线性代数(工科类理科类非数学专业及经济管理类专业)全套教学课件

线性代数全套可编辑PPT课件行列式矩阵向量组与向量空间线性方程组相似矩阵和二次型线性空间与线性变换第1章行列式

1.二阶、三阶行列式

2.排列、逆序与对换

3.

n阶行列式的定义

4.行列式的性质

5.行列式按行（列）展开

6.克莱姆法则1.1二阶、三阶行列式1.1.1二阶行列式对于二元一次线性方程组

(1.1.1)其中，x1、x2为未知量，a11、a12、a21、a22为系数，b1、b2

为常数，可用消元法分别消去x2、x1，得

当a11a22-a12a21≠0时，有

(1.1.2)二阶行列式可用对角线法则来记忆，如图1-1所示。在行列式中，从左上角元素到右下角元素的直线称为主对角线，从右上角元素到左下角元素的直线称为次对角线。二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积。图1-1根据二阶行列式的定义式，可将式(1.1.2)中的两个分子分别写成

其中，Di(i=1，2)表示把D中第i

列换成式(1.1.1)右边的常数列所得到的行列式。于是，当D≠0时，方程组(1.1.1)的解(1.1.2)可以表示成(1.1.3)

解

(1)当λ为何值时，D=0;(2)当λ为何值时，D≠0。解

(1)当λ=0或λ=2时，D=0；(2)当λ≠0且λ≠2时，D≠0。

由于

因此，方程组的解为

解类似地，对三元一次线性方程组的求解进行讨论。

其中，x1、x2、x3

为未知量，a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33为系数，b1、b2、b3

为常数。为了方便计算，引入记号

1.1.2三阶行列式

图1-2令

则当D≠0时，三元一次方程组的解可简单地表示成

D=1×1×1+0×4×2+(-3)×(-2)×2-1×4×2-0×(-2)×1-(-3)×1×2=11解

解由于

所以

解若要a2+b2=0，则a

与b

须同时等于零。所以，当a=0且b=0时，给定行列式等于零。因

1.2排列、逆序与对换1.2.1排列与逆序数定义1由数码1，2，…，n

组成的n

元有序数组称为一个n

级排列。例如，1234和3412都是4级排列，52341是5级排列。由数码1、2、3组成的所有3级排列为123、132、213、231、312、321，共有3!=6个数字由小到大的n

级排列1234…n

称为n级自然排列。定义2在一个n

级排列p1p2…pn

中，如果较大的数pt排在较小的数ps

的前面(ps<pt)，则称pt

与ps

构成一个逆序。一个n

级排列中逆序的总数称为逆序数，记作(p1p2…pn)。对于任意一个排列，可以按照以下方法来求逆序数：设p1p2…pn

是1，2，…，n

这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比p1大的数排在p1

前面，记为t1；再看有多少个比p2

大的数排在p2

前面，记为t2；……；最后看有多少个比pn

大的数排在pn

前面，记为tn；则此排列的逆序数为τ=t1

+t2

+…+tn。容易看出，自然排列的逆序数为0。定义3如果排列p1p2…pn

的逆序数τ(p1p2…pn)是奇数，则称此排列为奇排列；如果是偶数，则称此排列为偶排列。例如，排列3412的逆序数为4，所以是偶排列；排列52341的逆序数为7，所以是奇排列；自然排列123…n

的逆序数为0，所以是偶排列。例如例1求下列排列的逆序数，并指出奇偶性:(1)6372451;(2)135…(2n-1)24…(2n)解

(1)对于所给排列，6排在首位，所以逆序个数为0;3的前面有1个比它大的数，所以逆序个数为1;7的前面没有比它大的数，所以逆序个数为0;2的前面有3个比它大的数，所以逆序个数为3;4的前面有2个比它大的数，所以逆序个数为2;5的前面有2个比它大的数，所以逆序个数为2;1的前面有6个比它大的数，所以逆序个数为6。故此排列的逆序数为τ=t1

+t2

+…+t7

=0+1+0+3+2+2+6=14(2)对于所给排列，前n

个元素：1，3，5，…，(2n-1)不构成逆序；2前面有n-1个数比它大，故逆序个数为n-1；4前面有n-2个数比它大，故逆序个数为n-2；依次下去，2n前面没有数比它大，故逆序个数为0。将所有元素的逆序个数相加，得逆序数为

1.2.2对换在一个n

级排列p1…ps…pt…pn

中，如果将其中某两个数ps

与pt

对调位置，其余各数位置不变，得到另一个新的n

级排列p1…pt…ps…pn，这样的变换称为一个对换，记作对换(ps、pt)。定义4例如例如，在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214。可以看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214。任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变定理1证分两种情况讨论:(1)对换相邻两个数的情况若该排列为a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn。将相邻两个数i

与j作一次对换，则排列变为a1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn。显然，对数1，a2，…，al，b1，b2，…，bm

和c1，c2，…，cn

来说，并不改变它们的逆序数。但当i<j

时，经过i与j

的对换后，排列的逆序数增加1个；当i>j

时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个。所以，对换相邻两数后，排列改变了奇偶性。(2)一般情况设排列为a1a2…alib1b2…bmjc1c2…cn。将i与j

作一次对换，则排列变为a1a2…aljb1b2

…bmic1c2…cn。这就是对换不相邻两个数的情况。它可以看成是先将i与b1对换，再与b2

对换，……，最后与bm

的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2…alb1b2

…bmijc1c2…cn；然后将数j

与它前面的数i，bm

，…，b1作m+1次相邻两数的对换而成的。因此，对换不相邻的数i与j(中间有m

个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换。由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数。因此，不相邻的两数i，j

经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同。任一n级排列p1p2…pn

都可通过一系列对换与n级自然序排列12…n互变，且所作对换次数的奇偶性与这个n

级排列的奇偶性相同。定理2

定理31.3

n

阶行列式的定义二阶与三阶行列式的定义式分别为可以看出以下规律:(1)二阶行列式是2!项的代数和；三阶行列式是3!项的代数和；(2)二阶行列式中的每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列；三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3)每一项的符号按如下方法确定：这一项中元素的行标按自然数排列，若元素的列标排列为偶排列，取正号；若为奇排列，取负号。因此，二阶、三阶行列式可写成根据这些规律和二阶、三阶行列式的表示方法，可推出n

阶行列式的定义。定义1由排成n

行n列的n2

个元素aij(i，j=1，2，…，n)组成的行列式称为n

阶行列式，它是n!项的代数和，其每一项都是取自不同行和不同列的n

个元素的乘积，各项的符号按如下方法确定：每一项中各元素的行标按自然数排列，若列标的排列为偶排列，取正号；若为奇排列，取负号，即(1.3.1)例1在五阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号?解这一项各元素的行标是按自然数顺序排列的，列标的排列为23514。因τ(23514)=4，故这一项应取正号。例2写出四阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项解包含因子a11a23项的一般形式为(-1)τ(13j3j4)a11a23a3j3a4j4

，按定义，j3

可取2或4，j4

可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42。因τ(1324)=1为奇数，τ(1342)=2为偶数，所以此项只能是-a11a23a32a4。例3计算上三角行列式(主对角线下侧的元素全为零）：解在D

中，第n行元素除ann

外，其余均为0，所以只能取jn=n；在第n-1行中，除an-1n-1和an-1n外，其余元素都是零，因而jn-1只取n-1，n。又由于ann

和an-1，n位于同一列，所以只能取jn-1=n-1，这样逐步往上推，可以得出，在展开式中只有a11a22…ann

一项不等于零。而这项的列标所组成排列的逆序数τ(12…n)=0，故取正号。因此，由行列式的定义有即上三角行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。同理，对于下三角行列式(主对角线上侧的元素全为零)，有特别地，对于对角行列式(除主对角线上的元素外其余元素均为零)，有例4计算行列式的值。解这个行列式除了a1na2，n-1…an1项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号。行标的n

级排列为自然数排列，列标的n

级排列为n(n-1)…21，它的逆序数为所以由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0。在n

阶行列式中，为了确定每一项的正负号，把n

个元素的行标排成自然数排列，即a1p1a2p2

…anpn

。事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n

个元素的次序是可以任意写的，一般地，n

阶行列式的项可以写成(1.3.2)其中，i1i2…in，p′1p′2

…p′n

是两个n

阶排列，它的符号由下面的定理来确定。定理1n

阶行列式的一般项可以写成(1.3.3)其中，i1i2…in，p′1p′2

…p′n

都是n

级排列。同样，也可以把行列式一般项中元素的列标排成自然顺序123…n，而此时相应行标的n级排列为i1i2…in，则行列式的定义又可叙述为1.4行列式的性质定义1

设有n

阶行列式，将D

的第1，2，…，n

行依次变为第1，2，…，n

列，得到的新行列式称为D

的转置行列式，记为DT，即显然，(DT)T=D。性质1行列式与它的转置行列式相等，即证令bij=aji(i，j=1，2，…，n)，则此性质说明，在行列式中行与列具有相同的地位，即行列式中行具有的性质，其列也具有。性质2交换行列式中任意两行(列)，行列式的符号改变，即证根据行列式的定义及对换的性质，有推论如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则行列式的值为零。证由性质2可知，互换相同的两行(列)，有D=-D，所以D=0。性质3

把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k，等于以数k

乘以该行列式，即证用数k乘行列式D

的第i

行中所有元素得到行列式D1，则由性质3可以得到以下推论：推论

行列式中某一行(列)所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面。性质4

如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则该行列式的值为零证根据行列式的定义可得性质5如果行列式某一行(列)的元素为两组数的和,则该行列式可以分为两个行列式之和,这两个行列式除这一行(列)以外的其他元素与原行列式的对应元素一样,即性质6

把行列式某一行(列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的对应元素上去，所得行列式的值不变，即计算行列式时，为叙述方便，约定如下记号:以ri

表示行列式的第i

行，以cj

表示行列式的第j列。交换i，j两行，记作ri↔rj；第i行乘以k，记作kri；第i行加上(或减去)第j行的k

倍，记作ri±krj。对列也有类似记号。例1

计算行列式解通过观察，可以发现，行列式的第1列与第2列对应元素成比例，所以例2

计算行列式解通过观察可以发现，行列式的第2行恰为第1行与第3行之和，所以例3计算行列式解例4计算解例5计算n

阶行列式解行列式D的主对角线上的元素全为a，其余元素全为b。注意到行列式每一行的元素之和是相同的，因此，将第2，3，…，n

列都加到第1列，然后提出第1列的公因子a+(n-1)b，可得1.5行列式按行（列）展开定义1

在n

阶行列式中，划去元素aij

所在的第i

行和第j列，余下的(n-1)2

个元素按原来的排列构成的n-1阶行列式，称为元素aij

的余子式，记作Mij。在Mij前面加上符号(-1)i+j后，得到(-1)i+jMij，称它为aij的代数余子式，记作Aij，即Aij=(-1)i+jMij例1

已知三阶行列式，分别求元素a21，a32的余子式和代数余子式。解根据定义知，元素a21的余子式和代数余子式分别为元素a32的余子式和代数余子式分别为引理

如果在n

阶行列式D

中，第i行元素除了aij外全为0，则该行列式的值等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAij证(1)先证(i，j)=(1，1)的情形，此时(2)对于一般情形，此时，对D

作如下调换:将第i行依次与第i-1，第i-2，…，第1行对调，再将第j列依次与第j-1，第j-2，…，第1列对调，得其中，b11=ai，等于D

中元素aij的余子式Mij，故定理1

n

阶行列式D

等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或证此定理称为行列式的按行(列)展开定理，利用此定理可以进行降阶运算。在计算行列式时，直接利用此定理进行行列式展开并不一定能简化运算，但当行列式中某一行或某一列中含有较多零时，运用此定理将会非常简便。例如:定理2，Aij是元素aij的代数余子式，则有(1)(2)(1)对于二阶、三阶行列式，通常应用对角线法则直接求值;(2)对于高阶行列式，可以利用行列式的性质，将其转化为三角行列式再求值;(3)利用行列式的展开，可以使行列式的阶数降低，从而简化其运算过程，特别是当行列式中的某行(列)中含有较多个零元素时。通过前面知识的学习，关于行列式的计算方法，可以总结为以下几种:例2求下列行列式的值:解(1)(2)(1)(2)例3解方程解因为例4

证明范德蒙(Vandermonde)行列式。其中，记号“Π”表示全体同类因子的乘积。证用数学归纳法证明。当n=2时，结论成立。现假设n-1阶范德蒙行列式成立，即则对n

阶行列式，从第n

行开始，后行依次减去前行的x1

倍，得按照第1列展开，并提出每列的公因子(xi-x1)，就有上式右端的行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳法假设，它等于所有(xi-xj)因子的乘积，所以定理3(拉普拉斯定理)分析

对D1

作行运算，相当于对D的前k

行作相同的行运算，且D

的后n

行不变;对D2作列运算，相当于对D

的后n列作相同的列运算，且D的前k列不变。证因为对D1作适当的运算ri+krj，可将D1

化为下三角形;同理，对D2

作适当的列运算ci+kcj，可将D2

化为下三角形，分别设为故对D

的前k

行作上述行运算和对D

的后n

列作上述列运算后，D

可化为1.6克莱姆法则设含有n个未知量和n

个方程的线性方程组为(1.6.1)方程组(1.6.1)中的未知量系数在保持原来的相对位置不变的情况下构成的n

阶行列式称为方程组(1.6.1)的系数行列式。定理1(克莱姆法则)

若n

元线性方程组(1.6.1)的系数行列式D≠0，那么此方程组有唯一解，且(1.6.2)其中，Dj(j=1，2，…，n)是把系数行列式D

的第j

列元素用方程组的常数项b1，b2，…，bn

替换而得到的n

阶行列式，即

将Dj

按第j

列展开，得于是所以这说明式(1.6.2)是方程组(1.6.1)的一个解。再证式(1.6.2)是方程组(1.6.1)的唯一解。设x1=c1，x2

=c2，…，xn

=cn

是方程组(1.6.1)的解，则(1.6.3)由行列式按行(或列)展开定理，得分别用系数行列式D

的第k列元素的代数余子式A1k，A2k，…，Ank

乘以式(1.6.3)的各项，然后相加，得即当D≠0时，有这就证明了式(1.6.2)是方程组(1.6.1)的唯一解。例1用克莱姆法则解线性方程组解方程组的系数行列式为因为D≠0，所以方程组有唯一解。又由于所以克莱姆法则给出了线性方程组的解与其系数、常数项之间的一种重要关系。但它只适用于方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不等于零的线性方程组。当线性方程组的常数项全为零时，即(1.6.4)方程组(1.6.4)称为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组。显然，x1=x2=…=xn=0就是方程组(1.6.4)的一个解，称为齐次线性方程组(1.6.4)的零解。如果一组不全为零的数是齐次线性方程组(1.6.4)的解，则称为非零解。由克莱姆法则可以得出定理2若方程组(1.6.4)的系数行列式D≠0，则方程组有唯一零解;若方程组有非零解，则系数行列式D

必为零。推论

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是D=0。例2讨论方程组解的情况。解因为所以，当λ=1时，D=0，此时方程组有非零解;当λ≠1时，D≠0，此时方程组有唯一的零解。例3

求4个平面aix+biy+ciz+di=0(i=1，2，3，4)相交于一点(x0，y0，z0)的必要条件。解将平面方程写成aix+biy+ciz+di=0，其中，t=1。于是4个平面交于一点等价于含x，y，z，t的齐次线性方程组有唯一的非零解(x0，y0，z0，1)。因为齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式的值为0，所以4个平面交于一点的必要条件为ThankYou!线性代数第2章矩阵矩阵的概念及特殊矩阵逆矩阵矩阵的初等变换与初等矩阵矩阵的运算分块矩阵矩阵的秩1234652.1矩阵的概念及特殊矩阵3特殊矩阵2矩阵的相等1矩阵的概念2.1.1矩阵的概念定义1由m×n

个数Aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)按给定顺序排成的m行n

列的数表称为m

行n

列矩阵，简称m×n

矩阵，其中，Aij称为矩阵的第i

行第j

列的元素。m×n

矩阵可以表示为(Aij)或(Aij)m×n，一般用大写的黑体英文字母A，B，C，…表示矩阵。规定(A11)1×1=A11。2.1.2矩阵的相等定义2行数与列数分别相等的矩阵称为同型矩阵。例如，矩阵是同型矩阵。定义3设矩阵A=(aij)m×n与矩阵B=(bij)m×n为同型矩阵，如果它们对应元素相等，即则称矩阵A

与矩阵B

相等，记为A=B。(2.1.1)在式(2.1.1)中，当且仅当A=1，b=2，c=3，d=4时，有A=B。2.1.3特殊矩阵根据矩阵的形状矩阵三角矩阵方阵单位矩阵数量矩阵对角矩阵零矩阵根据矩阵的元素行矩阵列矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵，如只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量)，如矩阵A=(a1，a2，

…，

an)是行矩阵。1．行矩阵2．列矩阵3．方阵为n

阶方阵或n

阶矩阵,简记为A=(aij)n.元素a11，a22，…，ann

所在的直线称为方阵的主对角线。行数与列数相等的矩阵称为方阵，如式(2.1.1)中的矩阵A

与B

是2×2矩阵，一般称为二阶方阵或二阶矩阵，如元素全为零的矩阵称为零矩阵，m×n

零矩阵记为Om×n或O。4．零矩阵注意:不同型的零矩阵是不相等的，如！但O2≠O3！主对角线上的元素全为1，其他元素全为零的n

阶方阵称为n阶单位矩阵，记为En，简记为E，即5．单位矩阵注意:不同阶的单位矩阵是不相等的。！主对角线上的元素相等，其他元素全为零的n阶方阵称为数量矩阵(或纯量矩阵)，如6．数量矩阵不在主对角线上的元素全为零的n

阶方阵称为对角矩阵，如7．对角矩阵主对角线以下(或上)的元素全为零的n阶方阵称为上(或下)三角矩阵，如8．三角矩阵121为n

阶上三角矩阵，而2则为下三角矩阵。2.2矩阵的运算2.2.1矩阵的加法2.2.2数与矩阵的乘法2.2.3矩阵与矩阵的乘法2.2.4矩阵的转置2.2.5方阵的行列式矩阵的运算2.2.1矩阵的加法定义1设矩阵A=(aij)，B=(bij)都是m×n

矩阵，A

与B

的和记作A+B，规定：注意:只有两个同型矩阵才可以相加。两个同型矩阵相加是把它们的对应元素相加，它们的和矩阵仍是同型矩阵。例如，若有三阶方阵A=(aij)3×3，B=(bij)3×3，则！矩阵加法满足以下运算规律(设A，B，C

都是m×n

矩阵):(1)交换律A+B=B+A；(2)结合律(A+B)+C=A+(B+C)。矩阵A=(aij)m×n的全部元素都变号后得到一个新矩阵(–aij)m×n，称为A

的负矩阵，记作–A，显然有由矩阵加法和负矩阵的概念定义矩阵减法：减去一个矩阵等于加上这个矩阵的负矩阵，即2.2.2数与矩阵的乘法定义2数λ

与矩阵A=(aij)m×n的乘积，记作λA

或Aλ，规定为：注意:数λ乘矩阵A

是矩阵A

中的每一个元素都乘以数λ。当λ=–1时，(–1)×A=

–A

是矩阵A的负矩阵。数与矩阵乘法满足以下运算规律(设A,B

都是m×n矩阵；λ，μ

都是数)：！例1设矩阵求2A-3B。解2.2.3矩阵与矩阵的乘法定义3设矩阵A=(aij)是一个m×s

矩阵，矩阵B=(bij)s×n是一个s×n矩阵，矩阵A与B

的乘积是一个m×n

矩阵C=(cij)，其中：称矩阵C

为矩阵A

与B

的乘积矩阵,记作C=AB。注意:(1)只有当矩阵A

的列数等于矩阵B

的行数时,矩阵A

与矩阵B

的乘积AB

才有意义;(2)乘积矩阵AB

的行数等于矩阵A

的行数,AB

的列数等于矩阵B

的列数;(3)乘积矩阵AB

的第i行第j列元素cij等于矩阵A

的第i

行元素与矩阵B

的第j列对应元素相乘，然后相加。！例2设矩阵求乘积矩阵AB

和BA。解例3设矩阵求AB，BA，AC。解(1)两个矩阵相乘一般不能交换顺序,即使在可乘的情况下,也不能随便变换顺序,即AB≠BA。因此,两个矩阵相乘时,AB

称为A

左乘B;而BA

称为A

右乘B.对于两个n

阶方阵A,B,如果AB=BA,则称方阵A

与B为可交换矩阵。矩阵乘法与大家熟悉的乘法存在根本差别：(2)矩阵乘法一般不能随便消去同一个非零矩阵,即虽然A≠O,且AB=AC,但是不能得出B=C。(3)两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵(BA=O),但不能得出A=O

或B=O。矩阵乘法满足以下运算规律(设矩阵A,B,C

对所涉及的运算可行):(1)结合律(2)左乘分配律、左乘分配律对于单位阵E，容易验证：或简写成可见，单位阵E

在矩阵乘法运算中的作用类似于数1。对于方阵A，由于A

的列数等于行数，因此，可以归纳地给出方阵的幂运算:其中，k

为正整数.这就是说Ak

就是k

个A连乘.由于矩阵乘法满足结合律，所以方阵的幂运算满足以下运算规律:其中，k，l为正整数。又因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于两个n

阶方阵A

与B，一般来说,有设A，B

都是n

阶方阵，那么而因此数学中的乘法公式必须谨慎使用。！例4设m

次多项式记，称f(A)为方阵A

的m次多项式。已知解由得即n个变量x1，x2，…，xn

与m

个变量y1，y2，…，ym

之间的关系式表示从一个变量x1，x2，…，xn

到变量y1，y2，…，ym

的线性变换，它可用矩阵表示为简记作其中矩阵A

是变量X→Y

的线性变换矩阵。设有两个线性变换Y=AX

和Z=BY。矩阵A

是X→Y

的线性变换矩阵，矩阵B

是Y→Z的线性变换矩阵，可得Z=B(AX)=(BA)X，从而矩阵BA是X→Y

的线性变换矩阵。例5设有两个线性变换，与求从变量x1，x2，x3

到变量z1，z2，z3

的线性变换。解由题设可得将x1，x2，x3

到y1，y2，y3

的线性变换代入y1，y2，y3

到z1，z2，z3

的线性变换中去，得由矩阵乘法得从而得从x1，x2，x3

到z1，z2，z3

的线性变换为即2.2.4矩阵的转置设m×n

矩阵把矩阵A

的行换成同序号的列，得到一个n×m

矩阵定义4称为A

的转置矩阵，记作AT。例如，矩阵的转置矩阵为如果A=(dij)m×n，AT=(dij)n×m

，那么，矩阵AT

中的第i行第j

列元素dij就等于矩阵A中第j

行第i列元素Aji，即dij=Aji(i=1，2，…，n；j=1，2，…，m)。(2)(A+B)T=AT+BT(3)(λA)T=λAT(λ

为数)(4)(ABT)=BTAT(1)(AT)T=A矩阵的转置运算满足运算规律这里仅证明运算规律(4)。证设矩阵A=(aij)m×s，B=(bij)s×n，记AB=C=(cij)m×n，BTAT=D=(dij)n×m.由矩阵与矩阵相乘的定义，得C

的第j

行第i

列的元素而BT

的第i行为(b1i，b2i，…，bsi)，AT

的第j列为因为D

的第i

行第j列元素由转置运算的定义知(AB)T=CT，于是D=CT，即BTAT=(AB)T。定义5设A=(aij)是n阶矩阵，如果AT=A，

即aij=aji

(i，j=1，2，…，n)，则称A

为对称矩阵；如果AT=-A，

即aij=-aji

(i，j=1，2，…，n)，则称A

为反对称矩阵。显然，在反对称矩阵中，主对角线上的元素均为零。例如为对称矩阵，为反对称矩阵。由定义可知，对称矩阵的和、数量乘积仍为对称矩阵;反对称矩阵的和、数量乘积仍为反对称矩阵。例6设A

为n

阶反对称矩阵，B

为n

阶对称矩阵，试证AB

–BA

为对称矩阵。证由定义可知，AT=

–A，BT=B，于是所以AB

–BA

为对称矩阵。2.2.5方阵的行列式定义6设A是n

阶方阵，由方阵A

的元素按原来的位置构成的行列式。称为方阵A

的行列式，记作|A|或detA(2)|λA|=λn|A|(3)|AB|=|A||B|(1)|AT|=|A|方阵的行列式满足运算规律(设A，B

为n

阶方阵，λ

是数):运算规律(3)说明，虽然两个方阵相乘一般不能交换，但例如，矩阵从而|A|=2，|B|=–1，由运算规律(3)可得于是得但即2.3逆矩阵2正交矩阵1逆矩阵的概念2.3.1逆矩阵的概念在代数运算中，如果A≠0，其倒数A-1为等式在矩阵的乘法运算中，对于任意n

阶方阵A，都有这里单位矩阵E

与数1在数的乘法中的作用非常相似。那么，对于n

阶方阵A≠O，是否存在n

阶方阵B，使得AB=BA=E

呢?如果存在这样的方阵B，那么A

要满足什么条件?如何利用A

把B

求出来?为此引进逆矩阵的概念。定义1设A

是n

阶方阵，若有一个n

阶方阵B，使得则B

称为A

的逆矩阵，A

称为可逆矩阵，或非奇异矩阵。(2.3.1)

注意:由定义可知，可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵亦为同阶方阵;定义中A

与B的地位是等同的，所以B

也是可逆矩阵，并且A

是B

的逆矩阵。定理1若A

是一个n

阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。证设A

有两个逆矩阵B

与C，即于是所以逆矩阵是唯一的。由于可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，用A-1表示A

的逆矩阵，于是有下面研究在什么条件下方阵是可逆的，以及如果A

可逆，怎样求A-1.定义2设A=(aij)n×n，Aij为行列式|A|中元素Aij的代数余子式，称为矩阵A

的伴随矩阵。设A

为n

阶矩阵，则有同理，A*A=|A|E。于是得到方阵A

与它的伴随矩阵A*之间的重要关系式。(2.3.2)定理2n

阶方阵A

可逆的充分必要条件是|A|≠0，且A

可逆时，有(2.3.3)其中，A*为A

的伴随矩阵。证必要性：因为A

可逆，于是A-1存在，且这样|A||A-1|=|E|，因此|A|≠0。充分性：当|A|≠0时，由式(2.3.2)得：于是矩阵A

可逆，且例1设，求A-1。解故A

可逆。又则所以推论设A

与B

都是n

阶方阵，若AB=E，则A，B

都可逆，并且A-1=B，B-1=A证因为AB=E，所以|AB|=|E|=1，从而|A|≠0，|B|≠0.因此A，B

都可逆。由定理2可知，A-1，B-1存在。在AB=E

两端左乘A-1，得A-1=B.同理，B-1=A。例2设方阵A

满足AX=A+X，证明A–E

可逆，并求其逆。证由得即则所以A–E

可逆，且下面给出可逆矩阵的一些性质性质1若A

可逆，则A-1可逆，且(A-1)-1=A。证

因为AA-1=E，由定理2的推论可知A-1可逆，并且(A-1)-1=A.性质1若n

阶矩阵A，B

都可逆，则AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1证

因为A，B

都可逆，所以A-1，B-1都存在。又因由定理2的推论可知，AB

可逆，并且(AB)-1=B-1A-1性质2可以推广到多个可逆矩阵的情形：设A1，A2，…，Am

均为n阶可逆矩阵，则A1A2…Am

也可逆，并且性质3若A

可逆，则|A-1|=|A|-1证因为AA-1=E，所以|A||A-1|=1.于是|A-1|=|A|-1。性质4若A

可逆，则(AT)-1=(A-1)证因为AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，由定理2的推论可知，AT

可逆，并且(AT)-1=(A-1)T。性质5性质6性质7若A可逆，数k≠0，则若A

可逆，且AB=O，则B=O若A可逆，且AB=AC，则B=C例3设A

为n

阶可逆矩阵，证明A

的伴随矩阵A*可逆，且证因为矩阵A

可逆，且，所以又因为|A|≠0，A-1可逆，故A*可逆，且利用矩阵的逆，可以给出第1章中克莱姆法则的另一种证法。由矩阵乘法，非齐次线性方程组(1.6.1)可写为(2.3.4)其中为线性方程组的系数矩阵，当|A|=D≠0时，矩阵A

可逆，用A-1左乘式(2.3.4)两边，得(2.3.5)即这样就得到方程组(1.6.1)的解，并且是唯一解。还可以把上面的方法推广到一般形式的矩阵方程:其中，A，B

均为可逆矩阵，则上述矩阵方程分别有唯一解例4解线性方程组解方程组的矩阵形式为AX=b，其中由于故A

可逆，应用式(2.3.5)，有于是方程组的解为x=0，y=–1，z=3例5解矩阵方程2X=AX+B，其中解由得因为所以矩阵2E–A

可逆。由式(2.3.5)，有2.3.2正交矩阵定义3设A

为实数域R上的方阵，如果它满足AAT=ATA=E，则称A

为正交矩阵。例如定理3实数域R上的方阵A

为正交矩阵的充分必要条件是A-1=AT正交矩阵的性质(1)若A

为正交矩阵，则|A|=1或|A|=–1;(2)正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵;(3)若A，B

是同阶正交矩阵，则AB

也是正交矩阵;(4)正交矩阵的每行(列)元素的平方和等于1，不同两行(列)的对应元素乘积之和等于0.证这里仅证性质(3)和(4)。(3)由于A，B

是正交矩阵，所以AAT=E，BBT=E，从而即AB

为正交矩阵。(4)设A=(aij)n

为正交矩阵，则根据矩阵乘法与矩阵相等的定义，有同理可证性质(4)成立。例6设A

为正交矩阵，B

为与A

同阶的对称矩阵，且(A–B)2=E。化简：解由于所以A-B

可逆，且于是2.4分块矩阵分块矩阵的概念1分块矩阵的运算2分块对角矩阵32.4.1分块矩阵的概念定义1用若干条横线与若干条纵线将矩阵分成若干小块，每个小块称为矩阵的子块;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例如按下述分法分块令则矩阵是矩阵A

的分块矩阵。若将A

按如下分法分块令则矩阵也是矩阵A

的分块矩阵。2.4.2分块矩阵的运算

1.分块矩阵的数乘将m×n

矩阵A

分成r×s的分块矩阵若λ

为实数，则2.分块矩阵的加法将m×n

矩阵A

与B

按相同的分块法分别分成r×s的分块矩阵则

3.分块矩阵的乘法设A

为m×l矩阵，B

为l×n

矩阵，按A

的列的分法与B

的行的分法相同的分块法把A与B

分成则AB=C=(Cij)r×s，其中例1设试利用分块矩阵的乘法计算AB。解把矩阵A

与B

分别分成则在利用分块矩阵的乘法讨论AB

时，下面的特殊情形值得注意。设A

为m×l矩阵，B

为l×n

矩阵，将右矩阵B

按列分块:则若AB=O，则，从而即是矩阵方程的解，也就是说B

的列是的解。4.分块矩阵的转置将m×n

矩阵A

分成r×s的分块矩阵则A

的转置矩阵2.4.3分块对角矩阵定义2形如的分块矩阵称为分块对角矩阵(或准对角矩阵)，简记为其中，Ai(i=1，2，…，r)为方阵。例如:是分块对角矩阵，其中分块对角矩阵具有类似于对角矩阵的运算性质:设n

阶矩阵A

与B

采用相同的分块法，分别得到分块矩阵则有下述性质:性质1，性质2性质3性质4性质5性质6k为正整数若均可逆，则其中λ为实数例2设求A-1。解对A

进行分块因为所以例3设用分块矩阵计算AB。解将矩阵A，B

作如下分块则因为所以例4设，

且m阶矩阵B

和n

阶矩阵C

均可逆，试证明分块矩阵A

可逆，并求A-1

证将|A|中的第n+1列与第1列至第n

列逐列交换到第1列，再将第n+2列与第2列至第n+1列逐列交换到第2列，……，最后将第n+m

列与第m

列至第n+m-1列逐列交换到第m列，共进行了mn次列交换，有所以A

可逆。设由得由B，C

可逆，解得则由例4可得，当Ai(i=1，2，…，r)均可逆时，有2.5矩阵的初等变换与初等矩阵1矩阵的初等变换与矩阵的等价2初等矩阵3求可逆矩阵逆矩阵的初等变换法2.5.1矩阵的初等变换与矩阵的等价1.矩阵的初等变换与矩阵等价的概念定义1对矩阵的以下三类变换称为矩阵的初等行(或列)变换:(1)交换矩阵的两行(或列);(2)矩阵的某一行(或列)乘不为零的数k;(3)将矩阵的某一行(或列)乘数k

加到另一行(或列)上去。定义1若矩阵A

经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A

与B

行等价，记作例如，若则A→B。矩阵的等价具有以下性质:性质1反身性:A→A性质2对称性:如果A→B，那么B→A性质3传递性:如果A→B，B→C，那么A→C2.矩阵的行阶梯形与矩阵的行最简形定义3若矩阵A

的非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增加，则称矩阵A

为行阶梯形矩阵.若矩阵A

是行阶梯形矩阵，且其非零行的第一个非零元素为1，而该元素所在列的其他元素全为0，则称矩阵A

为行最简形矩阵。例1试问下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些是行最简形矩阵?解根据定义3知，矩阵A，B，C

为行阶梯形矩阵，矩阵A，B

为行最简形矩阵。矩阵D

不是行阶梯形矩阵。定理1任意矩阵经过有限次初等行变换可以变成行阶梯形矩阵和行最简形。例2设矩阵对A

作行初等变换，化A

为行阶梯形矩阵。解B

为行阶梯形矩阵。对B

继续施以行初等变换，得则矩阵R

为行最简形矩。若对R

使用初等列变换，有定义4形如的矩阵称为标准形矩阵，其中Er

是r

阶单位矩阵。由例2有下述定理：定理2

任意矩阵经过有限次初等变换都可以变成标准形矩阵。2.5.2初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换所得到的方阵，称为初等矩阵。定义5由三类初等变换，可得到如下三类初等矩阵。(1)交换矩阵E(i，j):交换单位矩阵的第i行(列)与第j

行(列)所得到的方阵。rirjcicirirjcici显然，|E(i，j)|=-1，则E(i，j)可逆，且E-1(i，j)=E(i，j)。可以证明:(2)倍乘矩阵E(i(k)):矩阵的第i行(或列)乘不为零的数k

所得到的方阵。ricirici显然，|E(i，j)|=k，则E(i(k))可逆，且可以证明:(3)倍加矩阵E(i，j(k)):将矩阵的第j

行(或第i列)乘数k加到第i

行(或第j

列)上去所得到的方阵。rirjcicirirjcici显然，|E(i，j(k))|=1，则E(i，j(k))可逆，且E-1(i，j(k))=E(i，j(-k)).可以证明:由以上讨论，有下述定理：(1)初等矩阵都可逆，且其逆矩阵为同类的初等矩阵定理3(2)设A

为m×n

矩阵，对A

作一次初等行变换，相当于在A

的左边乘一个相应的m

阶初等矩阵;对A

作一次初等列变换，相当于在A

的右边乘一个相应的n阶初等矩阵定理4

n阶矩阵A

可逆的充分必要条件是A

可表示成有限个初等矩阵的乘积，即A=P1P2…Ps，其中，Pi(i=1，2，…，s)为初等矩阵。证

先证充分性。设A=P1P2…Ps，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故A

可逆。

再证必要性。设n阶方阵A

可逆，且A的标准形矩阵为F，由F→A

知，F

经有限次初等变换可化为A，即有初等矩阵P1，P2，…，Ps，使因为A可逆，P1，…，Ps

也都可逆，故标准形矩阵F

可逆。假设中的r<n，则|F|=0，与F

可逆矛盾，因此必有r=n，即F=E，从而2.5.3求可逆矩阵逆矩阵的初等变换法设n

阶矩阵A

可逆。由分块矩阵的乘法，有又由于A-1可逆，由定理4得，存在s个n

阶初等矩阵P1，P2，…，Ps，使得则由定理3，得(2.5.1)设A

为n

阶可逆矩阵，由式(2.5.1)得到利用初等行变换求逆矩阵的方法，其步骤如下:(1)写出n×2n

矩阵(A┊En);(2)利用初等行变换将(A┊En)变成行最简形(3)写出A

的逆矩阵A-1例3设求A-1。解因所以对于矩阵方程AX=B，如果A

可逆，则X=A-1B，有所以可得利用初等行变换求解矩阵方程AX=B

的方法例4设求矩阵X，使AX=B。解因为所以A

可逆。所以!本例用初等行变换求解方程AX=B。对矩阵方程XA=B

来说，若A

可逆，则X=BA-1。与上述类似，为求BA-1，只需对作初等列变换，在把A

化为E

的同时，将B

化成BA-1。或者，为解矩阵方程XA=B，可先解矩阵方程ATXT=BT。对矩阵作行变换得即2.6矩阵的秩矩阵秩的概念矩阵秩的计算矩阵秩的性质1232.6.1矩阵秩的概念定义1在m×n

矩阵A

中，任意选取k

行k

列(k≤min{m，n})交叉处的k2

个元素，不改变它们在A

中原来的顺序所构成的k阶行列式称为矩阵A的k

阶子式。根据组合的知识，m×n

矩阵A

共有个k

阶子式。定义2若矩阵A

中存在一个r

阶子式Dr

不等于零，而所有的r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则不等于零的r

阶子式Dr

称为矩阵A

的最高阶非零子式。定义3矩阵A

的最高阶非零子式的阶数称为矩阵A

的秩，记为R(A)。例1求矩阵的秩。解A

的左上角的二阶子式，因此R(A)≥2。A

的三阶子式共有4个，且所以R(A)=2。2.6.2矩阵秩的计算定理1初等变换不改变矩阵的秩.由定理1，可得求矩阵A

的秩R(A)的方法:则R(A)=R(B)=行阶梯形矩阵B

的非零行的行数。例2求矩阵的秩。解由于所以R(A)=3。例3设矩阵，试问λ

为何值时，R(A)=1，R(A)=2，R(A)=3.解利用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵：(2.6.1)讨论:(1)要使R(A)=3，则，

即λ≠1且λ≠-2。.(2)当λ=1时，把λ=1代入式(2.6.1)的最后一个矩阵，得.则R(A)=1。(3)当λ=-2时，把λ=-2代入式(2.6.1)的最后一个矩阵，得.则R(A)=1。2.6.3矩阵秩的性质性质1性质2性质3设A

为m×n

矩阵，则0≤R(A)≤min{m，n}R(AT)=R(A)其中，λ

为常数性质4若A→B，则R(A)=R(B)，即等价矩阵有相同的秩.但反之不然.性质5设A

为m×n

矩阵，P为m

阶可逆矩阵，Q

为n

阶可逆矩阵.则例4设4×3矩阵A

的秩R(A)=2，，试求R(AB)。解显然B

为可逆矩阵，则R(AB)=R(A)=2。性质6设A

为m×s矩阵，B

为m×t矩阵，则特别地，其中，b为m×1矩阵。性质7设A，B均为m×n

矩阵，则性质8

设A

为m×s矩阵，B

为s×n

矩阵，则性质9设A

为m×s矩阵，B为s×n

矩阵，且AB=O，则例5设A

为n

阶矩阵，满足A2-3A-4E=O.证明:证由性质7，得即(2.6.2)又，由性质9，得(2.6.3)所以性质10设A为n(n≥2)阶矩阵，则证分三种情形讨论:(1)当R(A)=n

时，A

为满秩阵，即非奇异矩阵，则|A|≠0.由|A*|=|A|n-1，得|A*|≠0，则R(A*)=n。(2)当R(A)=n-1时，有|A|=0，则AA*=|A|E=O，所以R(A)+R(A*)≤n，得(2.6.4)由R(A)=n-1知，|A|中至少有一个元素的余子式不为零，从而对应的代数余子式也不为零，所以A*是非零矩阵，即(2.6.5)由式(2.6.4)与式(2.6.5)，得(3)当R(A)<n-1时，|A|中每一个元素的余子式都为零，从而对应的代数余子式也为零，所以A*是零矩阵，则R(A*)=0.例6设四阶矩阵试求:(1)A

的秩R(A);(2)A的伴随矩阵A*的秩R(A*)及A*解(1)则R(A)=2(2)因为R(A)=2<3，所以R(A*)=0，则A*=O.ThAnkYou!线性代数

Linear

Algebra2第3章向量组与向量空间向量组的线性相关性413向量组及其线性组合向量组的秩向量空间3.1向量组及其线性组合向量组1向量组的线性组合23.1.1向量组定义1

n

个有次序的数a1，a2，…，an

所组成的数组称为n维向量。ai

称为该向量的第i

个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。n

维向量可以写成一列，记作称为列向量，也就是n×1列矩阵。n

维向量也可以写成一行，记作称为行向量，也就是1×n

行矩阵。规定:n

维向量的运算按矩阵运算规则进行，即设λ

是数，n

维向量分别是向量α

与β

的和以及数λ

与向量α

的乘积。则在解析几何中，如果取定一个空间直角坐标系[O；x，y，z]，并以i，j，k

分别表示与三个坐标轴方向一致的单位向量，那么空间任一向量α可分解为其中，x，y，z称为向量α在坐标系[O；x，y，z]中的坐标(或分量)。向量α也可用它的坐标简单地表示为同维数向量的集合称为向量组。例如，n

维向量的全体所组成的集合为在Rn中，向量个数有无限个。给定一个m×n

矩阵A=(aij)m×n，A

的每一列都是一个列向量，因此A

有n个m

维列向量它们组成的向量组称为矩阵A

的列向量组,并且把称为列向量矩阵。A

的每一行都是一个行向量，因此A

有m个n维行向量它们组成的向量组称为矩阵A

的行向量组，并且把称为行向量矩阵。反之，由有限个向量组成的向量组可以构成一个矩阵。m

个n

维列向量组成的向量组A

：α1，α2，…，αm

可以构成一个n×m

矩阵m

个n

维行向量组成的向量组B：可以构成一个m×n

矩阵3.1.2向量组的线性组合设向量组由向量的线性运算知道，这时称α3

是α1，α2

的线性组合。定义2设有向量组，对于任意一组数，向量：称为向量组A

的一个线性组合,数称为这个线性组合的系数。设有向量组，以及向量β,如果有一组数使则β

是向量组A

的线性组合，这时也称向量β

能由向量组A

线性表示。利用分块矩阵乘法，可写成在n

维向量的全体中，向量组称为n

维基本单位向量组。任一n

维向量都可以由表示成如何判断别向量β

能否由向量组线性表示呢?给出下面的定理：？定理1向量β

可由向量组线性表示的充分必要条件是:矩阵与矩阵