云南2024届高考数学适应性考试试题(一)文(含解析)

云南师范高校附属中学2024届高考数学适应性考试试题（一）文（含

解析）

第I卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

L设集合A={0,1,2,4},B={^e7?|l<x<4},则AB=（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{2,4}D.{x|l<%<4}

【答案】C

【解析】

试题分析：43={0,1,2,4}n{Rl<xW4}={2,4},故选C.

考点：集合的交集运算.

2.若复数的共轨复数是W=a+其中i为虚数单位，则点（a,b）为（）

A.（―1.2）B.（-2,1）C.（1,-2）D.（2,一1）

【答案】B

【解析】

1_9i-

试题分析：,:z=----=-2-i,；.z=-2+i,故选B.

i

考点：复数的计算.

3.若，且x为第四象限的角，则tanx的值等于（）

1212c55

A、—B、——C、—D、——

551212

【答案】D

【解析】

试题分析：为第四象限的角，/.sinx=-71-cos2x=--,于是，故选D.

13

考点：商数关系.

4.有3个不同的社团，甲、乙两名同学各自参与其中1个社团，每位同学参与各个社团的可

能性相同，则这两位同学参与同一个社团的概率为（）

【答案】A

【解析】

试题分析：记3个社团分别为48C,依题意得，甲、乙两位同学参与社团的全部可能的状

况有9种，分别为（4A）,（48）,（4。，（B,4）,（B,面，（B,。，（C,A）,（C,而，

（G。，而两位同学参与同一个社团的种数为3,故所求概率为士3=工1，故选A.

93

考点：概率.

5.已知函数，若/（a）=—1,则实数a的值为（）

A、2B、±1C.1D、一1

【答案】C

【解析】

aWO,JaWO,—fa>0,fa>0,

试题分析:=-尸]。=1na=l,故选c.

[a—2=—1[a=1

考点：函数值.

6.“OWmWl"是"函数/（无）=cosx+m-1有零点”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：/（%）=0cosx=1-m,由OW/nWl,得0Wl-/nWl,且-iWcosx^l,所以函

数/'（尤）=cosx+m-l有零点.反之，函数/'（尤）=£：0$尤+机-1有零点，只需依-l|Wln

0Wm^2,故选A.

考点：充分必要条件.

7.将某正方体工件进行切削，把它加工成一个体积尽可能大的新工件，新工件的三视图如图1

所示，则原工件材料的利用率为（材料的利用率）（）

俯谡图

Hl

【答案】C

【解析】

试题分析：如图1,不妨设正方体的棱长为1,则切削部分为三棱锥A-A耳。，其体积为g,又

正方体的体积为I,则剩余部分(新工件)的体积为9,故选C.

6

考点：二视图.

8.在△ABC中，|A3+AC|=|A3—ACI，AB=2,AC=1,E,F为BC的三等分点，贝！JAE.Ab

26

D、

9

【答案】B

试题分析：由而+福=而-丽知与_L而，以期4C所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标

系，则m0>况2,0),C(0,1),于是E停；),呜9,据此‘荏口"=惇呜'4=泊=印

故选B.

考点：向量的运算.

9.等比数列｛4｝中，q=2,%=4,函数/(%)=%0-。］)(%一。2)・・(x-a8)，则/(°)=

()

A、26B、29C、212D、215

【答案】C

【解析】

试题分析：依题意，记g(x)=(x-q)(x-4)，则f(x)=xg(x>f'(x)=g(x)+xg'(x)，

412

f'(O)=g(O)=%/a8=(OjOg)=2,故选C.

考点：等比数列的性质.

10.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖腌，如图2,在鳖席PABC中，

PAJ_平面ABC,AB_LBC,且AP=AC=1,过A点分别作AE1±PB于E、AF_LPC于F,连接EF

当4AEF的面积最大时，tan/BPC的值是（）

A.0B.—C.6D.—

23

由2

【答案】B

【解析】

试题分析：明显3C_L平面则BCLAE,又产BLAE,则AE_L平面PBC,于是铉_L£F,

SAEA-PC,结合条件AF_LPC得PC_L平面4£F,所以△AEF、均为直角三角形,

xEF+EF

由已知得，MSAAEF=1^（^=\（1）当且仅当=时，取“=”，

1

所以，当AE=£F=!时，AAEF的面积最大，止匕时1311/3尸。=变=:=变，故选B.

2PF&2

~2

考点：基本不等式、三角形面积.

H设S=J+m*+Jl+»Jl+A4』一h11

+V+20142+20152,则不大于

S的最大整数［S］等于（）

A、2024B、2024C、2024D、2024

【答案】B

【解析】

试题分析「卜》表(n2+n)2+2(n2+H)+1n2+n+1

=1+1_J_，所以

n2(l+n)2n(n+1)nn+1

1

=2015-，故[S]=2014,故选B.

2015

考点：裂项相消法求和.

12.设直线/与抛物线x?=4y相交于A,B两点，与圆C：x2+（y-5）2=r2（r〉0）相切于点此

且M为线段AB的中点，若这样的直线/恰有4条，则r的取值范围是（）

A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3).(2,4)

【答案】D

【解析】

试题分析：圆C在抛物线内部，当轴时，必有两条直线满意条件，当/不垂直于y轴时,

设M（无0,%）,A（xt,%）,B{X2,%），则％%%；为，由

才一考=4（%-%）=丛二&=土土三=岫=包，因为圆心C（0,5）,所以，由直线,与圆C

占一龙242

相切，得5•左CM=Tn%=3,又因为无；<4%,所以需<12,且

户=君+（%-5>=%+4<16=>r<4,又产_（%_5）2=>>0=>r2-（3-5）2>0=>

/>4n厂>2,故2<r<4,此时，又有两条直线满意条件，故选D.

考点：直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系.

第n卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.如图3.这是一个把k进掉数a（共有n位）化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图,

若输入的k,a,n分别为2,110011,6,则输出的6=.

CW

【答案】51

【解析】

试题分析：依程序框图得6=1x20+1x21+0x2?+0x2'+1x2’+1x25=51.

考点：程序框图.

14.设实数X,y满意则的取值范围是.

【答案】

【解析】

试题分析：由于)表示可行域内的点(无，y)与原点(0,0)的连线的斜率，如图2,求出可行域

X

的顶点坐标A(3,1),B(l,2),C(4,2),则七%=2,殳c=工，可见，令2=♦，贝1Jz=/二

32xt

11

15.若函数/•(%)=-§q犬+59尤2+2以在上存在单调递增区间，则a的取值范围是.

【答案】

【解析】

试题分析：f'(x)=-x2+x+2a=-(x--^\+:+2。.当时，/'(尤)的最大值为

考点：利用导数推断函数的单调性.

16.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F,B为椭圆E在其次象限上的点，直线B0交椭圆E

于点C,若直线BF平分线段AC,则椭圆E的离心率是

【答案】-

3

【解析】

试题分析：如图3,设〃中点为四连接0M,则应/为"BC的中位线，于是△(?而s△川中，

且

考点：椭圆的离心率.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分12分)

己知数列｛a,J的首项al=L.

(I)证明：数列是等比数列;

(II)设，求数列｛〃｝的前n项和S,.

【答案】（1）证明详见解析；（2）Sn=2----.

【解析】

试题分析：本题主要考查等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的

前n项和等基础学问，考查学生的分析问题解决问题的实力、转化实力、计算实力.第一问，

先将已知表达式取倒数，再分别常数、用配凑法证明数列是等比数列；其次问，结合第一问

的结论，利用等比数列的通项公式，先计算出与，再计算么，用错位相减法求和，在化简过

程中用等比数列的前n项和计算即可.

试题解析：（I）证明：，

又，所以数列是以，为首项，工为公比的等比数列........（6分）

22

（II）解：由（I）知，，

、儿123〃小

n22223T

12n-1n小

22223T2〃+i

\i-/-yr,—kj---1----r~~i---------------------------------,

2rl2222〃2"+i12"+i2〃2"i

1—

2

1n

S=2----：-----...............................................（12分）

考点：等比数列的证明、等比数列的通项公式、错位相减法、等比数列的前n项和.

18.（本小题满分12分）

某校为了解高三年级不同性别的学生对取消艺术课的看法（支持或反对），进行了如下

的调查探讨.全年级共有1350人，男女生比例为8：7,现按分层抽样方法抽取若干名学生，

每人被抽到的概率均为工，通过对被抽取学生的问卷调查，得到如下2x2列联表：

9

支持反对总计

男生30

女生25

总计

（I）完成列联表，并推断能否有99.9%的把握认为看法与性别有关？

（II）若某班有6名男生被抽到，其中2人支持，4人反对；有4名女生被抽到，其中2人支

持，2人反对，现从这10人中随机抽取一男一女进一步调查缘由.求其中恰有一人支持一人

反对的概率.

参考公式及临界值表：K

0.100,0500.0100.0050.001

*02.7063.8416・6357.87910.828

【答案】（1）没有99.9%的把握认为看法与性别有关；（2）P=-.

2

【解析】

试题分析：本题主要考查线性相关、概率、分层抽样等基础学问，考查学生的分析问题解决

问题的实力、转化实力、计算实力.第一问，先利用每人被抽到的概率均为L，计算出男女总

9

人数150人，再利用男女生

比例为8:7,计算出男女生人数，从而列联表就填全了，再依据列联表，利用/的公式计算,

与10.828比较大小，得出结论；其次问，将6名男生和4名女生用字母表示出来，写出选取

2人的全部状况，在其中选出符合题意的状况，最终计算出概率.

试题解析：（I）列联表如下:

支持反对总计

男生305080

女生452570

总计7575150

2

计算得K=15°（3°义25-50x45厂“10714<10828,

80x70x75x75

所以没有99.9%的把握认为看法与性别有关.（6分）

（II）记6名男生为&a3,a4,a5,a6,其中心&为支持，a3,a4,a5,4为反对，记4名

女生为4,B2,%为，其中牛不为支持，4,“为反对，随机抽取一男一女全部可能的状况

有24种，分别为

（4，BJ,（A，B2）,（A，"3），（A，"4），（^2,B、）,（^2,B?）,（^2,（^2,bj,（生，Bj,

（。3，刍），（%b3）,（生，64），（%，4），（%，B）（%，4），（〃4，%）,（%旦），（%，B2）,

（〃5,4），（。5,d），（。6，B］）,（4,B2）,（4,么），（。6,〃4），

其中恰有一人支持一人反对的可能状况有12种，所以概率为P=L......（12分）

2

考点：线性相关、概率、分层抽样.

19.（本小题满分12分）

如图4,在三棱锥S-ABC中，AABC是边长为2的正三角形，平面SAC,平面ABC,SA=SC=亚,

M为AB的中点.

（I）证明：AC±SB;

（II）求点B到平面SCM的距离。

【答案】（1）证明详见解析；（2）口5.

5

【解析】

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、三角形面积、锥体的体积等基础

学问，考查学生的分析问题解决问题的实力、空间想象实力、逻辑推理实力、计算实力.第一

问，利用线面垂直的判定，得AC,平面SDB,再利用线面垂直的性质，得ACJLSB；其次问，

依据面面垂直的性质，得SD_L平面ABC,作出协助线，得SE_LCM,在直角三角形SDE中，

求出SE的值，在正三角形ABC中求出CM的值，从而计算出A5。欣和ABMC的面积，用体积

转化法，将锥体B-SCM转化为锥体S-BCM的体积，计算出高.

试题解析：（I）证明：如图4,取4c的中点连接，S,DB.

因为5A=SC,BA=BC,

所以AC_LDS,SAC±DB,DSDB=D,

所以AC_L平面SD3,又5Bu平面SDB,

所以ACLS3.........................（6分）

（II）解：因为S£>_LAC,平面S4C_L平面ABC,

所以5DJL平面ABC.

如图4,过〃作DELC0于£,连接组则SELCW,.......................................（8分）

所以在RtZkSDE中，SD=1,DE=~,

2

是边长为2的正△/回的中线，:.CM=6,

•••S/CM=*M.SE=$6x%=号，

=---AS.CM=-X2X73=—..........................................................(10分)

△BMC2242

设点6到平面SC"的距离为h,

=X

则由VB-SCMVs-BCM得,S&SCM*'=]^^BMCSD,

近

所以h=S&BMc・SD=展=正.......................................................................(]2分)

S^SCM655

丁

考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、三角形面积、锥体的体积.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C：的离心率为J,连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4&.

2

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)过点A(1,0)的直线与椭圆C交于点此N,设P为椭圆上一点，且+OM=tOP(tw0)0

为坐标原点，当时，求t的取值范围.

试题分析：本题主要考查椭IS的标准方程及其几何性质、直线与摘圆的位置关系等基础知识，考查学生的

分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一间，先利用离心率、，=#+/、四边形的面积列出

方程，解出a和b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二间，讨论直线MN的斜率是否存在，当直线MN

的斜率存在时，直线方程与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理，得到天+5、演马，利用两+而=1/

列出方程，解出Rxj),代入到椭圆上，得到P的值，再利用|丽-而|<竽，计算出炉的范围，代入

到P的表达式中，得到t的取值范围.

试题解析：(I)=：.e2=l-^=-,,即/=2区

2a22

又S=>x2ax2b=4五，：.ab=26.,：.b2=2,a2=4.

2

椭圆。的标准方程为....................................(4分)

(II)由题意知，当直线就斜率存在时，

设直线方程为y=左(％-1),M{x1,%),N(X2,y2),P{x,y),

联立方程消去y得(1+2公一4Mx+2/-4=0,

因为直线与椭圆交于两点，

所以△=16/-4(1+2k2)(2以-4)=24k2+16>0恒成立，

2

.4k22k-4z/、〜-2k

・・%+M=-------7,x,x=--------y.+y=+x)-2k=-------彳，

121+2k212?1+2左2"?,21?2)M242

又YOM+ONnOP,

玉+X24左2

玉+%2=比，.tt(l+2k2)

y+y=ty,"I%+%~2k

I2y=---------=-------------

/tt(l+2k2)

16k,8k2

因为点尸在椭圆上，所以=4,

产(1+2公了+产(1+2^)2

21c,1

即2k1=/。+2左2),--------T=1----------T(8分)

1+2左21+2左2

又,

即|M0|<竽，.71+02,_引<?,整理得:,

化简得：13/_5产一8>0,解得左2>1或F〈一色(舍),

(12分)

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系.

21.(本小题满分12分)

已知f(x)=ax+x\nx{aeR)。

(I)曲线y=/(x)在点(1,f(D)处的切线斜率为0,求f(x)的单调区间;

(II)若f(x)<x，在(1,+oo)恒成立，求a的取值范围。

【答案】(1)减区间为(1,+oo),增区间为(0,1);(2)(-oo,1].

【解析】

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数推断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、

利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础学问，考查学生的分析问题解决问题的实力、转

化实力、计算实力.第一问，对/(无)求导，/⑴为切线的斜率，解出a的值，再利用/(x)>0

和f(尤”0推断函数的单调性；其次问，先将/(x)<尤②在(1,+s)恒成立，转化为。<x—处

X

恒成立，再构造函数g(x),通过求导，推断函数的单调性，求出函数g(x)的最小值，从而得

到a的取值范围.

试题解析：(I)/⑺的定义域为(0,+00),求导可得/(无)=。+工，

X

由/'(1)=。得。+1=。=。=—1，/(x)--x+lnx,+—,

x

令1(x)<0得x>l；

令尸(x)>0得0<x<l,

所以了(尤)的减区间为(1,+00),增区间为(0,1)......................................(4分)

(II)由题意：av+lnx<%2,即avvf-lnx,

a〈尤一恒成立.

x

人，、Inx，/、,1-lnxx2+Inx-1「

令g(x)=x-------,贝Ug'(x)=l---------=---------------[

XXX

令"(无)=尤？+Inx—1,贝!|h'(X)-2x+—>0,

x

：.h(x)在(1,+oo)上单调递增,

Xh(V)=0,.,.当xe(l,+8)时，/?(%)>0,g'(x)>0,

.♦•g(X)在(1,+8)上单调递增,

所以g(X)mm>g(l)=l>

...当时，a<g(x)恒成立，

a的取值范围为(-oo,1]...........................................................................(12分)

考点：利用导数推断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、利用导数求函数的最值、恒成

立问题.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分10分)【选修4-1：几何证明选讲】

如图5,已知圆的两条弦AB,CD,延长AB,CD交于圆外一点E,过E作AD的平行线交

CB的延长线于F,过点F作圆的切线FG,G为切点.求证:

(I)AEFC^ABFE;

(II)FG=FE

【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查三角形相像、切割线定理等基础学问，考查学生的分析问题解决问

题的实力、转化实力、计算实力.第一问，利用平行线的内错角相等，得到NFEB=ZA,同弧

所对的圆周角，得NA=NC,从而得到=所以利用相像三角形的判定得到结论；

其次问，利用三角形相像，得到所2=q・八7,再通过切割线定理得到PG?=EB・PC,两

式相结合得防=FG.

试题解析：(I),:EF〃AD,；.NFEB=ZA,

又NA=NC,；.NC=NFEB,

：.在△£%与△BFE中，

ZEFC=NBFE,

n/\EFCs4BFE.（5分）

ZC=NFEB

(II)•:△EFCs^BFE,

.EFpr

—nEF?=FB.FC,

'FBEF

又尸G是圆的切线，由切割线定理得以;2=F2.砥7,

EF'=FG2,BPEF^FG..........................................（10分）

考点：三角形相像、切割线定理.

23.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：为参数），以平面直角坐标系xOy的原点。为极点,

x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线，：夕（cos8-sin8）=6.

(1)在曲线C上求一点P,使点P到直线，的距离最大，并求出此最大值；

(2)过点M(—1,0)且与直线/平行的直线，交C于A,B两点，求点M到A,B两点的距离

之积.

【答案】⑴九=4应；⑵1.

【解析】

试题分析：本题主要考查参数方程与一般方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、

点到直线的距离公式等基础学问，考查学生的分析问题解决问题的实力、转化实力、计算实

力.第一问，利用夕cosO=x、/?sin6=y将直线/的极坐标方程转化为一般方程，再利用点到

直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；其次问，利用平方关系将曲线C的方

程转化为一般方程，将直线/的参数方程与曲线C的方程联立，消参，得到牡=-1，即得到

结论八么・A1B=1.

试题解析：(I)直线夕(cos。—sin6)=6化成一般方程为X-丁一6=0.

设点尸的坐标为(若cosa,