后的坐标为（2，3）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图象变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减）．5．在平面直角坐标系中，点（3，4）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（3，﹣4） D．（4，﹣3）【思路点拨】根据关于y轴对称的点的坐标特征（横坐标互为相反数，纵坐标不变），即可解答．【解析】解：在平面直角坐标系中，点（3，4）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，4），故选：A．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键．6．下列各点中，点M（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2）【思路点拨】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．【解析】解：点M（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（1，2）．故选：A．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．7．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′的坐标为（）A． B．或 C． D．或【思路点拨】根据位似变换的性质计算即可．【解析】解：∵等边三角形OAB的顶点O（0，0），B（1，0），∴OA＝OB＝2，过A作AC⊥x轴于C，∵△AOB是等边三角形，∴OC＝OB＝，AC＝OA＝，∴A（，），∵△OA'B'与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA'B′的面积是△OAB面积的4倍，∴△OA'B'与△OAB的位似比为4：1，∴点A的对应点A′的坐标是（×4，×4）或（×（﹣4），×（﹣4）），即（2，2）或（﹣2，﹣2），故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．押题方向四：基本作图、三角形问题2023年浙江真题考点命题趋势2023年衢州卷第7题、湖州卷第9题基本作图从近几年浙江各地中考来看，基本作图和三角形相关问题在选择题中经常出现，涉及基本作图、三角形的有关性质。预计2024年浙江卷还将继续考查基本作图和三角形相关问题，为避免丢分，学生应扎实掌握。2023年衢州卷第6题直角三角形的性质2023年金华卷第4题三角形三边关系2023年舟山、嘉兴卷第9题三角形的重心2023年丽水卷第10题等腰直角三角形1．（2023•湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【思路点拨】过P作PE⊥OB于E，再判定四边形OEPF为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积．【解析】解：过P作PB⊥OB于B，由作图得：OP平分∠AOB，∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°，∴PB＝＝3cm，∴OB＝＝3cm，∵PE∥OA，PF∥OB，∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°，∴∠POE＝∠OPE，∴OE＝PE，设OE＝PE＝xcm，在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2，即：x2﹣32＝（3﹣x）2，解得：x＝2，∴S四边形OEPF＝OE•PB＝2×3＝6（cm）．故选：B．【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键．2．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（）A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC【思路点拨】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可．【解析】解：根据题中所给的作图步骤可知，AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG．当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（SAS），所以BG＝CG，故A选项不符合题意．当AG⊥BC时，∠AGB＝∠AGC＝90°，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG，所以△ABG≌△ACG（ASA），所以BG＝CG，故B选项不符合题意．当∠DGB＝∠EGC时，因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG，所以△ADG≌△AEG（SAS），所以∠AGD＝∠AGE，又∠DGB＝∠EGC，所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC，即∠AGB＝∠AGC．又∠AGB+∠AGC＝90°，所以∠AGB＝∠AGC＝90°，则方法同（2）可得出BG＝CG，故C选项不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【思路点拨】首先设第三条线段长为xcm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．【解析】解：设第三条线段长为xcm，由题意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm适合，故选：C．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．4．（2023•丽水）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝45°，以AB为腰作等腰直角三角形BAE，顶点E恰好落在CD边上，若AD＝1，则CE的长是（）A． B． C．2 D．1【思路点拨】如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，证明四边形AFHG是正方形，则AG＝GH，再证明△CHE和△DGE是等腰直角三角形，则DG＝EG，CH＝EH，最后根据勾股定理可得结论．【解析】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作GH⊥BC于H，交AD的延长线于G，则∠AFB＝∠CHE＝90°，∴AF∥GH，∵AD∥BC，∠AFH＝90°，∴四边形AFHG是矩形，∴∠G＝∠AFH＝∠FHG＝∠FAG＝90°，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵∠FAG＝∠BAE，∴∠BAF＝∠EAG，∵∠AFB＝∠G＝90°，∴△AFB≌△AGE（AAS），∴AF＝AG，∴矩形AFHG是正方形，∴AG＝GH，∵AG∥BC，∴∠C＝∠EDG＝45°，∴△CHE和△DGE是等腰直角三角形，∴DG＝EG，CH＝EH，∴AD＝EH＝1，∴CH＝1，由勾股定理得：CE＝＝．解法二：如图2，过点E作EF⊥CD，交BC于F，∵∠C＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠CFE＝45°，∴∠BFE＝180°﹣45°＝135°，∵∠CFE＝∠FBE+∠BEF＝45°，∠AED+∠BEF＝90°﹣45°＝45°，∴∠AED＝∠FBE，∵△ABE是等腰直角三角形，∴＝，∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣45°＝135°，∴∠D＝∠BFE，∴△ADE∽△EFB，∴＝＝，∵AD＝1，∴EF＝，∴CE＝EF＝．故选：A．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，矩形和正方形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建△AFB和△AGE全等是解本题的关键．5．（2023•衢州）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【思路点拨】根据直角三角形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同角的余角相等可得结论．【解析】解：由示意图可知：△DOA和△DBE都是直角三角形，∴∠O+∠ADO＝90°，∠DEB+∠ADO＝90°，∴∠DEB＝∠O，故选：B．【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．6．（2023•浙江）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F．若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（）A．12 B．14 C．18 D．24【思路点拨】连接BD，根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S△ABC＝2S△BDC，证明△DFP∽△BEP和△BEP∽△BCD，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．【解析】解：如图，连接BD．∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，∴BP：PD＝2：1，∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP，∴＝，∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD，∴＝（）2＝（）2＝，设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，∵四边形CDFE的面积为6，∴m+9m﹣4m＝6，∴m＝1，∴△BCD的面积为9，∴△ABC的面积是18．故选：C．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．1．基本作图相关问题需要掌握基本作图的方法，能判断出题目的作图过程属于哪一个基本作图，进一步应用有关知识解决问题.2．解决三角形相关问题需要熟练掌握三角形的有关性质：三角形的边角关系及性质、特殊三角形的性质与判定等1．已知线段AB，按如下步骤作图：①取线段AB中点C；②过点C作直线l，使l⊥AB；③以点C为圆心，AB长为半径作弧，交l于点D；④作∠DAC的平分线，交l于点E．则tan∠DAE的值为（）A． B． C． D．【思路点拨】过点E作EH⊥AD于点H．设AB＝CD＝2m，则AC＝CB＝m，利用面积法求出EC，可得结论．【解析】解：过点E作EH⊥AD于点H．设AB＝CD＝2m，则AC＝CB＝m，∵∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝m，∵AE平分∠DAC，EH⊥AD，EC⊥AB，∴EH＝EC，∵S△ACD＝×m×2m＝×m×EH+×m×EC，∴EC＝EH＝m，∴tan∠DAE＝tan∠EAC＝＝．故选：D．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．如图，在▱ABCD中，∠A＝30°．利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BF，使BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠ABC内相交于点G；作射线BG交DC于点H．若，则BH的长为（）A． B． C． D．2【思路点拨】利用基本作图可判断BH平分∠ABC，则∠ABH＝∠CBH，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，∠C＝∠A＝30°，BC＝AD＝2+2，则可证明∠CHB＝∠CBH，所以BC＝HC＝2+2，过B点作BM⊥CD于M点，如图，利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出BM＝+1，CM＝3+，然后利用勾股定理计算BH的长．【解析】解：由作法得BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∠C＝∠A＝30°，BC＝AD＝2+2，∴∠CHB＝∠CBH，∴BC＝HC＝2+2，过B点作BM⊥CD于M点，如图，在Rt△BCM中，∵∠C＝30°，∴BM＝BC＝（2+2）＝+1，∴CM＝BM＝（+1）＝3+，∴HM＝CH﹣CM＝2+2﹣（3+）＝﹣1，在Rt△BMH中，BH＝＝＝2．故选：C．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．3．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F；②分别以B、F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交边BC于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（）A．5 B．6 C．8 D．12【思路点拨】连接EF，设AE与BF相交于点O．由作图可知，AF＝AB＝5，AE⊥BF，则可得OB＝OF，∠BAE＝∠FAE，根据平行四边形的性质以及菱形的判定可得四边形ABEF为菱形，进而可得OA＝OE，OB＝OF＝4．在Rt△AOF中，利用勾股定理求出OA的长，即可得出答案．【解析】解：连接EF，设AE与BF相交于点O．由作图可知，AF＝AB＝5，AE⊥BF，∴OB＝OF，∠BAE＝∠FAE，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∴AF＝BE，∵AD∥BC，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AF＝AB，∴四边形ABEF为菱形，∴OA＝OE，OB＝OF＝4．在Rt△AOF中，由勾股定理得，OA＝＝＝3，∴AE＝2OA＝6．故选：B．【点睛】本题考查作图—基本作图、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE，EF，若AC2+DE2＝AE2，则△BEF与△DCF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【思路点拨】作DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N，设AD＝a，DC＝b，CE＝c．易得△DCM∽△ECN，可得所求的三角形的高的比，进而根据平行线分线段成比例定理可得所求三角形的底边的比．根据AC2+DE2＝AE2，可得b和ac之间的关系，进而可得所求的两三角形的面积的比．【解析】解：作DM⊥BC于点M，EN⊥BC于点N.∴∠DMC＝∠ENC＝90°．设AD＝a，DC＝b，CE＝c．∵∠DCM＝∠ECN，∴△DCM∽△ECN．∴＝＝．∵DF∥AB，∴＝＝．∵AC2+DE2＝AE2，∴（a+b）2+（b+c）2＝（a+b+c）2．∴b2＝2ac．∴＝＝＝．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的应用．求三角形的面积比，作出对应边上的高是解决本题的关键．难点是根据所给的AC2+DE2＝AE2，得到a，b，c的关系．用到的知识点为：相似三角形对应边的比等于相似比．5．）如图，在△ABC中，以点B为圆心，AB为半径画弧交BC于点D，以点C为圆心，AC为半径画弧交BC于点E，连接AE，AD．设∠B＝α，∠EAD＝β，则∠C的度数为（）A． B．2a﹣β C．2β﹣α D．【思路点拨】设∠BAE＝θ，则∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝θ+β，∠AED＝∠B+∠BAE＝α+θ，根据作图可知AB＝BD，AC＝CE，进而得∠BAD＝∠BDA＝θ+β，∠CAE＝∠CEA＝α+θ，则∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝α+θ﹣β，根据三角形外角定理得∠BDA＝∠CAD+∠C，由此可得出∠C的度数．【解析】解：设∠BAE＝θ，∵∠B＝α，∠EAD＝β，∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝θ+β，∵∠AED是△ABE的一个外角，∴∠AED＝∠B+∠BAE＝α+θ，根据作图可知：AB＝BD，AC＝CE，∴∠BAD＝∠BDA＝θ+β，∠CAE＝∠CEA＝α+θ，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠EAD＝α+θ﹣β，∵∠BDA是△A