广东省清远市清城区2024年高考全国统考预测卷数学试卷含解析

广东省清远市清城区2024年高考全国统考预测密卷数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知心匕是平面内互不相等的两个非零向量，且同=L&-沙与人的夹角为150,则W的取值范围是（）

A.（O.VJ]B.[1,73]C.（02]D.[73,2]

22〃

2.双曲线j-4=1（。>0,6>0）的左右焦点为耳，心，一条渐近线方程为=过点耳且与/垂直的直线分

aba

别交双曲线的左支及右支于P,Q,满足OP=gc>K+goQ,则该双曲线的离心率为（）

A.VwB.3C.V5D.2

3.一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（）

7i兀一2兀2万

A.—B.C.—D・-------

3333

4.已知复数z满足—=则目=（）

A.2血B.2C.4D.3

5.已知集合4={（阳,）|丁=尤2},3={（x,y）|x2+y2=i},则A8的真子集个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.已知1,m是两条不同的直线，机_1_平面a,则“///a"是"LLnz"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.集合用=卜|丁=〃^了,％洌的真子集的个数为（）

A.7B.8C.31D.32

8.下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是

().

金牌银牌铜牌奖牌

(块)(块)(块)总数

245111228

2516221254

2616221250

2728161559

2832171463

29512128100

3038272388

A.中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义

C.第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5

x/(x)

9.已知函数/(x)=Je-双，xe(0,+8),当马〉石时,不等式办上<恒成立,则实数a的取值范围为()

X%2%

，e)(e

A.(-oo,e］B.(-oo,e)C.D.［一°0，］

10.关于函数/。)=用续+cos2x,下列说法正确的是()

1+tanx

A.函数/(%)的定义域为R

B.函数/(x)一个递增区间为一丁,互

OO_

C.函数/(尤)的图像关于直线X=9对称

O

D.将函数y=J5sin2x图像向左平移£个单位可得函数y=/(%)的图像

8

11.函数/（力=4^二5%76的定义域为（）

A.„<2或％23}B.{川％<—3或工2—2}

C.{乂2<%<3}D.^x|-3<x<-21

12.执行如图所示的程序框图，若输出的值为8,则框图中①处可以填（）.

z=1,5=0

S=S+i

Z=Z4-1

输出i

▼

（结束）

A.S>7?B.S>21?C.S>28?D.S>36?

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若将函数"X）=sin的图象沿x轴向右平移。侬>0）个单位后所得的图象与/⑺的图象关于x轴对

称，则9的最小值为.

14.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布

表如下：

满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)合计

高一1366420

高二2655220

根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级:

满意度评分评分<70分70W评分＜90评分290分

满意度等级不满意满意非常满意

假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二

年级各随机抽取1名家长，记事件A：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件4发生的概率为

15.已知变量玉,9e（O,（，》0）,且不<々，若工/<工2为恒成立，则机的最大值_______.

y<%

vri

16.若实数羽y满足约束条件元+y24,设z=3%-2y的最大值与最小值分别为加，%则一=.

x<3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知点A为圆C：（尤―l『+y2=i上的动点，。为坐标原点，过P（0,4）作直线Q4的垂线（当人、。

重合时，直线。L约定为V轴），垂足为"，以。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求点M的轨迹的极坐标方程；

（2）直线/的极坐标方程为夕sin［。+：］=4,连接04并延长交/于3,求尚的最大值.

18.（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行

合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:

试销价格

456789

X阮）

产品销量y

898382797467

（件）

已知变量羽V且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲亍=4x+53；乙

y=-4x+105；丙y=-4.6x+104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.

（1）试判断谁的计算结果正确？

（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中

随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.

19.（12分）如图1,在等腰梯形43月心中，两腰A月=3片=2,底边AB=6,耳K=4,D,C是AB的三等

分点，E是耳心的中点•分别沿CE，OE将四边形片和折起，使耳，工重合于点尸，得到如图2所示

的几何体.在图2中，M,N分别为CD,E尸的中点.

(1)证明：MN_L平面ABCD.

(2)求直线CN与平面AB尸所成角的正弦值.

20.(12分)如图，四棱锥尸-A3CD的底面ABC。中，AABD为等边三角形，5CD是等腰三角形，且顶角

ZBCD=120°,PCLBD,平面平面ABC。，M为必中点.

(1)求证：DM//平面「5C；

(2)若PD工PB,求二面角C-B4—3的余弦值大小.

21.(12分)如图，已知三棱柱A3C-4与£中，A6C与g是全等的等边三角形.

(1)求证：BC1ABX.

(2)若cosN43A=z，求二面角B—4C—A的余弦值.

22.(10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x+l|+2|x—a|.

(1)设。=1,求不等式/(九)<7的解集；

(2)已知a>—1,且/(x)的最小值等于3,求实数。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

试题分析：如下图所示，==则==b，因为a—b与人的夹角为150，即NZMB=150°,

所以NAD6=30。，设=则0＜。＜150。，在三角形曲中，由正弦定理得同=问，所以

sin30°sin。

\b\=———xsin。=2sin，，所以。＜网《2,故选C.

।1sin30011

考点：L向量加减法的几何意义；2.正弦定理；3.正弦函数性质.

2、A

【解析】

2加a2b4

设（）（），直线。的方程为％=—

P/X,Qx,,%Py—c联立方程得到％+为%%=仅2一"2,

a

根据向量关系化简到b2=9a2，得到离心率.

【详解】

A

设尸（&K）,Q（X2，%），直线P。的方程为》=一丁一。.

b

x=-y-c,

a

联立一/)y?_2ab3cy+a2b4=0,

22

土-^=1

2ab3a2b4

则必+为二尸)?％乂二尸尸.

因为0P=go「+g。。，所以P为线段。耳的中点，所以%=2%,

2262222

(y1+y2)94ab(b-a)c4b

I'〒/22，一不一A-整理得。2=9/，

必,%2仅2_矿)c~a-b\b-aj

故该双曲线的离心率e=厢.

故选：A.

本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

3、B

【解析】

因为时针经过2小时相当于转了一圈的工，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案.

6

【详解】

因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2»，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧

度数为」*2乃

63

故选:B

【点睛】

本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.

4、A

【解析】

由复数除法求出z,再由模的定义计算出模.

【详解】

M4z(l+z)

=-2+2Z,|Z|=2A/2.

(1-0(1+0

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题.

5、C

【解析】

求出A8的元素，再确定其真子集个数.

【详解】

_曲布-2,2--2

y=必X—X二------------

2

由＜,解得或＜2,AA8中有两个元素，因此它的真子集有3个.

必+丁

=1V5-1V5-1

y=---------

2

故选：C.

【点睛】

本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合

A,8都是曲线上的点集.

6、A

【解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.

【详解】

当机_1平面a时，若/〃a"则"_1_小”成立，即充分性成立，

若LL机，贝!|/〃a或/ua,即必要性不成立，

则”〃a”是“以疗充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题

7、A

【解析】

计算M={2,6,0},再计算真子集个数得到答案.

【详解】

=«二正xez[={2,/0},故真子集个数为：23—1=7.

故选：A-

【点睛】

本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.

8、B

【解析】

根据表格和折线统计图逐一判断即可.

【详解】

A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；

B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；

C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；

54+59

D.统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为^―=56.5，不正确;

故选：B

【点睛】

此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.

9、D

【解析】

由'(')<'°2)变形可得石/(石)<X2/(X2)，可知函数g(x)=4"(x)在xe(0,+oo)为增函数，由

X2X\

g'(x)=蜻-2ax20恒成立，求解参数即可求得取值范围.

【详解】

xe(0,+oo),

•••%/(%)<X2/(X2)，即函数g(x)=n"(X)=靖—奴2在Xe(0,+00)时是单调增函数.

贝!1g'(%)=ex-2ax>。'恒成立.

ex

/.2〃4—・

x

令m(x)=贝(J加(％)=――

xx

xe(0,1)时,mr(x)<0,m(x)单调递减,xG(1,+00)时m"(x)>0,m(x)单调递增.

2a<m(x)niin=m(l)=e,:.a<-

故选:D.

【点睛】

本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题，考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力

和计算求解的能力，难度较难.

10、B

【解析】

化简到/(x)=J^sin，x+?1,根据定义域排除ACD,计算单调性知B正确，得到答案.

【详解】

/(x)=L：+cos2x=sin2x+cos2x=0sinf2x+—|,

1+tanxI4J

71

故函数的定义域为无%。式+左耳左£Z,故A错误；

[2J

37cTC7C7C7C

当xe---时，2x+—G,函数单调递增，故3正确；

_88J4122_

当x=-二77，关于x=T£T的对称的直线为尤=T9T不在定义域内，故C错误.

4X2

平移得到的函数定义域为R,故不可能为y=/(%),。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

11、A

【解析】

根据偶次根式被开方数非负可得出关于x的不等式，即可解得函数y=f(x)的定义域.

【详解】

由题意可得7―5x+620，解得x<2或xN3.

因此，函数y=/(x)的定义域为{尤|尤<2或123}.

故选：A.

【点睛】

本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

12、C

【解析】

根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.

【详解】

第一次循环：S=O,i=l

第二次循环：S=l,i=2

第三次循环：S=3,i=3

第四次循环：S=6,i=4

第五次循环：S=10,i=5

第六次循环：S=15,i=6

第七次循环：5=21,/=7

第八次循环：S=28,，=8

所以框图中①处填S228?时，满足输出的值为8.

故选：C

【点睛】

此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

71

13、一

2

【解析】

由题意利用函数y=Asin（a）x+9）的图象变换规律，三角函数的图像的对称性，求得。的最小值.

【详解】

解：将函数仆）=411小+力的图象沿^轴向右平移03>0）个单位长度，可得

y=sin2^x-（p）+—=sinl2x-2^9+y的图象.

根据图象与/（龙）的图象关于x轴对称，nT^-sinJ2x+yUsinf2x-2^+yj,

3

二.—20=（2左+1）〃，keZ,即左=—1时，9的最小值为

71

故答案为：一.

2

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin（a）x+9）的图象变换规律，正弦函数图像的对称性，属于基础题.

14、0.42

【解析】

高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况，分别求出三种情况的概率，再利用加法公式即可.

【详解】

由已知，高一家长满意等级为不满意的概率为《，满意的概率为非常满意的概率为《，

211

高二家长满意等级为不满意的概率为一，满意的概率为一，非常满意的概率为不，

5210

高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级有三种情况：

1.高一家长满意，高二家长不满意，其概率为gx2=g；

5525

122

2.高一家长非常满意，高二家长不满意，其概率为-x-=）；

5525

3.高一家长非常满意，高二家长满意，其概率为工义[=].

5210

由加法公式，知事件4发生的概率为假+5+'=|^=0.42.

故答案为：0.42

【点睛】

本题考查独立事件的概率，涉及到概率的加法公式，是一道中档题.

15、e

【解析】

InX

在不等式两边同时取对数，然后构造函数/（X）=——，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论.

X

【详解】

X1

不等式两边同时取对数得Inxj<inx2,

即又七,刀2G（°，"z）

Inx.Inx,

即一L<—二成立,

X]

1nx

设/(x)=-----，(0,m)9

x

Vxi<X2,f(xi)<f(X2),则函数/(x)在(0,m)上为增函数,

腑的且新--x-lnx

函数的导数#,/、x1-Inx,

/W=-一2-----

X

由/(x)>0得1-阮r>0得阮rVl,

得OVxVe,

即函数/CO的最大增区间为（0,e）,

则m的最大值为e

故答案为：e

【点睛】

本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键

7

16、-

2

【解析】

rij

画出可行域，平移基准直线3x-2y=0到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得」的比值.

n

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知，当直线z=3x-2y过点（3,1）时，z取得最大值7；过点（2,2）时，z取得最小值

2,所以

本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画

出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行

域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)Q=4sin，；(2)2+^

8

【解析】

(D设M的极坐标为(P招)，在中，有夕=4sin，，即可得结果；

(2)设射线圆。的极坐标方程为夕=2cos。，联立两个方程，可求出联立

psin|0H—I-4IIOA.1(万、^/3

I3J可得|。理，则计算可得K7=：sin：+*,利用三角函数的性质可得最值.

八OB4\37o

0—cc

【详解】

(1)设M的极坐标为(P,。)，在0PM中，有夕=4sin，，

•••点M的轨迹的极坐标方程为。=4sin，；

兀兀

(2)设射线04：6=a,ae万'万,圆C的极坐标方程为夕=2cos。,

p-2cos^।।

由＜得：\OA\=p=2coscif,

0=ax

4

夕sin19+朗=4得：阿“2=

由＜

sina+-

0=ccI3

OA2cosa

0B~~4

sintz+—

I3

1兀

=—cosa-sina+—

23

1.71.K

=-cosasinsinacos—+cosasin—

233

，2/cos2a

44

=-sin2a+

8

+今

2兀小兀4TI

;-----<2a+—<一

333

-7C7CTCt2+73

当t2aH—=—,即a=—时,

OB8

3212/max

扁|0A的|最大值2为+千A/3

【点睛】

本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.

9

18、(1)乙同学正确；(2)—.

20

【解析】

(1)根据变量羽y且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点GJ),判断出乙正确.

(2)由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得

所求概率.

【详解】

(1)已知变量羽y具有线性负相关关系，故甲不正确，

7=6.5,5=79,代入两个回归方程，验证乙同学正确，

故回归方程为：y=-4x+105

(2)由(1)得到的回归方程，计算估计数据如下表：

X456789

y898382797467

y898581777369

y-y021212

由上表可知，“理想数据”的个数为3.

用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.

从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有3x3=9种.

9

故所求概率为P=一

20

【点睛】

本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.

19、(1)证明见解析(2)走

3

【解析】

(1)先证CWLEF,再证。NLEE,由跖〃可得平面CDN,从而推出平面ABC。；(2)建立空

间直角坐标系，求出平面厂的法向量与CN,坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.

【详解】

(1)证明：连接Cb,DN,由图1知，四边形5CEF为菱形，且NCM=60°,

所以ACEF是正三角形，从而CNLEF.

同理可证，DN1EF,

所以平面CDN.

又EF//BC,所以BC_L平面CDN,

因为BCu平面A3CD,

所以平面CDNJ_平面ABCD.

易知CN=DN,且M为CD的中点，所以

所以MNJ_平面ABCD.

(2)解：由(1)可知CN=石，MN=0，且四边形ABC。为正方形.设A3的中点为G,

以"为原点，以MG,MC,所在直线分别为x,V,z轴，建立空间直角坐标系孙z,

则4(2,—1,0),5(2,1,0),C(0,l,0),N(0,0,夜)，F(1,0,A/2),

所以AB=(0,2,0),AF=(-1,1,72),C7V=(0,-1,72).

设平面ABF的法向量为n=(%,y,z),

由＜,得＜r

n-AF-0,[-x+y+，2z=0,

取〃=W，0,l).

设直线CN与平面AB厂所成的角为e,

CN-n历历

所以sin0------ri-=—j=—『=——,

CN(〃V3XV33

所以直线CN与平面ABF所成角的正弦值为交.

3

【点睛】

本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基

础题.

20、(1)见解析；(2)--

7

【解析】

(1)设中点为N,连接MN、DN,首先通过条件得出CBLAB,加。NLA5,可得DN//BC,进而可得

DN//平面PBC,再加上ACV7/平面尸5C,可得平面QMN//平面尸5c,则DM7/平面「5c；

(2)设6。中点为。，连接AO、CO,可得尸0,平面A5CD,加上班)，平面PCO,则可如图建立直角坐标系

O-xyz,求出平面R钻的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：设中点为N,连接MN、DN,

为等边三角形，

:.DN±AB,

DC=CB,ZDCB=120°,

,-.ZCBD=30°,

.•.ZABC=60o+30°=90°,即CBLAB,

DNLAB,

：.DN//BC,

BCu平面尸3C,ZW<z平面尸5c,

:.DN//平面PBC,

MN为△PAB的中位线，

:.MN//PB,

Mu平面「5C,MNe平面PBC,

:.MN//平面PBC,

MN、DN为平面DAW内二相交直线，

•••平面DMN//平面PBC,

,ZM/u平面OMN,

」.£>闻7/平面尸5C；

(2)设BD中点为。，连接A。、CO

•ABD为等边三角形，5CD是等腰三角形，且顶角N3CD=120。

:.AO±BD,COLBD,

:.A,C、。共线，

PC±BD,BD±CO,PCCO=C,PC,COu平面PCO

..班)，平面PCO.

POU平面PCO

:.BD±PO

平面P3Z5_L平面ABCD,交线为BD,POu平面PBD

.,.POL平面ABC。.

设AB=2,则AO=3

在BCD中，由余弦定理，得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD

又BC=CD,

.-.22=2BC2-2BC2COS120%

.rn_rr)_2百「c_4

33

PD±PB,。为BD中点，

PO=i-BD=l,

2

建立直角坐标系。-孙z（如图），则

C—*,0,0,尸(0,0,1),A(A/3,0,0),5(0,1,0).

.•.BA=(A/3,-1,0),PA=(A

设平面的法向量为〃=(%,y,z),贝(j,

n-BA-0A/3X-y=0

n-PA=0y/3x-z=0

取x=l,贝!|y=z=6,

平面PAC的法向量为OB=(0,1,0),

/n0B0^

、/\n[\0B\7，

二面角C—K4—3为锐角，

二面角C-K4-3的余弦值大小为叵.

7

【点睛】

本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.

21、(1)证明见解析；(2)走.